高中数学必修3高考知识点-高中数学解答题解题策略的价值
《必修五 知识点总结》
第一章:解三角形知识要点
一、正弦定理和余弦定理
1、正弦定理:在
???C
中,
a
、
b
、
c
分别为角
?
、
?
、
C
的对边,,则有
abc
???2R
sin?sin?sinC(
R
为
???C
的外接圆的半径)
2、正弦定理的变形公式:
①
a?2Rsin?
,
b?2Rsin
?
,
c?2RsinC
;
②
sin??
c
ab<
br>,
sin??
,
sinC?
;
2R
2R2R
③
a:b:c?sin?:sin?:sinC
; <
br>3、三角形面积公式:
S
???C
?
111
bcsin??a
bsinC?acsin?
.
222
222
b
2
?c2
?a
2
4、余弦定理:在
???C
中,有
a?b?c
?2bccos?
,推论:
cosA?
2bc
a
2
?c
2
?b
2
222
cosB?
b?a?c?2accosB
,推论:
2ac
a
2
?b
2
?c
2
c?a?b?2abcosC
,推论:
cosC?
2ab
222
二、解三角形
处理三角形问题,必须结合三角形全
等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型,特
别要多角度(几何作图,三角函数定义,正、余弦定理
,勾股定理等角度)去理解“边边角”
型问题可能有两解、一解、无解的三种情况,根据已知条件判断解
的情况,并能正确求解
1、三角形中的边角关系
(1)三角形内角和等于180°;
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(2)三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边;
(3)三角形中大边对大角,小边对小角;
(4)正弦定理中,a=2R·sinA,
b=2R·sinB, c=2R·sinC,其中R是△ABC外接圆半径.
(5)在余弦定理
中:2bccosA=
b
2
?c
2
?a
2
.
(6)三角形的面积公式有:S=
1111
ah,
S=absinC=bcsinA=acsinB ,
2222
S=
P(P?
a)?(P?b)(P?c)
其中,h是BC边上高,P是半周长.
2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形
(1)已知两角及一边,求其它边角,常选用正弦定理.
(2)已知两边及其中一边的对角,求另一边的对角,常选用正弦定理.
(3)已知三边,求三个角,常选用余弦定理.
(4)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角,常选用余弦定理.
(5)已知两边和其中一边的对角,求第三边和其他两个角,常选用正弦定理.
3、利用正、余弦定理判断三角形的形状
常用方法是:①化边为角;②化角为边.
4、三角形中的三角变换
(1)角的变换
因为在
△
ABC中,
A+B+C=π,所以sin(A+B)=sinC
;
cos(A+B)=-
cosC
;
tan(A+B)=
-
tanC。
sin
A?BCA?BC
?cos,cos?sin
;
2222
(2)三角形边、角关系定理及面积公式,正弦定理,余弦定理。
r为三角形内切圆半径,p
为周长之半
(3)在△ABC中,熟记并会证明:∠A,
∠B,∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°;
△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A,∠
B,∠C成等差数列且a
,
b
,
c成等比数列.
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三、解三角形的应用
1.坡角和坡度:
坡面与水平面的锐二面角叫做坡角,坡面的
垂直高度
h
和水平宽度
l
的比叫做坡度,用
i
表示,根据定
义可知:坡度是坡角的正切,即
i?tan
?
.
α
2.俯角和仰角:
h
l
如图所示,在同一铅垂面内,
在目标视线与水平线所成的夹角中,目标视线在水平视线
的上方时叫做仰角,目标视线在水平视线的下方
时叫做俯角.
3. 方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为
?
.
注:仰
角、俯角、方位角的区别是:三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言
的,而方位角是相对于正
北
方向而言的。
4. 方向角:
相对于某一正方向的水平角.
第 3 页 共 21 页
5.视角:
由物体两端射出的两条光线,在眼球内交叉而成的角叫做视角??
第二章:数列知识要点
一、数列的概念
1、数列的概念:
一般地,按一
定次序排列成一列数叫做数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项,数
列的一般形式可以写成
a
1
,a
2
,a
3
,L,a
n
,L
,简记为数列
?
a
n
?
,其中第一项
a
1
也成为首项;
a
n
是数列的第
n
项,也叫做数列的通项.
数列可看作是定义域为正整数集
N
(或它的子集)的函数,当自变量从小到大取值时,
该函数对应的一列函数值就是这个数列.
?
2、数列的分类:
按数列中项的多数分为:
(1) 有穷数列:数列中的项为有限个,即项数有限;
(2) 无穷数列:数列中的项为无限个,即项数无限.
3、通项公式:
第 4 页 共 21 页
如果数列
?
a
n
?
的第
n
项
a
n
与项数
n
之间的函数关系可以用一个式子表示成
a
n
?f
?
n
?
,那么这个式子就叫做这个数列的通项公式,数列的通项公式就是相应函数的解
析式.
4、数列的函数特征:
一般地,一个数列
?
a
n
?
,
如果从第二项起,
每一项都大于它前面的一项,即
a
n?1
?a
n
,那么这个数列叫做
递增数列;
如果从第二项起,每一项都小于它前面的一项,即
a
n?1
?a
n
,那么这个数列叫做递减数列;
如果数列
?
a
n
?
的各项都相等,那么这个数列叫做常数列.
5、递推公式:
某些数列相邻的两项(或几项)有关系,这个关系用一个公式来表示,叫做递推公式.
二、等差数列
1、等差数列的概念:
如果一个数列从第二项起,每一项与前一项的
差是同一个常数,那么这个数列久叫做等差数
列,这个常数叫做等差数列的公差.
即
a
n?1
?a
n
?d
(常数),这也是证明或判断一个数列是否为等
差数列的依据.
2、等差数列的通项公式:
设等差数列
?a
n
?
的首项为
a
1
,公差为
d
,则
通项公式为:
a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d?a
m
?
?
n?m
?
d,
?
n
、m?N
?
?
.
3、等差中项:
第 5 页 共 21 页
(1)若
a、A、b
成等差数列,则
A
叫做
a
与
b
的等差中项,且
A=
a?b
;
2
(2)若数列
?
a
n
?为等差数列,则
a
n
,a
n?1
,a
n?2
成
等差数列,即
a
n?1
是
a
n
与
a
n?2
的等差中项,
且
a
n?1
=
a
n
?an?2
a?a
n?2
;反之若数列
?
a
n
?<
br>满足
a
n?1
=
n
,则数列
?
a
n
?
是等差数列.
22
4、等差数列的性质:
(1)等差数列
?
a
n
?
中,若
m?n?p?q
?
m、n、p、q?N
?
?
,
则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
,若
则
a
m?a
n
?2a
p
;
m?n?2p,
(2)若数列?
a
n
?
和
?
b
n
?
均为等
差数列,则数列
?
a
n
?b
n
?
也为等差数列;
(3)等差数列
?
a
n
?
的公差为
d
,则
d?0?
?
a
n
?
为递增数列,
d?0?
?
a
n
?
为递减数列,
d?0?
?
a
n<
br>?
为常数列.
5、等差数列的前n项和
S
n
:
(1)数列
?
a
n
?
的前n项和
S
n=
a
1
?a
2
?a
3
?L?a
n?1
?a
n
,
?
n?N
?
?
;
?
S
1
,n?1
S
.
(2)数列
?a
n
?
的通项与前n项和
n
的关系:
a
n?
?
S?S,n?2
?
nn?1
(3)设等差数列
?<
br>a
n
?
的首项为
a
1
,
公差为
d<
br>,则前n项和
S
n
=
n
?
a
1
?a
n
?
n
?
n?1
?
?na
1
?d
.
22
6、等差数列前n和的性质:
(1)等差数列
?
a
n
?
中,连续m项的和仍组成等差数列,即
a
1
?a
2
?L?a
m
,a
m?1
?a
m?2
?L?a
2m
,
a
2m?1
?a
2m?2?L?a
3m
,仍为等差数列(即
S
m
,S
2m
?S
m
,S
3m
?S
2m
,L
成等差数列);
第 6 页 共 21 页
n
?<
br>n?1
?
dd
??
d=n
2
?
?
a
1
?
?
n,
当
d?0
时,
S
n<
br>可(2)等差数列
?
a
n
?
的前n项和
S
n
=na
1
?
222
??
看作关于n的二次函数,且不含常数
项;
(3)若等差数列
?
a
n
?
共有2n+1(
奇数)项,则
S
奇
?S
偶
=a
n?1
中间项且??
S
奇
n?1
=,
若
S
偶
n
等差数列
?
a
n
?
共有2n(偶数)项,则
S
偶
?S
奇
=nd且
S
偶
a
n?1
=.
S
奇
a
n
7、等差数列前n项和
S
n
的最值问题:
设等差数列
?<
br>a
n
?
的首项为
a
1
,
公差为
d<
br>,则
(1)
a
1
?0且d?0
(即首正递减)时,
S
n
有最大值且
S
n
的最大值为所有非负数项之和;
(2
)
a
1
?0且d?0
(即首负递增)时,
S
n
有最
小值且
S
n
的最小值为所有非正数项之和.
三、等比数列
1、等比数列的概念:
如果一个数列从第二项起,每一项与前一项的比是同一个不为零的常数
,那么这个数列
就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母
q
表
示(
q?0
).
即
a
n?1
?q
?
q为
非零常数
?
,这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据.
a
n
2、等比数列的通项公式:
设等比数列
?
a
n
?
的首项为
a
1
,公比为
q
,则通项公式为:
a
n
?a
1
q
n?1
?a
m
q
n?m
,
?
n?m,n、m?N
?
?
.
3、等比中项:
(1)若
a、A、b
成等比数列,则A
叫做
a
与
b
的等比中项,且
A=ab
;
第 7 页 共 21 页
2
(2
)若数列
?
a
n
?
为等比数列,则
a
n
,
a
n?1
,a
n?2
成等比数列,即
a
n?1
是<
br>a
n
与
a
n?2
的等比中项,
且
a
n?1
=a
n
?a
n?2
;反之若数列
?
a
n
?
满足
a
n?1
=a
n
?a
n?2<
br>,则数列
?
a
n
?
是等比数列.
22
4、等比数列的性质:
(1)等比数列
?
a
n
?
中,若
m?n?p?q
?
m、n、p、q?N
?
?
,
则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
,
若
2
则
a
m
?a
n
?a
p
; <
br>m?n?2p,
(2)若数列
?
a
n
?
和
?
b
n
?
均为等比数列,则数列
?
a
n
?b
n
?
也为等比数列;
(3)等比数列
?
an
?
的首项为
a
1
,公比为
q
,则
?
a
1
?0
?
a
1
?0
?
a1
?0
?
a
1
?0
为递增数列,
或?a或?<
br>?
a
n
?
为递减数列,
??
????
n<
br>q?10?q?10?q?1q?1
????
q?1?
?
a
n
?
为常数列.
5、等比数列的前n项和:
(1)数列
?
a
n
?
的前n项和
S
n
=
a
1
?a
2
?a
3
?L?a
n?1
?a
n,
?
n?N
?
?
;
(2)数列
?
a
n
?
的通项与前n项和
S
n
的关系:
a
n
?
?
S
1
,n?1
.
?
Sn
?S
n?1
,n?2
?
?
na
1
,
q?1
?
(3)设等比数列
?
a
n
?
的首项为a
1
,公比为
q
?
q?0
?
,则
S<
br>n
?
?
a
1
?
1?q
n
?
.
,q?1
?
?
1?q
由等比数列的通项公式及前n项和
公式可知,已知
a
1
,q,n,a
n
,S
n
中任意
三个,便可建立方
程组求出另外两个.
6、等比数列的前n项和性质:
设等比数列
?
a
n
?
中,首项为
a
1
,公
比为
q
?
q?0
?
,则
第 8 页
共 21 页
(1)连续m项的和仍组成等比数列,即
a
1
?a
2
?L?a
m
,a
m?1
?a
m?
2
?L?a
2m
,
a
2m?1
?a
2m?2
?L?a
3m
,仍为等比数列(即
S
m
,S
2m
?S
m
,S
3m
?S
2m
,L
成等差数列); <
br>(2)当
q?1
时,
S
n
?
a
1
?
1?q
n
?
1?q
?
a
1
aaaa
?
?
1?q
n
?
?
1
?
1<
br>?q
n
?
1
?q
n
?
1
,
1?q1?q1?qq?1q?1
设
a
1
?t
,则
S
n
?tq
n
?t
.
q?1
四、递推数列求通项的方法总结
1、递推数列的概念:
一般地,把数列的若干连续
项之间的关系叫做递推关系,把表达递推关系的式子叫做递
推公式,而把由递推公式和初始条件给出的数
列叫做递推数列.
2、两个恒等式:
对于任意的数列
?
a
n
?
恒有:
(1)
a
n
?a
1
?
?
a
2
?a
1?
?
?
a
3
?a
2
?
?
?<
br>a
4
?a
3
?
?L?
?
a
n
?a
n?1
?
(2)
a
n
?a
1?
a
2
a
3
a
4
a
???L?
n
,
?
a
n
?0,n?N
?
?
a
1
a
2
a
3
a
n?1
3、递推数列的类型以及求通项方法总结:
类型一(公式法):
已知
Sn
(即
a
1
?a
2
?L?a
n
?f(
n)
)求
a
n
,用作差法:
a
n
?
?S
1
,(n?1)
S
n
?S
n?1
,(n?2)
类型二(累加法):
已知:数列
?
a
n
?的首项
a
1
,且
a
n?1
?a
n
?f
?
n
?
,
?
n?N
?
?
,求通项a
n
.
第 9 页 共 21 页
p>
给递推公式
a
n?1
?a
n
?f
?n
?
,
?
n?N
?
?
中的n依次取1,2,3
,……,n-1,可得到下面n-1个式
子:
a
2
?a
1
?f
?
1
?
,a
3
?a
2
?f
?
2
?
,a
4
?a
3
?f
?
3?
,L,a
n
?a
n?1
?f
?
n?1
?
.
利用公式
a
n
?a
1
?
?
a
2
?a
1
?
?
?
a
3
?a
2
?
?
?
a
4
?a
3
?<
br>?L?
?
a
n
?a
n?1
?
可得:
a
n
?a
1
?f
?
1
?
?f
?
2
?
?f
?
3
?
?L?f
?
n?
1
?
.
类型三(累乘法):
已知:数列
?
an
?
的首项
a
1
,且
a
n?1
?f<
br>?
n
?
,
?
n?N
?
?
,求
通项a
n
.
a
n
给递推公式
a
n?1
?f
?
n
?
,
?
n?N
?
?
中的
n一次取1,2,3,……,n-1,可得到下面n-1个式子:
a
n
a
2
aaa
?f
?
1
?
,
3
?f
?<
br>2
?
,
4
?f
?
3
?
,L,
n
?f
?
n?1
?
.
a
1
a
2
a
3
a
n?1
利用公式
a
n
?
a
1
?
a
2
a
3
a
4
a
???L?
n
,
?
a
n
?0,n?N
?
?
可得:
a
1
a
2
a
3
a
n?1
a
n
?a
1
?f
?
1
?
?f?
2
?
?f
?
3
?
?L?f
?
n?1
?
.
类型四(构造法):
形如
a
n?1
?pa
n
?q
、
a
n?1
?pa
n
?q
n
(
k,b,p,q
为常数)的递推数
列都可以用待定系数法
转化为公比为
k
的等比数列后,再求
a
n
。
a
n
?1
?t?p(a
n
?t)
,①
a
n?1
?pa<
br>n
?q
解法:把原递推公式转化为:其中
t?
再利用换元法转化为等比
数列求解。
q
,
1?p
n
②
a
n?1
?
pa
n
?q
解法:该类型较要复杂一些。一般地,要先在原递推公式两边同
除
以
q
n?1
,得:
a
n?1
p
a
n
1
a
n
??
b
???b?
引入辅助数列(其中),得:<
br>n
n
q
n?1
q
q
n
q
q
n
b
n?1
?
p1
b
n
?
再应
用
a
n?1
?pa
n
?q
的方法解决。
qq
第 10 页 共 21 页
类型五(倒数法):
已知:数列
?
a
n
?
的首项
a
1
,且
a
n?1
?
通项a
n
.
pa
n
,
?
r?0,n?N
?
?
,求
qa
n
?r
a
n?1
?
pa
n
1qa?r1r
q1r1q
??
n
???????
qa
n
?ra
n?1
pa
n
a
n?1
pa
n
pa
n?1
pa
n
p
11
rq
,则b
n?1
?.
?b
n?1
??b
n
?
,
a
na
n?1
pp
设
b
n
?
若
r?p,<
br>则
b
n?1
?b
n
?
q
qq
?b<
br>n?1
?b
n
=
,即数列
?
b
n
?
是以为公差的等差数列.
p
pp
若
r?p,
则
b
n?1
?
rq
b
n
?
(转换成类型四①).
pp
五、数列常用求和方法
1.公式法
直接应用等差数列、等比数列的求和公式,以及正整数的平方和公式,立方和公式等公
式求解.
2.分组求和法
一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列
组成,则求和时可用分组求
和法,分别求和而后相加减.
3.裂项相消法
第 11 页 共 21 页
把数列的通项拆成两项之差,在求和时一些正负项相互抵消,于是前n项和就变成了首
尾少数项之和.
4.错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应
项的乘积组成的,此时可把
式子
S
n
?a
1
?a
2
?L?a
n?1
?a
n
的两边同乘以公比
q(q?0且q?
1)
,得到
qS
n
?a
1
q?a
2
q?L
?a
n?1
q?a
n
q
,两式错位相减整理即可求出
Sn
.
5、常用公式:
1、平方和公式:
1?2?L
?
n?1
?
?n?
222
2
n
?
n?1
??
2n?1
?
6
2
2
?
n<
br>?
n?1
?
?
333
1?2?L?n?1?n?
2、
立方和公式:
1?2?L
?
n?1
?
?n?
??
?
?
??
?
2
?
??
3
3、裂项公式:
11111
?
11
?
?
分式裂项:??;
???
??
?
n
?n?1
?
nn?1n
?
n?k
?
k
?
nn?k
?
?
.
?
111
?
根式裂项:?n?1?n;
??n?k?n
?
n?n?1n?n?k
k
?
??
六、数列的应用
1、零存整取模型:
银行有一种叫作零存整取的储蓄业
务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;
到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规
定每次存入的钱不计复利.
注:单利的计算是仅在原本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利
息.其公式为:利息
=本金×利率×存期.以符号p代表本金,n代表存期,r代表利率,s代表本金和
利息和(即本利和),
则有s=p(1+nr).
零存整取是等差数列求和在经济方面的应用.
第 12 页 共 21
页
2、定期自动转存模型:
银行有一种储蓄业务为定
期存款自动转存.例如,储户某日存入一笔1年期定期存款,1年
后,如果储户不取出本利和.则银行自
动办理转存业务,第2年的本金就是第1年的本利和.
注:复利是把上期末的本利和作为下一期的本金
,在计算时每一期本金的数额是不同的.复利
的计算公式是:s=p(1+r)n.
定期自动转存(复利)是等比数列求和在经济方面的应用.
3、分期付款模型:
分期付款要求每次付款金额相同外,各次付款的时间间隔也相同.分期付款总额要大于一
次性付
款总额,二者的差额与分多少次付款有关,且付款的次数越少,差额越大.分期付款是等
比数列的模型.
采用分期付款的方法,购买售价为a元的商品(或贷款a元),,每期付款数相同,购买
后1个
月(或1年)付款一次,如此下去,到第n次付款后全部付清,如果月利率(或年利
率)为b,按复利计
算,那么每期付款x元满足下列关系:
设第n次还款后,本利欠款数为
a
n
,则
a
1
?
a
?
1?b
?
?x,
a
2
?a
1
?
1?b
?
?x,a
3
?a
2
?
1?b<
br>?
?x,L,a
n
?a
n?1
?
1?b
?<
br>?x,
由
a
n
?a
n?1
?
1?
b
?
?x?a
n
?
xx
??
?
?
1?b
?
?
a
n?1
?
?
知,
bb??
数列
?
a
n
?
?
?
x
?
xxx
??
a??a1?b?x??1?ba?
是以
????
?
1
??
为首项,
q?
?
1?b
?
为公
比
b
?
bbb
??
的等比数列.
?a
n
?
x
?
x
?
x
?
x
?
?
n
?
n?1
?
?
?
?
a
1
??
?q
n?1
?
?
?
1?b
?
?a?
?
?
?
?
1?b
?
?
?
a?
?
?
1?b
?
,
b
?
b
?<
br>b
?
b
?
?
?
?
?
x
?<
br>x
n
?
?a
n
?
?
a?
?
?
1?b
?
?
.
b
?
b
?
ab
?
1?b
?
x
?
x
n
?
令
a
n
?0
得:
?
a?
?
?
1?b
?
?=0
,
?x?
n
b
?
b
?
?
1?b
?
?1
第 13 页
共 21 页
n
第三章:不等式知识要点
一、不等式的解法
1、不等式的同解原理:
原理1:不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所
得不等式与原不等式是
同解不等式;
原理2:不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数或同
一个大于零的整式,所得不等式与
原不等式是同解不等式;
原理3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数或同一个小于零的整式,并把不等式改
第 14 页 共 21 页
变方向后所得不等式与原不等式是同解不等式。
2、一元二次不等式的解法:
一元二次不等式的解集的端点值是对应二次方程的根,是对应二
次函数的图像与x轴交点的
横坐标。
二次函数
(
的图象
)
有两相异实根
有两相等实根
无实根
注意:
(1)一元二次方程
ax?bx?c?0(a?0)
的两根
x
1
,x
2
是相应的不等式
2
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的解集的端点的取值,是抛物线
y?ax
2
?bx?c(a?0)
与
x
轴的
交点的横坐标;
(2
)表中不等式的二次系数均为正,如果不等式的二次项系数为负,应先利用不等式的性
质转化为二
次项系数为正的形式,然后讨论解决;
(3)解集分
??0,??0,??0
三种情
况,得到一元二次不等式
ax?bx?c?0(a?0)
与
2
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的解集。
3、一元高次不等式的解法:
解高次不等式的基本思路是通过因式分解,将它转化成
一次或二次因式的乘积的形式,
然后利用数轴标根法或列表法解之。
数轴标根法原则:(1)“右、上”(2)“奇过,偶不过”
第 15 页 共 21 页
4、分式不等式的解法:
(1)若能判定分母(子)的符号,则可直接化为整式不等式。
(2)若不能判定分母(子)的符号,则可等价转化:
?
f
?
x<
br>?
?g
?
x
?
?0
f
?
x
?
f
?
x
?
?0?f
?
x
?
?g
?
x
?
?0;?0?
?
.
gx?0
g?
x
?
g
?
x
?
??
?
?<
br>f
?
x
?
?g
?
x
?
?0
f
?
x
?
f
?
x
?
?0?f
?<
br>x
?
?g
?
x
?
?0;?0?
?
.
gx?0
g
?
x
?
g
?
x?
??
?
5、指数、对数不等式的解法:
(1)
a
f
?
x
?
?a
g
?
x
?
?
a?1
?
?f
?
x
?
?g
?
x
?
;
a
f
?
x
?
?a
g
?
x
?
?
0?a?1
?
?f
?
x
?
?g
?
x
?
(2)
log
a
f
?
x
?
?log
a
g
?
x<
br>?
(a?1)?f
?
x
?
?g
?
x?
?0;
log
a
f
?
x
?
?log
a
g
?
x
?
(0?a?1)?0?f
?
x
?
?g
?
x
?
6、含绝对值不等式的解法:
f
?
x
?
?a
?<
br>a?0
?
?f
?
x
?
??a或f
?
x
?
?a;
f
?
x
?
?a
?
a?
0
?
??a?f
?
x
?
?a.
f
?
x
?
?g
?
x
?
?f
?
x
?<
br>??g
?
x
?
或f
?
x
?
?g?
x
?
;
f
?
x
?
?g<
br>?
x
?
??g
?
x
?
?f
?
x
?
?g
?
x
?
.
f
?
x?
?g
?
x
?
?f
2
?
x
?
?g
2
?
x
?
.
对于含有多个绝对值的不等式,利
用绝对值的意义,脱去绝对值符号。
二、基本不等式
1、基本不等式:
若
a?0
,
b?0
,则
a?
b
?ab
,当且仅当
a?b
时,等号成立.
2
a?b称为正数
a
、
b
的算术平均数,
ab
称为正数
a
、
b
的几何平均数.
2
第 16 页 共
21 页
a?b
?
变形应用:
ab?
?
??
?
a?0,b?0
?
,当且仅当
a?b
时,
等号成立.
?
2
?
2、基本不等式推广形式:
2a?b
2
a
2
?b
2
如果
a,b?R
,则≥≥
ab
≥,当且仅当
a?b
时,等号成立.
11
2
2
?
ab
?
3、基本不等式的应用:设
x
、
y
都为正数,则有:
s<
br>2
⑴若
x?y?s
(和为定值),则当
x?y
时,积
xy
取得最大值.
4
⑵若
xy?p
(积为定值),则当
x
?y
时,和
x?y
取得最小值
2p
.
注意:在应用的时候,必须注意“一正二定三相等”三个条件同时成立。
4、常用不等式:
若a、b?R,则a
2
?b
2
?2ab?2ab; 2?
a
2
?b
2
?
?
?
a?b
?
2
第 17 页 共 21 页
三、简单的线性规划问题
1、二元一次不等式表示平面区域:
在平面直角坐标系中,已知直线Ax+By+C
=0,坐标平面内的点P(x
0
,y
0
)
B>0时,①Ax
0
+By
0
+C>0,则点P(x
0
,y
0
)在
直线的上方;②Ax
0
+By
0
+C<0,则点P(x
0
,
y
0
)在直线的下方
对于任意的二元一次不等式Ax+By+C>0(或<
0),无论B为正值还是负值,我们都可
以把y项的系数变形为正数
当B>0时,①Ax+B
y+C>0表示直线Ax+By+C=0上方的区域;②Ax+By+C<0表示直
线Ax+By+C=
0下方的区域
2、线性规划:
求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题
满足线性约
束条件的解(x,y)叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域(类
似函数的定义域);使目标
函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解生产实际中有许多
问题都可以归结为线性规划问题
3、线性规划问题一般用图解法,其步骤如下:
(1)根据题意,设出变量x、y;
(2)找出线性约束条件;
(3)确定线性目标函数z=f(x,y);
(4)画出可行域(即各约束条件所示区域的公共区域);
(5)利用线性目标函数作平行直线系f(x,y)=t(t为参数);
(6)观察图形,找
到直线f(x,y)=t在可行域上使t取得欲求最值的位置,以确定最优解,
给出答案
第 18 页 共 21 页
四、典型解题方法总结
1、线性目标函数问题
当目标函
数是线性关系式如
z?ax?by?c
(
b?0
)时,可把目标函数变形为<
br>az?c
,
x?
bb
z?c
则可看作在
在y轴上的截距,然后平移直线法是解决此类问题的常用方法,通过比较
b
y??
目标函
数与线性约束条件直线的斜率来寻找最优解,一般步骤如下:
(1)做出可行域;
(2)平移目标函数的直线系,根据斜率和截距,求出最优解.
?
x?y≥?1,
?
【例1】设变量
x,y
满足约束条件
?
x?y≤4,则目标函数
z?2x?4y
的最大值为
?
y≥2
?
A.
10
B.
12
C.
13
D.
14
2、非线性目标函数问题的解法
当目标函数
时非线性函数时,一般要借助目标函数的几何意义,然后根据其几何意义,
数形结合,来求其最优解。近
年来,在高考中出现了求目标函数是非线性函数的范围问题.
这些问题主要考察的是等价转化思想和数形
结合思想,出题形式越来越灵活,对考生的能力要
求越来越高.常见的有以下几种:
(1)比值问题
当目标函数形如
z?
y?a
时,可把z看作是动点
P(x,y)
与定点
Q(b,a)
连线的斜率,这
x?b
样
目标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。
?
?
x-y+2≤0,<
br>y
【例2】已知变量x,y满足约束条件
?
x≥1,
则
的取值范围是( ).
x
?
?
x+y-7≤0,
99
(A)[,6]
(B)(-∞,]∪[6,+∞)
55
(C)(-∞,3]∪[6,+∞)
(D)[3,6]
第 19 页 共 21 页
(2)距离问题
当目标函数形如
z
?(x?a)?(y?b)
时,可把z看作是动点
P(x,y)
与定点
Q(a
,b)
距
离的平方,这样目标函数的最值就转化为PQ距离平方的最值。
22
?
?
2x+y-2≥0,
22
【例3】已知
?
x-2y+
4≥0,
求x+y的最大值与最小值.
?
?
3x-y-3≤0,
(3)截距问题
?
x+y?0
?
2
【例4】不
等式组
?
x?y?0
表示的平面区域面积为81,则
x?y
的最小值
为_____
?
x?a
?
(4)向量问题
uuuru
uur
?
x?4y?3?0,
OP?OA
?
ur
的最大值【
例5】已知点P的坐标(x,y)满足:
?
3x?5y?25,
及A(2,0),则<
br>uuu
OA
?
x?1?0.
?
是 .
3、线性变换问题
【例6】在平面直角坐标系xOy中,已知平面区域A={(x,y)|x
+y≤1,且x≥0,y≥0},则
平面区域B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面积为
.
4、线性规划的逆向问题
24
【例7】给出平面区域如图所示.若当且仅当x=,y=
35
时,目标函数z=ax-y取最小值,则实数a的取值范
围是
.
第 20 页 共 21 页
第 21 页 共 21 页
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