【精选】高中数学必修五第二章

数列知识点

1. 等差数列的定义与性质
定义：
a
n?1
?a
n
?d
（
d
为常数），
a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d

等差中项：
x，A，y
成等差数列
?2A?x?y

前n
项和
S
n
?
?
a
1
?a
n
?
n
?na
2
1
?
n
?
n?1< br>?
d

2
性质：
?
a
n
?
是等差数列
（1）若
m?n?p?q
，则
a
m
?a
n
?a
p< br>?a
q
；

（2）数列
?
a
2n?1
??
,a
2n
??
,a
2n?1
?
仍为等差数列 ，
S
n
，S
2n
?S
n
，S
3n
?S
2n
……
仍为等差数
列，公差为
n
2
d
；
（3）若三个成等差数列，可设为
a?d，a，a?d

（4）若a
n
，b
n
是等差数列，且前
n
项和分别为
S
n
，T
n
，则
a
m
S
2m?1
?

b
m
T
2m?1
（5）
?
a
n
?
为等差数列
?S
n
?an
2
?bn
（< br>a，b
为常数，是关于
n
的常数项为0的二
次函数）
Sn
的最值可求二次函数
S
n
?an
2
?bn
的 最值；或者求出
?
a
n
?
中的正、负分界
项，
?
a
n
?0
即：当
a
1
?0，d?0
，解不 等式组
?
可得
S
n
达到最大值时的
n
值. a?0
?
n?1
?
a?0
当
a
1
?0 ，d?0
，由
?
n
可得
S
n
达到最小值时的
n
值.
?
a
n?1
?0
(6)项数为偶数
2 n
的等差数列
?
a
n
?
，
有
S
2n
?n(a
1
?a
2n
)?n(a
2
?a
2n?1
)???n(a
n
?a
n?1
)(a
n
,a
n?1
为中间两项)

S
偶
?S
奇
?nd
，

S
奇
S
偶
?
a
n
.
a
n?1

（7）项数为奇数
2n?1
的等差数列
?
a< br>n
?
，
有
S
2n?1
?(2n?1)a
n
(a
n
为中间项)
，

S
奇
?S
偶
?a
n
，
S
奇
S
?
n
偶
n?1
.
2. 等比数列的定义与性质
定义：
a
n? 1
?q
（
q
为常数，
q?0
），
a
n?a
1
a
1
q
n?
n
.

等 比中项：
x、G、y
成等比数列
?G
2
?xy
，或
G??xy
.
?
na
1
(q?
前
n
项和：
S
?
1)
n
?
?
?
a
1
?
1?q
n
?
?
1?q
(q?1)
（要注意！）
性质：
?
a
n
?
是等比数列
（1）若
m ?n?p?q
，则
a
m
·a
n
?a
p
·a
q

（2）
S
n
，S
2n
?S
n
，S
3n
?S
2n
……
仍为等比数列,公比为
q< br>n
.
注意：由
S
n
求
a
n
时应注意什么？
n?1
时，
a
1
?S
1
；
n?2
时，
a
n
?S
n
?S
n?1
.

3．求数列通项公式的常用方法
（1）求差（商）法
如：数列
?
a
111
n
?
，
2
a
1
?
22
a
2
?……?
2
n
a
n
?2n?5
，求
a
n

解
n?1
时，
1
2
a
1
?2?1?5
，∴
a
1
?14

n?2
时，
111
2
a
1
?
2
2
a
2
?……?
2
n?1
a
n?1
?2n? 1?5

①—②得：
1
2
n
a< br>n
?2
，∴
a
n?1
?
14(n?1)
n< br>?2
，∴
a
n
?
?
?
2
n?1(n?2)

［练习］数列
?
a
5
n
?
满足
S
n
?S
n?1
?
3
a
n?1，a
1
?4
，求
a
n

①
②

注意到
a
n?1
?S
n?1
?S
n
，代入得
S
n?1
?4
又
S
1
?4
，∴
?
S
n
?
是等比 数列，
S
n
?4
n

S
n
；
n? 2
时，
a
n
?S
n
?S
n?1
?……?3 ·4
n?1

（2）叠乘法
a
n
如：数列
?< br>a
n
?
中，
a
1
?3，
n?1
?< br>，求
a
n

a
n
n?1
解
3a
a
1
a
2
a
3
12n?1
，∴n
?
又
a
1
?3
，∴
a
n
?
·……
n
?·……
n
.
a
1
n
a
1
a
2
a
n?1
23n
（3）等差型递推公式
由
a
n
?a
n?1
?f(n)，a
1
?a
0
，求
a
n
，用迭加法
?
a
3
?a
2
?f(3)
?
?
n?2
时，
?
两边 相加得
a
n
?a
1
?f(2)?f(3)?……?f(n)

…………
?
a
n
?a
n?1
?f(n)
?
?
a
2
?a
1
?f(2)
∴
a
n
?a
0
?f(2)?f(3)?……?f(n)

［练习］数列?
a
n
?
中，
a
1
?1，a
n
?3
（4）等比型递推公式
n?1
?a
n?1
?
n?2
?
，求
a
n
（
a
n
?
1
n
?
3?1
?
2
）
a
n
?ca
n?1
?d
（
c、d
为常数，
c?0，c?1，d?0
）
可转化为等比数列，设
a
n
?x?c
?
a
n?1< br>?x
?
?a
n
?ca
n?1
?
?
c ?1
?
x

令
(c?1)x?d
，∴
x?
dd
d
??
a?，c
为公比的等比数列 ，∴
?
a
n
?
是首项为
?
1
c?1c?1
c?1
??
∴
a
n
?
dd
?
n?1
d
?
n ?1
d
??
，∴
?
?
a
1
?·ca?a ?c?
n
??
1
?
c?1
?
c?1
?c?1c?1
??
（5）倒数法
如：
a
1
?1，a< br>n?1
?
2a
n
，求
a
n

an
?2
由已知得：
a?2
111111
?
n
? ?
，∴
??

a
n?1
2a
n
2a
n
a
n?1
a
n
2

?
1
?
1
111
1
∴
??
为等差数列，
?1
， 公差为，∴
?1?
?
n?1
?
·?
?
n?1
?
，
a
1
a
n
22
2
?
a< br>n
?
∴
a
n
?
(
附：
2
n?1

公式法、利用
a
n
?
?
S
1
(n?1)
S
n
?S
n?1
(n?2)、累加法、累乘法.构造等差或等比
a
n?1
?pa
n
?q或
a
n?1
?pa
n
?f(n)
、待定系数法、对数变 换法、迭代法、数学归纳法、
换元法
)

4. 求数列前n项和的常用方法
(1) 裂项法
把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.
如：
?
a
n
?
是公差为
d
的等差数列，求
?
1

aa
k?1
kk?1
n
解：由
n
111
?
11
?
??
?
?
?
?< br>d?0
?

a
k
·a
k?1
a
k< br>?
a
k
?d
?
d
?
a
k
a
k?1
?
n
?
111
?
11
?
1
?
?
11
?
?
11
?
1
?
?
?
?
?
?
∴
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?……?
?
?
?
?

aadaadaaaaaa
k?1
kk?1
k?1
k?1
?
2
?
3
?
n?1
?
?
?
k
?
2
?
n
?
?
1
1
?
11
?
?
?
?
?

d?
a
1
a
n?1
?
［练习］求和：
1?
111
??……?

1?21?2?31?2?3?……?n
1
a
n
?……?……，S
n
?2?

n?1
（2）错位相减法
若
?
a
n
?
为 等差数列，
?
b
n
?
为等比数列，求数列
?
an
b
n
?
（差比数列）前
n
项和，可由
Sn
?qS
n
，求
S
n
，其中
q
为?
b
n
?
的公比.
如：
S
n
?1 ?2x?3x
2
?4x
3
?……?nx
n?1
①

x·S
n
?x?2x
2
?3x
3
?4x
4
?……?
?
n?1
?
x
n?1
?nx
n

①—②
?
1?x
?
S
n?1?x?x
2
?……?x
n?1
?nx
n

x?1
时，
S
n
②
?< br>1?x
?
?
nx
?
n
n
?
1?x< br>?
2
1?x
，
x?1
时，
S
n
?1 ?2?3?……?n?
n
?
n?1
?

2
（3）倒序相加法
把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.
S
n
?a
1
?a
2
?……?a
n?1
? a
n
?
?
相加
2S
n
?
?
a1
?a
n
?
?
?
a
2
?a
n ?1
?
?…?
?
a
1
?a
n
?
…

S
n
?a
n
?a
n?1
?……?a2
?a
1
?
x
2
［练习］已知
f(x)?，则
1?x
2
?
1
?
f(1)?f(2)?f
??
?f(3)?
?
2
?
?
1
?
f??
?f(4)?
?
3
?
2
?
1
?< br>f
??
?

?
4
?
?
1
?
??
x
2
x
2
1
x
?
?
1
?
?
由
f(x)?f
??
?????12
222
?
x
?
1?x
?
1
?
1?x1?x
1?
??
?
x
?

?
∴原式
?f(1)?
?
f(2)?
?
(附： < br>?
1
?
??
f
??
?
?
?
f(3)?
?
2
?
??
?
1
?
??
f
??
?
?
?
f(4)?
?
3
?
??
1
?
1
?
?1
f
??
?
? ?1?1?1?3

2
?
4
?
?
2
a.用倒序相加法求数列的前n项和
如果一个数列{a
n
}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写
与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。
我们在学知 识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是
研究同一类知识的工具，例如： 等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。
b.用公式法求数列的前n项和
对等差数列、等比数列，求前n项和S
n
可直接用等差、等比数列的前n项和公式
进行 求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于
这个数列之后，再计算。
c.用裂项相消法求数列的前n项和
裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项 相抵消，留下有限项，从
而求出数列的前n项和。
d.用错位相减法求数列的前n项和 错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。

即 若在数列{a
n
·b
n
}中，{a
n
}成等差数列，{b< br>n
}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，
再与原式错位相减整理后即可以求出前n项 和。
e.用迭加法求数列的前n项和
迭加法主要应用于数列{a
n
}满足 a
n+1
=a
n
+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条
件下，可把这个式子变成a
n+1
-a
n
=f(n)，代入各项，得到一系 列式子，把所有的式子加
到一起，经过整理，可求出a
n
，从而求出S
n
。
f.用分组求和法求数列的前n项和
所谓分组求和法就 是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数
列适当拆开，可分为几个等差、等比或常 见的数列，然后分别求和，再将其合并。
g.用构造法求数列的前n项和
所谓构造法就是先 根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造
出我们熟知的基本数列的通项的特征形式 ，从而求出数列的前n项和。