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高中数学必修五 第一章教案

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 19:59
tags:高中数学必修五

高中数学秒杀型公式-高中数学公式大全全国一卷


高中数学必修五 第一章教案
1.1.1 正弦定理
1.1.2 余弦定理
1.角度问题
1.三角形中的几何计算
1.正弦定理和余弦定理-章末归纳提升
1.2应用举例距离和高度问题


1.1.1 正弦定理
高一年级 数学备课组(总第 课时) 主备人: 时间: 年 月 日


课 题







1.1正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理
1.知识与技能
(1)引导学生发现正弦定理的内容,探索证明正弦定理的方法;
(2)简单运用正弦定理解三角形、初步解决某些与测量和几何计算有关的实际问题.
2.过程与方法
通过对定理的探究,培养学生发现数学规律的思维方法与能力;通过对定理的 证明和应用,
培养学生独立解决问题的能力和体会分类讨论和数形结合的思想方法.
3.情感、态度与价值观
(1)通过对三角形边角关系的探究学习,经历数学探究活动的过程 ,体会由特殊到一般再
由一般到特殊的认识事物的规律,培养探索精神和创新意识;
(2)通 过本节学习和运用实践,体会数学的科学价值、应用价值,学习用数学的思维方式
解决问题、认识世界, 进而领会数学的价值,不断提高自身的文化修养.
教学重点 通过对任意三角形边长和角度关系的探索 ,发现、证明正弦定理并运用正弦定理解决一些简
单的三角形度量问题.
教学难点 正弦定理的发现和证明过程以及已知两边以及其中一边的对角解三角形时解的个数的判断.
教学方法 讲练结合
教学过程:步骤、内容、教学活动 二次备课
第 课时
高中数学必修五 第一章教案 第(1)页


【问题导思】 正弦定理

1.如图在R t△
ABC
中,
C
=90°,∠
A
、∠
B
、∠
C
所对的边分别为
a

b

c
,∠< br>A


B
与∠
C
的正弦值有怎样的关系?

【提示】 ∵sin
A
=,sin
B
=,
∴==
c
.
sin
A
sin
B
a
c
b
c

ab
又∵sin
C
=sin 90°=1,∴==.
sin
A
sin
B
sin
C
2.对于锐角三角形中,问题1中的关系是否成立?
【提示】 成立.
3.钝角三角形中呢?
【提示】 成立.
1.正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.即:
=.
sin
A
sin
B
sin
C
2.三角形中的元素与解三角形
(1)三角形的元素
把三角形的三个角
A

B

C
和它们的对边
a

b

c
叫做三角形的元素.
(2)解三角形
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.(对应学生用书第3页)知
识运用 已知两角及一边解三角形
1
例1在△
ABC
中,
A
=60°,sin
B
=,
a
=3,求三角形中其他边与角的大小.
2
1
【思路探究】 (1)由sin
B
=能解出∠
B
的大小吗?∠
B
唯一吗?
2
(2)能用正弦定理求出边
b
吗?
(3)怎样求其他边与角的大小?
1
【自主解答】 ∵sin
B
=,
2

B
=30°或150°,
高中数学必修五 第一章教案 第(2)页
abc
a

bc



B
=30°时,由
A
=60°得,
C
=90°;

B
=150°时,不合题意,舍去.
由正弦定理可得:==.
sin
B
sin
C
sin
A
sin
B
sin 30°

b
=·
a
=×3=3,
sin
A
sin 60°
bca
c


sin
C
sin 90°
·
a
=×3=23.
sin
A
sin 60°

1
1.解答本题时首先应把已知条件sin < br>B
=进行转化,把问题化归为已知两角及一
2
边解三角形问题,要注意当
B
=150°时不合题意.
2.解决已知两角及一边类型的解题方法是:
(1) 若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一边,再由三角形内角和定理
求出第三个角,最后由正弦 定理求第三边.
(2)若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求第三个角,再由正弦< br>定理求另外两边.

在△
ABC
中,
c
=3,A
=75°,
B
=60°,则
b
等于( )
A.
323
B.
2
22
36
C. D.
22
【解析】 因为
A
=75°,
B
=60°,所以
C
=180°-75°-60°=45 °.因为
c
bcc
sin
B
=3,根据正弦定理得=,所以
b
==
sin
B
sin
C
sin
C
【答案】 A

已知两边及一边的对角解三角形
π
例2 在△
ABC
中,若
c
=6,
C
=,
a
=2.求
A

B
b
.
3

2
2
3
2
32
=.
2
【思路探究】 (1)条件中已知边
c
和其对角
C
,又知 边
a
,能否用正弦定理求得
A
高中数学必修五 第一章教案 第(3)页


值?
(2)求得
A
值后,怎样求其他元素?
【自主解答】 由=,得sin
A

sin
A
sin
C
π3

A
=或
A
=π.
44
π
又∵
c
>
a
,∴
C
>
A
,∴只 能取
A
=,
4

6·sin
12
ππ5π
c
sin
B

B
=π--=,
b
==
3412sin
C
π
sin
3
=3+1.


1.解题时由已知条件用正弦定理直接得到的是sin
A
的值,由sin
A

A
可能有
两种情况,要根据题意进行取舍.
2.在△
ABC
中,已知
a

b
和角
A
时,解的情 况如下:
aca
sin
C
2
=.
c
2


A
为锐角


A
为钝角
或直角

图形



关系式


a

b
sin
A





无解


a

b

b
sin
A
<
a
<
b
解的个数



a
<
b
sin
A
两解

a
>
b
无解

a

b

一解

一解

(2013·青岛高二检测)在△
ABC中,已知
b
=30,
c
=15,
C
=26°,则此三角 形的
解的情况是( )
高中数学必修五 第一章教案 第(4)页


A.一个解 B.两个解
C.无解 D.无法确定
【解析】 ∵
b
sin
C
=30×sin 26°<30×sin 30°=15=
c


b
sin
C
<
c
<
b
,故此三角形有两解.
【答案】 B

判断三角形的形状
例3在△
ABC
中,若sin
A
=2sin
B
cos
C
,且sin
A
=sin
B
+sin
C
,试判断△
ABC
的形状.
【思路探究】 (1)正弦定理的变形公式有哪些?能否用这些变形公式把已知条件
sinA
=sin
B
+sin
C
转化为三边的关系?
(2)对于条件sin
A
=2sin
B
cos
C
,我们能否利用三角形中三内角的关系将其化为
某一个角的三角函数式?
【自主解答】 法一 在△
ABC
中,根据正弦定理:
为△
ABC
外接圆半径).
∵sin
A
=sin
B
+sin
C

∴()=()+(),即
a

b

c
.
2
R
2
R
2
R

A
=90°,∴
B

C
=90°.
由sin
A
=2sin
B
cos
C

得sin 90°=2sin
B
cos(90°-
B
),
12
2
∴sin
B
=.∵
B
是锐角,∴sin
B
=.
22

B
=45°,
C
=45°.
∴△
ABC
是等腰直角三角形.
法二 在△
ABC
中,根据正弦定理:sin
A
=,sin
B
=,sin
C
=(
R
为△
ABC
2< br>R
2
R
2
R
外接圆半径).
∵sin
A
=sin
B
+sin
C


a

b

c
,∴△
ABC
是直角三角形且
A
=90°.

A
=180°-(
B

C
),sin
A
=2sin
B
cos
C

222
222
222
222
222
===2
R
(
R
sin
A
sin
B
sin
C
abc
a2
b
2
c
2222
abc
高中数学必修五 第一章教案 第(5)页


∴sin(
B

C
)=2sin
B
cos
C
.
∴sin
B
cos
C
-cos
B
sin
C
=0,
即sin (
B

C
)=0,∴
B

C
=0,即
B

C
.
∴△
ABC
是等腰直角三角形.


1.判断三角形的形状,可以从考察三边的关系入手,也可以从三个内角的关系入
手 ,从条件出发,利用正弦定理进行代换、转化,呈现出边与边的关系或求出角与角
的关系或大小,从而作 出准确判断.
2.正弦定理的变形公式:
(1)
a
=2
R
sin
A

b
=2
R
sin
B

c
=2
R
sin
C
.
(2)sin
A
=,sin
B
=,sin
C
=.
2
R
2
R
2
R
实际题目 中,我们是通过以上两个变形公式完成边化角和角化边的.

(2013·淄博高二期中)已 知
a

b

c
分别是△
ABC
三个内角< br>A

B

C
的对边,且
abc
a
c os
A

b
cos
B
,则△
ABC
一定是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形
直角三角形
【解析】 由正弦定理,已知条件可以变形为sin
A
cos
A
=sin
B
cos
B
,所以sin
π
2
A
=sin 2
B
,故2
A
=2B
或2
A
+2
B
=π,即
A

B
A

B
=,△
ABC
为等腰三角形或
2直角三角形.

易错专练 解三角形时忽视大边对大角致误
在△
ABC
中,已知
A
=45°,
a
=2,b
=2,求
B
.
【错解】 ∵=,
sin
A
sin
B
∴sin
B

D.等腰三角形或
ab
b
sin
A
2sin 45°1
==,
a
22

B
=30°或150°.
高中数学必修五 第一章教案 第(6)页


【错因分析】 本题解答忽略了题目中的隐含条件
a
>
b
,从而
A
>
B
.
【防范措施】 已知三角形的两边和其中一边的对角,求另一边的对角时,要分
清是大边对的角还是小边对的角,从而确 定解的情况.
【正解】 ∵=,
sin
A
sin
B

∴sin
B

ab
b
sin
A
2sin 45°1
==.
a
22

a
>
b
,∴
A
>
B


B
为锐角.故
B
=30°.
巩固练习
1.在△
ABC
中,
a
=15,
b
=10,
A
=60°,则sin
B
=( )
A.
3623
B. C. D.
3322
【解析】 由正弦定理=,知sin
B

sin
A
sin
B
【答案】 A
abb
sin
A

a
10×
15
32

3
.
3
2.在△
ABC
中,
a
=5,
b
=3,则sin
A
∶sin
B
的值是( )
53
A. B.
35
35
C. D.
77
ab
5
【解析】 ∵=,∴sin
A
∶sin
B

a

b
=.
sin
A
sin
B
3
【答案】 A
3.在△
ABC
中,若3
a
=2
b
sin
A
,则
B
=________.
【解析】 由正弦定理得3sin
A
=2sin
B
·sin
A

∵sin
A
≠0,∴sin
B

3
.
2
又0<
B
<180°,∴
B
=60°或120°.
【答案】 60°或120°
4.在△
ABC
中,已知
a
=8,
B
=60°,
C
=75°.求
b
.
【解】
A
=180°-60°-75°=45°,
高中数学必修五 第一章教案 第(7)页


由正弦定理=,
sin
A
sin
B
ab

b

a
sin
B
8·sin 60°
==46.
sin
A
sin 45°
【课堂小结】
1.正弦定理主要解决了两类问题:即“已知两边和其中一边的对角”、 “已知两
角和任一边”解三角形.对于“已知两边及其中一边的对角”解三角形时,由于三角
形 的形状不确定,会出现两解、一解和无解的情况,需要特别注意.
2.在解三角形时,除了恰当地运用 正弦定理外,还要注意与三角的其他知识相结
合,如三角形内角和定理,大边对大角,三角恒等变换公式 等等.



布置作业

教材第4页 练习 1、2题














高中数学必修五 第一章教案 第(8)页
































高中数学必修五 第一章教案 第(9)页


1.1.2 余弦定理
高一年级 数学备课组(总第 课时) 主备人: 时间: 年 月 日

课 题




1.1.2 余弦定理 第 课时
1.知识与技能:理解并掌握余弦定理的内容,会用向量法证明余弦定理,能用余弦定理解决
一 些简单的三角度量问题.
2.过程与方法:通过实例,体会余弦定理的内容,经历并体验使用余弦定理 求解三角形的过
程与方法,发展用数学工具解答现实生活问题的能力.
3.情感、态度与价值 观:探索利用直观图形理解抽象概念,体会“数形结合”的思想.通过
余弦定理的应用,感受余弦定理在 解决现实生活问题中的意义.
教学重点 余弦定理的发现过程及定理的应用
教学难点 用向量的数量积推导余弦定理的思路方法及余弦定理的灵活应用
教学方法 讲练结合
教学过程:步骤、内容、教学活动 二次备课
高中数学必修五 第一章教案 第(10)页


余弦定理
【问题导思】
在△
ABC
中,角A

B

C
所对的边分别为
a

b< br>,
c
.
1.如果
C
=90°,如何求
AB
边的长?
【提示】 利 用勾股定理求
AB
的长,即
c

a

b
.
→→→→
2.设
CB

a

CA

b

AB

c
.怎样用向量的线性运算表示
AB

→→→
【提示】
AB

CB

CA

a

b
.
3.在问题2的前提下,如何用向量的数量积表示
AB
边的长?
【提示】 |
c
|=
c·c
=(
a

b
)·(
a

b
)=|
a
|-2
a·b
+|
b< br>|=|
a
|+|
b
|-
2|
a
||
b
|cos
C


c

a

b
-2
ab
cos
C
.
4.你能用同样的方法表示
BC

AC
的长吗?请你写出结论.
【提示】 能.结论:
a

b

c
-2
bc
cos
A

b

a

c
-2
ac
cos
B
.
文字语言: 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们
的夹角的余弦的积的两倍.
符号语言:
a

b

c
-2
bc
cos_
A

b

a

c
-2
ac
cos_
B

c

a

b
- 2
ab
cos_
C

余弦定理的推论
【问题导思】 < br>如果已知△
ABC
的三边长
a

b

c,能否分别求出三个内角
A

B

C
的值?
【提示】 能.用余弦定理变形可得公式.
222222222
222222
222
22222
222

b
2

c
2

a
2
a
2

c
2

b
2
a
2

b
2

c
2
cos
A
=, cos
B
=, cos
C
=.
2
bc
2
ac
2
ab
已知两边一角解三角形
在三角形
ABC
中,根据下列条件解三角形,
(1)
a
= 2,
b
=22,
C
=15°;(2)
a
=3,
b< br>=2,
B
=45°.
【思路探究】 (1)中已知角
C
是已 知边
a

b
的夹角,可以直接用余弦定理求边
c
吗?其他元 素如何求?
(2)中已知角
B
是已知边
b
的对角,可以用正弦定理 求解吗?解的情况唯一
吗?用余弦定理行吗?
高中数学必修五 第一章教案 第(11)页


【自主解答】 (1)法一 cos 15°=cos(45°-30°)=
s in(45°-30°)=
2
6+2
,sin 15°=
4
6-2
.
4
22
由余弦定理,得
c< br>=
a

b
-2
ab
cos
C
=4+8-22×(6+2)=8-43,

c
=6-2.又< br>b
>
a
,∴
B
>
A
,∴角
A
为锐角.
由正弦定理,得sin
A
=sin
C

a
c
×
6-2
26-21
=. 42

A
=30°,∴
B
=180°-
A
-< br>C
=180°-30°-15°=135°.
法二 cos 15°=cos(45°-30°)=
222
6+2

4
由余弦定 理,得
c

a

b
-2
ab
cos
C
=4+8-22×(6+2)=8-43,
b
2

c< br>2

a
2
3

c
=6-2.∴cos
A
==.
2
bc
2
又0°<
A
<180 °,∴
A
=30°,∴
B
=180°-
A

C=180°-30°-15°=135°.
(2)法一 由余弦定理知
b

a

c
-2
ac
cos
B
,∴2=3+
c
-23·

c
-6
c< br>+1=0,解得
c

2
2222
2
c

2
6+26-2

c
=.
22
6+2
2
2+??-3
2
6+2
b
2

c
2

a
2
1

c
=时,由余弦定理得cos
A
===.
22
bc
2
6+2
2×2×
2
∵0°<
A
<180°,∴
A
=60°,∴
C
= 75°.当
c

6-2
时,
2
b
2
+< br>c
2

a
2
由余弦定理得cos
A
==< br>2
bc

A
=120°,
C
=15°.
法二 由正弦定理知sin
A

2+?
1
=-.
2
6-2
2×2×
2
6-2
2
?-3
2
a
sin
B
3sin 45°3
==.
b
2
2

a
=3>2=
b
,∴
A
有两解.∴
A< br>=60°或120°.

A
=60°时,
C
=75°, 这时
c

a
sin
C

sin
A

6+2
4
3
2

6+2
.
2
高中数学必修五 第一章教案 第(12)页



A=120°时,
C
=15°,这时
c

a
sin
C

sin
A

6-2
4
3
2

6-2
.
2


1.本题的两小题均为已知两边及一角解三角形.但(1)中角为夹角 ;(2)中角
为已知边的对角,故解法不同,解题时应注意体会解法.
2.已知两边及其中一 边的对角解三角形的方法:(1)先由正弦定理求出另一
条边所对的角,用三角形的内角和定理求出第三 角,再用正弦定理求出第三边.要
注意判断解的情况.(2)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立 方程,运用解
方程的方法求出此边长.这样可免去取舍解的麻烦.

若把本例(2) 条件改为“
b
=3,
c
=33,
B
=30°”,试解此三角 形.
【解】 法一 由余弦定理
b

a

c
-2
ac
cos
B

得3=
a
+(33)-2
a
×33×cos 30°,

a
-9
a
+18=0,得
a
=3或6.

a
=3时,
A
=30°,∴
C
=120°.
1

2
a
sin
B

a
=6时,由正弦定理sin
A
===1.
b
3
∵0<
A
<180°,∴
A
=90°,
C< br>=60°.
133
法二 由
b
<
c

B< br>=30°,
b
>
c
sin 30°=33×=知本题有两解.
22
1
33×
2
c
sin
B
3
由正弦定理sin
C
===,∴
C
=60°或120°.
b
32

C
=60°时,
A
=90°,由勾股定理
a

b< br>+
c
=3+?33?=6,

C
=120°时,
A
=30°,△
ABC
为等腰三角形,则
a
=3.

a
=3或6.
已知三边解三角形
在△
ABC
中,
a

b

c
=3∶5∶7,求其最大内角.
【思路探究】 (1)由
a

b

c
=3∶5∶7,如何设出三边的长度?
2222
2
222
222
高中数学必修五 第一章教案 第(13)页


(2)最大内角应该是哪条边所对的角?能否用余弦定理求解?
【自主解答】 由于
a

b

c
=3∶5∶7,不 妨设
a
=3
k

b
=5
k

c< br>=7
k
(
k
>0).因

c
边是最大边,其 所对角
C
为最大内角.
由余弦定理推论得:
a
2
b
2

c
2
9
k
2
+25
k
2
-49
k
2
1
cos
C
===-,
2
ab
2·3
k
·5
k
2

C< br>=120°,
即最大内角为120°.


1.本题已知的是三边的关系,设出三边的大小是解题的关键.
2.已知三边解三角形的方法 :先用余弦定理求出一个角,再用正弦定理或余
弦定理求出另一角,最后用三角形的内角和定理求第三角 .

(2013·洛阳高二检测)边长为5,7,8的三角形中,最大角与最小角之和为
( )
A.90° B.120° C.135° D.150°
【解析】 设边长为5、7、8的对角分别为
A

B

C
.
5+8-71

A
<
B
<
C
.由题意cos
B
==.
2×5×82
1
∴cos(
A

C
)=-cos
B
=-,∴
A

C
=120°.
2
【答案】 B
判断三角形的形状
在△
ABC
中,(
a

b

c
)(
b

c

a
)=3
bc
,且sin
A
=2sin
B
cos
C

试判断△
ABC
的形状.
【思路探究】 可以先利用三边之间的数量关系式,应用余弦定理求
A
,再
应 用三角公式求出另外两角,进而判断△
ABC
的形状.
【自主解答】 因为(
a

b

c
)(
b

c
a
)=3
bc
,所以
a

b

c
bc

1
222
由余弦定理有
a

b

c
-2
bc
cos
A
,所以cos
A
=,即
A
=60°.
2
又因为sin
A
=sin(
B

C
)=sin
B
cos
C
+cos
B
sin
C
,且sin
A
=2sin
B
cos
222
222
高中数学必修五 第一章教案 第(14)页


C

所以sin
B
cos
C
=cos
B
sin
C
,即sin(
B

C
)=0,所以
B

C

又因为
A
=60°,所以
B

C
=180°-
A
=120° ,即
B

C
=60°,
故△
ABC
为等边三角形.


1.利用三角形的边角关 系判断三角形的形状时,需要从“统一”入手,即使
用转化思想解决问题.一般有两条思考路线:①化边 为角,再进行三角恒等变换,
求出三角之间的数量关系.②化角为边,再进行代数恒等变换,求出三边之 间的
数量关系.
2.判断三角形的形状时,经常用到以下结论:
①△
AB C
为直角三角形?
a

b

c

c

a

b

b

a

c
.
②△
ABC
为锐角三角形?
a

b
>
c

b

c
>
a

c

a
>
b
.
③△
ABC
为钝角三角形?
a

b
<
c

b

c
<
a

c

a
<
b
.
π
④若sin 2
A
=sin 2
B
,则
A

B

A

B
=.
2

在△
ABC
中,若
a
cos
A

b
cos
B

c
cos
C
.试判断△
ABC
的形状.
【解】 由余弦定理可得
222222222
222222222
222222222
b
2

c
2

a
2
a
2

c
2

b
2
a
2

b
2

c
2
a
·+
b
·=
c
·,
2
bc
2
ac
2
ab
等式两边同乘以2
abc
,得 a
2
(
b
2

c
2

a2
)+
b
2
(
a
2

c
2< br>-
b
2
)=
c
2
(
a
2

b
2

c
2
),
整理化简得
a

b
-2
ab

c

∴(
a

b
)=
c
.
因此有
a

b

c

b

a

c
,即
a

b

c

b

a

c
,故△
ABC
是以
A
(或
B
)
为直角的直角三角形.
正余弦定理的综合应用
(12分)△
ABC
的三个内角
A

B

C
所对的边分别为
a

b

c

a
sin
A
sin
222222222222
2224
44224
B

bcos
2
A
=2
a
.
高中数学必修五 第一章教案 第(15)页


(1)求;(2)若
c

b
+3a
,求
B
.
【思路点拨】 (1)由已知条件用正弦定理替换变形,找到
a

b
的关系.
(2)用余弦定理求cos
B
的值进而求
B
.
【规范解答】 (1)由正弦定理,得
a
sin
B

b
sin
A

所以
b
s in
A

b
cos
A
=2
a
,所以=2. 6分
?1+3?
a
222
(2)由余弦定理及
c

b
+3
a
,得cos
B
=.8分
2
c
由(1)知
b
=2
a
,故
c
=(2+3)
a
12
2
所以cos
B
=.10分又cos
B
>0,故cos
B
=,
22

B
=45°.12分

在三角形中,正、余弦定 理可以实现边角转化,通过正、余弦定理就搭建起
了边和角关系的桥梁,结合三角知识,既可以求边也可 以求角.
巩固练习:
3
1.三角形的两边
AB

AC< br>的长分别为5和3,它们的夹角的余弦值为-,则
5
三角形的第三边长为( )
A.52
C.16
B.213
D.4
222 2
22
b
a
222
b
a
3
222
【解析】 由条件可知cos
A
=-,则
BC

AB
+< br>AC
-2
AB
·
AC
·cos
A

5
3
22
=5+3-2×5×3×(-)=52,∴
BC
=213 .
5
【答案】 B
2.(2013·青岛高二期中)在△
ABC
中,若
a
=10,
b
=24,
c
=26,则最大角
的余弦值是( )
A.
1252
B. C.0 D.
13133
【解析】 ∵
c

b

a
,∴
c
所对的角
C
为最大角.由余弦定理得cos
C

a
2

b
2

c
2
=0. 【答案】 C
2
ab
3.在△
ABC
中,若
a

c

b

ab
,则cos
C
=________.
222
高中数学必修五 第一章教案 第(16)页


a
2

b
2

c< br>2
ab
11
【解析】 由余弦定理得:cos
C
===. 【答案】
2
ab
2
ab
22
4.在△
ABC< br>中,sin
A
∶sin
B
∶sin
C
=3∶2∶4,求cos
C
的值.
【解】 ∵sin
A
∶sin
B
∶sin
C
=3∶2∶4,
由正弦定理,知
a

b

c
=3∶2∶4.
a
=3
k

b
=2
k

c
=4
k
(
k
>0),
9
k
+4
k
-16
k
1
由余弦定理得:cos
C
==-.
2·3
k
·2
k
4
课堂小结:
1.余弦定理是三角形边角之间关系的共同规律,勾股定理是余弦定理的特例.
2.用余弦定理可以解决两种解三角形的题型
(1)已知三边解三角形.(2)已知两边及一角解三角形.
3.已知两边及其中一边所对角 用余弦定理求解时可能有两个解,注意用边与
角之间的关系特点进行取舍.

布置作业:










222







高中数学必修五 第一章教案 第(17)页


1角度问题
高一年级 数学备课组(总第 课时) 主备人: 时间: 年 月 日

课 题




角度问题
1.知识与技能
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.
2.过程与方法
通过综合训练强化学生的相应能力,让学生有效、积极、主动地参与到探究问 题的过程
中来,逐步让学生自主发现规律,举一反三.
3.情感、态度与价值观
培 养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力,并在教学过程中激发学生的
探索精神.

教学重点
能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系.

教学难点 灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题.

教学方法 讲练结合

教学过程:步骤、内容、教学活动

二次备课
第 课时
高中数学必修五 第一章教案 第(18)页


方位角与方向角
【问题导思】
课上,老师让同学 们画148°的方位角,有二位同学提出疑问,甲说:老师的
说法不对,应具体说出148°角是哪个方 向偏哪个方向的角度,如南偏东148°.
乙说:方位角应该小于90°,不应该为148°.你认为老 师说法正确吗?二位同学
产生疑问的原因是什么?
【提示】 老师说法是正确的.二位同学产生疑问的原因是混淆了方位角与
方向角的概念.


图1-2-17
1.方位角:从指北方向顺时针方向转到目标方向线所成的水平角.如点B
的方位
角为α°(如图1-2-17). 方位角的取值范围:0°~360°.
2.方向角:从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水 平角,如南偏西60°,
指以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°.
俯角、仰角与坡角
(1)仰角和俯角是指与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线与目标视线 的
夹角,目标视线在水平视线上方时叫做仰角,目标视线在水平视线下方时叫做俯
角.如图1- 2-18,仰角为∠1,俯角为∠2.
图1-2-18
(2)坡角是指斜坡所在平面与水平 面的夹角.坡度(坡比)是指坡面的垂直高度
和水平宽度的比.

确定航向的角度问题
一艘海轮从
A
出发,沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile后到达
海岛< br>B
,然后从
B
出发,沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile后达到 海岛
C
.如
果下次航行直接从
A
出发到达
C
,此船 应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距
离?(角度精确到0.1°,距离精确到0.01 n mile)
高中数学必修五 第一章教案 第(19)页



图1-2-19
【思路探究】 (1)如图
AB

BC
已 知,只要求出它们的夹角
ABC
就可以用余
弦定理求出
AC
,∠ABC
怎样求?
(2)∠
CAB
怎样求?若求出∠
CAB
,航向该怎样表示?
【自主解答】 在△
ABC
中,∠
ABC
=180°-75°+32 °=137°,根据余弦
定理,
AC

AB
2

BC
2
-2
AB
×
BC
×cos ∠
ABC

=67.5+54.0-2×67.5×54.0×cos 137°
≈113.15.
由正弦定理,得
22
BC
sin ∠
CAB
sin ∠
ABC

AC
, sin ∠
CAB

BC
sin ∠
ABC

AC

54.0×sin 137°
≈0.3255,所以∠
CAB
=19.0°,
113.15
75°-∠
CAB
=56.0°.
答:此船应该沿北偏东56.0°的方向航行,需要航行113.15 n mile.


1.本题中由于
A

C
均为固定点,故所求航向是确定的 ,只要解出∠
CAB
的大
小,可用方向角表示出来.
2.在解三角形问题中 ,求某些角的度数时,最好用余弦定理求角.因为余弦
函数在(0,π)上是单调递减的,而正弦函数在 (0,π)上不是一一对应,一个正
π
弦值可以对应两个角.但角在(0,]上时,用正、余弦 定理皆可.
2

如图1-2-20所示,从
A

B
,方位角是50°,距离是470 m,从
B

C

方位角是80°,距离是860 m,从
C

D
,方位角是150°,距离是640 m,试计
算从
A

D
的方位角和距离.

图1-2-20
高中数学必修五 第一章教案 第(20)页


【解】 连接
AC
,在△
ABC
中,

ABC
=50°+(180°-80°)=150°,
由余弦定理,得
AC

AB
2

BC
2
-2
AB
·
BC
cos 150°≈1 289 m,
由正弦定理,得
sin ∠
BAC

BC
sin ∠
ABC
860sin 150°
≈≈0.333 6,
AC
1 289
∴∠
BAC
≈19.5°,
∴∠
ACB
≈10.5°.
在△
ACD
中,∠
A CD
≈80°-10.5°+30°=99.5°.
由余弦定理,得
AD

AC

CD
-2
AC
·
CD
cos ∠
ACD
≈1 531 m.
22
AC
2

AD
2

CD
2
∴cos ∠
CAD
=≈0.911 1,
2
AC
·
AD
∴∠
CAD
≈24.3°.
∴从
A

D
的方位角为50°+19.5°+24.3°=93.8 °.
即从
A

D
的方位角约为93.8°,距离约为1 531 m.

不确定航向的角度问题
某渔船在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军 舰艇在
A
处获悉
后,立即测出该渔船在方位角为45°,距离
A
为1 0海里的
C
处,并测得渔船正沿
方位角为105°的方向,以10海里时的速度向小岛
B
靠拢,我海军舰艇立即以
103海里时的速度前去营救,求舰艇的航向和靠近渔船所 需的时间.
【思路探究】 (1)你能否根据题意画出图形?(2)舰艇与渔船在何处相遇?
相遇时有怎样的等量关系?
【自主解答】 如图所示,设所需时间为
t
小时,

AB
=103
t

CB
=10
t


在△
ABC
中,根据余弦定理,则有
AB
2

A C
2

BC
2
-2
AC
·
BC
· cos 120°,
可得:(103
t
)=10+(10
t
)-2 ×10×10
t
cos 120°.
222
高中数学必修五 第一章教案 第(21)页


整理得:2
t

t
-1=0,
1
解得
t
=1或
t
=-(舍去),
2
所 以舰艇需1小时靠近渔船,此时
AB
=103,
BC
=10.
在△
ABC
中,由正弦定理得:=,
sin∠
CAB
sin 120°
2
BCAB
∴sin∠< br>CAB

BC
·sin 120°1
==.
AB
2
103
10×
3
2
∴∠
CAB
=30°.
所以舰艇航行的方位角为75°.


1.本题欲求方位角,先求边长,而 要求边长,需先求时间,由于舰艇与渔船
同时在移动,故相遇点不确定,即舰艇的航向不确定,解题时画 图的关键是设出
相遇点
B
,画出可以求解的三角形.
2.解决这类问题首先 明确题中所给各个角的含义,然后分析题意,根据题意
画出正确的示意图,将实际问题转化为数学问题, 运用正弦定理或余弦定理求
解.体现了数形结合与方程的数学思想方法.

在甲船< br>A
处观察到乙船在它的北偏东60°方向的
B
处,两船相距
a
海里,乙
船正向北行驶,若甲船速度是乙船速度的3倍,问甲船应取什么方向前进才能在
最短时 间内追上乙船?此时乙船行驶了多少海里?

【解】 设甲船沿直线与乙船同时到
C
点,

A

B
、< br>C
构成△
ABC
,如图,设乙船速度为
v
,则甲船速度为3< br>v
,到达
C
处用时为
t
.
由题意
BC
vt

AC
=3
vt
,∠
ABC
= 120°.
在△
ABC
中,由余弦定理得
AC

AB
BC
-2
AB
·
BC
·cos 120°,
∴3
vt

a

vt

avt
. ∴2
vt

avt

a
=0,
22222222
222
高中数学必修五 第一章教案 第(22)页

< p>
解得
vt
=-(舍去)或
vt

a
. ∴
BC

a

2
在△
ABC

AB

BC

a
,∴∠
BAC
=∠
ACB
=30°. 60°-30°=30°.
即甲船应取北偏东30°的方向去追乙船,此时乙船行驶了
a
海里.
a
易错辨析题:
应用正余弦定理时出现增根致误

图1-2-21
某观测站
C

A
城的南偏西20°方向 上,由
A
城出发的一条公路走
向是南偏东40°.在
C
处测得公路上 距
C
为31 km的
B
处有一人正沿公路向
A
城走
去,走了20 km后到达
D
处,此时
CD
间的距离为21 km,则这人还要走多远才可
到达
A
城?
【错解】 如题图所示,∠
CAD
=60°,
在△
BCD
中,由余弦定理,得:
BC
2

BD
2

CD
2
31
2
+20
2
-2 1
2
23
cos
B
===.
2
BC
·
BD
2×31×2031
所以sin
B
=1-cos
B

2
123
.
31
BC
sin
B
在△
ABC
中,
AC
==24(km).
sin ∠
BAC
在△
ACD
中,由余弦定理,得:
CD
2

AC
2

AD
2
-2
AC< br>·
AD
cos ∠
CAD

即21=24+
AD
-24
AD
. 所以
AD
=15或
AD
=9,
即这人还要走15 km或9 km才能到达
A
城.
【错因分析】 余弦定理中线段都带着平方,故求值时会出现两个值,未检
验解是否合题意,导致了错误.
【防范措施】 求解应用题一定要注意验根,看是否符合题意或符合实际问
题.
【正解】 设∠
ACD
=α,∠
CDB
=β,
在△
CBD
中,由余弦定理,得:
高中数学必修五 第一章教案 第(23)页
222


BD
2

CD
2
CB
2
20
2
+21
2
-31
2< br>143
cos β===-. 所以sin β=.
2
BD
·CD
2×20×2177
431
所以sin α=sin(β-60°)=sin βcos 60°-sin 60°cos β=×+
72
3153
×=.
2714
在△
ACD
中,由正弦定理,得=,
sin 60°sin α

21×sin α
所以
AD
==15(km).
sin 60°
即这人还要走15 km才可以到达
A
城.

巩固练习:
CDAD

1.对右图正确的描述应为( )
图1-2-22
A.东偏北α° B.东北方向α° C.北偏东α°
【答案】 C
2.已知两 座灯塔
A

B
与海洋观察站
C
的距离相等,灯塔
A
在观察站
C
的北
偏东40°,灯塔
B
在观察站
C< br>的南偏东60°,则灯塔
A
在灯塔
B
的( )
A.北偏东10° B.北偏西10°
C.南偏东10° D.南偏西10°
【解析】 如图,由题意,知
AC

BC
,∠
ACB
=80°,
∴∠
CBA
=50°,α+∠
CBA
=60°.
∴α=10°,

A

B
的北偏西10°.

【答案】 B
高中数学必修五 第一章教案 第(24)页


< br>3.△
ABC
中,
a
=4,
b
=5,
c=7,则cos
C
=( )
11
A.- B.
55
74
C. D.
95
a
2

b< br>2

c
2
-81
【解析】 cos
C
===-.
2
ab
405
【答案】 A
4. 一船向正北匀速行驶,看见正西方两座相距10海里的灯塔恰好与该船在
同一直线上,继续航行半小时后 ,看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上,另一
灯塔在南偏西75°方向上,求该船的速度.
【解】 如图,
B

C
为两灯塔,行驶半小时后船从
A到达
D
,由∠
ADC
=75°,

ADB
=6 0°,∴∠
BCD
=∠
BDC
=15°.


BD

BC
=10,∴
AD
=10×cos 60°=5.
1
设船速为
x
,则
x
=5,即
x< br>=10(海里小时).
2

课堂小结:
1.测量角度问题是指无法 直接用量角器和测角仪测量角度的求解问题.在实
际生活中,要测量角的大小,求三角形中角度的大小, 求不能直接测得的角,求
轮船航行时航速与航向等问题都可以结合正、余弦定理,通过解三角形解决.
2.在解决与角度有关的题目时,要搞清仰角、俯角、坡角、方位角和方向角
的含义,合理的构 造三角形把实际问题转化为数学问题加以解决.

布置作业:




高中数学必修五 第一章教案 第(25)页



























高中数学必修五 第一章教案 第(26)页


1.三角形中的几何计算
高一年级 数学备课组(总第 课时) 主备人: 时间: 年 月 日

课 题 三角形中的几何计算







1.知识与技能
通过回顾正弦定理、余弦定理的表达式及文字语言 的叙述,进—步熟悉正、余弦定理
的内容,作用及所解三角形的类型.能够联系勾股定理、三角形面积定 理及三角形内角和
公式等有关三角形问题灵活地解三角形.
2.过程与方法
善于利 用分类讨论的思想、先易后难、逐层推进的思想解决一些繁、难三角形问题,
把对学生的思维训练贯穿整 节课的始终.
3.情感、态度与价值观
通过本节课的探究,培养学生勇于探索、勇于创新 、善于分析以及具体问题具体分析
的科学精神和良好的学习习惯.并对正弦定理、余弦定理的反射美产生 愉悦感,从而激发
学生热爱数学,热爱科学的追求精神.
教学重灵活选用正弦定理、余弦定理并结合面积公式进行有关的三角形中的几何计算.

教学难利用正、余弦定理进行边角互化及正弦、余弦定理与三角形有关性质的综合应用.

教学方讲练结合

教学过程:步骤、内容、教学活动
【问题导思】 三角形的面积公式
二次备课
第 课时

高中数学必修五 第一章教案 第(27)页


如图,在△
ABC
中,边
BC
CA

AB
上的高分别记为
h
a

h
b

h
c
.
1.你能用△
ABC
的边角分别表示
h
a

h
b

h
c
吗?
【提示】
h
a

b
sin
C

c
sin
B
.
h
b

c
sin
A

a
sin
C
.
h
c

b
sin
A

a
sin
B
.
2.你能用边
a< br>与高
h
a
表示△
ABC
的面积吗?
111
【提示】
S

ABC

ah
a< br>=
ab
sin
C

ac
sin
B
.
222
1
已知△
ABC
中,
a
b

c
所对的角分别为
A

B
,< br>C
,其面积为
S
,则:
S

2
ab
sin
C

bc
sin
A

ca
sin
B

例题讲解: 三角形中的面积计算

ABC
中,已知
C
=120°,
AB
=23,
AC
=2,求△
ABC
的面积.
【思路探究】 (1)
AB

AC
是不是
C
的两夹 边?(2)要使用三角形的面积
公式应求哪个角?怎样求?
【自主解答】 由正弦定理
∴sin
B

=,
sin
C
sin
B
1
2
1
2
ABAC
AC
sin
C
2sin 120°1
==.
AB
2
23
因为
AB
>
AC
,所以
C
>
B
, ∴
B
=30°,∴
A
=30°.
11
所以△
AB C
的面积
S

AB
·
AC
·sin
A
=·23·2·sin 30°=3.
22

由于三角形的面积 公式有三种形式,实际使用时要结合题目的条件灵活运
用;如果已知两边及其夹角可以直接求面积,否则 先用正、余弦定理求出需要
的边或角,再套用公式计算.

(2 013·蒙阴高二检测)在△
ABC
中,
A
=60°,
AB
=2,且△
ABC
的面积
S


3
,则边
BC
的长为________.
2
313
,得
AB
·
AC
sin
A
=,
222
ABC
【解析】 由
S

ABC

高中数学必修五 第一章教案 第(28)页


133
即×2
AC
×=,
222

AC
=1.由余弦定理得
BC
2

AB
2

AC
2
-2
AB
·
AC
·cos
A

1
=2
2
+1
2
-2×2×1×=3.
2

BC
=3.
【答案】 3
三角形中的证明问题
在△
ABC
中,求证:
a
(sin
B
-sin
C
)+
b
(sin
C
-sin
A
)+
c
(sin
A
-sin
B
)=0.
【思路探究】 去掉括号再考虑用正弦定理求解.
【自主解答】 由正弦定理==,
sin
A
sin
B
sin
C
abc

a
sin
B

b
sin
A

a
sin
C

c
sin
A

b
sin
C

c
sin
B

所以左边=
a
sin
B

a
sin
C

b
sin
C

b
sin
A

c
sin
A

c
sin
B

=(
a
sin
B

b
sin
A
)+(
b
sin
C

c
sin
B
)+(
c
sin
A

a
sin
C
)
=0+0+0=0=右边,
所以原式成立.

1.证明本题的关键在于充分借助正、余弦定理实现边角互化.
2.恒等式证明通常采用以下三种方法:
(1)从等式的左边证到右边;
(2)从等式的右边证到左边;
(3)对等式的两边同时变形,化为同一个式子.
方法的选择原则是从复杂的一边证明到简单的一边.
3.证明过程中,要注意三角函数和、差、倍角公式的灵活运用.



cos
A
-2cos
C
2
c

a在△
ABC
中,内角
A

B

C
的对 边分别为
a

b

c
.已知=.
cos
Bb
高中数学必修五 第一章教案 第(29)页


sin
C
求证=2.
sin
A
【证明】 由正弦定理,设

===
k

sin
A
sin
B
sin
C
abc
2
c

a
2
k
sin
C

k
sin
A
2sin
C
-sin
A
==,
bk
sin
B
sin
B
cos
A
-2cos
C
2sin
C
-sin
A
所以=,
cos
B
sin
B
即(cos
A
-2cos
C
)sin
B
=(2sin
C
-sin
A
)cos
B
.
化简可得s in(
A

B
)=2sin(
B

C
),

A

B

C
=π,所以sin
C
=2sin
A

sin
C
因此=2.
sin
A
三角形中的综合问题
(2013·黄冈高二检测)△
ABC
的内角
A

B

C
所对的边分别为
a

3
5
b

c
,若
a
b

c
成等比数列且cos
B
=.
cos
A
cos
C
→→
(1)求+的值;(2)设
BA
·
BC
=3,求
a

c
的值.
sin
A
sin
C
【思路探究】 (1)结合已知条件,用正弦定理与三角恒等公式求值.
(2)用余弦定理解决.
【自主解答】 (1)由已知
b
2

ac
,及正弦定理得s in
2
B
=sin
A
sin
C

34
由cos
B
=,则sin
B
=.
55
cos
A
cos
C
sin
C
cos
A
+cos
C
sin
A
sin?
A

C
?sin
B
+====
sin
A
sin
C
sin
A
sin
C
sin
A
sin
C
sin
A
sin
C
15
=.
sin
B
4
3
→→
(2)由
BA
·BC
=3,得
ac
cos
B
=3,
ac
==5,
cos
B
36
由余弦定理:
b
2

a
2

c
2
-2
ac
×,得
ac

a
2

c
2

ac

55
a
2

c
2< br>+2
ac

ac
=21,
∴(
a

c
)
2
=21.∴
a

c
=21.

1.本题体现了正、余弦定理在三角形中的综合应用.解答本类综合问题
时,还常常用到同角三 角函数的基本关系和三角恒等变换公式.
高中数学必修五 第一章教案 第(30)页
21
5


2.以下结论也常常用到:
(1)
A

B
=π-
C

A

B
π
2< br>=-.
22
C
(2)在三角形中大边对大角,反之亦然.
(3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
(4)三角形内的诱导公式
sin(
A

B
)=sin
C
,cos(
A

B
)=-cos
C

π
tan(
A

B
)=-tan
C
(
C
≠),
2
sin
A

B CA

BC
=cos,cos=sin.
2222

△< br>ABC
中,
A

B

C
的对边分别为
a

b

c
,且2
b
·cos
A

c
·cos
A

a
·cos
C

(1)求
A
的大小;
(2)若
a
=7,
b

c
=4,求△
ABC
的面积.
【解】 (1)由已知条件得
2cos
A
sin
B
=sin
A
cos
C
+cos
A
sin
C
=sin(
A

C
)=sin
B
.
1
又∵sin
B
≠0,∴cos
A
=.
2
又∵0°<
A
<180°,∴
A
=60°.
(2)由余弦定理得
7=
b
2

c
2
- 2
bc
·cos 60°

b
2

c
2

bc
=(
b

c
)
2
-3bc


b

c
=4代入,得
bc
=3
133
故△
ABC
面积为
S

bc
sin
A
=.
24
解三角形中的函数思想
(12分)在△
A BC
中,角
A

B

C
所对的边分别为
a

b

c
,设
S
为△
ABC
的面 积,满足
S

3
222
(
a

b

c
).
4
(1)求角
C
的大小; (2)求sin
A
+sin
B
的最大值.
高中数学必修五 第一章教案 第(31)页


【思路点拨】 利用面积公式求角
C
,再利用三角形的内角和定理和两角
和的正弦公式化简求最大值.
13
【规范解答】 (1)由题意可知
ab
sin
C
=×2
ab
cos
C
.2分
24
所以tan
C
=3,4分
π
因为0<
C
<π,所以
C
=.6分
3
π
(2)由已知sin
A
+sin
B
=sin
A
+sin (π-
A
-)
3
2π31
=sin
A
+sin(-
A
)=sin
A
+cos
A
+sin
A

322
π2π
=3sin(A
+)≤3(0<
A
<).9分
63
π

A
=,即△
ABC
为等边三角形时取等号,11分
3
所以sin
A
+sin
B
的最大值为3.12分
本题把求最值问题转化为三角函数求最值的方法是函数思想在本章的重
要体现.
巩固练习:
1.在△
ABC
中,
A
=60°,
A B
=1,
AC
=2,则
S

ABC
的值为( )
13
A. B. C.3 D.23
22
13
【解析】
S

ABC

AB
·
AC
sin
A
=sin 60°=.
22
【答案】 B
2.△
AB C
中,若
A
=60°,
b
=16,此三角形的面积
S
=2203,则
a
的值
为( )
A.206 B.25
C.55 D.49
高中数学必修五 第一章教案 第(32)页


1
【解析】 由
bc
sin
A
=2203,∴
c
=55.
2

a
2

b
2

c
2
- 2
bc
cos
A
=2 401.∴
a
=49.
【答案】 D
3.边长为
a
的等边三角形的高为________.
【解析】 高
h

a
sin 60°=
3
a
.
2
【答案】
3
a
< br>2
4.已知△
ABC
中,
AB
=3,
BC
= 13,
AC
=4,求
AC
边上的高.
【解】 设
AC
边上的高为
h
,由余弦定理知
3
2
+?13?
2
-1613
cos
B
==,
13
2×3×13
239
∴sin
B
=,
13
123933

S
=×3×13×=×2=33.
2 132
133

S
=×4×
h
,∴2
h
= 33,∴
h
=,
22
33

AC
边上的高为.
2

课堂小结:
1.对于三角形中的几何计算问题,首先要把所求的量转化 到三角形中,
然后选用正弦定理、余弦定理解决.求三角形的面积的问题,先观察已知什么,
尚 缺什么,用正弦定理和余弦定理算出需要的元素,就可以求出三角形的面
积.证明三角恒等式的关键是用 正、余弦定理实现边角转化.
2.许多问题既可用正弦定理也可用余弦定理解决,甚至可以两者兼用,
当一个公式求解受阻时要及时考虑其他公式列式.
3.解三角形问题除了应用正、余弦定理外,也经常用到内角和定理以及
高中数学必修五 第一章教案 第(33)页


三角变换公式中的平方关系、两角和与差的正、余弦公式等.

布置作业:

































高中数学必修五 第一章教案 第(34)页


1.正弦定理和余弦定理-章末归纳提升
高一年级 数学备课组(总第 课时) 主备人: 时间: 年 月 日

课 题




章末归纳提升 第 课时
1.正弦定理主要有两方面的应用:一是已知三角形的任意两个角与一边;二是已知 三
角形的任意两边与其中一边的对角,值得注意的是已知三角形的任意两边与其中一边的对
角, 运用正弦定理解三角形时,解不确定,可结合三角形中大边对大角的性质去判断解的
个数.
2 .余弦定理有两个方面的应用:一是已知三角形的两边和它们的夹角,可以由余弦
定理求出第三边,进而 求出其余两角;二是已知三角形的三边,利用余弦定理求出一个角,
进而求出其他两角.
3. 余弦定理除了解决两种类型的解三角形问题外,也可以用来解决判断三角形解的
个数问题,如已知
a

b

A
时可用
a
2

b< br>2

c
2
-2
bc
cos
A
,在 这个以
c
为变量的一元二次
方程中,运用判别式即可判断解的个数.

教学重解三角形相关知识的灵活运用

教学难解三角形相关知识的灵活运用

教学方讲练结合

教学过程:步骤、内容、教学活动 二次备课
高中数学必修五 第一章教案 第(35)页


.




利用正、余弦定理解三角形
在△
ABC
中,
a
=4,
A
=60°,当
b
满足下列条件时,解三角形:
43
(1)
b
=;
3
26
(2)
b
=22+;
3
83
(3)
b
=;
3
(4)
b
=8.
【思路点拨】 已知两边和其中一边的对角解三 角形,可以用正弦定理,
也可以用余弦定理解决,解题时一定要准确判断解的情况.
【规范解答】 (1)∵
a
>
b
,∴
B
为锐角,由正弦定理,
b
1
sin
B
=sin
A
=,
a
2

B
=30°,
C
=90°,
高中数学必修五 第一章教案 第(36)页


a
83
由正弦定理
c
=·sin
C
=.
sin
A
3
26
22+
3b
36+2
(2)由正弦定理sin
B
=·sin
A
=×=,当
B
为锐
a
424
角时
B
=75°,< br>C
=45°.
a
46
由正弦定理
c
=·sin
C
=,
sin
A
3

B
为钝角时B
=105°,
C
=15°,
a
26
由正弦定理
c
=·sin
C
=22-.
sin
A
3
(3)法一 由正弦定理sin
B
=·sin
A
=1,

B
=90°,
C
=30°,
b
a
a
43
由正弦定理
c
=·sin
C
=.
sin
A
3
法二 设第三边长为
c

由余弦定理
a
2

b
2

c
2
-2
bc
cos
A

64838316
∴16=+
c
2

c
,即
c< br>2

c
+=0.
3333
43
2
43
∴(
c
-)=0, ∴
c
=,
33
c
1
由正弦定理sin
C
=·sin
A
=.
a
2

a
>
c
,∴
C
为锐角,∴
C
=30°,
B
=90°.
(4)由正弦定理sin
B
=·sin
A
=3>1,无解.

已知
a
=5,
b
=53,
A
=30°,解三角形.
【解】 由题可知,
a
<
b

A
=30°<90°,
b
a
高中数学必修五 第一章教案 第(37)页


153

b
sin
A
=53×=,∴
a
>
b
sin
A

22
∴本题有两解.
1
53×
2
b
sin
A
3
由正弦定理,得sin
B
===,
a
52

B
=60°或
B
=120°.

B
=60°时,
C
=90°,
c

a
s in
C
5
==10.
sin
A
1
2

B
=120°时,
C
=30°,
c

a
=5.
综上,
B
=60°,
C
=90°,
c
=1 0或
B
=120°,
C
=30°,
c
=5.
正、余弦定理在三角形中的综合应用
正弦定理、余弦定理是平面几何中的重要定理,应用极为 广泛,它将三角
形的边和角有机地联系了起来.正弦定理、余弦定理不但为求与三角形有关的
量 ,如面积、内切圆半径、外接圆半径等提供了理论基础,而且是判断三角形
的形状、证明三角形中有关等 式的重要依据.
在△
ABC
中,
a

b
c
分别为内角
A

B

C
的对边,且2
a
sin
A
=(2
b

c
)sin
B
+(2
c

b
)sin
C
.求角
A
的大小.
【思路点拨】 根据正弦定理,把已知中的角转化成边再求解.
【规范解答】 ∵2
a
sin
A
=(2
b

c
)sin
B
+(2
c

b
)·sin
C
由正弦定理,得2
a
2
=(2
b

c
)
b
+(2
c

b
)
c


a
2

b
2

c
2

bc
.
又由余弦定理,得
a
2

b
2

c< br>2
-2
bc
cos
A

b
2

c
2

a
2
1
∴cos
A
==-.
2
bc
2
∵0<
A
<π,


A
=.
3

cos
A
-2cos
C
2
c

a
在△
ABC
中,内角
A

B

C
的对边分别为
a

b

c
.已知=.
cos
Bb
sin
C
1
(1)求的值; (2)若cos
B
=,△
ABC
的周长为5,求
b
的长.
sin
A
4
高中数学必修五 第一章教案 第(38)页


【解】 (1)由正弦定理,设===
k
(
k
>0),
sin
A
sin
B
sin
C

2
c

a
2
k
sin
C

k
sin
A
2sin
C
-sin
A
==.
bk
sin
B
sin
B
abc
cos
A
-2cos
C
2sin
C
-sin
A
所以=,
cos
B
sin
B
即(cos
A
-2cos
C
)sin
B
=(2sin
C
-sin
A
)cos
B
.
化简可得sin(
A

B
)=2sin(< br>B

C
).

A

B

C
=π,所以sin
C
=2sin
A
.
sin
C
因此=2.
sin
A
sin
C
(2)由=2,得
c
=2
a
.
sin
A
11
由余弦定理及cos
B
=,得
b
2

a
2

c
2
-2
ac
cos
B

a
2
+4
a
2
-4
a
2< br>×=4
a
2
.
44
所以
b
=2
a
.

a
+< br>b

c
=5,从而
a
=1,因此
b
=2.

正弦定理和余弦定理的实际应用
正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的 应用.常见的有测量距
离问题,测量高度问题,测量角度问题等.解决的基本思路是画出正确的示意图,把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关
系),最后确定用哪个定 理转化,用哪个定理求解,并进行作答,解题时还要
注意近似计算的要求.
已知海岛
A
四周8海里内有暗礁,有一货轮由西向东航行,望见

A
在北偏东75° ,航行202海里后,见此岛在北偏东30°,若货轮不改变
航向继续前进,有无触礁危险?
【思路点拨】 由题意图出图形,把实际问题转化为数学问题,用解三角
形的方法解决.
【规范解答】 如图所示,在△
ABC
中,

依题意得
BC
=202(海里),
高中数学必修五 第一章教案 第(39)页



ABC
=90°-75°=15°,

BAC
=60°-∠
ABC
=45°.
由正弦定理,得=,
sin 15°sin 45°
202sin 15°
所以
AC
==10(6-2)(海里).
sin 45°
3
=(152-
2
ACBC

A
到航线的距离为
AD

AC
sin 60°=10(6-2)×
56)(海里).
因为152-56>8,所以货轮无触礁危险.

如图1-1是曲柄连杆机结构的示 意图,当曲柄
CB

C
点旋转时,通过连

AB
的 传递,活塞作往复运动,当曲柄在
CB
0
位置时,曲柄和连杆成一条直
线,连 杆的端点
A

A
0
处.设连杆
AB
长为340 mm,曲柄
CB
长为85 mm,曲
柄自
CB
0
按顺时针方 向旋转80°,求活塞移动的距离(连杆的端点
A
移动的距

A
0< br>A
).(精确到1 mm)

图1-1
【解】 在△
ABC
中,由正弦定理,得sin
A

≈0.246 2.

BC
<
AB
,∴
A
为锐角,得
A
≈14°15′.

B
=180°-(
A

C
)≈180°-(14°15′+80°)=85°45′.
由正弦定理,得
AC

BC
sin
C
85×sin 80°

AB
340
AB
sin
B
340×sin 85°45′
≈≈344.3(mm).
sin
C
0.984 8

AA
0

A
0
C

AC
=(
AB

BC
)-
AC≈(340+85)-344.3=80.7≈81(mm),
即活塞移动的距离约为81 mm.
高中数学必修五 第一章教案 第(40)页



转化与化归思想
转化与化归思想用于研究、解决数学问题时思维受阻或寻求简单方法的情况下,把一种状况转化为另一种状况,也就是转化为另一种情境,使问题得到
解决,这种转化是解决 问题的有效策略,同时也是成功的思维方式.
本章主要是综合运用正、余弦定理解决较为复杂的与解三 角形有关的问
题,在判断三角形的形状的问题中,利用边、角之间的转化与化归的方法是解
决这 类问题的基本思路.
a
3

b
3

c
3
2
已知△
ABC
中,=
c
,且
a
cos
B

b
cos
A
,试判断△
ABC
a< br>+
b

c
的形状.
【思路点拨】 转化第一个已知条件,应 用余弦定理求
C
.转化第二个已
知条件,应用正弦定理判断△
ABC
的形状.
a
3

b
3

c
3
2 33323
【规范解答】 由=
c
,得
a

b
-< br>c

c
(
a

b
)-
c

a

b

c

a

b

ab

c

1
∴cos
C
=,∴
C
=60°.
2

a
cos
B

b
cos
A
,得2
R
sin
A
cos
B
=2
R
sin
B
cos
A
(
R
为△
ABC
外接圆
的半径),
∴ sin(
A

B
)=0,∴
A

B
=0,

A

B

C
=60°,
∴△
ABC
为等边三角形.

在△
ABC
中,已知3
b
=23
a
sin
B
,且cos
B
=cos
C
,角
A
是锐角,则△
ABC
的形状是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
【解】 由3
b
=23
a
sin
B
,得
23
a
=,
sin
B
3
222
b
根据正弦定理,得=,
sin
B
sin
A
高中数学必修五 第一章教案 第(41)页
ba


a
23
a
3
所以=,即sin
A
=.
sin
A
32
又角
A
是锐角,
所以
A
=60°.
又cos
B
=cos
C
,且
B

C
都为三角形的内角,
所以
B

C
,故△
ABC
为等边三角形.
【答案】 D

课堂小结:
1、第一章解三角形的知识网络构建是什么?
2、本节课你有什么收获?

布置作业:


















高中数学必修五 第一章教案 第(42)页


1.2应用举例距离和高度问题
高一年级 数学备课组(总第 课时) 主备人: 时间: 年 月 日

课 题 1.2应用举例距离和高度问题





1.知识与技能
(1)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离、高度的实际
问题;
(2)掌握解三角形应用题的基本步骤和基本方法;
(3)培养运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力.
2.过程与方法
(1)经历将实际问题抽象为数学模型的过程,体会数学建模思想;
(2)能够从数学角度去思考问题,体验解决问题方法策略的多样性;
(3)体验合作学习的 过程,能在小组合作探究中清楚地表述自己的观点,善于倾听和
评估不同意见.
3.情感、态度与价值观
(1)意识到数学知识在现实生活中的重要作用,增强对数学学习的兴趣;
(2)在探究合作过程中,增加探究意识与合作意识,增强与人交流的意识;
(3)通过课外实习活动,体会数学的应用价值.

教学重


1.实际问题向数学问题的转化;
2.解斜三角形的方法.
第 课时
教学难实际问题向数学问题转化思路的确定.

教学方讲练结合

教学过程:步骤、内容、教学活动
【探究新知】
基线的概念
高中数学必修五 第一章教案 第(43)页
二次备课


1.定义:在测量上,根据测量需要适当确定的线段叫做基线. < br>2.性质:在测量过程中,要根据实际需要选取合适的基线长度,使测量
具有较高的精确度.一般 来说,基线越长,测量的精确度越高
测量中的有关概念
1.坡角
坡面与水平面的夹角,如图1-2-1所示,α为坡角.

图1-2-1
2.坡比
坡面的铅直高度与水平宽度之比,即
i
==tan α,如图1-2-1所示.
3.仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标 视线的夹角,目标视线在
水平视线上方时叫仰角,目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图1-2-2所
示).
h
l

图1-2-2
4.铅直平面:铅直平面是指水平面垂直的平面.


【例题讲解】 求两点间可视但不可到达的距离问题


图1-2-3
高中数学必修五 第一章教案 第(44)页


如图1-2-3,在河岸边有一点
A
, 河对岸有一点
B
,要测量
A

B
两点的
距离,先在 岸边取基线
AC
,测得
AC
=120 m,∠
BAC
=45 °,∠
BCA
=75°,求
A

B
两点间的距离.
【思路探究】(1)
AC
的对角∠
ABC
是多少度?(2)能用正弦定理求 出
AB
的长度
吗?
【自主解答】在△
ABC
中,
AC
=120,
A
=45°,
C
=75°则
B
=1 80°-(
A

C
)
=60°,
sin
C
120sin 75°
由正弦定理,得
AB

AC
==20(32+6).
sin
B
sin 60°

A

B
两点间的距离为20(32+6)m.



如图所示,设
A
(可到达),
B
(不可到达) 是地面上两点,要测量
A

B
两点
之间的距离,步骤是:
(1)取基线
AC
(尽量长),且使
AB

AC
不共线;
(2)测量
AC
,∠
BAC
,∠
BCA

(3)用正弦定理解△
ABC
,得
AC
sin
CAC
sin
C
AB
==.
sin
B
sin?180°-
A

C
?

图1-2-4

如图1-2-4,为了开凿隧道,要测量隧道上
D

E
间的距离,为此在山
的一侧选取适当点
C
,测得
CA< br>=400 m,
CB
=600 m,∠
ACB
=60°,又测得
A

B
两点到隧道口的距离
AD
=80 m,
BE
=40 m(
A

D

E
B
在一条直线上),计
算隧道
DE
的长.(精确到1 m)
高中数学必修五 第一章教案 第(45)页


【解】 在△
ABC
中,由余弦定理,得
AB
2

AC
2

BC
2
-2
AC
·
BC
cos ∠
ACB


AB
2
=400
2
+60 0
2
-2×400×600cos 60°=280 000.

AB
=2007(m).

DE

AB

AD

BE
=2007-120≈409(m).
∴隧道
DE
的长约为409 m.




求不可到达两点之间的距离问题

图1-2-5
在某次军事演习中,红 方为了准确分析战场形势,在两个相距为
3
a
的军事基地
C

D
测得蓝方两支精锐部队分别在
A
处和
B
处,且∠
ADB

2
30°,∠
BDC
=30°,∠
DCA
=60 °,∠
ACB
=45°,如图1-2-5所示,求蓝
方这两支精锐部队的距离.
【思路探究】 本题的未知量可以看成测量两点不可到达的距离的量,因
此可以解三次三角形. 法一:分别由解△
ADC
和△
BDC

AD

BD
,再解△
ABD

AB
;也可采用法二:分别由解△
ADC
和△
BDC

AC

BC
,再解△
ABC

AB
.
【自主解答】 法一 ∵∠
ADC
=∠
ADB
+∠
CDB
=60°,
又∵∠
ACD
=60°,∴∠
DAC
=60°,

AD

CD

AC

3
a
.
2
在△
BCD
中,∠
DBC
=180°-30°-105°=45° .
高中数学必修五 第一章教案 第(46)页


∵=,
sin ∠
BCD
sin∠
DBC
6+2
4
2
2
D BCD
sin∠
BCD
3

DB

CD
· =
a
·
sin∠
DBC
2
3+3

a.
4
在△
ADB
中,∵
AB
2

A D
2

BD
2
-2·
AD
·
BD
·cos∠
ADB

33+3
2
33+333

a
2
+(
a
)-2×
a
·
a
·=
a
2

442428
66
a
,∴蓝方这两支精锐部队的距离为
a
.
44
3
a
.
2

AB

法二 同法一,得
AD

DC

AC

在△
BC D
中,∠
DBC
=45°,

CD
6
=,∴
BC

a
.
sin 30°sin 45°4
BC
在△
ABC
中,∵
A B
2

AC
2

BC
2
-2
AC
·
BC
·cos 45°
333623

a
2< br>+
a
2
-2×
a
·
a
·=
a
2

482428
66
a
,∴蓝方这两支精锐部队的距离为
a
.
44

AB




如图所示,不可到达 的
A

B
是地面上两点,要测量
A

B
两 点之间的距离,
步骤是:
(1)取基线
CD

(2)测量
CD
,∠
ACB


BCD
,∠
ADC
,∠
BDA

高中数学必修五 第一章教案 第(47)页


(3)在△
ACD< br>中,解三角形得
AC
,在△
BCD
中,解三角形得
BC

(4)在△
ABC
中,利用余弦定理得
AB

AC< br>+
BC
-2
AC
·
BC
·cos ∠
ACB
.
22

图1-2-6

本例若改为下面的叙述,试解答之.
如图1-2-6,隔河看两目标
A
,< br>B
,但不能到达,在岸边选取相距3 km

C

D
两点,并测得∠
ACB
=75°,∠
BCD
=45°,∠
ADC=30°,∠
ADB
=45°(
A

B

C< br>,
D
在同一平面内),求两目标
A

B
之间的距离.
【解】 在△
ACD
中,∠
ADC
=30°,∠
ACD
=120°,
∴∠
CAD
=30°.

AC

CD
= 3.在△
BDC
中,∠
CBD
=180°-(45°+30°+45°)=6 0°.
3sin 75°6+2
=,
sin 60°2
在△
BC D
中,由正弦定理,得
BC

则在△
ABC
中,由余弦定理 ,得
AB
2

AC
2

BC
2
- 2
AC
·
BC
·cos ∠
BCA

=(3)
2
+(
6+2
2
6+2
)-23×cos 75°=5. ∴
AB
=5.
22
故两目标
A

B
之间的距离为5 km.

求底部不可到达的物体的高度问题

图1-2-7
如图1-2-7,为了测量河对岸的塔高
AB
,有不同的方案,其中
高中数学必修五 第一章教案 第(48)页


之一是选取与塔底
B
在同一水平面内的 两个测点
C

D
,测得
CD
=200米,在
C点和
D
点测得塔顶
A
的仰角分别是45°和30°,且∠
CBD
=30°,求塔高
AB
.
【思路探究】 (1)由在
C
点 和
D
点的仰角如何用塔高表示出线段
BC

BD
的长度?
(2)在△
BCD
中,已知
CD
、∠
CBD
,又用 塔高表示了
BC

BD
,如何建立关
于塔高的方程?
(3)怎样求得塔高
AB?

【自主解答】 在Rt△
ABC
中,∠
ACB
=45°,若设
AB

h
,则
BC

h

在Rt△
ABD
中,∠
ADB
= 30°,则
BD
=3
h
.
在△
BCD
中,由余弦定理可得
CD
2

BC< br>2

BD
2
-2·
BC
·
BD
·c os ∠
CBD

即200=
h
+(3
h
)-2 ·
h
·3
h
·
222
3

2
所 以
h
2
=200
2
,解得
h
=200(
h
=-200舍去).即塔高
AB
=200米.


1.解 答本题的关键是用仰角与塔高分别表示
BC

BD
的长度.在△
BC D

用余弦定理建立了关于塔高的方程,进而求得塔高.
2.测量高度时需要注意的问题:
①在测量高度时,要理解仰角、俯角的概念,仰角和俯角都 是在同一铅垂
面内,视线与水平线的夹角.如图所示:

②要根据题意正确画出图形,同时空间图形和平面图形要区分开,然后通
过解三角形求解.

甲、乙两楼相距200 m,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°,从甲楼顶望乙
楼顶 的俯角为30°,则甲、乙两楼的高分别是多少?
高中数学必修五 第一章教案 第(49)页



【解】 如图所示,
AD
为乙楼高,
BC
为甲楼高.
在△
ABC
中,
BC
=200×tan 60°
=2003,
AC
=200÷sin 30°=400,
由题意可知∠
ACD
=∠
DAC
=30°,
∴△
ACD
为等腰三角形.
由余弦定理得
AC
2

AD
2

CD
2
-2
AD
·
CD
·cos 120°,
1
22222
400=
AD

AD
-2
AD
×(-)=3
AD

2
400
2
4003
AD
=,
AD
=.
33
2
4003
答:甲楼高为2003m,乙楼高为m.
3

测量高度问题
(12分)某人从塔
AB
的正东C
处沿着南偏西60°的方向前进40
米后到达
D
处,望见塔在东北方向 ,若沿途测得塔的最大仰角为30°,求塔
高.
【思路点拨】 解答时可以先依据题意画出图 形,着重思考何时仰角最大,
要突破这一难点,可转化为沿途观测点何处距塔底
B
距离 最小.

【规范解答】 根据题意画出示意图,且
BE

CD.在△
BDC
中,
CD
=40,
高中数学必修五 第一章教案 第(50)页



BCD
=30°,∠
DBC
=135°.3分
由正弦定理,

BD
40sin 30°
=, ∴
BD
==202 .6分
sin∠
DBC
sin∠
DCB
sin 135°
CD在Rt△
BED
中,∠
BDE
=180°-135°-30°=15°,

BE

DB
sin 15°=202·
6-2
=10(3-1).9分
4
在Rt△
ABE
中,∠
AEB
=30°,

10

AB

BE
tan 30°=(3-3)(米).
3
10
故所求的塔高为(3-3)米.12分
3
本题与立体几何中 的边角有关,解题的关键是准确作出空间图形,确定最
大仰角的位置是解题的难点,实际上,在
AB
一定时,仰角要最大,需
B
到测
试点的距离最小,所以测试点是过
B

CD
作垂线的垂足位置.
巩固练习:
1.从
A< br>处望
B
处的仰角为α,从
B
处望
A
处的俯角为β,则 α,β的
关系是( )
A.α>β B.α=β
C.α+β=90° D.α+β=180°
【解析】 根据仰角和俯角的概念可知α=β.
【答案】 B

图1-2-8
2. 测量从一个可到达的点
A
到一个不可到达的点
B
之间的距离问题.(如
图1-2-8所示)时,选取了可到达的一点
C
作出△
ABC
,其中基线为 ( )
A.
AB

C.
BC

【解析】 由基线的定义可知,
AC
为基线.
高中数学必修五 第一章教案 第(51)页
B.
AC

D.△
ABC


【答案】 B
3.一树的树干被台风吹断,折断部分与残存树干成30°角,树干底部与
树尖着地处相距5 m,则树干原来的高度为________.

【解析】 如图,
AB
为残 存树干,
BC
为折断部分,在Rt△
ABC
中,
已知
AC
=5,∠
ABC
=30°,

AB
=53,
BC
=10.
∴树干原来的高度为
AB

BC
=(10+53)m.
【答案】 (10+53)m

图1-2-9
4.如图1-2-9,设< br>A

B
两点在河的两岸,一测量者在
A
的同侧,在
A
所在的河岸边选定一点
C
,测出
AC
的距离为50 m,∠
ACB
=45°,∠
CAB
=105°,

A

B
两点的距离.

【解】 ∵∠
ACB
=45°,∠
CAB
=105°,∴∠
B
=180°-45°-105°=
30°.
由正弦定理,
sin
B
sin
C
AC
AB
2
50×
2
AC
·sin
C

AB
===502(m).
sin
B
1
2

课堂小结:
高中数学必修五 第一章教案 第(52)页



1.解决实际测量问题一般要充分认真理解题意,正确作出图 形,从中抽
象出一个或几个三角形,把实际问题中的条件和所求转换成三角形的已知和未
知的边 、角,然后解三角形,得到实际问题的解.
2.测量距离问题要根据实际选取合适的基线长度,测量底 部不可到达的
物体的高度,不能直接用解直角三角形一步解决.

布置作业:















高中数学必修五 第一章教案 第(53)页

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