n
).
2 <
/p>
7、常数列:各项相等的数列(即:a
n+1
=a
n
)
.
8、摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.
9
、数列的通项公式:表示数列
?
a
n
?
的第
n
项与
序号
n
之间的关系的公式.
10、数列的递推公式:表示任一项
a
n
与它的前一项
a
n?1
(或前几项)间的关系的公式.
11、如
果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称
为等差数列,这个常数
称为等差数列的公差.符号表示:
a
n?1
?a
n
?d
。注
:看数列是不是
等差数列有以下三种方法:
①
a
n
?a
n?1
?d(n?2,d为常数)
②2
a
n
?a
n?1<
br>?a
n?1
(
n?2
)
③
a
n
?kn?b
(
n,k
为常数
12、由三个
数
a
,
?
,
b
组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,
则
?
称为
a
与
b
的
等差中项.若
b?13、若等差数列
a?c
,则称
b
为
a
与
c<
br>的等差中项.
2
1
?
a
n
?
的首项是a
,公差是
d
,则
a
n
?a
1
??
n?1
?
d
.
;
a
n
?a1
14、通项公式的变形:①
a
n
?a
m
?
?
n?m
?
d
;②
a
1
?a
n
?<
br>?
n?1
?
d
;③
d?
n?1
a
n
?a
m
a
n
?a
1
?1
;⑤
d?
④
n?
n?m
d
.
*
15、若
?
a
n
?
是等差数列,且
m?n?p?q
(
m
、<
br>n
、
p
、
q??
),则
a
m
?a<
br>n
若
?
a
n
?
是等差数列,且
2n?p?q
(
n
、
p
、
q??
),则
2a
n
*
?a
p
?a
q
;
?a
p
?a<
br>q
.
n
?
n?1
?
2
d
.③16
.等差数列的前
n
项和的公式:①
S
n
?
n
?a
1
?a
n
?
2
;②
S
n
?
na
1
?
s
n
?a
1
?a
2
?L
?a
n
17、等差数列的前
n
项和的性质:①若项数为
2
nn??
?
*
?
,则
S
2n
?n
?
a
n
?a
n?1
?
,且
S
奇
a
n
?
S
偶
?S
奇
?nd
,
S
偶<
br>a
n?1
.
②若项数为
2n?1n??
,则
S2n?1
?
?
2n?1
?
a
n
,且
S
奇
?S
偶
?a
n
,
*
??
S奇
n
(其中
?
S
偶
n?1
S
奇
?na
n
,
S
偶
?
?
n?1
?
a
n
).
3
18、如果一个数列从第
2
项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称
为等比数列,这个常数称为等比数列的
公比.符号表示:
会出现值为0的项;②同号位上的值同号)
注:看数列是不是等比数列有以下四种方法:
2
?a
n?1
?a<
br>n?1
(
n?2
,
a
n
a
n?1
a
n?1
?0
)
①
a
n
?a
n?1
q(n?2,q为常数,且?0)
②
a
n
a
n?1
?q
(注:①等比数列中不
a
n
③
a
n
?cq
n
(
c,q
为非零常数).
④正数列{
a
n
}成等比的充要条件是数列{
lo
g
x
a
n
}(
x?1
)成等比数列.
19、在<
br>a
与
b
中间插入一个数
G
,使
a
,则
G
称为
a
与
b
的等比中项.若
G
,
b<
br>成等比数列,
G
2
?ab
,则称
G
为
a与
b
的等比中项.(注:由
G
2
?ab
不能得出
a
,
G
,
b
成等比,
由
a
,
G
,
b
?
G?ab
)
20、若等比数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
,公比是
q
,则a
n
?a
1
q
n?1
.
21、通项公式的变
形:①
a
n
2
?a
m
q
n?m
;②
a
1
?a
n
q
?
?
n?1
?
;
③
q
n?1
?
a
n
;④
a
1
q<
br>n?m
?
a
n
.
a
m
*
22、若
?
a
n
?
是等比数列,且
m?n?p?q
(
m
、
n
、
p
、
q??
),则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
;
若
?<
br>a
n
?
是等比数列,且
2n?p?q
(
n
、
p
、
q??
),则
a
n
*
2
?a
p
?a
q
.
?
na
1
?
q?1
?
?
23、等比数列
?
a
n
?
的前
n
项和的公式:①
S
n
?
?
a
1
?1?q
n
?
a?aq
.②
1n
?
?
q
?1
?
?
1?q
?
1?q
s
n
?a
1
?a
2
?L?a
n
?
s
1
?a
1
(n?1)
a?
24、对任意的数列{
a
n
}的前
n
项和
S
n
与通项
a
n
的关系:<
br>n
?
?
s
n
?s
n?1
(n?2)
[注]: ①
a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d?nd?<
br>?
a
1
?d
?
(
d
可为零也可不为零→为等
差数列充要条件(即常
数列也是等差数列)→若
d
不为0,则是等差数列充分条件).
②等差{
a
n
}前
n
项和
S
n
?
An
2
?Bn?
??
n
2
?
?
a
1
?
?
n
→
?
4
?
d
?
?
2
?
?
d
?
2
?
d
可
以为零也可不为零→为等差
2
的充要条件→若
d
为零,则是等
差数列的充分条件;若
d
不为零,则是等差数列的充分条
件.
③非零常数列既可为等比数列,也可为等差数列.(不是非零,即不可能有等比数列)
..
附:几种常见的数列的思想方法:
1.等差数列的前
n
项和为
S
n
,在
d?0
时,有最大值.
如何确定使
S
n
取最大值时的
n
值,有
两种方法:
一是求使
a
n
?0,a
n?1
?0
,成立的
n<
br>值;二是由
S
n
?
n
的值.
d
2
d
n?(a
1
?)n
利用二次函数的性质求
22
2.数列通
项公式、求和公式与函数对应关系如下:
数列
等差数列
等比数列
数列
等差数列
等比数列
我们用函数的
观点揭开了数列神秘的“面纱”,将数列的通项公式以及前n项和看成是关
于n的函数,为我们解决数列
有关问题提供了非常有益的启示。
3.例题:1、等差数列
分析:因为
中,,则
.
前n项和公式 对应函数
(时为二次函数)
通项公式
对应函数
(时为一次函数)
(指数型函数)
(指数型函数)
是等差数列,所以是关于n的一次函数,
)三点共线, 一次函数图像是一条直线,则(n,
m),(m,n),(m+n,
所以利用每两点形成直线斜率相等,即,得=0(图像如上),这
里利用等差数列通项公式与一次函数的对应关系,并结合图像,直观、简洁。
例题:2、等差数列
中,,前n项和为
5
,若,n为何值时最大?
分析:等差数列前n项和可以看成关于n的二次函数=,
是抛物线=上的离散点,根据题意,,
则因为欲求
即当
最大值,故其对应二
次函数图像开口向下,并且对称轴为
时,最大。
,对任意正整数n,
递增得到:
对一切
有最大值
恒成立,求
,
例题:3递增数列
分析:
即
则只需求出
。
构造
一次函数,由数列
恒成立,所以
对于一切
恒成立,设
,所以
恒成立,
,
的取值范围是:的最大值即可,显然
构造二次函数,看成函数,它的定义域是
为递增函数,单调增区间为,因为是递增数列,即函数
,抛物线对称轴,因为函数f(x)为离散函数
,要函数单调递增,就看动轴与
已知区间的位置。从对应图像上看,对称轴在的左侧也可以(如图),因
为此时B点比A点高。于是,
,得
4.如果数列可以看作是一个等差数列
与一个等比数列的对应项乘积,求此数列前
n
项和可依
111
照等比数列前<
br>n
项和的推倒导方法:错位相减求和.
例如:
1?,3,...(2n?1)
n
,...
24
2
5.两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列,此等差数列的首项就是原两个数列的
第一
个相同项,公差是两个数列公差
d
1
,d
2
的最小公倍数.
6
6. 判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法:(1)定义法
:对于n≥2的任意自然
数,验证
a
n
?a
n?1
(
a
n
)
为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证
a
n?1
2
2a
n?1
?a
n
?a
n?2
(a
n?1
?a
n
a
n?2
)n?N
都成立。
7. 在等差数列{
a
n
}中,有关S
n
的最值问题:(
1)当
a
1
>0,d<0时,满足
?
?
a
m
?0
的项数
?
a
m?1
?0
m使得
s
m
取最大值. (2)当
a
1
<0,d>0时,满足
?
?a
m
?0
的项数m使得
s
m
取最小值。在解
a
?0
?
m?1
含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
附:数列求和的常用方法
1.
公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
2.裂项相消法:适用于
?
?
c
?
?
其中{ a
n
}是各项不为0的等差数列,c为常数;部分无理
aa
?
n
n?1
?
数列、含阶乘的数列等。
3.错位相减法:适用于
?
a<
br>n
b
n
?
其中{
a
n
}是等差数列,?
b
n
?
是各项不为0的等比数列。
4.倒序相加法:
类似于等差数列前n项和公式的推导方法.
5.常用结论
1): 1+2+3+...+n
=
n(n?1)
2
2) 1+3+5+...+(2n-1)
=
n
2
2
?
1
?
3)
1
3
?2
3
???n
3
?
?
n(n?1)
?
?
2
?
4)
1
2
?2<
br>2
?3
2
???n
2
?
1
n(n?1)(2
n?1)
6
;
5)
111
??
n(n?1)nn?1
,
11111111
?(?)
6)
?(?)(p?q)
n(n?2)2nn?2
;
pqq?ppq
7
※附加:重点归纳
等差数列和等比数列(表中
m,n,p,q?N
?
)
类别
项目
等差数列
?
a
n
?
等比数列
?
a
n
?
定义
a
n?1
?a
n
?d
a
n?1
?q
a
n
通项公
式
前n项
和
等差
(比)
中项
a
n
?a<
br>1
?
?
n?1
?
d
a
n
?a
m
?
?
n?m
?
d
S
n<
br>?
n
?
a
1
?a
n
?
n
?
n?1
?
?na
1
?d
22
a
n
?a
1
q
n?1
a
n
?a
m
q
n?m
?
na
1
?
q?1
?
?
Sn
?
?
a
1
?
1?q
n
?
a
?aq
1n
?
?
q?1
?
?
1?q
?1?q
2a
n?1
?a
n
?a
n?2
a?a
m
,
?
m?n
?
d?
n
n?m
m?n?p?q?a
m
?a
n
?a
p
?a
q
m?n?2p?a
m
?a
n
?2a
p
a
n?1
2
?a
n
?a
n?2
q
n?m
公差
(比)
a
n
?
a
m
m?n?p?q?a
m
?a
n
?a
p
?a
q
m?n?2p?a
m
?a
n
?a
p
2
<
br>T
m
,
T
2m
T
3m
,,
L
成等比数列,公
T
m
T
2m
m
2
S
m
,S
2m
?S
m
,S
3m
?S
2m
,L
成等差
性质
数列,公差为
md
(
S
n<
br>是前
n
项和)
2
比为
q
(
T
n
是前
n
项积)
a
m
,a
m?k
,a
m?2k
,
L
仍然是等差数列,
a
m
,a
m?k
,a
m?2k
,
L
仍然是等比数
其公差为
kd
列,其公比为
q
k
?
ka
n
?b
?
是等差数列
d?0,Z
;
?
ba
?
是等比数列(
b?0
)
k
n<
br>a
1
?0
时,
q?1,Z
,
0?q?1,]
;
a
1
?0
时,
q?1,]
,
0?q?1,Z<
br>;
单调性
d?0,]
;
d?0,
常数列
q?1
为常数列;
q?0
为摆动数列
8
2.等差数列的判定方法:(
a,b,d
为常数)
⑴.定义法:若
a
n?1
?a
n
?d
⑵.等差中项法:若
2a
n?1
?a
n
?a
n?2
⑶.通项公式法:若
a
n
?an?b
⑷.前n项和法:
S
n
?an
2
?bn
3. 等比数列的判定方法:(
k
,
q
为非零常数)
?
?
a
?
为等差数列.
n
a
n?1
?q
⑴.定义法:若
a
n
⑵
.等比中项法:若
a
n?1
2
?a
n
?a
n?2<
br>
?
a
n
?
为等比数列.
⑶.通项公式法:若
a
n
?kq
n
⑷.前n项和法:
S
n
?k?kq
n
?
第三章 不等式
一、不等式的主要性质:
(1)对称性:
a?b?b?a
(2)传递性:
a?b,b?c?a?c
(3)加法法则:
a?b?a?c?b?c
;
(4)同向不等式加法法则:
a?b,c?d?a?c?b?d
(5)乘
法法则:
a?b,c?0?ac?bc
;
a?b,c?0?ac?bc
(6)同向不等式乘法法则:
a?b?0,c?d?0?ac?bd
(7)
乘方法则:
a?b?0?a
n
?b
n
(n?N*且n?1)
(8)开方法则:
a?b?0?
n
a?
n
b(n?N*且n
?1)
(9)倒数法则:
a?b,ab?0?
11
?
<
br>ab
二、一元二次不等式
ax
2
?bx?c?0
和
a
x
2
?bx?c?0(a?0)
及其解法
??0
??0
??0
9
y?ax
2
?bx?c
?a(x?x
1
)(
x?x
2
)
二次函数
y?ax
2
?bx?c
?a(x?x
1
)(x?x
2
)
y?ax
2
?b
x?c
y?ax
2
?bx?c
(
a?0
)的图象
有两相等实根
一元二次方程
有两相异实根
ax
2
?bx?c?0<
br>?
a?0
?
的根
ax
2
?bx?c?0
(a
?0)的解集
ax
2
?bx?c?0
(a?0)的解集
x
1
,x
2
(x
1
?x
2
)
b
x
1
?x
2
??
2a
无实根
?
xx?x或x?x
?
12
?
b
?
?
xx??
?
2a
??
?
R
?
xx
1
?x?x
2
?
?
1.一元二次不等式先化标准形式(
a
化正)2.常用因
式分解法、求根公式法求解一
元二次不等式。
口诀:在二次项系数为正的前提下:“大于取两边,小于取中间”
三、均值不等式
1、设
a
、
b
是两个正数,则
几何平均数.
2、基本不等式(也称均值不等式):
若
a?0
均值不等式:如果a,b是正数,那么
a?b
称为正数
a
、
b
的算术平均数,
ab
称为正数
a
、
b
的
2
a?b?2ab即
a?b
?ab(当且仅当a?b时取?号).
2
注意:使用均值不等式的条件:一正、二定、三相等
a
2?b
2
a?b2
??ab?
3、平均不等式:(
a、b
为正数),即(当
a
=
b
时取等)
11
22
?
ab
a
2
?b
2
4、常用的基本不等式:①
a?
b?2ab
?
a,b?R
?
;②
ab?
?
a,b?
R
?
;
2
22
a
2
?b
2
?<
br>a?b
??
a?b
?
③
ab?
?
?
??
?
a?0,b?0
?
;④
?
?
a,b?R?
.
2
?
2
??
2
?
10 22
5、极值定理:设
x
、
y
都为正数,则有:
s
2
⑴若
x?y?s
(和为定值),则当
x?y
时
,积
xy
取得最大值.⑵若
xy?p
(积为定
4
值),则当
x?y
时,和
x?y
取得最小值
2p
.
四、含有绝对值的不等式
1.绝对值的几何意义:
|x|
是指数轴上点x
到原点的距离;
|x
1
?x
2
|
是指数轴上
x
1
,x
2
两点
?
a
a?0
?
间的距离 ; 代数意义:
|a|?
?
0
a?0
?
?a
a?0
?
2、
如果a?0,则不等式:
|x|?a
|x|?a
???x?a或x??a
;
|x|?a
????a?x?a
;
|x|?a
???x?a或x??a
????a?x?a
4、解含有绝对值不等式的主要方法:解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号
五、其他常见不等式形式总结:
①分式不等式的解法:先移项通分标准化,则
?<
br>f(x)g(x)?0
f(x)
f(x)
?0?
?
?0?f(
x)g(x)?0
;
g(x)?0
g(x)
g(x)
?
②指数不等式:转化为代数不等式
a
f(x)
?a
g(x)
(a?1)?f(x)?g(x)
;
a
f(x)
?a
g(x)
(0?a?1)?f(x)?g(x)<
br>
③对数不等式:转化为代数不等式
?
f(x)?0
?
lo
g
a
f(x)?log
a
g(x)(a?1)?
?
g(x)
?0
?
f(x)?g(x)
?
?
f(x)?0
?
log
a
f(x)?log
a
g(x)(0?a?1)?
?
g(x)?0
?
f(x)?g(x)
?
④高次不等式:数轴穿线法口诀:
“从右向左,自上而下;奇穿偶不穿,遇偶转个弯;
小于取下边,大于取上边”
(x
2
?3x?2)(x?4)
2
例题:不等式
?0
的解为( )
x?3
A.-1<
x
≤1或
x
≥2
C.
x
=4或-3<
x
≤1或
x
≥2
六、不等式证明的常用方法:作差法、作商法
11
B.
x
<-3或1≤
x
≤2
D.
x
=4或
x
<-3或1≤
x
≤2
七、线性规划
1、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是
1
的不等式.
2、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组.
3、二元一次不等式(组)
的解集:满足二元一次不等式组的
x
和
y
的取值构成有序数对
?x,y
?
,所有这样的有序数对
?
x,y
?
构成的集合
.
4、在平面直角坐标系中,已知直线
?x??y?C?0
,坐标平面内的点
?
?
x
0
,y
0
?
.
①若
?
?0
,
?x
0
??y
0
?C?0
,则点
?
?
x
0
,y
0
?
在直线
?x??y?C?
0
的上方.
②若
??0
,
?x
0
??y
0
?C?0
,则点
?
?
x
0
,y
0
?
在直线
?x??y?C?0
的下方.
5、在平面直角坐标系中,已知直线
?x??y?C?0
.
(一)由B确定:
?x??y?C?0
表①若
??0
,则
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
上方的区域;
示直线
?x??y?C?0
下方的区域.
?x??y?C?0
表②若
??0,则
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
下方的区域;示直线
?x??y?C?0
上方的区域.
(二)由A的符号来确定:
先把x的系数A化为正后,看不等号方向:
①若是“>”号,则
?x??y?C?0
所表示的区域为直线l:
?x??y?C?0
的右边部分。
②若是“<”号,则
?x??y?C?0
所表示的区域为直线l:
?x??y?C?0
的左边部分。
(三)确定不等式组所表示区域的步骤:
①画线:画出不等式所对应的方程所表示的直线
②定测:由上面(一)(二)来确定
③求交:取出满足各个不等式所表示的区域的公共部分。
?
2x?y?5?0
?
例题:画出不等式组
?
y?3x?5
所表示的平面区域。 解:略 <
br>?
2y?x?5?0
?
6、线性约束条件:由
x
,
y
的不等式(或方程)组成的不等式组,是
x
,
y
的线性约束条
12
件.
目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量
x
,
y
的解析式.
线性目标函数:目标函数为
x
,
y
的一次解析式.
线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题.
可行解:满足线性约束条件的解
?
x,y
?
.
可行域:所有可行解组成的集合.
最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解.
附加:1二元一次不等式(组)表示的平面区域
直线
l:Ax?By?C?0
(或
?0
)
:直线定界,特殊点定域。
注意:
Ax?By?C?0(或?0)
不包括边界;<
br>Ax?By?C?0(?0)
包括边界
2. 线性规划
我们把求线性目标
函数在线性目标条件下的最值问题称为线性规划问题。解决这类问
题的基本步骤是:
注意:1. 线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得;
2.
线性目标函数的最大值、最小值也可在可行域的边界上取得,即满足条件的最优解有无
数个。
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