高中数学必修5全册导学案全集

2.在200米的山上顶，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为
30,60
，则 塔高为（ ）米．
20034003
200400
B． C． D．
33
33
3. 在
?
ABC中，
?A?60?
，
AC?16
，面积为
2203
，那么
BC
的长度为（ ）.
A．
25
B．
51
C．
493
D．
49

4. 从200米高的山顶A处 测得地面上某两个景点B、C的俯角分别是30?和45?，且∠BAC
＝45?，则这两个景点B、C 之间的距离 ．
5. 一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°相距 20里处，随后货轮按北偏西
30°的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东
45?
，则货轮的速度 ．
A．

课后作业

1. 3.5米长的棒斜靠在石堤旁，棒的一端在离堤足1.2米地面上，另一端在沿堤上2.8米的地
方，求堤对地面的倾斜角.











2. 已知a，b，c为△ABC的三个内角A ，B，C的对边，向量m＝（
3,?1
），n＝（cosA，
sinA）. 若m⊥n，且acosB+bcosA=csinC，求角B.











第一章 解三角形（复习）

学习目标

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题．

学习过程

一、课前准备
复习1： 正弦定理和余弦定理
（1）用正弦定理：
①知两角及一边解三角形；
②知两边及其中一边所对的角解三角形（要讨论解的个数）．
（2）用余弦定理：
①知三边求三角；
②知道两边及这两边的夹角解三角形．

复习2：应用举例
① 距离问题，②高度问题，
③ 角度问题，④计算问题．
练：有一长为2公里的斜坡，它的倾斜角为30°，现要将倾斜角改为45°，且高度不变. 则
斜坡长变为___ ．







二、新课导学
※ 典型例题

例1. 在
? ABC
中
tan(A?B)?1
，且最长边为1，
tanA?tanB
，
tanB?
△ABC最短边的长．

















例2. 如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘 渔船遇险等
1
，求角C的大小及
2
北

待营救．甲船 立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙
船，试问乙船应朝北偏东多 少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1）？
























例3. 在
?
ABC中，设
















tanA2c?b
?,
求A的值．
tanBb

※ 动手试试

练1. 如图，某海轮以60 n mileh 的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°，
向北航行40 min后到达B点，测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行
驶80 min到达C点，求P、C间的距离．

C
北

60°

B
30°


A

60°

P














练2. 在△ABC中，b＝10，A＝30°，问a取何值时，此三角形有一个解？两个解？无解？

三、总结提升
※ 学习小结

1. 应用正、余弦定理解三角形；
2. 利用正、余弦定理解决实际问题（测量距离、高度、角度等）；
3．在现实生活中灵活运用正、余弦定理解决问题. （边角转化）．

※ 知识拓展

设在
?ABC
中，已知三边
a
，
b，
c
，那么用已知边表示外接圆半径R的公式是
abc

R?
p(p?a)(p?b)(p?c)
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝
120?
，则△ABC的面积为（ ）.
A．9 B．18 C．9 D．18
3

2.在△ABC 中，若
c
2
?a
2
?b
2
?ab
，则∠C =（ ）.
A． 60° B． 90° C．150° D．120°
3. 在
?
ABC中，
a?80
，
b?100
，A =30°，则B的解的个数是（ ）.
A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定的
1
4. 在△ABC中，
a?32
，
b?23
，
cosC?
，则
S
△ABC
?
_______
3
5. 在
?
ABC中，
a
、b、c分别为
?A、
?
B、
?
C的对边，若
a
2
?b
2
?c
2
?2bcsinA
，则A=___
____.

课后作业

1. 已知
A
、
B
、
C< br>为
?ABC
的三内角，且其对边分别为
a
、
b
、c
，若
1
cosBcosC?sinBsinC?
．
2
（1）求
A
；
（2）若
a?23,b?c?4
，求
?ABC
的面积．

2. 在△ABC中，
a,b,c
分别为 角A
、
B
、
C的对边，
a
2
?c
2
?b
2
?
积为6，
（1）求角A的正弦值； （2）求边b、c.




8bc
，
a
=3， △ABC的面
5
§2.1数列的概念与简单表示法(1)


学习目标

1. 理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；
2. 了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；
3. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式.

学习过程

一、课前准备
（预习教材P
28
~ P
30
，找出疑惑之处）
复习1：函数，当x依次取1，2，3，…时，其函数值有什么特点？






复习2：函数y=7x+9，当x依次取1，2，3，…时，其函数值有什么特点？






二、新课导学
※ 学习探究

探究任务：数列的概念
⒈ 数列的定义： 的一列数叫做数列.

⒉ 数列的项：数列中的 都叫做这个数列的项.

反思：
⑴ 如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是相同的数列？



⑵ 同一个数在数列中可以重复出现吗？


3. 数列的一般形式：a
1
,a
2
,a
3
,,a
n
,
，或简记为
?
a
n
?
，其中
a
n
是数列 的第 项.
与n之间的关系可以用 来表

4. 数列的通项公式：如果数列
?
a
n
?
的第n项
示，那么 就叫做这个数列的通项公式.
反思：
⑴所有数列都能写出其通项公式？


⑵一个数列的通项公式是唯一？



⑶数列与函数有关系吗？如果有关，是什么关系？




5．数列的分类：
1）根据数列项数的多少分 数列和 数列；

2）根据数列中项的大小变化情况分为 数列，
数列， 数列和 数列.

※ 典型例题

例1写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
11
1
⑴ 1，－，，－；
24
3
⑵ 1， 0， 1， 0.

变式：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
14916
⑴ ，，，；
251017
⑵ 1， －1， 1， －1；







小结：要由数列的若干项写出数列的一个通项公式，只需观 察分析数列中的项的构成规律，
将项表示为项数的函数关系.


an< br>2
?b
7
例2已知数列2，，2，…的通项公式为
a
n
?
，求这个数列的第四项和第五项.
cn
4








变式：已知数列
5
，
11
，
17
，
23
，
29
，…，则5
5< br>是它的第 项.


小结：已知数列的通项公式，只要将数列中的项代入通项公式，就可以求出项数和项.

※ 动手试试

练1. 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
1
11
⑴ 1， ，， ；
7
35
⑵ 1，
2
，
3
，2 .





练2. 写出数列
{n
2
?n}
的第20项，第n＋1项.

三、总结提升
※ 学习小结

1. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式；
2. 会用通项公式写出数列的任意一项.

※ 知识拓展
数列可以看作是定义域为正整数集的特殊函数.
思考：设
f(n)
＝1＋
1
2
＋
1
3
＋…＋
1
3n?1
（ n
?
N*
）那么
f(n?1)?f(n)
等于（
A.
1
3n?2
B.
1
3n
?
1
3n?1

C.
1
3n?1
?
1
3n?2
D.
111
3n
?
3n?1
?
3n?2

学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 下列说法正确的是（ ）.
A. 数列中不能重复出现同一个数
B. 1，2，3，4与4，3，2，1是同一数列
C. 1，1，1，1…不是数列
D. 两个数列的每一项相同，则数列相同
2. 下列四个数中，哪个是数列
{n(n?1)}
中的一项（ ）.
A. 380 B. 392 C. 321 D. 232
3. 在横线上填上适当的数：
3，8，15， ，35，48.
n(n?1)
4.数列
{(?1)
2
}
的第4项是 .
5. 写出数列
?
1
2?1
，
1
2?2，
?
1
2?3
，
1
2?4
的一个通项公式 .

课后作业

1. 写出数列｛
2
n
｝的前5项.





）

2
2
?13
2
?14
2
?15
2
?12. （1）写出数列，，，的一个通项公式为 .
2345






（2）已知数列< br>3
，
7
，
11
，
15
，
19
，… 那么3
11
是这个数列的第 项.










§2.1数列的概念与简单表示法(2)

学习目标

1. 了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；
2. 会由递推公式写出数列的前几项，并掌握求简单数列的通项公式的方法.

学习过程

一、课前准备
（预习教材P
31
~ P
34
，找出疑惑之处）
复习1：什么是数列？什么是数列的通项公式？



复习2：数列如何分类？



二、新课导学
※ 学习探究

探究任务：数列的表示方法

问题：观察钢管堆放示意图，寻找每层的钢管数
a
n
与层数n之间有何关系？

1. 通项公式法：
试试：上图中每层的钢管数
a
n
与层数n之间关系的一个通项公式是 .

2. 图象法：

数列的图形是 ，因为横坐标为 数，所以这些点都在y轴的
侧，而点的个数取决于数列的 ．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变
化而变化的趋势
．


3. 递推公式法：
递推公式：如果已知数列
?
a
n
?< br>的第1项（或前几项），且任一项
a
n
与它的前一项
a
n?1
（或前
n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.

试试：上图中相邻两层的钢管数
a
n
与
a
n?1
之间关系的一个递推公式是 .

4. 列表法：
试试：上图中每层的钢管数
a
n
与层数n之间关系的用列表法如何表示？


反思：所有数列都能有四种表示方法吗？

※ 典型例题

a
1
?1
?
?
例1

设数列
?
a
n
?
满足
?
写出这个数列的前五项.
1
a?1?(n?1).
?
n
a
n?1
?









变式：已知< br>a
1
?2
，
a
n?1
?2a
n
，写 出前5项，并猜想通项公式
a
n
.

小结：由递推公式求数列的项，只要让n依次取不同的值代入递推公式就可求出数列的项.

例2 已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?0
，
a
n?1
?a
n
?2n
， 那么
a
2007
?
（ ）.
A. 2003×2004 B. 2004×2005
C. 2007×2006 D.
2004
2










变式：已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?0
，
a
n?1
?a
n
?2n
，求
a
n
.








小结：由递推公式求数列的通项公式，适当的变形与化归及归纳猜想都是常用方法.
※ 动手试试

2
练1. 已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?1
，且
a
n?1
a
n
?a
n
a
n1
（
n?2
），求
a
3
,a
4
.
a
n?
?0
a
2
?
，
?
?2a
1n?1
3






练2.（2005年湖南）已知数列
?
a
n
?
满 足
a
1
?0
，
a
n?1
?
a
n
?3
3a
n
?1
（
n?N
*
），则
a
20
?
（ ）
3

2
.
A．0 B.－
3
C.
3
D.


练3. 在数列
?
a
n
?
中，
a
1
?2
，
a
17?66
，通项公式是项数n的一次函数.
⑴ 求数列
?
a
n
?
的通项公式；

⑵ 88是否是数列
?
a
n
?
中的项.







三、总结提升
※ 学习小结

1. 数列的表示方法；
2. 数列的递推公式.

※ 知识拓展

n刀最多能将比萨饼切成几块？
意大利一家比萨饼店的员工乔治喜欢将比萨饼切成形状各异的小块，以便
出售. 他发现一刀能将饼切成 两块，两刀最多能切成4块，而三刀最多能切成
7块（如图）.请你帮他算算看，四刀最多能将饼切成多 少块？n刀呢？

解析：将比萨饼抽象成一个圆，每一刀的切痕看成圆的一条弦. 因为任< br>意两条弦最多只能有一个交点，所以第n刀最多与前n－1刀的切痕都各有一个不同的交点，
因此 第n刀的切痕最多被前n－1刀分成n段，而每一段则将相应的一块饼分成两块. 也就
是说n刀切下去最多能使饼增加n块. 记刀数为1时，饼的块数最多为
a
1，……，刀数为n
时，饼的块数最多为
a
n
，所以
a
n
=
a
n?1
?n
.
由此可求得
a
n
=1+
n(n?1)
.

2
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 已知数列
a
n?1
?a
n
?3?0
，则数列
?
a< br>n
?
是（ ）.
A. 递增数列 B. 递减数列
C. 摆动数列 D. 常数列
2. 数列
?
a
n?
中，
a
n
??2n
2
?9n?3
，则此数列 最大项的值是（ ）.
1
A. 3 B. 13 C. 13 D. 12
8
3. 数列
?
a
n
?
满足
a1
?1
，
a
n?1
?a
n
?2
（n≥ 1），则该数列的通项
a
n
?
（ ）.
A.
n(n?1)
B.
n(n?1)

n(n?1)n(n?1)
C. D.
22
1
4. 已知数列
?
a
n
?
满足a
1
?
，
a
n
?(?1)
n
2an?1
（n≥2），则
a
5
?
.
3
1
1
5. 已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?
，
a
n?1
?1?
（n≥2） ，
a
n
2
则
a
6
?
.

课后作业

1. 数列
?
an
?
中，
a
1
＝0，
a
n?1
＝a
n
＋(2n－1) (n∈N)，写出前五项，并归纳出通项公式.











2. 数列
?
a
n
?
满足
a
1
? 1
，
a
n?1
?











2a
n
(n?N)
，写出前5项，并猜想通项公式
a
n
.
a
n
?2
§2.2等差数列（1）


学习目标

1. 理解等差数列的概念，了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据
定义判断一个数列是等差数列；
2. 探索并掌握等差数列的通项公式；
3. 正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、
项数、指定的项.

学习过程

一、课前准备
（预习教材P
36
~ P
39
，找出疑惑之处）
复习1：什么是数列？

复习2：数列有几种表示方法？分别是哪几种方法？




二、新课导学
※ 学习探究

探究任务一：等差数列的概念
问题1：请同学们仔细观察，看看以下四个数列有什么共同特征？
① 0，5，10，15，20，25，…
② 48，53，58，63
③ 18，15.5，13，10.5，8，5.5
④ 10072，10144，10216，10288，10366




新知：
1.等差数列：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它 一项的 等于同一个
常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的 ， 常用字母
表示.

2.等差中项：由三个数a，A， b组成的等差数列，
这时数 叫做数 和 的等差中项，用等式表示为A=

探究任务二：等差数列的通项公式
问题2：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？

若一 等差数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
，公差是 d，则据其定义可得：
a
2
?a
1
?
，即：
a
2
?a
1
?

a
3
?a
2
?
， 即：
a
3
?a
2
?d?a
1
?

a
4
?a
3
?
，即：
a
4
?a
3
?d?a
1
?

……
由此归纳等差数列的通项公式可得：
a
n
?

∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项
a
1
和公差d，便可求得其通项< br>a
n
.

※ 典型例题

例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项；
⑵ －401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？

变式：（1）求等差数列3，7，11，……的第10项.





（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.






小结：要求出数列中的项，关键是求 出通项公式；要想判断一数是否为某一数列的其中一项，
则关键是要看是否存在一正整数n值，使得a
n
等于这一数.

例2 已知数列{
a
n
}的通项公式
a
n
?pn?q
，其中
p
、
q
是常数，那么这个数列是否一定是
等差数列？若是，首项与公差分别是多少？





变式：已知数列的通项公式为
a
n
?6n? 1
，问这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与
公差分别是什么？

小结：要判定
?
a
n
?
是不是等差数列，只要看
a
n
?a
n?1
（n≥2）是不是一个与n无关的常数.

※ 动手试试

练1. 等差数列1，－3，－7，－11，…，求它的通项公式和第20项.










练2.在等差数列
?
a
n
?
的首项是
a
5
?10,a
12
?31
， 求数列的首项与公差.










三、总结提升
※ 学习小结

1. 等差数列定义：
a
n
?a
n?1
?d
(n≥2)；
2. 等差数列通项公式：
a
n
?
a
1
?(n?1)d
(n≥1).

※ 知识拓展

1. 等差数列通项公式为
an
?a
1
?(n?1)d
或
a
n
?a
m
?(n?m)d
. 分析等差数列的通项公式，可
知其为一次函数，图象上表现为直 线
y?a
1
?(x?1)d
上的一些间隔均匀的孤立点.
2. 若三个数成等差数列，且已知和时，可设这三个数为
a?d,a,a?d
. 若四个数成等差数列，
可设这四个数为
a?3d,a?d,a?d,a?3d
.
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（ ）.
A. 92 B. 47 C. 46 D. 45

2. 数列
?
a
n?
的通项公式
a
n
?2n?5
，则此数列是（ ）.
A.公差为2的等差数列 B.公差为5的等差数列
C.首项为2的等差数列 D.公差为n的等差数列
3. 等差数列的第1项是7，第7项是－1，则它的第5项是（ ）.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
4. 在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则∠B＝ .
5. 等差数列的相邻4项是a+1，a+3，b，a+b，那么a＝ ，b＝ .

课后作业

1. 在等差数列
?
a
n
?
中，
⑴已知
a
1< br>?2
，d＝3，n＝10，求
a
n
；




⑵已知
a
1
?3
，
a
n
?21
，d＝2，求n；




⑶已知
a
1
?12
，
a
6
?27
，求d；




1
⑷已知d＝－，
a
7
?8
，求a
1
.
3




2. 一个木制 梯形架的上下底边分别为33cm，75cm，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连
接各分点，构成梯 形架的各级，试计算梯形架中间各级的宽度.










§2.2等差数列（2）

学习目标

1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式；
2. 灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.

学习过程

一、课前准备
（预习教材P
39
~ P
40
，找出疑惑之处）
复习1：什么叫等差数列？



复习2：等差数列的通项公式是什么？




二、新课导学
※ 学习探究

探究任务：等差数列的性质
1. 在等差数列
?
a
n
?
中，
d
为公差，
a
m
与
a
n
有何关系？





2. 在等差数列
?
a
n
?
中，d
为公差，若
m,n,p,q?N
?
且
m?n?p?q
，则
a
m
，
a
n
，
a
p
，
a
q
有
何关系？







※ 典型例题

例1 在等差数列
?
a
n
?
中，已知
a
5
?10
，
a
12
?31
，求首项
a
1
与公差
d
.

变式：在等差数列
?
a
n
?
中， 若
a
5
?6
，
a
8
?15
，求公差d及
a
14< br>.










小结：在等差数列
{a
n
}
中，公差d可以由数列中任意 两项
a
m
与
a
n
通过公式

例2 在等 差数列
?
a
n
?
中，
a
2
?a
3
?a
10
?a
11
?36
，求
a
5
?a
8
和
a
6
?a
7
.


















变式：在等差数列
?
a
n
?
中，已知
a
2
?a
3
?a
4
?a
5
?34
，且
a
2
a
5
?52
，求公差d.






a
m
?a
n
?d
求出.
m?n

小结：在等差数列中，若m+n=p+q，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
，可以使得计算简化.
※ 动手试试

练1. 在等差数列
?
a
n
?中，
a
1
?a
4
?a
7
?39
， < br>a
2
?a
5
?a
8
?33
，求
a< br>3
?a
6
?a
9
的值.
















练2. 已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，问它们有多少个相同项？

三、总结提升
※ 学习小结

1. 在等差数列中，若m+n=p+q，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
注意：
a
m
?a
n
?a
m?n
，左右两边项数 一定要相同才能用上述性质.
a?a
n
2. 在等差数列中，公差
d?
m
.
m?n

※ 知识拓展

判别一个数列是否等差数列的三种方法，即：
（1）
a
n?1
?a
n
?d
；
（2）
a
n
?pn?q(p?0)
；
（3）
S
n
?an
2
?bn
.
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 一个等差 数列中，
a
15
?33
，
a
25
?66
， 则
a
35
?
（ ）.
A. 99 B. 49.5 C. 48 D. 49
2.

等差数列
?a
n
?
中
a
7
?a
9
?16
，
a
4
?1
，则
a
12
的值为（ ）.
A . 15 B. 30 C. 31 D. 64
3. 等 差数列
?
a
n
?
中，
a
3
，
a< br>10
是方程
x
2
?3x?5?0
，则
a
5< br>?a
6
＝（ ）.
A. 3 B. 5 C. －3 D. －5
4. 等差数列
?
a
n
?
中，
a2
??5
，
a
6
?11
，则公差d＝ .
5. 若48，a，b，c，－12是等差数列中连续五项，则a＝ ，b＝ ，c＝ .

课后作业

1. 若
a
1
?a
2
?









?a
5
?30
，
a
6
?a
7
??a
10
?80
， 求
a
11
?a
12
??a
15
.

2. 成等差数列的三个数和为9，三数的平方和为35，求这三个数.















§2.3 等差数列的前n项和(1)


学习目标

1. 掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；
2. 会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.

学习过程

一、课前准备
（预习教材P
42
~ P
44
，找出疑惑之处）
复习1：什么是等差数列？等差数列的通项公式是什么？



复习2：等差数列有哪些性质？




二、新课导学
※ 学习探究

探究：等差数列的前n项和公式