高中数学必修五

1 数列的概念与简单表示法
知 识 梳 理
1．数列的概念
(1)数列的定义
按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项 ．排在第一位的
数称为这个数列的第1项，通常也叫做首项．
(2)数列的通项公式
如果数列{a
n
}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这 个
数列的通项公式．
(3)数列的前n项和
在数列{a
n
}中， S
n
＝a
1
＋a
2
＋?＋a
n
叫做数列的 前n项和．
2．数列的表示方法
(1)表示方法

列表法
图象法
公
式
法
通项公式

递推
公式
列表格表达n与f(n)的对应关系
把点(n，f(n))画在平面直角坐标系中
把数列的通项使用通项公式表达的方法
使用初始值a
1
和a
n
＋
1
＝f(a
n
)或a
1
，a
2
和a
n
＋
1
＝f(an
，a
n
－
1
)等表达数列
的方法
(2)数 列的函数特征：上面数列的三种表示方法也是函数的表示方法，数列可以看作是定义域
为正整数集(或它 的有限子集{1,2，?，n}) 的函数a
n
＝f(n))当自变量由小到大依次取值时所
对应的一列函数值．
3. a
n
与S
n
的关系
?
S
1< br>，n＝1，
若数列{a
n
}的前n项和为S
n
，则a
n
＝
?

?
S
n
－S
n
－
1
，n≥2.

考点一 由数列的前几项求数列的通项
【例1】 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1)－1,7，－13,19，?； 246810
(2)
3
，
15
，
35
，
63
，
99
，?；
1925
(3)
2
，2，< br>2
，8，
2
，?；
(4)5, 55, 555, 5 555，?.
考点二 由a
n
与S
n
的关系求通项a
n
22
【例2】 ⑴
S
n
=n+2n； ⑵
S
n
=n-2n-1.

2S
n
12
【例3】 (2013·广东卷节选)设数列{a
n}的前n项和为S
n
.已知a
1
＝1，
n
＝a
n
＋
1
－
3
n
2
－n－
3
，n∈N
*
.求a
2
的值



考点三 由递推公式求数列的通项公式
【例3】 在数列{a
n
}中， < br>(1)若a
1
＝2，a
n
＋
1
＝a
n
＋n＋1，则通项a
n
＝________；
(2)若a
1
＝1 ，a
n
＋
1
＝3a
n
＋2，则通项a
n
＝ ________.
一般有三种常见思路：
(1)算出前几项，再归纳、猜想；
(2)“a
n
＋
1
＝pa
n
＋q”这种形式通常转化为a
n
＋
1
＋λ＝p(a
n
＋λ)，由待定系数法求出λ，再化为等
比数列；
(3)利用累加、累乘法或迭代法可求数列的通项公式．

基础巩固题组
一、选择题
246
1(深圳中学模拟)数列0，
3
，
5
，
7
，?的一 个通项公式为( )．
A．a
n
＝
n－1n－12?n－1?
2 n
(n∈N
*
) B．a
n
＝(n∈N
*
) C．a
n
＝(n∈N
*
) D．a
n
＝(n∈N
*
)
n＋12n＋12n－12n＋1
n1
2．若S
n
为数列{a
n
}的前n项和，且S
n＝，则
a
＝( )．
n＋1
5
561
A.
6
B.
5
C.
30
D．30
3． (贵阳模拟)已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且S
n
＝2n
2
－1，则a
3
＝( )．
A．－10 B．6 C．10 D．14
?
?3－a?x－3，x≤7，
4.(2016·湖州模拟) 设函数f(x)＝
?
x
－
6
数列{a
n
}满足a< br>n
＝f(n)，n∈N
*
，且数列
?
a，x>7，
{ a
n
}是递增数列，则实数a的取值范围是( )．
?
9
??< br>9
?
A.
?
4
，3
?
B.
?
4
，3
?
C．(1,3) D．(2,3)
????

二、填空题
5．(2015蚌埠模拟)数列{ a
n
}的通项公式a
n
＝－n
2
＋10n＋11，则该数列 前________项的和最大．
n
6．(2014·广州模拟)设数列{a
n}满足a
1
＋3a
2
＋3
2
a
3
＋? ＋3
n
－
1
a
n
＝
3
，则数列{a
n
}的通项公式为
________．
三、解答题
7．数列{a
n
}的通项公式是a
n
＝n
2
－7n＋6.
(1)这个数列的第4项是多少？
(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
(3)该数列从第几项开始各项都是正数？
8
．设{a
n
}是首项 为1的正项数列，且(n＋1)a
n
＋
1
2
－na
n
2
＋a
n
＋
1
·a
n
＝0(n∈N
*< br>)，求a
n
.

2 等差数列及其前n项和
知 识 梳 理
1．等差数列的定义
如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做
等差数列，这个常数叫做等差数列 的公差，公差通常用字母d表示．
数学语言表达式：a
n
＋
1
－a
n
＝d(n∈N
*
)，d为常数．
2．等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{a
n
}的首项 是a
1
，公差是d，则其通项公式为a
n
＝a
1
＋(n－1 )d.
若等差数列{a
n
}的第m项为a
m
，则其第n项a
n
可以表示为a
n
＝a
m
＋(n－m)d.
(2)等差数列的前n项和公式
n?a
1
＋a
n
?n?n －1?
*
S
n
＝＝nad.(其中n∈N，a
1
为首项，d 为公差，a
n
为第n项)
1
＋
22
3．等差数列及前n项和的性质
a＋b
(1)若 a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝
2
.
(2)若{an
}为等差数列，当m＋n＝p＋q，a
m
＋a
n
＝a
p
＋a
q
(m，n，p，q∈N
*
)．
(3)若{an
}是等差数列，公差为d，则a
k
，a
k
＋
m
，a
k
＋
2m
，?(k，m∈N
*
)是公差为md的等差 数列．
(4)数列S
m
，S
2m
－S
m
，S3m
－S
2m
，?也是等差数列．
nd
(5)若n为偶数，则 S
偶
－S
奇
＝
2
；
若n为奇数，则S
奇
－S
偶
＝a
中
(中间项)．
考点一 等差数列的基本量的求解
【例1】 在等差数列{a
n
}中，a
1
＝1，a
3
＝－3.
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
(2)若数列{a
n
}的前k项和S
k
＝－35，求k的值．
【训练1】 (1)(2015·浙江五校联考)已知等差数列{a
n
}满足a
2
＋a
4
＝4，a
3
＋a
5
＝10，则它的前< br>10项的和S
10
＝( )．
A．85 B．135 C．95 D．23
(2)(2013·新课标全国Ⅰ卷)设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若S
m
－
1
＝－2，Sm
＝0，S
m
＋
1
＝3，
则m＝( )．
A．3 B．4 C．5 D．6

考点二 等差数列的判定与证明

规律方法 证明一个数列是否为等 差数列的基本方法有两种：一是定义法，证明a
n
－a
n
－
1
＝
d(n≥2，d为常数)；二是等差中项法，证明2a
n
＋
1
＝ a
n
＋a
n
＋
2
.若证明一个数列不是等差数列，
则只需举出反例即可，也可以用反证法．
【例2】 (2016·梅州调研改编)若数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且满足a
n
＋2S
n
S< br>n
－
1
＝0(n≥2)，a
1
1
＝
2
.
?
1
?
(1)求证：
?
S
?
成等差数列；
?
n
?
(2)求数列{a
n
}的通项公式．



考点三 等差数列的性质及应用
【例3】 (1)设S
n为等差数列{a
n
}的前n项和，S
8
＝4a
3
，a< br>7
＝－2，则a
9
＝( )．
A．－6 B．－4 C．－2 D．2
(2)在等差数列{a
n
}中，前m项的和为30，前2m项的和为100， 则前3m项的和为________．

【训练3】 (1)在等差数列{a
n}中．若共有n项，且前四项之和为21，后四项之和为67，前n
项和S
n
＝2 86，则n＝________.
(2)已知等差数列{a
n
}中，S
3< br>＝9，S
6
＝36，则a
7
＋a
8
＋a
9< br>＝________.
小结
1．等差数列的判断方法
(1)定义法：a
n
＋
1
－a
n
＝d(d是常数)?{a
n
}是等差数列．
(2)等差中项 法：2a
n
＋
1
＝a
n
＋a
n
＋
2
(n∈N
*
)?{a
n
}是等差数列．
(3)通项公式 ：a
n
＝pn＋q(p，q为常数)?{a
n
}是等差数列．
(4 )前n项和公式：S
n
＝An
2
＋Bn(A、B为常数)?{a
n< br>}是等差数列．
2．方程思想和化归思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a
1
和d等基本量，通
过建立方程(组)获得解．

基础巩固题组
一、选择题
S
3
S
21．(2015·温州二模)记S
n
为等差数列{a
n
}前n项和，若< br>3
－
2
＝1，则其公差d＝( )．
1
A.
2
B．2 C．3 D．4
2．(2014·潍坊期末考试)在等差数列{a
n
}中，a
5
＋a
6
＋a
7
＝15，那么a
3
＋a
4
＋?＋ a
9
等于( )．
A．21 B．30 C．35 D．40
3．(2015·揭阳二模)在等差数列{a
n
}中，首项a
1< br>＝0，公差d≠0，若a
m
＝a
1
＋a
2
＋?＋a< br>9
，则
m的值为( )．
A．37 B．36 C．20 D．19
4．(2014·郑州模拟){a
n
}为等差数列，S
n
为其前n项 和，已知a
7
＝5，S
7
＝21，则S
10
＝( )．
A．40 B．35 C．30 D．28
5．(2015·淄博二模)已知等差数列 {a
n
}的前n项和为S
n
，满足a
13
＝S
13
＝13，则a
1
＝( )．
A．－14 B．－13 C．－12 D．－11
二、填空题
6．(2013·肇庆二模)在等差数列{a
n
} 中，a
15
＝33，a
25
＝66，则a
35
＝_____ ___.
7．(2013·浙江五校联考)若等差数列{a
n
}的前n项和为Sn
(n∈N
*
)，若a
2
∶a
3
＝5∶2，则 S
3
∶S
5
＝________.
三、解答题
S
n
8.设数列{a
n
}的前n项和为S
n
，a
1
＝1，a
n
＝
n
＋2(n－1)(n∈N
*
)．
求证：数列{a
n
}为等差数列，并求a
n
与S
n
.