人教版高中数学必修五知识点总结

必修5
第一章 解三角形
一、正弦定理
1.定理
abc
???2R.

sinAsinBsinC
其中a，b，c为 一个三角形的三边，A，B，C为其对角，R为外接圆半径.
变式：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC
二、余弦定理
1.定理
a
2
=b
2
+c
2
-2bc cosA、b
2
=a
2
+c
2
-2ac cosB、c
2
=a
2
+b
2
-2ab cosC
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?c
2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2
变形：
cosA?
、
cosB?
、
cosC?

2bc2ac2ab
2.可解决的问题
①已知三边，解三角形；
②已知两边及其夹角，解三角形；
③已知两边及一边的对角，求第三边.

三、三角形面积公式
111
（1）
S
?
?ah
a
?bh
b
?ch
c
.
222< br>其中h
a
，h
b
，h
c
为a，b，c三边对应的高.
（3）如果一个数列已给出前几项，并给出后面任一项与前面的项之间关系式，这种给出数
列的 方法叫做递推法，其中的关系式称为递推公式.
（4）一个重要公式：对任何数列，总有
?
?
a
1
?S
1
,

?
?
?
a
n
?S
n
?S
n?1
(n?2).
注：数列是特殊的函数，要注意数列与函数问题之间的相互转化.
二、等差数列
（ 1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那
么这个数列就叫做等 差数列.这个常数叫做数列的公差.
（2）递推公式：a
n+1
=a
n
＋d.
（3）通项公式：a
n
=a
1
+(n-1)d.
（4）求和公式：
S
n
?
（5）性质：

n(a
1
?a
n
)
n(n?1)
?na
1
?d.

22

①若m+n=p+q，则a
m
+a
n
=a
p
+a
q
；
②若m+n=2p，则a
m
+a
n
=2a
p
；
③a
n
=a
m
+(n-m)d.
（6）等差中项： ①若m+n=p+q，则a
m
a
n
=a
p
a
q
；
②若m+n=2p，则a
m
a
n
=a
2
p
；
③a
n
=a
m
q
n
-
m
.
（6）等比中项：
a，b的等比中项
G??ab.

a，b，c成等比数列
(a,b,c?0)?b
2
?ac.

注：①a
1
和q叫做等比数列的基本元素，把S
n
和a
n
都用a
1
和q表示往往能使问题简化.
②注意方程思想的应用，在a
1
，q，n，S
n
，a
n
五个数中，知道三个可求剩下的两个.③使用
求和公式时，要注意q≠1的条件.
四、数列求和
主要求和方法有：
（1）公式法：主要用于等差数列与等比数列，这是首先应该考虑的方法.
（2）分组求和法 ：将数列的每一项拆分成几项，然后重新组合成几组，使每一组都能
求和.如数列{n+2n}. （3）并项求和法：将相邻几项合并，使合并后有规律，便于求和.如1
2
－2
2
＋3
2
－4
2
＋…
＋(－1)n－1n
2
.

（4）裂项相消法：将每项分成两项的差，并且正负能抵消. 如求
111
??...?.

1?22?3n(n?1)
（5）错位 相减法：设{a
n
}是等差数列，{b
n
}是等比数列，求S
n=a
1
b
1
+a
2
b
2
+
? ??
+a
n
b
n
时用
错位相消法.做法：将上式两端乘以{ b
n
}的公比，错一位相减，中间n－1项构成等比数列，
可以求和.注意将n=1， 2，3代入检验.


性质8 a>b>0，n∈N，
n?1?
n
a?
n
b.

二、一元二次不等式
1.一元二次不等式的标准形式
ax
2
+bx+c >0(a>0)
ax
2
+bx+c <0(a>0)
ax
2
+bx+c ≥0(a>0)
ax
2
+bx+c ≤0(a>0)
2.一元二次不等式的解集
不等式
ax
2
+bx+c>0
ax
2
+bx+c<0
ax
2
+bx+c≥0
Δ＞0
(-∞ , x
1
)∪(x
2
, +∞)
(x
1
，x
2
)
(-∞ , x
1
]∪[x
2
, +∞)
Δ＝0
{x|x ≠ x
1
}
Δ＜0
R
?

R
?

R

ax
2
+bx+c≤0 [x
1
, x
2
] {x
1
}
?

说明：①表中内容不需死记硬背，可结合二次函数图象灵活掌握.
②表中x
1
，x
2
是方程ax
2
+bx+c＝0的根，且x
1
2
.
③当Δ＞0时，解集有口诀：大于0取两边，小于0取中间.
三、二元一次不等式和线性规划
1.直线划分平面区域
在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C >0(＜0)表示直线Ax+By＋C=0某一
侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线，以表示区域不包括边界．不等式Ax＋By＋C

先画出直线ax+by=0作为参考直线，然后向上或下平移参考直线，使其与可行域有公共点
且到达最上（或最下）的位置，此时z即取得最大或最小值.当b>0时，最上方的为最大值，
最下方的 最小值；当b<0时则相反.
四、基本不等式
1.基本不等式
（1）a
2
+b
2
≥2ab(a，b∈R). （2）
a?b?2ab
(a>0，b>0).
a
2
?b
2
?
a?b
?
变式：（3）
ab?(a,b?R).
（4）< br>ab?
??
(a,b?R).

2
2
??
2
以上各不等式当且a=b时等号成立.
2.用基本不等式求最值