高中数学必修五《基本不等式》培优专题

高中数学——基本不等式培优专题
培优（
培优（
培优（
培优（
培优（
培优（
培优（
培优（
培优（
培优（
培优（
1）
2）
3）
4）
5）
6）
7）
8）
9）
10）
11）

目录
常规配凑法
1”的代换
换元法
和、积、平方和三量减元
轮换对称与万能k法
消元法（必要构造函数求异）
不等式算两次
齐次化
待定与技巧性强的配凑
多元变量的不等式最值问题
不等式综合应用
1

“

培优（1） 常规配凑法
1.（2018届温州9月模拟）已知
2
a?4
b
?2
（a,b∈R）,则a+2b的最小值为_____________

y
2
?1
，则
x2?y
2
的最大值为_ ____________ 2. 已知实数x,y满足
x?
16
2

11
3.（2018春湖州模拟）已知不等式
(x?my)(?)?9
对任意正实数 x,y恒成立，则正实数m的最小值
xy
是（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8

4.（2017浙江模拟）已知a,b∈R,且a≠1,则
a?b?
1?b
的最小值是_____________
a?1

5.（2018江苏一模）已知a﹥0,b﹥0,且

6.（诸暨市2016届高三5月教学质量检测）已知a﹥b﹥0,a+b=1,则
1
23
??ab
，则ab的最小值是_____________
ab
41
的最小值是_____________
?
a?b2b

7.（2018届浙江省部分市学校高三上学期联考）已知a﹥0,b﹥0,
是（ ）
A.
32
B.
22
C.3 D.2

11
??1
，则a+2b的最小值
a?1b?1







培优（2） “1”的代换
8.（2019届温州5月模拟13）已知正数a,b满足a+b=1,则


9.（2018浙江期中）已知正数a,b满足
2a?
12
?1
则
?b
的最小值为（ ）
ba
b1
?
的最小值为_____________此时a=______
ab
A.
42
B.
82
C.8 D.9

1

14
?
的最小值是_____________
x-yx?3y
1 0.（2017西湖区校级期末）已知实数x,y满足x﹥y﹥0,且x+y=2，则

11. （18届金华十校高一下期末）记max｛x,y,z｝表示x,y,z中的最大数，若a﹥0,b﹥0,则ma x｛a,b,
的最小值为（ ）
A.
2
B.
3
C.2 D.3

a
2
?2b
2
??2
的最小值为___ __________ 12. 已知a,b为正实数,且a+b=2，则
ab?1
13

?
｝
ab

12
??1
，则ab的最大值为_____________ 13. 已知正实数a,b满足
（2a?b）b(2b?a)a

（补充题）已知x,y﹥0, 则
6xy2xy
?
的最大值是_____________
2222
x?9yx?y








1

培优（3） 换元法
14.（2019届超级全能生2月）已知正数x,y满足x+y=1,则
1
1?x
?
1
1?2y
的最小值是（ ）
A.
33
3?2
28
B.
7
2
6
6
C.
5
D.
5



15.（2019届模拟7）已知㏒
2
(a-2)+ ㏒
2
(b-1)≥1，则2a+b取到最下值时ab=（ ）
A.3 B.4 C.6 D.9

16.（2018温州期中）已知实数x,y满足2x﹥y﹥0,且
1
2x ?y
?
1
x?2y
?1
，则x+y的最小值为（
A.
3?234?232?433?43
5
B.
5
C.
5
D.
5


17.（2 018杭州期末）若正数a,b满足a+b=1,则
ab
1?a
?
1?b的最大值是_____________

4x
2
y
2
18.（2017湖州期末）若正实数x,y满足2x+y=2,则
y?1
?
2x? 2
的最小值是_____________

1
）

19.（2018河北区二模）若正数a,b满足
1119
的最小值为（ ）
??1
，则
?
aba?1b?1
A.1 B.6 C.9 D.16

20.（温岭市2016届高三5月高考模拟）已知实数x,y满足xy-3=x+y,且x ﹥1，则y(x+8)的最小值是（ ）
A.33 B.26 C.25 D.21

21. 若正数x,y满足
114x9y
??1
，则
?< br>的最小值为_____________
xyx?1y?1

22.（201 8届嘉兴期末）已知实数x,y满足
4
x
?9
y
?1
，则< br>2
x?1
?3
y?1
的取值范围是_____________

23.（2018上海二模）若实数x,y满足
4
x
?4
y
?2
x?1
?2
y?1
，则S=
2
x
? 2
y
的取值范围是_____________


培优（4） 和、积、平方和三量减元
24.（2019届台州4月模拟）实数a,b满足a+b=4,则ab的最 大值为_____________，
则
(a
2
?1)(b
2?1)
的最小值是_____________

25. (2019届镇海中 学考前练习14)已知正数x,y满足xy(x+y)=4,则xy的最大值为_____________，
2x+y的最小值为_____________

26.（2018春台州期末）已知a,b∈
R
，a+b=2,则的最大值为（ ）
1

2?1
6
C. D.2
2
5
A.1 B.

27.（2016宁2波期末14）若正数x,y满足
x
2
? 4y
2
?x?2y?1
，则xy的最大值是_____________

28.（2018届诸暨市期中）已知实数x,y满足
x4y12xy
???2
，则的最大值为（ ）
yxxyx?2y?1
A.

33?1
2323
?1
D. B. C.
22

33
29.（201 8台州一模）非负实数x,y满足
x
2
?4y
2
?4xy?4x2
y
2
?32
,则x+2y的最小值为_____________，
7(x?2y)?2xy
的最大值是_____________

30. （2018春南京）若x,y∈(0,+∞),
x?
xy?1
y
的取值范围是 _____________
?xy?4,
则
22
xy?2xy?17
2

31 .（2017武进区模拟）已知正实数x,y满足xy+2x+3y=42,则xy+5x+4y的最小值为__ ___________

32.（2017宁波期末）若正实数a,b满足
(2a ?b)
2
?1?6ab
,则




1
ab
的最大值为_____________
2a?b?1

培优（5） 轮换对称与万能k法
33.（2019嘉兴 9月基础测试17）已知实数x,y满足
x
2
?xy?4y
2
?1< br>，则x+2y的最大值为_____________

34.（2016暨阳联谊） 已知正实数x,y满足2x+y=2,则
x?x
2
?y
2
的最小值为 _____________

35. 已知正实数a,b满足
9a
2
?b
2
?1
，则

36. 已知实数a,b,c满足a+b+c=0,

a
2
?b2
?c
2
?1
则a的最大值为_____________

37.（2018届杭二高三下开学）若
9x
2
?4y
2
? 6xy?1
，x∈R，y∈R，则9x+6y的最大值为_____________



ab
的最大值为_____________
3a?b
培优（6） 消元法（必要构造函数求异）
38.（2016十二校联考 13）若存在正实数y,使得
xy1
?
，则实数x的最大值为___________ __
y?x5x?4y

39.（2019届镇海中学5月模拟13）已知a,b∈
R
?
，
且a+2b=3,则
1
12
?
的最小值是_____________，
ab

12
的最小值是_____________
?
a
2
b
2

40.（2019届金华一中5月模拟9）已知正实数a,b满足a+b=1,则的最大值是（ ）
2332?2
?1
D.
32

A.2 B.
1?2
C.

41.（2017西湖区校级模拟）已知正实数a,b满足
a
2?b?4?0
，则
u?
A.有最大值为

42.（2018湖州 期末）已知a,b都为正实数，且
1?b
的最大值是_____________
ab
2a?3b
（ ）
a?b
1414
B. 有最小值为 C.没有最小值 D.有最大值为3
55
11
??3
，则ab的最小值是_____________
ab

培优（7） 不等式算两次
43. 设a＞b＞0,那么
a
2
?
1
的最小值为（ ）
b(a?b)
A.2 B.3 C.4 D.5

44. 设a＞2b＞0，则
(a?b)
2
?
9
的最小值为_____________
b(a?2b)

a
4
?4b
4
?1
45 .（2017天津）若a,b∈R,ab＞0，则的最小值为_____________
ab
1

46. 若x,y是正数，则
(x?
1
2
1
)?(y?)
2
的最小值是________ _____
2y2x

(a
2
?b
2
?c
2
)
2
?5
47. 已知a,b,c∈(0,+∞),则的最小值为_____________
2bc?ac

48.（2018天津一模）已知a＞b＞0，则
2a?

49.（2017 西湖区校级模拟）已知正实数a,b满足
a
2
?b?4?0
，则
u?
A.有最大值为

accc5
???
的最小值是_____________
bab2c?2
32
的最小值为_____________
?
a?ba?b
2a?3b
（ ）
a?b
1414
B. 有最小值为 C.没有最小值 D.有最大值为3
55
50. 已知a＞0，b＞0，c＞0且a+b=2,则









1

培优（8） 齐次化
51.（2019届 杭高高三下开学考T17）若不等式
x
2
?2y
2
?cx(y?x)
对满足x＞y＞0的任意实数x,y恒成立，
则实数c的最大值为_____________

x
2
?3y< br>52.（2019届绍兴一中4月模拟）已知x＞0，y＞0，x+2y=3，则的最小值为（ ）
xy
A.
3?22
B.
22?1
C.
2?1
D.
2?1


53.（2018浙江模拟）已知a＞0,b＞0，则
6ab2ab
的最大值为_____________
?
a
2
? 9b
2
a
2
?b
2
若
4x
2
?x y?y
2
?25
，则
3x
2
?y
2
的取值 范围是_____________

54.（2016新高考研究联盟二模）实数x,y满 足
x
2
?2xy?2y
2
?2
，则
x
2< br>?2y
2
的最小值是_____________








1

培优（9） 待定与技巧性强的配凑
55.（2016大联考）若正数x,y,z满足3x+4y+5z=6，则< br>14y?2z
?
的最小值为_____________
2y?zx?z

56.（2016杭二最后一卷）若正数x,y满足
11< br>??1
，则
x
2
?10xy?y
2
的最小值为___ __________
xy
1

57.（20 16宁波二模）已知正数x,y满足xy≤1，则M=
11
?
的最小值为______ _______
x?12y?1

11
58.（2016浙江模拟）已知实 数a,b,c满足
a
2
?b
2
?c
2
?1
，则ab+2bc+2ca的取值范围是（ ）
44
4
?
B.
?
?4，4
?
C.
?
?2，4
?
D.
?
?1，4
?
A.
?
??，

5 9.（2019江苏模拟）已知x,y,z∈(0,+∞)且
a
2
?b
2?c
2
?1
，则3xy+yz的最大值为_____________

60.（2016大联考）已知
a
2
?b
2
?c
2
?d
2
?1
，则ab+2bc+cd的最大值为_____________

61.（2017学年杭二高三第三次月考）已知
T?min(x?y)
2
，(z?y)
2
，(x?z)
2
，且x+y+z=2，
则
T
的最大值是（ ）
842
A. B.8 C. D. < br>3
33
??
a
2
?b
2
?c
262. 已知a,b,c∈
R
,则的最小值是_____________
ab?2bc
?

63. 已知a,b,c∈
R
，且
a
2
?b
2
?c
2
?4
，
则
5 ab?2bc
的最大值是_____________

64. 已知a,b,c∈
R
，且
a
2
?b
2
?c
2
?4< br>，
则ac+bc的最大值为_____________,又若a+b+c=0,
则c的最大值是_____________
1

培优（10） 多元变量的不等式最值问题
65 .（2019届浙江名校新高考研究联盟第9题）已知正实数abcd满足a+b=1,c+d=1，
则
11
?
的最小值是（ ）
abcd
A.10 B.9 C.
42
D.
33

?
xy?2z?1
66.（2019届杭四仿真卷）已知 实数x,y,z满足
?
2
，则xyz的最小值为_____________
22
x?y?z?5
?
67.（2019届慈溪中学5月模拟）若正实数a,b,c 满足a(a+b+c)=bc，则
b
a?c
22
a
的最大值为___ __________
b?c
68.（2017浙江期末）已知实数a,b,c满足a+b+ c=0,a﹥b﹥c,则的取值范围是（ ）
A.
(?
555
11
,)
B.
(?,)
C.
(?2,2)
D.
(?2,)

555
55
69.（2018浦江县模拟）已知 实数a,b,c满足
a
2
?b
2
?c
2
?1
，则ab+c的最小值为（ ）
A.-2 B.
?
31
C.-1 D.-
2
2
70.（2016秋湖州期末）已知实数a,b,c满足
a< br>2
?2b
2
?3c
2
?1
，则a+2b的最大值为（ ）
A.
3
B.2 C.
5
D.3
71.（2019江苏一模） 若正实数a,b,c满足ab=a+2b，abc=a+2b+c，则c的最大值为_____________
1

72.（2018秋辽宁期末）设a,b,c是正实数且满足a+b≥c，则

111 1
73.（2017秋苏州期末）已知正实数a,b,c满足
??1
，
??1
，则c的取值范围是_____________
a?bc
ab
ba
的最小值为_____________
?
ab?c

74.（2019届浙江名校协作体高三下开学考17）若正数 a,b,c满足
a
2
?b
2
?c
2
?ab?bc? 1
，则c的
最大值为_____________

75.（2018届 衢州二中5月模拟12）已知非负实数a,b,c满足a+b+c=1,则(c-a)(c-b)的取值范围
是_____________

76.（2018届上虞5月模拟16）若实数x,y,z满足x+2y+3z=1,
x2
?4y
2
?9z
2
?1
,则z的最小值
为_____________

培优（11） 不等式综合应用

77.（2018春衢州期末）已知x,y＞0，若
x?4y?6?
41
41
?,
则
?
的最小值是（ ）
xy
xy
A.6 B.7 C.8 D.9 78.（2018嘉兴模拟）已知
x?y?
14
??（8x,y＞0）,
则x+y的最小值为（ ）
xy
A.
53
B.9 C.
4?226
D.10
1

111937
??,
则
?
的最小值是_____________
x2y4x16y
79.（2018越城区校级）已知x,y＞0，且
x?y?
80.（2016台州期末）已知a,b,c∈(0,1),设
则M的最小值为（ ）
212121
这三个数的最大值为M，
?,?,?
a1?bb1?cc1?a
A.5 B.
3?22
C.
3?22
D.不存在
11
11
?
的最大值
??11,
则
x-1y
x?1y
81.（2019乐山模拟）已知实数x,y满足x＞1，y＞0,
x?4y?
为_____________
2
（xy?1）?(3y?2) (y?2)
，则
x?
82.（2019乐山模拟）已知x,y为正实数，且满足
1
的最大值
y
为_____________
83.（2019届镇海 中学最后一卷）已知x,y＞0，且
81
??1
，则x+y的最小值为_______ ______
x
2
y


1