高中数学必修五知识点与练习题

二)数列
1

(

2

(三)不等式


3

4

新课标人教版必修5高中数学 综合检测试卷

1．如果
log
3
m?log
3
n?4
，那么
m ?n
的最小值是（ ）
A．4 B．
43
C．9 D．18
2、数列
?
a
n
?
的通项为
a
n
=
2n?1
，
n?N
*
，其前
n
项和 为
S
n
，则使
S
n
>48成立的
n
的最小 值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3、若不等式
8x?9?7
和不等式
ax
2
?bx?2?0
的解集相同， 则
a
、
b
的值为（ ）
A．
a
=﹣8
b
=﹣10 B．
a
=﹣4
b
=﹣9 C．
a
=﹣1
b
=9 D．
a
=﹣1
b
=2
4、△ABC中，若
c?2acosB
，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形
1
5、在首项为21，公比为的等比数列中，最接近1的项是（ ）
2
A．第三项 B．第四项 C．第五项 D．第六项
a
6、在等比数列
?
a
n
?
中，a
7
?a
11
=6，
a
4
?a
14< br>=5，则
20
等于（ ）
a
10
233223
A． B． C．或 D．﹣或﹣
322332
7、△ABC中，已知
(a?b?c)(b?c?a)?bc
， 则A的度数等于（ ）
A．
120
B．
60
C．
150
D．
30

8、数列
?
an
?
中，
a
1
=15，
3a
n?1
? 3a
n
?2
（
n?N
*
），则该数列中相邻两项的乘积是负 数的是（ ）
A．
a
21
a
22
B．
a
22
a
23
C．
a
23
a
24
D．
a
24
a
25

9、某厂去年的产值记为1，计划在今 后五年内每年的产值比上年增长
10%
，则从今年起到第五年，
这个厂的总产值为（ ）
A．
1.1
4
B．
1.1
5
C．
10?(1.1
6
?1)
D．
11?(1.1
5
?1)

10、已知钝角△ABC的最长边为2， 其余两边的长为
a
、
b
，则集合
P?
?
(x,y) |x?a,y?b
?
所表示
的平面图形面积等于（ ）
A．2 B．
?
?2
C．4 D．
4
?
?2

11、在△ABC中，已知BC=12，A=60°，B=45°，则AC=
12．函数
y?lg(12?x?x
2
)
的定义域是
13．数列
?
a
n
?
的前
n
项和
s
n
?2a
n
?3(n?N
*
)
，则
a< br>5
?

?
2x?y?2
?
14 、设变量
x
、
y
满足约束条件
?
x?y??1
，则
z?2x?3y
的最大值为
?
x?y?1
?
15、《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus)是 世界上最古老的数学著作之一。书中有一道这样的题目：
1
把100个面包分给五人，使每人成 等差数列，且使最大的三份之和的是较小的两份之和，则
3
最小1份的大小是
16、已知数列
?
a
n
?
、
?
b
n
?
都是等差数列，
a
1
=
?1
，
b1
??4
，用
S
k
、
S
k
'
分别表示数列
?
a
n
?
、
?
b
n
?
的
前
k
项和（
k
是正整数），若
S
k< br>+
S
k
'
=0，则
a
k
?b
k的值为
cosBb
??
17、△ABC中，
a, b,c
是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且
cosC2a?c
（1）求∠B的大小；
5

（2）若
a
=4，
S?53
，求
b
的值。















18、已知等差数列
?
an
?
的前四项和为10，且
a
2
,a
3
,a< br>7
成等比数列
（1）求通项公式
a
n

（2）设b
a
n
?2
n
，求数列
b
n
的前n
项和
s
n












19、已知：
f(x)?a x
2
?(b?8)x?a?ab
，当
x?(?3,2)
时，
f(x)?0
；
x?(??,?3)?(2,??)
时，
f(x)?0
（1）求
y?f(x)
的解析式
（2）c为何值时，
ax
2
?bx?c?0
的解集为R.










6

20、某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD，公园由长方形的休闲区A
1
B
1
C
1
D
1
（阴影部分）和环公园人行道组成。已知休闲区A
1
B
1
C
1
D
1
的面积为4000平方米，人行道的宽分别为
4米和10米。 （1）若设休闲区的长
A
1
B
1
?x
米，求公园ABC D所占面积S关于
x
的函数
S(x)
的解析式；
（2）要使公园所 占面积最小，休闲区A
1
B
1
C
1
D
1
的 长和宽该如何设计？











D
D
1
C
1

C
4米
A
1
A
10米
B
1

4米
10米
B
?
x?0?
21、设不等式组
?
y?0
所表示的平面区域为
D
n
，记
D
n
内的格点（格点即横坐标和纵坐标均
?
y??nx ?3n
?
为整数的点）个数为
f(n)(n?N
*
)

（1）求
f(1),f(2)
的值及
f(n)
的表达式；
f(n)?f(n?1)
（2）记
T
n
?
，试比较
T
n
与T
n?1
的大小；若对于一切的正整数
n
，总有
T< br>n
?m
成立，
2
n
求实数
m
的取值范围；
（3）设
S
n
为数列
?
b
n
?
的 前
n
项的和，其中
b
n
?2
f(n)
，问是否存在 正整数
n,t
，使
立？若存在，求出正整数
n,t
；若不存在，说明 理由










S
n
?tb
n
1
?
成
S
n?1
?tb
n?1
16
7

必修5综合测试
1.D; 2.B; 3.B; 4.B; 5.C; 6.C; 7.A; 8.C; 9.D; 10.B;11.
46
; 12.
?
x?3?x?4
?
; 13. 48
14.18; 15.10; 16.5;
17、⑴由
cosB
cosC
??
b< br>2a?c
?
cosB
cosC
??
sinB
2sin A?sinC

?2sinAcosB?cosBsinC??sinBcosC

?2sinAcosB??sinBcosC?cosBsinC

?2sinAcosB??sin(B?C)?2sinAcosB??sinA

? cosB??
1
2
,又0?B?
?
,?B?
2
3< br>?

⑵
由a?4,S?53有S?
113
2
acsi nB?
2
?c?
2
?c?5

b
2
?a< br>2
?c
2
?2accosB?b
2
?16?25?2?4?5 ?
3
2
?b?61

18、⑴由题意知
?
?
4a
1
?6d?10
?
(a
2
a

1< br>?2d)?(
1
?d)(a
1
?6d)
5
?
?
?
a2
?
1
??
?
a
1
??
d?3
或
?
?
2

?
d?0
所以
a
n
?3n?5或a
n
?
5
2
< br>⑵当
a
1
n
?3n?5
时，数列
?
b
n
?
是首项为
4
、公比为8的等比数列
1
(1?8n
)
所以
S
n
?
4
8
n
?1
1?8
?
28

当
a
5
5
5n
?
2
2
时，
b
n
?2
所以
S
n
?2
2
n

综上，所以
S
8
n
?1
5
n
?
28
或
S
n
?2< br>2
n

19、⑴由
x?(?3,2)
时，
f(x)? 0
；
x?(??,?3)?(2,??)
时，
f(x)?0

知：
?3,2
是是方程
ax
2
?(b?8)x?a?ab?0的两根
8

?
?
?
?3?2??
b?8
?
a
?
?
?
?
a??3

?
?
?3?2?
?a?ab
?
b?5
a
? f(x)??3x
2
?3x?18

⑵由
a?0
，知二次函 数
y?ax
2
?bx?c
的图象开口向下
要使
?3x2
?5x?c?0
的解集为R，只需
??0

即
25?12c?0?c?
25
12

∴当
c?< br>25
12
时
ax
2
?bx?c?0
的解集为R. < br>20、⑴由
A
，知
B
4000
1
B
1
?x
1
C
1
?
x

S?(x?20)(
4000
x
?8)

?4160?8x?
80000
x
(x?0)

⑵
S?4160?8x?
80000
x
?4160?28x
80000
x
?5760

当且仅当
8x?
80000
x
即x?100
时取等号 ∴要使公园所占面积最小，休闲区A
1
B
1
C
1
D1
的长为100米、宽为40米.
21、⑴
f(1)?3,f(2)?6

当
x?1
时，y
取值为1，2，3，…，
2n
共有
2n
个格点
当< br>x?2
时，
y
取值为1，2，3，…，
n
共有
n个格点
∴
f(n)?n?2n?3n

9(n?1)(n?2)
⑵
T
f(n)f(n?1)9n(n?1)
T
n?1
n?1
n
?
2
n?2
2
n
?
2
n

?
T
?
n
9n(n?1)
?
2n

2
n
当
n?1,2
时，
T
n?1
?T
n

当
n?3
时，
n?2?2n?T
n?1
?Tn

∴
n?1
时，
T
1
?9

9

n?2,3
时，
T
27
2
?T
3
?
2

n?4
时，
T
n
?T
3

∴
?< br>T
27
n
?
中的最大值为
T
2
?T
3
?
2

要使
T
27
n
?m
对于 一切的正整数
n
恒成立，只需
2
?m
∴
m?
27< br>2

⑶
b
f(n)
n
?2?2
3n
?8
n
?S
8(1?8
n
)8
n
n
?1?8
?
7
(8?1)

?
8
将
S< br>tb
n
n
代入
S
n
?
S
?
1
?
7
?t
?
?
n
8
?
8?7
n?1
?tb
n?1
16
，化简得，
?
?< br>?
1
（﹡）
?
8
?
7
?t
??
n
1
2
?
8?
7
8
n
?< br>8
若
t?1
时
77
18
n
15
8< br>n
1
?
2
,即
7
?
7
，显然
n?1

7
?
7
若
t?1
时
?
?
8115
7
?t
?
?
?
8
n
?
8
?
?
?
7
?0
（﹡）式化简为
?
?
7
?t
?
?
8
n
?
7
不可能 成立
综上，存在正整数
n?1,t?1
使
S
n
?tb
n
S
?
1
成立.
n?1
?tb
n?1
16
10