高中数学必修五--常见题型归类

题型归类 人教版数学必修（五）
- 1 -
高中数学必修五

1.1解三角形

必修五第一章 解三角形

山石

题型1三角形解的个数

1.△ABC中，已知
a?x,b?2,B?
60°，如果△ABC 两组解，则x的取值范围
A
x?2
B．
x?2
C．
2?x?

44
3
D
2?x?3
( )
33
2.在△ABC中，若b=2
2
,a=2，且三角形有解，则A的取值范围是 ( )
A.0°＜A＜30° B.0°＜A≤45° C.0°＜A＜90° D.30°＜A＜60°




题型2 判断三角形的形状

1.
?
ABC中，a = 2 b cosC，则这个三角形一定是 （ ）
A 等腰三角形 B 直角三角形 C 等腰直角三角形 D 等腰或直角三角形


2.△ABC中，
abc
，则△ABC一定是 （ ）
??
cosAcosBsinC
A 直角三角形 B 钝角三角形 C等腰三角形 D等边三角形

3.若△
ABC
的三个内角满足
sinA:sinB:sinC?5:11:13
，则△
ABC
______________．



4.在△ABC中，若
sinA?sinB?sinC
?
cosA?cosB
?
，判断△ABC的形状________。

- 2 -
题型归类 人教版数学必修（五）
题型3 三角形中求值问题

1.边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( )
A 90°B 120° C 135° D 150°


2.在△
ABC
中，若
b?2asinB
，则
A
等于 （ ）
A．
30或60
B
45或60
C。
120或60
D．
30或150



4
00000000
3. 在
?
ABC中，三边a，b，c与面积s 的关系式为
s?
3
(a
2
?b
2
?c
2< br>),
则角C 为
A
30
B
45
C
60
D
90
( )


4.在△
ABC
中，
A
＝60 °，
b
＝1，其面积为
3
，则
A．3
3
B．
????
a?b?c
等于
sinA?sinB?sinC
2398339
C． D． ( )
332


5.在ΔABC中，A=60°, c:b=8:5,内切圆的面积为12
?
，则外接圆的半径为_____.


6.在△
ABC
中，
a
、
b
、
c
分别是角
A
、
B
、
C
的对边，且8 sin
（1）求角
A
的大小；
（2）若a＝
3
，b＋c＝3，求b和c的值．




7.△ABC的内角A,B,C所对的边长为a,b,c,且acosB=3,bsinA=4
（1）求a
（2）若三角形的面积为10,求其周长





题型4 三角形的取值范围问题

2
B?C
－2 cos 2
A
＝7．
2

题型归类 人教版数学必修（五）
- 3 -
1.已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是 （ ）
A.
1?x?5
B．
5?x?13
C．
0?x?5
D．
13?x?5



2.已知
?
ABC中， AB=1，BC=2，则角 C的取值范围是 （ ）
A
0?C?
?
?
??
??
B
0?C?
C
?C?
D
?C?

626263


3.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足csinA=acosC．
（Ⅰ）求角C的大小；
?
（Ⅱ）求
3
sinA- cos（B+
4
）的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小。

4.在锐角三角形
ABC
中，角
A
、
B
、
C< br>的对边分别为
a
、
b
、
c
.向量
u
222
=
(a?c?b,3ac),

v
=
(cosB,sinB),且
u∥v
.
（I）求角
B
； （Ⅱ）求
sinA?sinC
的最大值.






5．在
?ABC
中 ，
22(sin
2
A?sin
2
C)?(a?b)sinB
．它的外接圆半径为
2
．
（1）求角
C
的大小． （2）求
CA?CB
的最大值．






题型5 解三角形的实际应用

1.甲船在岛B的正南方A处，AB＝ 10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，
同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东6 0°的方向驶去，当甲，乙两
船相距最近时，它们所航行的时间是 （ ）
A．


15015
分钟 B．分钟 C．21.5分钟 D．2.15分钟
77

- 4 -
题型归类 人教版数学必修（五）
2.飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C得俯角为30°，向 前飞行
10000米，到达B处，此时测得目标C的俯角为75°，这时飞机与地面目标的水
平 距离为 （ ）
A．5000米B．5000
2
米 C．4000米D．
40002
米


3.A、B两点都在河的 对岸（不可到达），在河岸选取相距40米的C、D两点，测得
?BCA?60?
，
? ACD?30?
，
?CDB?45?
，
?BDA?60?
，求A、B 两点间
的距离。






4.代号 为“狂飙”的台风于某日晚8点在距港口的
A
码头南偏东60°的400千米的
海面上 形成，预计台风中心将以40千米／时的速度向正北方向移动，离台风中心
350千米的范围都会受到台 风影响，则
A
码头从受到台风影响到影响结束，将持
续_______小时．



5.一卫星在赤道A的正上空的轨道B处，北纬30°的C城与点B在同一子午线上，
在C 城观察此卫星的仰角为30°，地球半径为R km,则A,B的距离是 ．



6.某渔船遇险，发出求救信号，我军舰在
A
处获悉，测出该渔船在方位角为45°、
距离
A
为10海里的
C
处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向 ，以9海里／ｈ
的速度向某小岛
B
靠拢，我军舰立即以21海里／ｈ的速度前去营救， 试问舰艇应
按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间







7.在海岛A上有一座海拔1km的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮
船在岛北30东、俯角为60的B处，到11时10分，又测得该船在岛北60西、
俯角为30的C处，如图。
?
???

题型归类 人教版数学必修（五）
- 5 -
（1）求船的航行速度是每小时多少千米？
（2）又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？













必修五第二章 数列


2.1数列的概念

题型1 通项公式

1.已知数列
?
a
n< br>?
，
a
1
=2，
a
n?1
=
an
+3
n
+2，求
a
n
﹒

2.在数列
?
a
n
?
中，已知
a
1
? 1,
有
na
n?1
?
?
n?1
?
a
n
，(
n?2
)求数列
?
a
n
?
的通项 公
式﹒



3.在数列
?
a
n
?
中，
a
1
?1
，当
n?2
时，
a
n
?3a
n?1
? 2
，求数列
?
a
n
?
的通项公式。



4.在数列
{a
n
}
中，
a
1
?1,a
n?1
?


5.已知数列{
a
n
}中，
a
n
=
A．第12项
a
n
，求数列
{a
n
}
的通项公式﹒
2 a
n
?1
n
(
n∈N
)，则数列{
a
n< br>}的最大项是 （ ）
n
2
?156
B．第13项 C．第12项或13项 D．不存在

- 6 -
题型归类 人教版数学必修（五）


2
6.数列
{a
n
}
的前
n
项积为
n
，那么当
n?2
时，
{a
n
}
的通项公式为 （ ）
n
2
(n?1)
2
A.
a
n
?2n?1
B.
a
n
?n
C.
a
n
?
D.
a
n
?

(n?1)
2
n
2
2


题型2 已知
S
n
，求
a
n
。

n
1在 数列
{a
n
}
中，
a
1
?a
2
? a
3
?L?a
n
?3
，求数列
{a
n
}< br>的通项公式﹒


2
2.数列{
a
n
}的 前
n
项和
S
n
?2n?n
+1，求
{a
n
}
的通项公式。


3.数列{
a
n
} 的前
n
项和
S
n
，满足
log
2
(Sn
?1)?n?1
求
{a
n
}
的通项公式。




题型3 已知
S
n
?f(a
n
)
问题。
1.数列{
a
n
}的前
N
项和为
S
n
，
a
1
=1，
a
n
+1
=2
S
n
(n?N)< br>. 求
{a
n
}
的通项
a
n
.



2.已知在正整数数列
{a
n
}
中，前
n
项和
S
n
满足
S
n
?
项公式.






n?
3.已知数列
{a
n
}
的前n项和为
S
n
，已知
a
1< br>?a
，
a
n?1
?S
n
?3n?N
，若*
1
(a
n
?2)
2
，求数列
{a
n
}
的通
8
b
n
?S
n
?3
n，求数列
{b
n
}
的通项公式﹒

题型归类 人教版数学必修（五）
- 7 -






2
4.已知数列
?
a
n
?
的各项均为正数，前n项和为
S
n
，且满足
2S
n
?a
n
?n?4
，求数
列
?
a
n
?
的通项公式。







2.2等差数列

题型1 判断等差数列的方法

n
1.在数列
?
a
n
?
中，
a
1
?1,a< br>n?1
?2a
n
?2
，
b
n
?
（ Ⅰ）证明
?
b
n
?
是等差数列;
（Ⅱ）求数列
{a
n
}
的通项公式






a
n
,
n?1
2

2a
n
2.已知数列
{a
n
}
满足
a
1
?1
，
a
n?1
?
，则
{a
n
}
的通项公式 ______ 。
a
n
?2


题型2 等差数列求值

1.等差数列
?
a
n
?
的公差为
1
，
S
100
=145，则
a
1
?a
3
?a
5
???a
99
的值为 ( )
2
2
A．60 B．85 C.
145
D．75

- 8 -
题型归类 人教版数学必修（五）
2.设等差数列
?
a
n
?
的前n项 和为
S
n
，
a
7
?5,S
7
?21
，求
S
10



3.设
S
n
是等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和,且


4.等差数列
{a
n
}
,
{b
n
}
的前
n
项和分别为
S
n
,
T
n
,若
S
3
1
S
?
，则
9
?
．
S
6
3
S
12
S
n
a
2n< br>?
,则
n
= （ ）
T
n
3n?1b
n
22n?1
2n?12n?1
A B． C． D．
33n?4
3n?13n?1




题型3 等差数列性质

1.等差数列
{a
n
}
中，
a
1
?3a
8
?a
15
?120,则2a
9
?a
10
?

（ ）
A．24 B．22 C．20 D．-8 （ ）


2.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为
A.3 B.4 C.5 D.2 （ ）


3.设
S
n
是等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和,
S
n
?20
，
S
2n
?38
，则
S
3n
= 。


4.已知
?
a
n
?
是等差数列．(1 )前四项和为21，末四项和为67，且各项和为286，则
项数 。


?
b
n
?
的前n项的和分别是
S
n、
T
n
，5.等差数列
?
a
n
?
、< br>

S
n
a
7n?1
?
，则
11
?
__ 。
T
n
4n?27b
11
22
6.已知方程
(x?2x?m)(x?2x?n)?0
的四个根组成一个首项为
4
的等差数列，< br>1

题型归类 人教版数学必修（五）
- 9 -
则
|m?n|?
______ 。


题型4 等差数列的前n项和

1.设等差数列
?
a
n
?
的前n项和为
s
n
，已知
a
3
?24,s
11?0
，
（1）当n= 为何值时
S
n
最大；
（2）当
a
n
?0
，
n
的最大值 ；
（3）当
a
n
?0
，
n
的最小值 。


2.已知
?
a
n
?
是等差数列．(1 )前四项和为21，末四项和为67，且各项和为286，则
项数 。

3 .等差数列{a
n
}中，S
15
＞0，S
16
＜0，则使a
n
＞0成立的n的最大值为( )
A．6 B．7 C．8 D．9


4.设
S
n
是等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和，已知
S
6
?36,S
n
?324,S
n?6
?144,
则
n
=________.



题型5 已知等差数列
?
a
n
?
，求数列
a
n
的前n项和
Tn
。
1.数列
?
a
n
?
的前n项和为
s
n
?12n?n
（Ⅰ）求数列
{a
n
}
的通项 公式。
（Ⅱ）求数列
a
n
的前n项和
T
n
。





2
??
，
??
2.3等比数列


题型1 判断等比数列的方法

- 10 -
题型归类 人教版数学必修（五）

*
1.在数列
?
a
n
?
中，
a
1
?2
，
a
n?1
?4a
n
?3n?1
，
n?N
．
（1）证明数列
?
a
n
?n
?
是等比数列； （2）设数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
，求
S
n?1
?4S
n
的最大值。






2.在数列
?
a
n
?
中，
a
1
?1
，当
n?2
时，
a
n
?3a
n?1
? 2
，求数列
?
a
n
?
的通项公式

< br>3.已知数列
?
a
n
?
的前n项和为
S
n< br>,S
n
?(a
n
?1)(n?N
?
).

（Ⅰ）求
a
1
,a
2
；
（Ⅱ）求证数列
?
a
n
?
是等比数列，并求数列
{a
n
}
的通项公式。
1
3




题型2 等比数列的通项公式，等比中项

3、3
是 （ ） 1.已知实数
a、b、c
成等差数列，那么
3、
A.等差数列 B.既是等比数列又是等差数列
C. 等比数列 D. 既不是等比数列又不是等差数列


2.在等比数列
?
a
n
?
中, 若
a
4< br>?1,a
8
?16
，则
a
6
及
a
4
,a
8
的等比中项分别为
A．4、
?4
B．
?4
、
?4
C．
?4
、4 D．4、4 ( )


3.已知{
a
n
}为等比数列，
a
4
＋
a
7
＝2，
a
5
a
6< br>＝－8，则
a
1
＋
a
10
＝ ( )
A．7 B．5 C．－5 D．－7


4.已知 a
1
,a
2
…，a
8
为各项都大于零的等比数列，公比q≠ 1,则 ( )
A a
1
+a
8
＞a
4
+a
5
B a
1
+a
8
＜a
4
+a
5

abc

题型归类 人教版数学必修（五）
- 11 -
C a
1
+a
8
=a
4
+a
5
D a
1
+a
8
与a
4
+a
5
的大小关系 不能由已知条件确定


5.已知
1,a
1
,a
2
,4
成等差数列，
1,b
1
,b
2
,b
3
,4
成等比数列，则
a
2
?a
1
等于（ ）
b
2
A、
1
B、
?
1
C、
1
D、
1
或
?
1

42222








题型3 等比数列性质

1.公比为2的等比数列{a
n
}的各项都是正数，且a
3
a
11
＝16，则log
2
a
10
＝ ( )


2.已知{a
n
}是等比数列，且a
n
＞0,a
2
a
4
+2a
3
a
5
+a
4
a
6< br>=36,那么a
3
+a
5
的值等于（ ）
A. 6 B. 12 C. 18 D. 24


5678
3等比数列
n
中， 已知
1234
，则数列
n
的前16项和
为 。


4.已知{
a
n
}为等比数列，
a
4
＋
a
7
＝2，
a
5
a
6
＝－8， 则
a
1
＋
a
10
＝( )
A．7 B．5 C．－5 D．－7



S
4
?10S
2< br>，5.各项均为正数的等比数列{
a
n
}前
n
项和是
S
n
，则该数列的公比是_ .
{a}
a?a?a?a?10,a?a? a?a??5
{a}
在等比数列
?
a
n
?
的前n项 和中，
a
1
最小，且
a
1
?a
n
?66, a
2
a
n?1
?128
，前n项
和
S
n< br>?126
，求n和公比q

- 12 -
题型归类 人教版数学必修（五）
139
6.已知等差数列
{ a
n
}
的公差
d?0
，且
a
1
,a
3
,a
9
成等比数列，则的
a
2
?a
4
?a
10
a?a?a
值是

7.等 比数列
{a
n
}
中，已知
a
1
?a
2?a
3
?a
4
?10,a
5
?a
6
? a
7
?a
8
??5
，则数列
{a
n
}
的前16项和为 。

8.已知等比数列
?
a
n
?
的前
n
项和是
S
n
．则
(1)
S?2
,
S?6
,则
S
= 。
4n
n2n
(2)
a
3
?2
，
a
9
?18
，则a
6
= 。
(3)
a
2
?2
，< br>a
10
?18
，则
a
6
= 。

题型4 等比数列的前n项和

1.设
S
n
为等比数列 {
a
n
}的前
n
项和，8
a
2
－
a
5
＝0，则＝
A．5 B．8 C．－8 D．15 ( )


2.在正项数列{a
n
}中，a
1
＝2，点(a
n
，a
n－1
)(n≥2)在直线x－2y＝0上，则数列{a
n
}的前n项和S
n
＝________．


3.公差不为零的等差数列{
a
n
}中，
a
3
＝7 ，又
a
2
，
a
4
，
a
9
成等比数 列．
(1)求数列{
a
n
}的通项公式；
(2)设
b< br>n
＝2
a
n
，求数列{
b
n
}的前
n
项和
S
n
.



S
4S
2
S
4
?10S
2
，4.各项均为正数的等比数列{
a
n
}前
n
项和是
S
n
，则该数列的公比 是 .


1
5.等比数列{a
n
}的首项为1，公 比为q，前n项和为S，则数列{}的前n项之和S
n
a
n
为_______ _．

题型归类 人教版数学必修（五）
- 13 -


6.若数列{
a
n
}成等比数列,且
a
n
>0, 前n项和为80,其中最大项为54,前2n项之和为
6560,求
S
100




7.已知数列
{a
n
}中,a
n< br>?0(n?N),
其前
n
项和为
S
n
，且
S
1
?2
，当
n?2
时，
S
n
?2a
n
。
（1）求数列
{a
n
}
的通项公式。 < br>（2）若
b
n
?log
2
a
n
，求数列{b
n
}
的前
n
项和
T
n
。






题型5 几项等差数列、等比数列的设法

1.成等差数列的四个数的和为
26
，第 二数与第三数之积为
40
，求这四个数．


2.若三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，则这三个数是 。



2.4数列求和


题型1 分组求和

1.数列
1,2,3
1
3
1
9
11,4,
L
的前
n
项和是 .
2781



题型2 错位相减

1.求数列
{n?2}
的前n项和.



n

- 14 -
题型归类 人教版数学必修（五）



23n
2.设a为常数，求数列a，2a，3a，…，na的前n项和。





题型3 裂项求和

1
1.数列{a
n
}
的通项公式
a
n
?
，它的前n项和为
S
n
?9
，则
n?


n?1?n
A.9 B.10 C.99 D.100 ( )
2.数列1，
1
1? 2
，
1
，…，
1?
1?2?3
1
的前n项和为 （ ）
2?????n
n
A．
2n
B．
2n
C．
n?2
D．
2n?1

n?12n?1n?1


3.求和：


111
??
L
??
.
1? 44?7(3n?2)?(3n?1)
(2n)
2
4.数列
{a
n< br>}
满足
a
n
?
则数列前
n
项和
S< br>n
＝________________
(2n?1)(2n?1)




题型4 倒序相加法

1.设
f(x)?

4
x
，则
f(
1)?f(
2
)???f(
2009
)?
________.
x
2
4?2

题型归类 人教版数学必修（五）
- 15 -


题型5 并项求和

1.
1?2?3?4?5?6???99?100
＝____________________.



n?1
2.数列
{a
n
}
满足
a
n
?(?1)(4n?3)
，前
n
项和为
S
n
，则
S
12
?
____.
S
17
?
___。
22222222





必修五第三章 不等式



3.1不等关系与不等式

题型1 不等式性质

1. 设
a?b?0
，下列不等式一定成立的是 （ ）
A．
a
2
?ab?b
2
B．
b
2
?ab?a
2
C．
a
2
?b
2
?ab
D．
ab?b
2
?a
2



2. 设
a?b?0
，则下列不等式成立的是 （ ）
a?ba?b
2ab2ab

??ab
B．
?ab?
a?ba?b
22
a?b
2ab
a?b
2ab< br>?ab
D．C．
??ab?
a?ba?b
22
A．

ab
2
?4?b??3
，求
a?b，a?b，，ab，
的取 值范围。 3. 设
2?a?3，
ba



4. 已知< br>?1?a?b?5
，
?1?a?b?3
，求
3a?2b
的取值 范围。

- 16 -
题型归类 人教版数学必修（五）


5. 设f(x)＝ax
2
＋bx，若1≤f(－1)≤2，2 ≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是




题型2 比较大小

1.求证
(a?b)(c?d)?(ac?bd)


2.已知a>0,b>0,a+b=1,求证(1+)(1+)≥9.
22222

3.2一元二次不等式

题型1 解一元二次不等式

1.不等式
?1?x?2x?1?2
的解集为 .



2.解关于
x
的不等式
ax
2
?(4 a?3)x?12?0
。



题型2 解分式不等式

1．解关于
x
不等式
（1）
2
5x?1
．
16
?x?1

?8?3
（2）
x?3
x?1






题型3 解绝对值不等式

题型归类 人教版数学必修（五）
- 17 -
1．不等式1<|
x
－2|≤7的解集为 ( )
A.{
x
|
x
>0或
x
≤3} B.{
x
|－5<
x
≤1或3≤
x
<9}
C.{
x
|5≤
x
≤9} D.{
x
|－5≤
x
<1或3<
x
≤9}


2
2.设
A
={
x
||
x
+1 |≤2}，
B
={
x
|
x
－5
x
+6≥0 }，则
A
、
B
的关系为 ( )
B.A=B D.A∩B=
?



3.不等式（1＋x）（1－｜x｜）＞0的解集是 （ ）
A.｛x｜0≤x＜1
}
B.｛x｜x＜0且x≠－1
}

C.｛x｜－1＜x＜1
}
D.｛x｜x＜1且x≠－1
}





题型4 解高次不等式

2
(x?2)(x?2x?3)?0
的解集是______ ____________. 1．不等式


?x
2
?2x?3
?0
2.解关于
x
不等式
x?1


题型5 已知一元二次不等式解集，求系数。
1.若不等式
ax
+
bx
+2>0的解集是
{x|?
2
11

?x?}
，则
a?b
的值是 ．
23


2.关于
x
不等式
kx
2?kx?1?0
的解是全体实数，求
k
的取值范围 （ ）
A．
(0,4)
B．
[0,4]
C．
(??,0]?[4,??)
D．
[0,4)




题型6 一元二次方程根的分布

2
1.已知关于 x的二次方程x＋2mx＋2m＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1，

- 18 -
题型归类 人教版数学必修（五）
0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的取值范围；




2
2.已知关于x的二次方程x＋2mx-8＝0.若方程有根在区间(1，4)内，求m的取 值
范围。


3.3二元一次不等式与简单的线性规划

题型1 不含参数的线性规划问题

1.点(0，0)和点(-1，1)在直线2x+y+m=0的同侧，则m的取值范围是 ( )
A.m＞1或m＜0 B.m＞2或m＜1 C.0＜m＜1 D.1＜m＜2
2.不等式|
x
|＋|
y
|≤1所表示的平面区域的面积为____．



?
x
－
y
＋2≤0，
?< br>3.已知变量
x
，
y
满足约束条件
?
x
≥1 ，

?
?
x
＋
y
－7≤0，
（1）则z
＝2
x
＋
y
的最大值等于
（2）则的取值范围是________．







题型2 含参数的线性规划问题

?
x－y≥0，
y
x
22
（3）则
z
＝(
x
+1)＋(< br>y
－
5
)的取值范围是________．
?
1.若满足条 件
?
x＋y－2≤0
，的整点(x，y)恰有9个，中整点是指横、纵坐标都是整?
?
y≥a
数的点，则整数a的值为
A．－3 B．－2 C．－1 D．0 ( )

题型归类 人教版数学必修（五）
- 19 -

x－y＋2≥0，
?
?
2.若满足条件
?
x＋y－2≥0，
的点P(x，y)构成三角形区域，则实数k的取值范围
?
?
kx－y－2k＋1≥ 0
是________．


?
?
x－3y＋6≥0，< br>3.实数x，y满足约束条件
?
当a>0，b>0时z＝ax＋by的最大值为12，< br>?
x－y≤0，
?
11
则＋的最小值为 ( )
ab
11
A. B． C．1 D．2
42


4.在如图所示的坐标平面的可行域(阴影部分且包括边
界)内，目标函数
z?2x?ay
取得最小值的最优解有
无数个，则a为
A．－2 B．2 C．－6 D．6 （ ）


题型3 线性规划应用问题

1要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格 ，每张钢板可同时截得三种规格
的小钢板的块数如下表所示：
规模类型
A规格 B规格 C规格
钢板类型

第一种钢板
2 1 1
第二种钢板 1 2 3
今需要A、B、C三种规格的成品分别至少为 15、18、27块，问各截这两种钢板多
少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？


3.4基本不等式

题型1 利用基本不等式求函数最值

1.求
f(x)?4x?


9
(x>5)的最小值 .
x?5

- 20 -
题型归类 人教版数学必修（五）
2.求
f(x)?
4x
x?8
2
的最大值 .


3.若a>1,b>1,则log
a
b+log
b
a≥ .


4.已知0<
x
<1，则
f(x)?2?log
2
x?
5
的最大值是________．
log
2
x



题型2 利用基本不等式求多元变量最值

ab
1．设
a
、
b是实数，且
a
＋
b
＝3，则2＋2的最小值是
28
2．若
x?0
，
y?0
，且
??1
，求
xy
的范围.
xy


3.已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是
A. 3 B. 4 C. 2 D.
11
2



4．已知
x,y
为正实数，且
2x?8y?xy?0
，求
x?y
的最小值 . [来
源:]


5.已知x>1,y>1且xy=16,则log
2
x·log
2
y ( )
A有最大值2 B等于4 C有最小值3 D有最大值4

6.已知x>0,y>0,且x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为 ( )
A.16 B.25 C.9 D.36


y
2
?8
，则
x6?2y
2
的最大值________．7.若
x?0,y?0
，且
2x?
．
3
2


8.函数y=
a
1?x
（a＞0 ，a≠1）的图象恒过定点A，若点在直线mx+ny-1=0（mn＞0）

题型归类 人教版数学必修（五）
- 21 -
上，则

9.设M=(
11
+的最小为 .
mn
111
+
-1)(-1)(-1)，且a+b+c=1（a、b、c∈R），则M的取值范围是（ ）
abc
11
A.[0，] B.[ ，1） C.［1，8）D.［8，+∞）
88
16
的最小值是 （ ）
b(a?b)


10.已知
a?b?0
，则
a?
2
A．4 B．8 C．16 D．32



题型3 不等式恒成立、存在问题

1.设
a?0,b?0
，给出下列不等式：其中恒成立的是__
①
a?1?a
； ②
?
a?
③
?
a?b
?
?
2
?
?
1
??1
?
??
b?
?
?4
；
a
??< br>b
?
?
11
?
?
?
?4
； ④
a
2
?9?6a
.
?
ab
?
2.已知 不等式(x+y)(+)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为
A.2 B.4 C.9 D.16 ( )


3.若对任意
x?0
，

4.已知 不等式（x+y）(
x
?a
恒成立，则
a
的取值范围是 ．
2
x?3x?1
1a
?
)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正 实数a的最小
xy
值为 （ ）
A.2 B.4 C.6 D.8


22
5.对于满足等式x+（y-1）=1的一切实数x、y，不等式x +y+c≥0恒成立，则实数
c的取值范围是 （ ）

- 22 -
题型归类 人教版数学必修（五）
A.（-∞，0］ B.［
2
，+∞） C.［
2
-1，+∞） D.［1-
2
，+∞）

6.存在
x?
?
?2,3
?
，使得
f(x)?m
成立，则
m
的取值范围 ．



题型4 运用基本不等式解应用题

1.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可 能出现的亏损.某投
资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超
过10 万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，则投资人对甲、乙两个项
目各投资多少万元才能使可 能的盈利最大？



2
2.某村计划建造一个室内面积为72 m的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左、右两侧与
后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地.当矩形温室的边长
各为多少时蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？[来源:学科网Z XXK]



3.一批救灾物资随17列火车以v千米小时的速度匀速直 达400千米处的灾区，为
了安全起见，两辆火车的间距不得小于
(
少需要____小 时.


v
2
)
千米，问这批物资全部运到灾区最
20

22
4. 已知
AC、BD
为圆
O
:
x?y?4< br>的两条相互垂直的弦，垂足为
M1,2
,
则四边形
ABCD
的 面积的最大值为 。
科网ZXXK]

5．在
?ABC
中，
22(sin
2
A?sin
2C)?(a?b)sinB
．它的外接圆半径为
2
．
（1）求角
C
的大小． （2）求
b?c
的最大值．




??

题型归类 人教版数学必修（五）
- 23 -


5.直线
l
过 点M（2，1）且直线
l
在x、y两个正半轴上的截距分别为
a
、
b
，O为原
点.
（1）求
ab
的最小值。
（2）求
a?16b
的最小值。