人教版 高中数学必修5 余弦定理教案

余 弦 定 理

一、教学内容分析
人教 版《普通高中课程标准实验教科书·必修（五）》（第2版）第一章《解三角形》
第一单元第二课《余弦 定理》。通过利用向量的数量积方法推导余弦定理，正确理解其结构
特征和表现形式，解决“边、角、边 ”和“边、边、边”问题，初步体会余弦定理解决“边、
边、角”，体会方程思想，激发学生探究数学， 应用数学的潜能。
二、学生学习情况分析
本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知 识和正弦定理有关内容，对于三角形
中的边角关系有了较进一步的认识。在此基础上利用向量方法探求余 弦定理，学生已有一定
的学习基础和学习兴趣。总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待 与分析问
题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时，能够激发学生热爱数学的思想感情；从
具体问题 中抽象出数学的本质，应用方程的思想去审视，解决问题是学生学习的一大难点。
三、设计思想 新课程的数学提倡学生动手实践，自主探索，合作交流，深刻地理解基本结论的本质，
体验数学发现 和创造的历程，力求对现实世界蕴涵的一些数学模式进行思考，作出判断；同
时要求教师从知识的传授者 向课堂的设计者、组织者、引导者、合作者转化，从课堂的执行
者向实施者、探究开发者转化。本课尽力 追求新课程要求，利用师生的互动合作，提高学生
的数学思维能力，发展学生的数学应用意识和创新意识 ，深刻地体会数学思想方法及数学的
应用，激发学生探究数学、应用数学知识的潜能。
四、教学目标
继续探索三角形的边长与角度间的具体量化关系、掌握余弦定理的两种表现形式 ，体会
向量方法推导余弦定理的思想；通过实践演算运用余弦定理解决“边、角、边”及“边、边、边”问题；深化与细化方程思想，理解余弦定理的本质。通过相关教学知识的联系性，理解
事物间的 普遍联系性。
五、教学重点与难点
教学重点是余弦定理的发现过程及定理的应用；教学难点 是用向量的数量积推导余弦定
理的思路方法及余弦定理在应用求解三角形时的思路。

六、
教学过程：
教学
环节
合作探究活动 学情分析与设计意图
1、一般三角形全等的四种判断方法是什么？
知识
回顾
2、三角形的正弦定理内容
决哪几类问题的三角形？
abc
??
，主要解
回顾旧知，防止遗忘
sinAsinAsinC
你能判断下列三角形的类型吗？
1、以3，4，5为各边长的三角形是_____三角形
创设
引入
以2，3，4为各边长的三角形是_____三角形
以4，5，6为各边长的三角形是_____三角形
学生可能比较茫然，
帮助学生分 析相关内
容，从多角度看待问
2、在△ABC中a＝8，b＝5，∠c＝60°，你能求c边长 吗？ 题，用实践进行检验。
引导学生从平面几何、实践作图方面进行估计判断。
提出
问题
你能够有更好的具体的量化方法吗？ 引导学生从相关知识
帮助学生从平面几何 、三角函数、向量知识、坐标法等方面入手，选择简洁的工
进行分析讨论，选择简洁的处理工具，引发学 生的积极讨论。 具。
利用向量法推导余弦定理：
如图：设
CB?a,CA?b,AB?C,
，
由三角形法则有
c?a?b

A
学生对向量知识可能
遗忘，注意复习；在
b
a

c
利用数量积时，角度
B
可能出现错误，出现
不同的表示形式，让
学生从错误中发现问
题，巩固向量知识，
明确向量工具的作
用。同时，让学生 明
确数学中的转化思
想：化未知为已知。
合作
探究
c?c?c? a?b?a?b
　　?a?a?b?b?2a?b
　　?a
2
?b
2
?2abcosc
2
????
C
即：△ABC中:c
2< br>?a
2
?b
2
?2abcosc
同理，让学生利用相同方法推 导，
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA,b< br>2
?a
2
?c
2
?2acosB

余弦定理：
a?b?c?2bccosA

归纳
概括
22 2
b
2
?a
2
?c
2
?2accosB

c?a?b?2abcosC

三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边
与它们夹角的余弦的积的两倍。 < br>观察余弦定理，指明了三边长与其中一角的具体关系，并发
现a与A，b与B，C与c之间的对应 表述，同时发现三边长
的平方在余弦定理中同时出现
222
知识归纳比较，发现
特征，加强识记
使学生明确对应关
系，树立方程思想，
解决“边、角、边”
问题
结构
分析
知识
联系
b
2
?c
2
?a
2
余弦定理的推论：
cosA?

2bc
a
2
?c
2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2
cosB?

cosC?

2ac2ab
解决“边、边、边”
问题
用准确的量化关系去
方法
应用
解决问题，用边长去
怎样准确地解答引入中的两个问题？
怎样利用已知条件判断三角形的形状？
判断三角形形状，勾
股定理是余弦定理特
例。
应用数学知识求解问
题加强计算器的运算
知识
应用
例1：在△ABC中，已知b＝60cm，c＝34cm， A
功能，同时，巩固好
＝41°，求解三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）
正弦定理，余弦定理
例2：在△ABC中，已知a＝134.6cm，b＝87.8cm，c＝161 .7cm，
知识，发现两种知识
解三角形（角度精确到1′）
方法在解三角形中的
综合应用。

继续深化正弦、余弦
例3：已知△ABC中
a?3,b?
知识
深化
3,sinA?
6
求c边长
3
定理，尤其是余弦定
理的方 程思想求解问
题优越于余弦定理。
分析：（1）用正弦定理分析引导
222
（2）应用余弦定理
a?b?c?2bccosA
构造关于
并让学生初步发现
C的方程求解。
（3）比较两种方法的利弊。能用正弦定理解决的问题
均可以用余弦定理解决，更具有优越性。
“边、边、角”问题
解法，为下节学习辅
垫。
1、某人站在山顶向下看一列 车队向山脚驶来，他看见第一辆
车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆与第三辆车的俯角
差， 则第一辆车与第二辆车的距离
d
1
与第二辆车的距离
d
2
之 间关系为（ ）
A：
d
1
>
d
2
B：
d
1
=
d
2

练习
检测
C：
d
1
<
d
2
D：大小不确定
2、锐角△ABC中b＝1，c＝2，则a取值为（ ）
A：（1,3） B：（1,
3
）
C：（
3
，2） D：（
3
，
5
）
3、在△ABC中若有
acosA?bc osB
，你能判断这个三角
形的形状吗？若
acosB?bcosA
呢？ < br>用练习去巩固所学知
识，使学生逐步形成
良好的知识结构，加
强数学知识应用能 力
的培养。
课堂
小结
1、正弦、余弦定理各能解决哪些类型问题？各有什么利与
弊？
2、从本课中你学到了哪些知识和方法？
通过知识回顾，使学
生各自体会收获。
板书
设计
1、推导余弦定理及其推论
2、例3、例4
3、练习指导
4、小结投影正弦、余弦定理，比较它们理解知识

作业
设计
1、讨论余弦定理的其它解法设计思路。
2、第11页A组3、4题
巩固知识
多角度看待问题
七、教学反思
本课的教学应具有承上启下的目的。因此在教学设计 时既要兼顾前后知识的联系，又要
使学生明确本课学习的重点，将新旧知识逐渐地融为一体，构建比较完 整的知识系统。所以
在余弦定理的表现方式、结构特征上重加指导，只有当学生正确地理解了余弦定理的 本质，
才能更好地应用求解问题。本课教学设计力求在型（模型、类型），质（实质、本质），思
（思维、思想方法）上达到教学效果。本课之前学生已学习过三角函数，平面几何，平面向
量、解析几 何、正弦定理等与本课紧密联系的内容，使本课有了较多的处理工具，也使余弦
定理的探讨有了更加简洁 的工具。因此在本课的教学设计中抓住前后知识的联系，重视数学
思想的教学，加深对数学概念本质的理 解，认识数学与实际的联系，学会应用数学知识和方
法解决一些实际问题。学生应用数学的意识不强，创 造力不足、看待问题不深入，很大原因
在于学生的知识系统不够完善。因此本课运用联系的观点，从多角 度看待问题，在提出问题、
思考分析问题、解决问题等多方面对学生进行示范引导，将旧知识与新知识进 行重组拟合及
提高，帮助学生建立自己的良好知识结构。
点评：
本课是在学生学习 了三角函数、平面几何、平面向量、正弦定理的基础上而设置的教学
内容，因此本课的教学有较多的处理 办法。李老师从解三角形的问题出发，提出解题需要，
引发认知冲突，激起学生的求知欲望，调动了学生 的学习积极性；在定理证明的教学中，引
导学生从平面几何、三角函数、向量知识、坐标法等方面进行分 析讨论，注意分析思路，揭
示蕴含在证明中的数学思想，最后引导学生用向量知识推导出公式，在给出余 弦定理的三个
等式和三个推论之后，又对知识进行了归纳比较，发现特征，便于学生识记，同时也指出了
勾股定理是余弦定理的特殊情形，提高了学生的思维层次。
命题的应用是命题教学的一个重要 环节，学习命题的重要目的是应用命题去解决问题。
所以，例题的精选、讲解是至关重要的。设计中的例 1、例2是常规题，让学生应用数学知
识求解问题，巩固正弦定理、余弦定理知识。例3是已知两边一对 角，求解三角形问题，可
用正弦定理求之，也可用余弦定理求解，通过比较分析，突出了正、余弦定理的 联系，深化
了对两个定理的理解，培养了解决问题的能力。但李老师在对例3解法的总结时，指出“能< br>用正弦定理解决的问题均可以用余弦定理解决，更具有优越性。”这结论有点片面。
本课在继承 了传统数学教学模式优点，结合新课程的要求进行改进和发展，以发展学生
的数学思维能力为主线，发挥 教师的设计者，组织者作用，在使学生掌握知识的同时，帮助
学生摸索自己的学习方法。