高一数学必修五知识点归纳

高一数学必修五知识点归纳

(一)、映射、函数、反函数

1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别，映射是一种
特殊的对应，而函数又是 一种特殊的映射.

2、对于函数的概念，应注意如下几点：

(1)掌握构成函数的三要素，会判断两个函数是否为同一函数.

(2)掌握三种表示 法——列表法、解析法、图象法，能根实际问
题寻求变量间的函数关系式，特别是会求分段函数的解析式 .

(3)如果y=f(u)，u=g(x)，那么y=f[g(x)]叫做f和g的复 合函
数，其中g(x)为内函数，f(u)为外函数.

3、求函数y=f(x)的反函数的一般步骤：

(1)确定原函数的值域，也就是反函数的定义域;

(2)由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y);

(3)将x，y对换，得反函数的习惯表达式y=f-1(x)，并注明定义
域.

注意①：对于分段函数的反函数，先分别求出在各段上的反函数，
然后再合并到一起.

②熟悉的应用，求f-1(x0)的值，合理利用这个结论，能够避免
求反函数的过程， 从而简化运算.

(二)、函数的解析式与定义域

1、函数及 其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不
存有的，所以，要准确地写出函数的解析式，必须是 在求出变量间的
对应法则的同时，求出函数的定义域.求函数的定义域一般有三种类型：

(1)有时一个函数来自于一个实际问题，这时自变量x有实际意
义，求 定义域要结合实际意义考虑;

(2)已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即
可.如：

①分式的分母不得为零;

②偶次方根的被开方数不小于零;

③对数函数的真数必须大于零;

④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;

⑤三角函数中的正切函数y=t anx(x∈R，且k∈Z)，余切函数
y=cotx(x∈R，x≠kπ，k∈Z)等.

应注意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有
意义的自变量取值的公共 部分(即交集).

(3)已知一个函数的定义域，求另一个函数的定义域，主要考虑
定义域的深刻含义即可.

已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域是指满足
a≤g(x) ≤b的x的取值范围，而已知f[g(x)]的定义域[a，b]指的是
x∈[a，b]，此时f(x) 的定义域，即g(x)的值域.

2、求函数的解析式一般有四种情况

(1)根据某实际问题需建立一种函数关系时，必须引入合适的变
量，根据数学的相关知 识寻求函数的解析式.

(2)有时题设给出函数特征，求函数的解析式，可采用待定系 数
法.比如函数是一次函数，可设f(x)=ax+b(a≠0)，其中a，b为待定系
数，根 据题设条件，列出方程组，求出a，b即可.

(3)若题设给出复合函 数f[g(x)]的表达式时，可用换元法求函数
f(x)的表达式，这时必须求出g(x)的值域，这 相当于求函数的定义域.

(4)若已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是 未知量外，还
出现其他未知量(如f(-x)，等)，必须根据已知等式，再构造其他等式
组成 方程组，利用解方程组法求出f(x)的表达式.

(三)、函数的值域与最值

1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求
函数值域都应先考虑其定 义域，求函数值域常用方法如下：

(1)直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函 数，可由函数
的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域.

(2) 换元法：使用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另
一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有 根式，当根式里一次式
时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元.

( 3)反函数法：利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域
间的关系，通过求反函数的定 义域而得到原函数的值域，形如(a≠0)
的函数值域可采用此法求得.

(4)配方法：对于二次函数或二次函数相关的函数的值域问题可
考虑用配方法.

(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]能
够求某些函数的值域，不 过应注意条件“一正二定三相等”有时需用
到平方等技巧.

(6)判别式法： 把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程，利用
“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式 或分式.

(7)利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上(或某
个定义域的子集上)的单调性，可采用单调性法求出函数的值域.

(8 )数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借
助于几何方法或图象，求出函数的值域，即 以数形结合求函数的值域.

2、求函数的最值与值域的区别和联系

求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事
实上，如果在函数的值域中存有一个最小 (大)数，这个数就是函数的
最小(大)值.所以求函数的最值与值域，其实质是相同的，仅仅提问的< br>角度不同，因而答题的方式就有所相异.

如函数的值域是(0，16]，值是1 6，无最小值.再如函数的值域是
(-∞，-2]∪[2，+∞)，但此函数无值和最小值，只有在改变 函数定义
域后，如x>0时，函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值
的影响.
3、函数的最值在实际问题中的应用

函数的最值的应用主要体现 在用函数知识求解实际问题上，从文
字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润”或“面积(体积) (最
小)”等诸多现实问题上，求解时要特别注重实际意义对自变量的制约，
以便能准确求得最 值.

(四)、函数的奇偶性

1、函数的奇偶性的定义：对于 函数f(x)，如果对于函数定义域
内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f (x))，那么函数f(x)
就叫做奇函数(或偶函数).

准确理解奇函数和 偶函数的定义，要注意两点：(1)定义域在数
轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必 要不充分条
件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.(奇偶性是 函数
定义域上的整体性质).

2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依 据。为了便于判
断函数的奇偶性，有时需要将函数化简或应用定义的等价形式：

注意如下结论的使用：

(1)不论f(x)是奇函数还是偶函数，f(|x|)总是偶函数;

(2)f(x) 、g(x)分别是定义域D1、D2上的奇函数，那么在D1∩D2
上，f(x)+g(x)是奇函数， f(x)·g(x)是偶函数，类似地有“奇±奇=
奇”“奇×奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶×偶=偶 ”“奇×偶=奇”;

(3)奇偶函数的复合函数的奇偶性通常是偶函数;

(4)奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数。

3、相关奇偶性的几个性质及结论

(1)一个函数为奇函数的充要条件是它的图象关于 原点对称;一个
函数为偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称.

(2)如要函数的定义域关于原点对称且函数值恒为零，那么它既
是奇函数又是偶函数.

(3)若奇函数f(x)在x=0处有意义，则f(0)=0成立.

( 4)若f(x)是具有奇偶性的区间单调函数，则奇(偶)函数在正负
对称区间上的单调性是相同(反) 的。

(5)若f(x)的定义域关于原点对称，则F(x)=f(x)+f(-x)是 偶函
数，G(x)=f(x)-f(-x)是奇函数.

(6)奇偶性的推广

函数y=f(x)对定义域内的任一x都有f(a+x)=f(a -x)，则y=f(x)
的图象关于直线x=a对称，即y=f(a+x)为偶函数.函数y=f(x) 对定义
域内的任-x都有f(a+x)=-f(a-x)，则y=f(x)的图象关于点(a，0)成中
心对称图形，即y=f(a+x)为奇函数。

【二】

1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对
应关系 f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有确定的数
f(x)和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数.记
作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A 叫做函数的
定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}
叫 做函数的值域.

注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函
数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;函数的定义域、
值域要写成集合或区间的 形式.

定义域补充

能使函数式有意义的实数x的集合称为函 数的定义域，求函数的
定义域时列不等式组的主要依据是：

(1)分式的分母不等于零;

(2)偶次方根的被开方数不小于零;

(3)对数式的真数必须大于零;

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通 过四则运算结合而成的.那么，
它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

(6)指数为零底不能够等于零

2.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

再注意：

(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.因为值域是由
定义域和对应关系决定的，所以，如 果两个函数的定义域和对应关系
完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数)

(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，
而与表 示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达
式相同;②定义域一致(两点必须同时具备 )

值域补充

(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则， 不论采取什么方法
求函数的值域都应先考虑其定义域.(2).应熟悉掌握一次函数、二次函
数 、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的
基础.(3).求函数值域的常用方法 有：直接法、反函数法、换元法、配
方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等.

3.函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x ∈A)中的x为
横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数
y=f(x) ,(x∈A)的图象.

C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反 过来，以满
足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.即
记 为C={P(x,y)|y=f(x),x∈A}

图象C一般的是一条光滑的连续曲线 (或直线),也可能是由与任
意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成.

(2)画法

A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的 一些对应值
并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相对应的点P(x,y)，最后用平
滑 的曲线将这些点连接起来.

B、图象变换法(请参考必修4三角函数)

常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换

(3)作用：

1、直观的看出函数的性质;2、利用数形结合的方法分析解题的
思路。提升解题的速度。

发现解题中的错误。

4.快去了解区间的概念

(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区
间;(3)区间的数轴表示.

5.什么叫做映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某 一个确定的对应
法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有确定的元
素y与之 对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。
记作“f：AB”

给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b
对应，那么，我们把元素b叫做元 素a的象，元素a叫做元素b的原
象

说明：函数是一种特殊的映射，映射是一 种特殊的对应，①集合
A、B及对应法则f是确定的;②对应法则有“方向性”，即强调从集合
A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的;③对于映
射f：A→B来说，则应满足：( Ⅰ)集合A中的每一个元素，在集合B
中都有象，并且象是的;(Ⅱ)集合A中不同的元素，在集合B中 对应的
象能够是同一个;(Ⅲ)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原
象。

常用的函数表示法及各自的优点：

函数图象既能够是连续的曲线，也能 够是直线、折线、离散的点
等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据;解析法：必须注明函
数的定义域;图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域;化简函

数的解析式;观 察函数的特征;列表法：选择的自变量要有代表性，应
能反映定义域的特征.

注意啊：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。
图象法：便于量出函数值

补充一：分段函数(参见课本P24-25)

在定义域的不同部分上有 不同的解析表达式的函数。在不同的范
围里求函数值时必须把自变量代入相对应的表达式。分段函数的解 析
式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一
个左大括号括起来，并分 别注明各部分的自变量的取值情况.(1)分段
函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数;(2)分 段函数的定义域
是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.

补充二：复合函数

如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则y =f[g(x)]=F(x)，(x∈A)
称为f、g的复合函数。