高中数学必修五全部学案

精品教育
【高二数学学案】
§1.1 正弦定理和余弦定理
第一课时 正弦定理
一、1、基础知识
设
?
ABC的三个内 角A、B、C的对边分别为
a
、b、c，R是
?
ABC的外接圆半径。
（1）正弦定理： = = =2R。
（2）正弦定理的三种变形形式：
①
a?2RsinA,b?
，c= 。
a
,sin
B?
，
sinC?
。
2R
③
a:b:c?
。
②
sinA
?
（3）三角形中常见结论：
①A+B+C= 。②
a
<
b?
。
③任意两边之和 第三边，任意两边之差 第三边。
④
sin




A?B
= ，
sin(A?B)?
，
sin2(A?B)
= 。
2
2、课堂小练
（1）在
?ABC
中，若
sinA< br>>
sinB
，则有（ ）
A、
a
a
?
b C、
a
>b D、
a
，b的大小无法确定
（2）在
?ABC
中，A=30°，C =105°，b=8，则
a
等于（ ）
A、4 B、
42
C、
43
D、
45

（3）已知
?ABC
的三边分别为
a,b,c
，且
cosA:cosB?b:a
，则
?ABC
是 三角形。
二、例题
例1、根据下列条件，解
?ABC
：


























-可编辑-
（1）已知
b?3.5,c?7,B?30
，求C、A、
a
；
（2）已知B=30°，
b?2
，c=2，求C、A、
a
；
（3）已知b=6，c=9，B=45°，求C、A、
a
。
?
例2 、在
?ABC
中，
sinA?
sinB?sinC
，试判断
?ABC
的形状。
cosB?cosC

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三、练习
1、在
?ABC
中，若
acos A?bcosB
，求证：
?ABC
是等腰三角形或直角三角形。















2、在
?ABC
中，
a:b:c?1:3:5
，求
2sinA?sinB
的值。
sinC















四、课后练习
1、在
?ABC
中，下列等式总能成立的是（ ）











A、
acosC?ccosA




?
B、
bsinC?csinA

D、
asinC?csinA
C、
absinC?bcsinB

2、在
?ABC
中，
a?5,b?3,C?120
，则
sinA:sinB
的值是（ ）
5335
B、 C、 D、

3577
?
3、在
?ABC
中，已知
a?8,B?60
，C=75°，则b等于（ ）
32
A、
42
B、
43
C、
46
D、

3
4、在
?ABC
中，A=6 0°，
a?43,b?42
，则角B等于（ ）
A、
A、45°或135° B、135° C、45° D、以上答案都不对
5、根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ）
A、
a?8,b?16,A?30
，有两解
C、
a?5,b?2,A?90
，无解
?
?
B、
b?18,c?20,B?60
，有一解
D、
a?30,b?25,A?150
，有一解
-可编辑-
?

?

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6、已知
?ABC
中，
a?10,B?60,C?45
，则c等于（ ）
??
A、
10?3
B、
10(3?1)

22
C、
10(3?1)
D、
103

7、在< br>?ABC
中，已知
atanB
?
btanA
，则此三角形是（ ）
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、直角或等腰三角形

范围是（ ）





sin3B
等于（ ）
sinB
baac
A、 B、 C、 D、

abca
?
9、在
?ABC
中 ，已知
a?xcm,b?2cm,B?45
，如果利用正弦定理，三角形有两解，则
x
的取值
8、在
?ABC
中，C=2B，则
A、2<
x
<
22
B、
x
>
22
C、
2
<
x
<2 D、0<
x
<2
10、三角形两边之差为2，夹角的余弦值为
A、3和5 B、4和6
3
。该三角形的面积为14，则这两边分别为（ ）
5
D、6和8
?
C、5和7
11、在
?ABC
中，若
a?2,b?23,?B?60
，则c= ，
?C?
。
12、在
?ABC
中，已知
(b?c):(c?a):(a?b)?4:5:6
，则
sinA:sinB:sinC等于
?
13、在
?ABC
中，
a?3,b?1,B?30
，则三角形的面积等于 。
14、若
?ABC
三个角A、B、C成等差数列，且最大边为最小边的2倍，则三内角之比为
。



























-可编辑-
15、已知
?ABC
中，
BC?a,AB? c
，且
tanA
?
tanB
2c?b
，求A。
b
16、已知在
?ABC
中，A=45°，
AB?

6,BC?2
，求其他边和角。
17、在
?ABC
中若C=3B，求
c
的取值范围。
b

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2
18、已知方程
x?
(
b
cos
A
)
x?a
cos
B?
0
的两根之积等于两根之和，且a、b为
?ABC
的两边，A、
B为a、b的对角，试判定此三角形的形状。









五、课后反思
1.12 余弦定理
时间：
一、基础填空
1、余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的 减去这两边与
它们的 的 的 的 倍，即







a
2
= ，b
2
= ，c
2
= 。
2、余弦定理的推论：
cosA?
，
cosB?
，
cosC?
。
3、运用余弦定理可以解决两类解三角形问题：、
（1）已知三边，求 ；
（2）已知 和它们的 ，求第三边和其他两个角。
4、
S
?ABC
= = = 。
二、典型例题












-可编辑-
例1、
?ABC
中，已知
b?3 ,c?33,B?30
，求角A、角C和边a。
?
练习1：已知
?ABC< br>中，
a:b:c?2:6:(3?1)
，求
?ABC
的各角度数。

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例2、在
?ABC
中，已知
(a?b?c)(a?b?c)?3ab
，且
2c osA?sinB?sinC
，确定
?ABC
的
形状。









练习2、在
?ABC
中，
bcosA?acosB
，试判断三角形的形状。







三、课堂练习
1、在
?ABC
中，已知B=30°，
b?503,c?150
，那么这个三 角形是（ ）
A、等边三角形 B、直角三角形
C、等腰三角形 D、等腰三角形或直角三角形
2、在
?ABC
中，A、 B、C的对边分别为a，b，c，若
c
2
?a
2
?b
22ab
>0，则
?ABC
（
A、一定是锐角三角形 B、一定是直角三角形
C、一定是钝角三角形 D、是锐角或直角三角形
3、 在
?ABC
中，
a:b:c?3:5:7
，则
?ABC
的最 大角是（ ）
A、30° B、60° C、90° D、120°
4、在
?ABC
中，
a?7,b?43,c?13
，则
? ABC
的最小角为（ ）
A、
?
3
B、
?
6
C、
?
4
D、
?
12

5、在
?ABC
中，若
b
2
?a
2
?c
2
?ac
，则
?B
为（ ）
A、60° B、45°或135° C、120° D、30°
6、在< br>?ABC
中，已知
a
4
?b
4
?c
4
?
2
c
2
(
a
2
?b
2
)，则C等于（ ）
-可编辑-
）

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A、30° B、60° C、45°或135° D、120°
7、在
?ABC
中，已知a比b长2，b比c长2，且最大角的正弦值是
3< br>，则
?ABC
的面积是（ ）
2


面积比是（ ）
A、1:1 B、1:2






353
15
15
213
B、 C、 D、

3

4
4
4
4
8、若
?ABC
为三条边长分别是3，4，6，则它的较大的锐角的平分线分三角形所成的两个三角形 的
A、
C、1:4 D、3:4
9、已知
?ABC
中，
AB?
A、
3,AC?1
，且
B?30
?
，则
?ABC
的面积等于（ ）
3333
C、或
3
D、或

4242
3 5
10、在
?ABC
中，
sinA?,cosB?
，则cosC=（ ）
513
16561656
A、 B、 C、或 D、以上皆对
65656565
B、
11、在
?ABC
中，若B=30°，AB =
23,AC?2
，则
?ABC
的面积S是
12、已知三角形的两边分别为4和5，它们夹角的余弦是方程
2
x?
3x?
2
?
0
的根，则第三边长
2
3

2
是 。

a
2
? b
2
?c
2
13、
?ABC
中三边分别为a、b、c，且< br>S
?
?
，那么角C=
4
14、在
?ABC
中，三边的长为连续自然数，且最大角是钝角，这个三角形三边的长分别为
。
15、三角形的两边分别为3cm，5cm，它们 所夹角的余弦为方程
5
x?
7
x?
6
?
0
的根，则这个三角
2
形的面积为
16 、在
?ABC
中，已知
a?b?4,a?c?2b
，且最大角为120°，则 这个三角形的最大边等
于 。










22
18、已知 圆O的半径为R，它的内接三角形ABC中2R
(sinA
?
sinC)
?< br>(2a
?
b)sinB
成立，求
17、如图所示，在
?ABC
中，AB=5，AC=3，D为BC的中点，且AD=4，求BC边的长。
-可编辑-

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?ABC
面积S的最大值。

















?
20、在
?ABC
中，
?A?60
，b=1，
S
?
?
19、已知三角形的一个 角为60°，面积为
103cm
，周长为20cm，求此三角形的各边长。
2
3
。


a?b?c
的值；
sinA?sinB?sinC
（2）
?ABC
的内切圆的半径长。
求（1）





四、课后练习
1、在
?ABC
中，下列等式总能成立的是（ ）
A、
acosC?ccosA
B、
bsinC?csinA

C、
absinC?bcsinB
D、
asinC?csinA










2、在
?ABC
中，
a?5,b ?3,C?120
，则
sinA:sinB
的值是（ ）
?
5335
B、 C、 D、

3577
? ?
3、在
?ABC
中，已知
a?8,B?60,C?75
，则b等于 （ ）
32
A、
42
B、
43
C、
46
D、

3
A、
4、在
?ABC< br>中，
A?60,a?43,b?42
，则角B等于（ ）
?
A、45°或135° B、135° C、45° D、以上答案都不对
5、根据下列条件，判断三角形的情况，其中正确的是（ ）
A、
a?8,b?16,A?30
，有两解
B、
b?18,c?20,B?60
，有一解
?
?
-可编辑-

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C、
a?5,b?2,A?90
，无解
D、
a?30,b?25,A?150
，有一解
6、已知
?ABC
中，
a?10,B?60,C?45
，则c等于（ ）
??
?
?
A、
10?3
B、
10(3?1)

22
C、
10(3?1)
D、
103

7、在
?ABC
中，已知
atanB
?
btanA
，则此三角形是（ ）
A、锐角三角形
C、钝角三角形






B、直角三角形
D、直角或等腰三角形
8、在
?ABC
中，C=2B，则
A、
b

a

sin3B
等于（ ）
sinB
aa
B、 C、
bc
?
D、
c

a
9、在
?ABC
中，已知
a?xcm,b?2cm,B?45
，如果利用正弦定理，三角形的两解，则x的取 值
范围是（ ）





A、2<
x
<
22
B、
x
>
22
C、
2
<
x
<2 D、0<
x
<2
10、三角形两边之差为2，夹角的余弦值为
A、3和5 B、4和6
3
，该三角形的面为14，则这两边分别为（ ）
5
D、6和8 C、5和7
?
11、在
?ABC
中，若
a?2,b?23,?B? 60
，则
c?
，
?C?
。
12、在
?ABC
中，已知
(b?c):(c?a):(a?b)?4: 5:6
，则
sinA:sinB:sinC
等于
。
13、在
?ABC
中，
a?3,b?1,B?30
?
，则三角形的面积等于 。
14、若
?ABC
三个角A、B、C成等差数列，且最大边为最小边的2倍，则三内角之比为
。













16、已知在
? ABC
中，A=45°，
AB?
15、已知
?ABC
中，
B C?a,BC?c
，且
tanA
?
tanB
2c?b
，求A 。
b
6,BC?2
，求其他边和角。
-可编辑-

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17、在
?ABC
中，若C=3B，求
c
的取值范围。
b
18、已知方程
x?
(
b
cos
A
)
x? a
cos
B?
0
的两根之积等于两根之和，且a、b为
?ABC的两边，A、
2
B为a、b的对角，试判定此三角形的形状。




【高二数学学案】
§1.1 正弦定理和余弦定理
第三课时 正弦定理和余弦定理综合问题
一、①基本知识
1、利用正、余弦定理可判断三角形的形状，其途径通常有两种：







（1）将已知条件统一化成 的关系，用代数方法求解；
（2）将已知条件统一化成 的关系，用三角方法求解。
2、三角形中常用面积公式：
1
ah
a
(h
a
表示 ）；
2
1
（2）
S?absinC?
= 。
2
（1）
S?
3、解斜三角形通常有下列四种情形：
（1）已知“ 一边和二角（如
a,B,C
）”，则可由A+B+C=180°，求角A，再由 定理求出b
与c。


此时
S
?
?
1
acsinB
在有解时只有 解。
2
（2）已知“两边及夹角（如
a,b,C)
”，则可由 定理求第三边c，再由 定理求出小
边所对的角，再由A+B+C=180°求出另一角。




其中
S
?
?
1
absinC
在有解时只有 解。
2
（3）已知“三边（如
a,b,c)
”，可用 定理求出角A，B，再利用 求出角C。
其中
S
?
?
1
absinC
在有解时只有 解。
2
（4）已知“两边和其中一边的对角（如
a,b,A)
”，可由 定理求出角B，由A+B+C=180°，
-可编辑-

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求出角C再利用 定理求出边c。
其中
S
?
?
1
absinC
可有 解、 解或 解。
2
②课堂小练








1、已知
?ABC
中，
a?23,b?22,c?6?2
，则
?ABC
的形状为（ ）
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定
2、在?ABC
中，若三内角满足
sin
A
?sin
B
?si n
B
?sin
C
?sin
C
，则角A等于（ ）
A、30° B、60° C、120° D、150°
3、在
?ABC
中，若
acosA?bcosB?ccosC
，则这个三角形一定是（ ）
A、锐角三角形或钝角三角形 B、以
a
或b为斜边的直角三角形
C、以c为斜边的直角三角形 D、等边三角形
222
?
5、 已知
?ABC
的周长为20，面积为
103,A?60
，则BC的长为 。
二、例题













例1、在
?ABC
中，若atanB
?
btanA
，求证
?ABC
是等腰三角形。 22
例2、在
?ABC
中，
a
、
b
、
c
分别是角A、B、C的对边，已知
b?ac
，且
a?c?ac?bc
，
222
求
?A
的大小及










bsinB
的值。
c
例3、已知在
?ABC
中，锐角B所对的边b=7，外接圆半径R=
73
，三角形面积
?103
，求三角
3
形其他两边的长。







三、课堂练习


-可编辑-
1、已知
?ABC
中，
b?8,c?3,sinA?< br>247
，求
a
的值，并判断三角形的形状。
16

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2、
?ABC
中，
a
、
b
、
c
分别为
?A
、
?B
、
?C
的对边，如果
2b?a?c,?B?30
，
?ABC
的
?
面积为


3
，那么b=（ ）
2
2?3
1?3
A、 B、 C、
1?3
D、
2?3

2
2
2
3、已知锐角三角形ABC中，边a
、
b
是方程
x?
23
x?
2
?0
的两根，角A、B满足
2sin(A?B)?3?0
，求角C的度数，边c的长 度及
?ABC
的面积。












四、课后练习
2、在
?ABC
中，
sinA:sinB:sinC?3:2:4
，则
cosC
的值为（ ）







12
12
B、
C、
?
D、
43
43
?
3、在
?ABC
中，角A、B、C的对边 分别为
a
、
b
、
c
，且
a
?1,
B
?45,
S
?ABC
?2
，则
?ABC
的
A、
?
A、
43
B、5 C、
52
D、
62

4、在
?ABC
中，若
2cosBsinA?s inC
，则
?ABC
的形状一定是（ ）
A、等腰直角三角形 B、直角三角形
C、等腰三角形 D、等边三角形
6、
?ABC
中，若
b?2a,B?A?60
，则A= 。
?
外接圆直径是（ ）
7、已知
?ABC
中，?A?60
，最大边和最小边的长是方程
3x?27x?32?0
的两实根，那么 BC
边长等于 。
?2









8、在
?ABC
中 ，若c=4，b=7，BC边上的中线AD的长为
7
，求边长
a
。
2
-可编辑-

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9、在
?ABC
中，角A，B，C所对的边为
a,b,c
，若b?acosC
且
?ABC
的最大边长为12，最小角
的正弦值为














五、课后反思
1
。
3
（1）判断
?ABC
的形状；
（2）求
?ABC
的面积。

【高二数学学案】
§1.
一、基础知识填空
（一）在解决与三角形有关的实际问题时，经常出现一些有关的名 词、术语，如仰角、俯角、方位角、
方向角、铅垂平面、坡角、坡比等。
（1）铅垂平面：是指与海平面 的平面。
（2）仰角与俯角：在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角，当视线在水平线之上时，称为
角；当视线在水平线之下时，称为 角。
（3）方位角：从正北方向线 时针到目标方向线的水平角，或称北偏 多少度。
（4）方向角：从 方向线到目标方向线的水平角，如南偏西60?，指以正南方向为始边，顺
时针方向向西旋转60?。
（5）坡角： 与水平的夹角。
（6）坡比：坡面的 与 之比。即
i
?
（二）课堂小练
1、如右图，在河岸AC测量河的宽度BC，测量到下列四组数据，较适宜的是（ ）
A、c与
?

B、c与b
C、c与
?

D、b与
?

2、在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30?和60?，则塔高为（ ）
A、


h
?tan
?
(
?
为坡角，
i
为坡比）
l
400

3
B、
4003

3
C、
2003

3
D、
200

3
3、在静水中划船的速度是每分钟40m，水流的速度是每分钟20m，如果船从岸边A处出 发，沿着与
水流垂直的航线到达对岸，那么船的前进方向应指向河流的上游并与河岸垂直方向所成的角为 （ ）
-可编辑-

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A、15? B、30? C、45? D、60?
4、海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛 望C岛和B岛成60?的视角，从B岛望C岛和A岛成
75?的视角，那么B岛与C岛间的距离是 。
5、一树干被台风吹断，折断部分与残存树干成30?角，树干底部与树尖着地处相距5米，则树干 原来
的高度为 米。

二、例题
例1：某观测站C在城A 的南向西20?的方向，由城A出发的一条公路，走向是南向东40?，在C
处测得公路上距C为31k m的B处有一人正沿公路向A城走去，走了20km后到达D处，此时CD间的距
离为21km，则这个 人还要走多远才可到达A城？
例2、某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A处获悉 后，立即测出该渔轮在方位角为
45?距离为10n mile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105?的方向，以9n mileh的速度向小岛靠拢，我海
军舰艇立即以21n mileh的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间。
三、课堂练习
1、为了 测量上海东方明珠塔的高度，某人站在A处测得塔尖的仰角为75.5?，前进38.5m后，到达B
处 测得塔尖的仰角为80.0?，试计算东方明珠塔的高度（精确到1m）
2、甲船在A点发现乙船在北 偏东60?的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速
度为每小时
3a
海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？
四、课后练习
1、如右下图，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应当用数据（ ）
A、
?
,a,b

B、
?
,
?
,a

C、
a,b,
?

D、
?
,
?
,b

2、已知两座灯塔A和B与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40?，灯塔B在观
察站C的南偏东60?，则灯塔A在灯塔B 的什么位置？
3、在某个位置测得某山峰仰角为
?
，对着山峰在平行地面上前进60 0m后测仰角为原来的2倍，继
续在平行地面上前进
2003m
，测得山峰的仰角为原 来的4倍，则该山峰的高度为多少？
4、在一幢20米高的楼顶测得对面一塔顶的仰角为60?，塔基 的俯角为45?，那么这座塔的高度是多少
米?
5、已知海岛A四周8海里内有暗礁，今有一 货轮由西向东航行，望见A岛在北偏东75?，航行
202
海里后，见此岛在北偏东30?，如 货轮不改变航向继续前进，问有无触礁危险？




-可编辑-

精品教育


6、某人在静水中游泳，速度为
43kmh
，
如果他径直游向河对岸，水的流速为4kmh，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？


第三章 数 列
重点：数列的概念及数列的通项公式
难点：根据数列的前几项写出数列的一个通项公式
一、基础知识
引例：按一定次序排列的一列数





















（1）1，2，3，4，5
（3）
?1,1,?1,1,
……
（5）1，3，5，4，2



（2）1，
1111
,,,

2345
（4）1，1，1，1，……

（6）
2
的精确 到1，0.1，0.01，0.001，……的不足近似值排列成一列数
1、概念：（1）数列：
注：①按一定次序排列 ②同一个数在数列中可重复出现
上例中能构成数列的是： 。（1）与（5）相同吗？
（2）项：
（3）项的序号：
2、表示：数列的一般形式为： ，简化为 。
1111
,,
,
…
,,
…简记为： 。
n
234
1，3，5，7，…
2n?1
，…简记为
例：
1,
注：
{
a
n
}
与
an
的区别：
3、数列与函数的关系：
4、数列的通项公式：
作用：①以序号代n可求数列各项；②可验证某数是否是数列中的项
注：①通项公式有时不存在；②一个数列的通项公式形式可能不唯一。
5、递推公式：
6、分类：



二、例题
例1、根据
{
a
n
}
的通项公式，写出它的前5项。
-可编辑-

精品教育











（1）
a
n
?
n

n?1

n
（2）
a
n
?(?1)?
n

例2、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数
（1）1，2，3，4；
（2）1，3，5，7；
2
2
?13
2
?14
2
?15
2
?1
,,,
（3）；
2345
例3、已 知：
{
a
n
}
中，
a
1
?1
，以 后各项由
a
n
?1?
1
a
n?1
给出，写出这个数 列的前5项。





三、练习
















1、根据
{
a
n
}
的通项公式，写出它的前5项：
n?1
（1）
a
n
?5?(?1)
（2）
a
n
?
2n?1

2
n?1
2、根据通项公式，写出它的第7项与第10项
（1）
a
n
?n(n?2)

（2）
a
n
??2
n
?3

3、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数。
（1）1，2，3，4 （2）2，4，6，8
1111
,,?,

24816
4、写出下面数列
{
a
n
}
的前5项
（3）
?
（1）
a
1
?
5
（2）
a
1
?
2
（4）
1?
1111111
,?,?.?

2233445
a
n
?a
n?1
?
3(
n?
2)

a
n
?
2
a
n?1
(
n?
2)

二、数列
重点：由数列的递推公式，求数列的某些项
难点：由递推公式猜想数列的通项公式
一、知识要点：
1、已知数列的通项公式，求某一项。
2、判断一个数是否为数列的项。
3、由数列的递推公式求数列的指定项，由递推公式猜想数列的通项公式。
二、例题：
1、已知数列{a
n
}中，a
1
=1,a
2
=1, 以后各 项由a
n+2
=a
n+1
+a
n
给出，写出这个数列的第6 项。

-可编辑-

精品教育























2、已知一个数列a
1
=1,a
n
=a
n-1
+2 n-1(n>1) ，求数列的前4项，并猜想出数列的通项公式。
3、已知数列的通项公式为a
n
=n
2
-n-30
1)求数列的前三项，60是此数列的第几项？
2）n为何值时，a
n
=0? a
n
>0? a
n
<0?
4、数列{a
n
}对一切正整数n 满足a
1
+2a
2
+4a
3
+ ……+2
n-1
a
n
=9-6n ，求{ a
n
}的前4项。




三、练习

、
7
、
11
、
15??
的（ ） 1、5
3
是数列
3
A、第18项 B、第19项 C、第20项 D、第21项
2、以下四个结论中①数列的递推公式也是给出数列的一种方法 ②数列都可以用通项公式来表示 ③
数列可以用图象表示，从图象上看，它是一群孤立点 ④数列的通项公式是唯一的
其中正确的是（ ）
A、①② B、①③ C、②③ D、①②③④





3、已知：< br>a
1
?1,
a
n
?7
a
n?1
(< br>n
>1），则
a
n
的通项公式为（ ）
A、
a
n
?7
n?1

n
B、
a
n
?7
C、
a
n
?7n
D、
a
n
?7(n?1)

2
4、已知：数列的通项公式为 ：
a
n
?n?n?
30
，则该数列中哪一项为+26？
5 、数列
{
a
n
}
中，
a
1
?1,a
2
?
A、
1

7

112
2< br>??(n?2
且
a
n
?0)
。则
a
6
等于（ ） ，且
a
n?1
a
n?1
a
n
3
27
B、 C、 D、7
72
-可编辑-

精品教育

















6、在数列
{
a
n
}
中，已知
a
2
?2,a
n?2
?a
n
?2n
，则
a
8
?

7、已知：数列
{
a
n}
满足
a
1
?1,a
2
?3,a
4
? 15
，且
a
n?1
?pa
n
?q
。求p、q的值。
8、已知数列
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
?log
(n?1)
n?N
，求此数列前30项的乘积。
(n?2 )?
?
9、数列
{
a
n
}
满足
a
1
?1,a
2
?5,a
n?2
?a
a?1
?an
(n?N)
，求
a
2000
的值。
三、等差数列

重点：等差数列的概念及通项公式 难点：等差数列通项公式的灵活运用
一、基础知识
1、等差数列的定义：








等差数列可简记为A?P数列
2、由等差数列定义知，其递推公式可写为：
3、由等差数列定义知，要证明一个数列为等差数列，只需证明：
4、若一个等差数列的首项 为a
1
，公差为d，则其通项公式
a
n
=
证明：




二、例题
1、（1）求等差数列8，5，2…的第20项
（2）-401是否为等差数-5，-9，-13…的项？如果是是第几项。




-可编辑-

精品教育

2、在等差数列{
a
n
}
中，已知
a
5
?10,a
1 2
?31
，求首项
a
1
与公差d。





3、梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间还有10级。各 级的宽度成等差数列，计算各
级的宽度。



















6、在等差数列中，
a
p
与< br>a
q
是其中两项，求
a
p
与
a
q
间 的关系。
5、证明：以
a
n
?
pn
?
q
为通项公式的数列为等差数列（p、q为常数）
4、在等差数列
{
a
n}
中，已知
a
1
?110,a
2
?116
，则 此数列在450到600之间有多少项？






三、练习
1、等差数列的首项为15，公差为6，则它从第 项开始，各项都大于100。
2、数列
{
a
n
}
的首项
a
1
?23
，公差数为整数的等差数列，且前6项为正的，从7项开始变为负 的，
则此数列的公差d= 。
-可编辑-

精品教育
3、若
m?n
,数列，m,a
1
,a
2
,n和数列m,b
1
,b
2
,b
3
,n都是等差数列，则
a
2
?a
1
=
b
2
?b
1




4、若等差 数列
{
a
n
}
中，
p?q
时，
a
p
?q,a
q
?p
则
a
p?q
= 。
5、一个等差数列的第5项等于10，第10项为25，则d= 。
四、等差数列的性质
重点：等差数列的性质及性质的应用 难点：性质的运用
一、已知：A?P数列
{
a
n
}
、
{b
n
}
分别是1，4，7，10…和2，6，10，14…判断下列数列是否为A?P
数列，若是 ，其公差与
{
a
n
}
、
{b
n
}
的公差有何关系。




1、
{
a
n
?b
n
}
3，10，17，24…
2、
{
a
n
?2}
3，6，9，12…
3、
{a
n
}

1
2
17
,2,,5
…
22
4、在数列
{
a
n
}
中，每隔两项取一项，1 ，10，19，28… 一般地A?P数列
{a
n
}
与
{b
n
}
的公差分别是
d
1
、
d
2
则






1、数列
{
a
n
?b
n
}
是 数列其公差为
2、数列
{a
n
?
m}
是 数列其公差为
3、数列
{ka
n
}(k?0)
是 数列其公差为
4、数列
{
a
n
}
每隔k项取一项，组成新数列
{c
n
}
，则
{c
n
}
是
证明：
二、1、已知
{< br>a
n
}
是A?P数，
a
n
??2n?5
，则 ①
a
1
?
a
11
?

?
2、在A?P数列
{
a
n
}
中，若
m? n?p?q(m
、
n
、
p
、
q?N)
则
a
m
?a
n

a
p
?a
q

②
a
2
?
a
10
?
③
a
6
?








一般地，若
a
1
,a
2
,a
3
…
a
n?1
,a
n
是等 差数列，则距首末两端 的两项和等于同一个常数。
3、在等差数列
{
a
n
}
中，若
m?n?2l(m,n,l?N)
，则
a
m
、
a
n
、
a
l
的关系为
?
证明：
三、等差中项、定义：
1、求下列两数的等差中项
-可编辑-

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（1）
?180
与
360

?
?
（2）
(a?b)
与
(a?b)

22
2、若和为S的三个数成等差数列，可按下列三种方式求中间项。
（1）设此三数为
a,a?d,a?2d

（2）设此三数为
a?d,a,a?d

（3）设此三数为
a?2d,a?d,a

在此三种说法中，以第 种设法最简。
若四数、五数……成等差数列可分别设为




3、要证三数成等差数列，只要证




四、练习












五、等差数列前n项和
刘淑珍
重点：等差数列前n项和公式。难点：获得推导前n项公式思路。
一、复习



1、设
x
是a、b的等差中项，并且
x
是a
与
?b
的等差中项，则a、b关系（ ）
22
1、 在等差数列
{
a
n
}
中，（1）
a
1
?3 ,a
100
?36
，则
a
3
?a
98
?< br>
（2）
a
6
?a
9
?a
12
?a
15
?
30
则
a
1
?a
20
?
（3）
a
5
?a,a
10< br>?b,
则
a
15
=
2、A·P数列< br>{
a
n
}
满足
a
7
?m,a
14< br>?p(m?p)
，则
a
21
= 3、一个无穷等差数列
{
a
n
}
，公差为d，则
{a< br>n
}
中有有限个负数的充要条件为
4、
2b?a?c
，则a、b、c成等差数列的 条件。
5、在等差数列
{
a
n
}
中，
a
3
?a
11
?40
，则
a
6
?a
7
?a< br>8
=
6、三个数成A·P其和为18，平方和为116，则此三数为
7、在A·P数列
{
a
n
}
中，d>0且
a
3< br>?a
7
??12,a
4
?a
6
??4
，则d =
8、若
111b?cc?aa?b
,,
成A·P 证明
,,
也成A·P
(a?b?c?0)

abcabc
2
A、
a??b

x
B、
a?3b

x
C、
a?b?0
D、
a??b
或
a?3b

2、若
lg2,lg(2?1) ,lg(2?3)
成等差数列，则
x
的值为（ ）
-可编辑-

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A、0 B、
log
2
5
C、32 D、0或32
3、在数列1、3、5、7……中，
6n?1
是第几项？
二、公式












1、设等差数列的前n项和为
S
n
，即
S
n?a
1
?a
2
?a
3
?
…
?a
n

（1）在等差数列
{
a
n
}
中，
a
1
?a
n
,a
2
?a
n?1
,a
3
?a
n?2
…相等吗？
（2）等差数列前n项和公式（1）
证明：
2、小结
（1）
a
n
、
S
n< br>表达式中包括
a
1
、
a
n
、
S
n< br>、
n
、
d
五个量中，如果已知其中任意三个量，可求出另外
个未知量。
（2）
a
n
是n的 次函数（
d?0)

S
n
是n的 次函数（
d?0)
且不含 项。
（3）
a
n
与
S
n
关系：



三、例题
1、等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？














-可编辑-
2、在等差数列
{
a
n
}
中，
d?
1
,S
37
?629
，求< br>a
1
及
a
37
。
3
3、求集合
M ?
{
mlm?
7
n
,
n?N
,
且m<10 0}的元素个数，并求出这些元素的和。
?

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4、在A·P中，S
10
=100，S
100
=10。求S
110
=-110





四、练习
1、求前n个自然数的和，0+1+2+…+（n-1）= 。
2、1+4+7+…+100=






六、前n项和习题课
刘淑珍
重点：难点：等差数列前n项和的应用
1、前100个正整数中，先划去1，然后又每隔两个数划去一个数，则留下的各数之和为
。

2
2、如果一个A?P数列的前n项和公式为
S
n
?
an
?
bn
?
c
，其中a、b、c是常数，则常数c的值一
3、在等差数列中，
a
1
?a
4
?
10,
a
2
?a
3
?
2
，则
S
n
? 。
1
，偶数项的和为15，则
a
6
= 。 2
5、A·P中，
a
4
?
8,
a
11
?
22
，则
a
31
?a
32
?a
33?
…
?a
80
=
6、在等差数列
{
a
n
}
中，已知
S
n
?m,S
m
?n(m?n)
求
S
m?n
。
4、一个等差数列共10项，其中奇数项和为
12
定等于 。





3、在等差数列
{
an
}
中，若
a
2
??61,a
5
??16，它的前 项最小，最小和是 。
4、已知A?P数列的前n项和
S
n
??
1
2
n
?5
n
，则它的前 项和最大。
2
5、三个数成A?P，其和为9，积是15，这三个数是 。
1
且S
100
=145，则a
1
+a
3
+a
5
+…a
99
=
2
7、 设数列
{
a
n
}
、
{b
n
}
都是 A?P数列，a
1
=25，b
1
=75，a
100
+b100
=100，则数列
{
a
n
?b
n
}的前100项的
6、若A?P数列
{
a
n
}
中，
d?
2
8、已知
S
n
?pn?qn
（p、q为常数且q?0)
，求
a
n
并证明
{a
n
}
为 A?P。
和为 。







-可编辑-

精品教育







9、在A?P数列中，S
10
=310， S
20
=1220，求
S
n
。
10、在A?P数列
{
a
n
}
中，
S
m
?S
n
(m ?n)
，求
S
m?n
。


11、已知
S
n
是数列
a
n
的前n项和，且
a
1
? 1,{
1
}
是首项为1，公差为2的A?P数列，求数列
{a
n}
的
S
n
通项公式。















13、设A?P数列
{
a
n
}
的前n项和为A ，第n+1项到第2n项和为B，第2n+1项到第3n项和为C，求
12、已知
a
n
?2n?17
，当n取什么值时，
S
n
最小？
证A、B、C与A?P。










-可编辑-
14、（选做）已知数列
{
a
n
}
的前n项和为
S
n
?
求证：
{
a
n
}
为等差数列。
n(a
1
?a
n
)
(n?3)

2

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七、等差数列习题课
刘淑珍
重点、难点：等差数列的通项公式，前n项和公式的综合作用。















1、A?P数列
{
a
n
}
中，
a
2
?a
12
?19
，则S
13
=（ ）
A、
249

2
B、
247

2
C、
245

2
D、
243
< br>2
2、A?P数列
{
a
n
}
中，已知
a1
:a
2
?4
，那么
S
7
:S
5的值为（ ）
A、1 B、
7

2
C、3 D、4
3、A?P数列
{
a
n
}
中，公差< br>d?0
且
a
1
?d
。若前20项的和S
20
=10M，则下列（ ）不成立
A、
M?a
6
?a
15

C、
M
?
2a
1
?
19d

A、
a
7








B、
M?a
1
?2a
10

D、
M?2a
20
?19d

C、
a
9
D、
a
10

4、在首项是31，公差为-4的A?P数列中，与零最靠近的项（ ）
B、
a
8

5、等差数列96，88，80…的前n项和
S
n
的最大值是（ ）
A、606 B、612 C、618 D、624
6、如果一个数列是A?P数列，将它的各项取绝对值后仍是等差数列则（ ）
A、它是常数列 B、其公差必大于0
C、其公差必小于0 D、都可能
S
n
n
2
a
?
2
(m?n)
则< br>n
的值是（ ） 7、等差数列
{
a
n
}
中 ，若
S
m
m
a
m
A、

m

n
B、
2m?1

n
C、
m

2n?1
D、
2n?1

2m?1
8、已知两个等差数列< br>{
a
n
}
和
{b
n
}
的前n项和之 比为
A、
7n?1
a
(n?N
?
)
，则
11
等于（ ）
4n?27
b
11
D、
7

4
B、
3

2
C、
4

3
78

71
9、一个项数是奇数的 等差数列，它的奇数项与偶数项之和分别为168和140，最后一项比第一项大
30，则数列的项数是 （ ）
A、21 B、15 C、11 D、7




-可编辑-
10、已知
{
a
n
}< br>为等差数列，
a
1
>0且S
15
=S
20
， 问它的前多少项和最大。

精品教育































八、等比数列
刘淑珍
重点：等比数列的概念及通项公式；难点：等比数列通项的运用。
一、基础知识
1、等比数列定义：







-可编辑-
11、设等差数列
{
a
n
}
的前n项和为
S
n
，已知
a
3
?12
，且S
12
>0，S
13
<0
（1）求公差d的范围
（2）问前几项和最大，说明理由
n
2
?5n
12、（选做）已知 数列
{
a
n
}
的前n项和
S
n
?
且
C
n
?|a
n
|
。求
{C
n
}
的前n项和
P
n
。
2
2、等比数列递推公式：
3、等比数列的通项公式：
证明：

精品教育






4、要证明一个数列是G?P，应证明
5、在G ?P数列中，任意两项
a
m
、
a
n
间的关系
6、等比中项：


二、例题












2、已知{
a
n
}
、
{b
n
}
是项数相同的等 比数列，求证
{a
n
?b
n
}
是等比数列。
1、试在
11
和之间插入两个中间项，使其成G?P，求这两个数。
2128
3、一个等比数列的第3项与第4项分别为12与18。求它的第1项与第2项。



三、练习










1、求证：以
a
n
?
3
n?1
?2
为通项公式的数列为等比数列。
8
2、求等比数列1，2，4，8…的第10项 。
3、首项为3，末项为3072，公比为2的等比数列的项数 。
4、已知：数列的通项公式为
a
n
??()
，那么它是一个递 （增或减）的数列，首
1
6
n
项
a
1
?
，公比q= 。




-可编辑-
5、求下列各数的等比中项。
（1）45与80 （2）
a?ab
与
b?ab

422422

精品教育







6、一个各项均为正数的G?P数列，它任何项都等于它后面连续两项的和，其公式q=
7、首项为
1
，从第11项开始，各项都比1大的等比数列的公比q的取值范围
32
1
n
2
n
n
n
8、要使G?P数列< br>10,10,?10
…的前n项积超过10
5
，那么n的最小值是 。
9、在G?P数列
{
a
n
}
中，若
a
1
?a
2
?324,a
3
?a
4
?36
， 则
a
5
?a
6
= 10、在G?P数列
{
a
n
}
中，
a
5
?61,a
11
?1647
，则
a
7
= 。
11、三数成G?P数列，它们的积为64，其算术平均数为
12、已知
{
a
n
}
是G?P数列，求证：
{
14
，这个数列为 。
3
1
},{a
n
}
也是G?P数列。
a
n



九、等比数列的性质
刘淑珍
重点：等比数列的性质及应用 难点：性质的应用
一、基础知识


1、若等比数列
{
a
n
}
、
{b
n
}
的公比为q
1
、q
2
判断下面数列是否为等比数列，若是则公比 为多少？
（1）
{
a
n
?b
n
}
（2）
{a
n
}
t

（3）
{Ma
n
}(M?0)

（4）在原数列中每隔K项 取一项组成数列
{
c
n
}
。证明结论。
2、在等比数列
{
a
n
}
，与首末两项等距离的两项的 等于同一个常数。
3、在等比数列
{
a
n
}
中，若
m?n?p?q(m,n,p,q?N)
，则
a
m
?a
n

a
p
?a
q
。
?
证明：





特别地：当
m?n?2l
时，
a
t
2

a
m
?a
n
。
4、已知：三数成G·P，若知三数积为m，怎样设最好？
若知三数和为S，怎样设？
如果是四数呢？
二、例题
1、三数成G·P，其积为125，其和为31。求此数列。


-可编辑-

精品教育




2、某种细菌在培养 过程中，每半小时分裂一次（一个分裂为两个），经过4小时，这种细菌由一个可
繁殖成多少？









4、已知
{
a
n
}
成G·P，前三项为
a,2a?2,3a ?3
。则此数列第几项为
?13
3、20，50，100各加上同一个数常后，构成一 个G·P数列，求q。
1
？
2






5、三个互不相等的数成A·P，如果适当排列这三个数也可成G·P，已知这 三个数的和为6。求此
三个数。






三、练习



1、已知G·P数列中，
a
2< br>?
5,
a
6
?
8
，则
a
4
?
，
a
3
?a
5
= 。
2、已知：在G·P数列中，
a
5
?b
,
a
10
?a
。则
a
15
= 。
3、在G·P数列中，
a
3
?a
6
?a
9
=27， 则
a
6
= 。
22222
4、若方 程
(a
?
b)x
?
2b(a
?
c)x
?< br>b
?
c
?
0(a,b,c
为非零实数）有实根。求证：a、b 、c成等
比数列。









-可编辑-
5、已知：三数成G·P，和为26，且此三数分别加上1，2，3构成A·P，求原三数。

精品教育

十、等比数列前n项和
刘淑珍
重点：等比数列的前n项和公式。难点：获得推导前n项和公式的思路。
一、等比数列
{
a
n
}
前n项和公式为


（1）当
q?1
时，
S
n
= = （2）当q=1时，
S
n
=
证明：（一）错位相减法 （二）等比定理法






二、例题
1、求等比数列
111
,,
…的前8项和。
248




2、某制糖厂第1年制粮5万吨，如果平均每年的产量比上一年增加10%，那 么从第一年起，约几年
内可使总产量达到30万吨？（保留到个位）










4、求和
S< br>?
a
?
2a
?
3a
?
…
?na
23
n
3、求和
(x
?
111
)
?
(x
2
?
2
)?
…
?(x
n
?< br>n
)(x?0)

yyy


三、练习



1、等比数列
333
,,
…从第3项到第9项的和为 。
248
2、在等比数列
{
a
n
}
中，若
a
3
?12,a
6
??96
，则S
6
= 。
10
2210
3、已知数列
lgx
?
lgx
?
…
?lgx
=110则
lgx?lgx?
…
?lgx
=
-可编辑-

精品教育









4、已知正数 G·P数列
{
a
n
}
中，S
3
=6，
a< br>7
?a
8
?a
9
?
24
，则S
99
= 。
5、等比数列
a
、
ab
、
ab
…
ab
2
n?1
…
(a?0,b?0)前n项和
S
n
=
6、等比数列
{
a
n
}
中，
a
1
?a
2
?20, a
3
?a
4
?40
，求 S
6
。
7、有 5个数
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
,a
5
成G·P，前4项和为
6?32
，后四项和为
6?62
，求此5个数。





8、七个实数排成一排， 奇数项成A·P，偶数项成G·P，且奇数项之和与偶数项之积的差为42，首
末两项与中间项之和为2 7，求中间的值。










十一、等比数列习题课
刘淑珍
重点、难点：等比数列的前n项和公式的应用
一、选择题



1、数列
{
a
n
}
是一个常数列，下面结论正确的是（ ）
A、
{
a
n
}
等差数列，也是等比数列 B、
{a
n
}
不是等差数列，也不是等比数列
C、
{
a
n
}
是等差数列，不一定是等比数列 D、
{a
n
}
是等比数列，不一定是等差数列
2、若一个等比数列 的前n项和是
S
n
?
ab
n
?
c
其中a、 b、c是常数，且
a?0,b?0
，
c?1
，那么
C、
a? b?c?0



C、1
C、15
-可编辑- 9、（选做）在G·P数列中，
T
1
?a
1
?a
2???a
n
,
T
2
?a
n?1
?a
n ?2
???a
2n
,

T
3
=
a
2n?1
?a
2n?2
+…
?a
3n
。问T
1、T
2
、T
3
有什么关系？并证明之。
a、b、c必须满足的条件是（ ）
A、
b?c?0
B、
a?c?0





A、-1
A、5




B、0
B、10







D、
a?b?c



D、3
D、20
n
3、设等比数列
{
a
n
}
的前n项和为
Sn
?3?r
，那么r的值等于（ ）




4、已知
{
a
n
}
是等比数列且
a
n>0，
a
2
a
4
?2a
3
a
5
?a
4
a
6
?25
，则
a
3
?a
5
=（ ）

精品教育
5、若a、b、c成等比数列，又m是a、b的等差中项，n是b、c的等差中项，那么
ac

??
（ ）
mn
A、4 B、3 C、2 D、1
6、某人从1996年起，每年7月1日到银行新存入a元，一年定期，若年利率r保持不变 ，且每年到
期存款均自动转为新的一年定期，到2003年7月1日将所有存款及利息取回，他可取回的 钱数（元）为
（ ）
A、
a(1?r)

C、
(1?r)

二、填空题。





1、等比数列
{
a
n
}
中，
S
4
?2,S
8
?6
，则
a
17
?a
18< br>?a
19
?a
20
的值为 。 < br>4?n
2、等比数列的通项公式
a
n
?2
则
S
5
= 。
6










B、
a(1?r)

D、
7

8

a
[(1?r)
8
?(1?r)]

r
3、若a、 b、c成A·P、
a?ba?cb?c
,,
成G·P，则该数列公式为 。
246
4、在等比数
{
a
n
}
中，已知
S
2n
?120,S
3n
?30
，则
S
n
?

5、设
a?b?c,b?c?a,c?a?b, a?b?c
组成等比数列，其公式为q，那么
q?q?q
的值等
23
于 。

三、解答题
1、等比数列的第n 项和
S
n
?
k
?3?1
，则k的值是多少？








2、已知：三个数为G ·P数列，若将等比数列的第3项减去32，则成等差数列，再将此等差数列的
第2项减去4，又成等比 数列，求原来的三个数。









3、已知
y?f(x)
为一次函数，且
f(2),f (5),f(4)
为等比数列，且
f(8)?15
，求
n
S
n
?f(1)?f(2)???f(n)(n?N
?
)
的表达式。






-可编辑-

精品教育
















?
4、在数列
{< br>a
n
}
中，已知
a
1
?2,a
n?1
?2(a
1
?a
2
???a
n
)(n?N)

求证：此数列从第二项起是G·P数列。
5、（选做）已知等差数列
lg
x
1
,lg
x
2
,?
的第r项为S，第S项为r。求
x
1
?x
2
?x
3
?
…
?x
n< br>.

十二、等差、等比数列习题课（一）
刘淑珍
重点、难点：等差数列，等比数列的通项公式，前n项公式的综合应用。
一、填空题
1、在a与b之间插入三个数，使它们成A?P，则此三数为
2、在160与10之间插入三个数，使它们成G?P，则此三数成








3、已知数列
{
1
}
与A?P且b
2
=2，b
6
=4， 则b
4
=
b
n
2
4、若< br>S
n
?5
n
?3
n
则
a
n
?

n
5、若
S
n< br>?3?
b
(
b
为常数）则
a
n
?

6、在等比数列中，
a
1
?
2,
a
5
?< br>6
，则
a
3
?

7、在等比差数列中，
S
m
?
a
,
S
n
?
b
(
n
>m）则
S
m?n
=
8、若一个数列既是等差数列，又是等比数列则该数列为 < br>9、已知
a
1
，
a
2
,a
3
成A· P，c是正常数，则
C
1
,C
2
,C
3
是 数列。
10、已知
a
1
，
a
2
,a
3< br>…成G·P，且各项均为正数，a>1，且
a?1
，则
log
a
1
,log
a
2
,log
a
3
…是
aa
a
aa
a
数列。
11、1+4+7+…+（3n+1）=
12、某商 品零售价2001年比2000年上涨25%欲控制2002年比2000年上涨10%，则2002年比200 1
年降价 。
二、简答题





-可编辑-
1、求和：
S?
(
a ?
1)
?
(
a?
2)
???
(
a?n)

2n

精品教育



2、一个递减的等比数列，其前三项之和为62，前三项的常用对数和为3，则数列第5项的值为多少？
3、设等比数列的前n项和为
S
n
，积为
P
n
，倒 数的和为
T
n
，求证：
P
n
?(
2
Sn
n
)

T
n







4、有四个数，前三个数成A·P，后三个数成G·P，首末两项之 和为11，中间两项之和为10，求这
四个数。








5、已知某市1991年底人口为100万，人均住房面积为5m< br>2
，如果该市人口平均增长率为2%，每年平
均新建住房面积为10万m
2，试求到2001年底该市人均住房面积为多少平方米？
















十三、等差、等比数列习题课（二）
刘淑珍
重点、难点：等差数列，等比数列的通项公式，前n项和公式的综合应用。
1、数列
1,2
6、（选做）设
{
a
n
}
成A·P，
bn
?()
n
，已知
b
1
?b
2
?b< br>3
?
a
1
2
211
,b
1
b
2
b
3
?
，求
a
n
。
88
1
2
111
,3,4
…前n项的和为（ ）
4816
-可编辑-

精品教育










1n
2
?n
A、
n
?

22
n
2
?n1
?
n
C、
22






n
2
?n1
?
n
?1
B、
22
n(n?1)1
D、
?
n?1

22
2、三个不同实数a，b，c成等差数列，a，c，b又成等比数列，则
A、
a
?
（ ）
b
7

4
B、4 C、-4 D、2
3、在等差数列
{
a
n
}< br>中，已知
a
1
?a
6
?a
15
?a
20
?30
，则数列的前20项和S
20
=（ ）
A、100 B、120 C、140 D、150
4、已知数列
{
a
n
}
的
a
1
??60
，
a
n?a
n?1
?3
，那么
|a
1
|?|a
2|?
…
?|a
30
|
=（ ）
A、-495 B、765 C、1080 D、3105
5、某企业的生产总值月平均增长率为p%，则年平均增长率为（ ）
A、12p% B、
(1?p%)

12
?1
D、
(1?p%)
12
?1

111
11
6、设
S
n
是等差数列
{a
n
}
的前n项和，已知
S
3
与
S
4
的等比中项为
S
5
,S3
与
S
4
的等差中项
344
53
为1，求通项
a
n
。
C、
(1?p%)





7、设有数列
a
1
,
a
2
,
…
a
n
…又若
a
1
,a
2
?a
1
,a
3
?a
2
…
a
n
?an?1
是首项为1，公比为
11
1
的等比数列。
3
（1 ）求
a
n
（2）求
a
1
?a
2
?
…
?a
n







8、在等比数列
{
a
n
}
中，已知
a
1
?a
2
?a
3
?a
4
?a
5
?
211
，
27
11111211
?????
，求
a
3
。 < br>a
1
a
2
a
3
a
4
a
5< br>48












-可编辑-

精品教育
9、（选 做）已知两个数列
{
a
n
}
，
{b
n
}< br>满足关系式
b
n
?
1a
1
?2a
2
???na
n
(n?N
?
)
，若
{
b
n< br>}
是等
1?2?3???n
差数列，求证
{
a
n}
也是等差数列。











nn
10、（选做）已知数列
{
c
n
}
其中
c
n
?2?3
且数列
{c< br>n?1
?pc
n
}
为等比数列。











十四、数列的通项（一）
刘淑珍
重点：利用
S
n
、a
n
的关系及一阶递推公式求通项公式。
难点：如何构造等差、等比数列。
一、观察法
写出数列的一个通项公式，使得它的前几项分别为以下各数：


1、
?
（1）求常数p （2）设
{
a
n< br>}
，
{b
n
}
是公比不相等的两个等比数列。
cn
?a
n
?b
n
证明数
列
{
c
n
}
不是等比数列。
24816
,,?,?
…
3579




2、9，99，999，9999…
3、1，5，7，17，31，65…
二、已知
S
n
，求
a
n









-可编辑-
1、在数列< br>{
a
n
}
中，已知
S
n
?2?2a
n
，求通项公式
a
n
。
2、在数列
{
a
n
}
中，
S
n?1
?S
n
?2a
n?1< br>,a
1
?3
。求通项公式
a
n
。

精品教育



3、在数列
{
a
n
}
中，已知
a
n
?S
n
?S
n?1
(n?2),a
1
?
2
，求通项公式
a
n< br>。
9





三、由一阶递推公式求通项公式
1、 数列
{a
n
}
中， 已知
a
1
?3,a
n?1
?a
n
?n
。求 通项公式
a
n




2、在数列
{a
n
}
中，已知
a
1
?1
，
a
n
?








n
3、在数列
{
a
n
}
中，已知
a
1< br>?1,a
n?1
?2a
n
。求通项公式
a
n
。
1
a
n?1
?1.(n?2)
。求通项公式
a
n
。
2







四、练习









-可编辑-
1、已知正数列
{
a
n
}
的前n项和为
S
n
?
11
(a
n
?)
求数 列
{a
n
}
的前3项，并由此猜测出
a
n
。
2a
n

精品教育






2
2、在数列
{
a
n
}
中， 已知
a
1
?1,S
n
?na
n
，求通项公式
a
n
。

十五、数列的通项（二）
刘淑珍
重点：由递推的公式、根式、指数求通项公式。难点：如何构造相应的等比数列。
一、换元法
1、在数列
{
a
n
}
中，已知
a
1?2,
111
??(n?2)
。求通项公式
a
n
。
a
n
a
n?1
2





二、取倒数法
2、在数列
{
a
n
}
中，已知
a
1
?2,a
n?1
?
a
n
。求 通项公式
a
n
。
a
n
?3






三、取对数法






4、在数列
{
a
n
}
中，已知
a1
?4,2a
n
?a
n?1
(n?2)
。求通项公式< br>a
n
。
34
3、在数列
{
a
n
}
中，已知
a
1
?2,a
n?1
?3
n
。求 通项公式
a
n
。





四、练习
-可编辑-

精品教育
1、数列
1, 1?
111111
,1??,1???
…的第n项
a
n
?< br> 。
224248
2、已知等差数列
{
a
n
}
前三项依次为
a?1,a?1,a?3
。则其通项
a
n
=
3、若数列
{
a< br>n
}
由
a
1
?2,a
n?1
?a
n
?2n(n?1)
确定，则
a
100
=
2
2S
n
4、数列
{
a
n
}
的首 项
a
1
?1
，前n项和
S
n
与
a
n
之间满足
a
n
?(n?2)

2S
n
?1
（1）求证：数列
{








1
}
是等差数列
S
n
（2）求数列
{
a
n
}
的通项公式
5、在数列
{
a
n
}
中，已知
a
1
?1,n?2
时，
a
n
、
S
n
、
Sn
?









6、数列
{
a
n
}
对一切自然数n满足
a
1
?2a
2
?4a
3
?
…
?2




1
成G?P，求
S
n
、
a
n
的表达式。
2
n?1
a
n
?9?6n
求数列
{
an
}
的通项公式。
十六、数列求和
刘淑珍
重点：用累加法、倒序相加法、错位相减法、拆项法求数列前n项的和
难点：如何选择合适的方法
一、1、已知
a
n
?



-可编辑-
3
。求
S
n

2
n

精品教育
























n个5
2、5+55+555+…+555…5=
3、求和。
S?
(2
?
3
?
1)
?
(2
?
3
?
2)
?
(2
?
3
?
3)
???
( 2
?
3
?n
)

23n
4、已知
a
n
?
2n?1
。求
S
n

n
2
5、已知
a
n
?
1
求
S
n

n(n?1)
6、已知：
a
n
?n
。求
S
n







二、总结数列求和方法






三、练习






-可编辑-
2
1、已知
a
n
?1
，求
S
n

n(n?2)

精品教育






















2、已知：
a
n
?
2
?
3< br>n?1
?
3
n?
1
。求
S
n
3、
S
?
2
?
4a
?
6a
?
…
?2n?a
2n?1

4、
S?
111111
? (?)???(????
n
)

224242
2'2
'5、数列
{
a
n
}
与
{b
n
}
的前n项和分别记作
S
n
与
S
n
，如果
S
n
?n?2n?1,S
n
?n?2n?3
,设
C
n
?a
n
?b
n
。求
{C
n
}
前n项和< br>P
n
。
十七、数列求和和与应用题
刘淑珍
重点：（1）巩固求前n项和的方法 （2）用数列求解应用题
难点：建立合适的数学模型解应用题
1、求










2、
1?









3、
1111
??????
的和
1?33?55?7(2n?1)(2n?1)
111
?????
?

1?21?2?31?2?3????n
1111
??????
?

1?22?33?2n?n?1
-可编辑-

精品教育









4、设{a
n
}为等差数列，公差是d ,则





5、
1?2?2?3?3?4????n(n?1)?













6、从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水填满，再倒出1升混合溶液 ，用水填满，这样继
续下去，一共倒了4次，这时容器里还有多少纯酒精？（保留到1位）











7、某林场原有森林木材存量为a,木材以每年25%的增长率生长，而每年冬天要砍伐的木材量为x， 为
了实验经过20年达到木材存有量至少翻两番的目标，则x的最大值是多少？（1g2=0.3）










2
8、（选做）已知数列{a
n
}的前n项和为
S
n
?10n?n
，数列{b
n
}的每一项
b
n
?
|
a
n
|
，求数列{b
n
}的前
n项和。
-可编辑-
1111
???????

a
1
a< br>3
a
3
a
5
a
5
a
7
a< br>2n?1
a
2n?1

精品教育







【高二数学学案】

3.1.1 不等关系与不等式
设计人：刘淑珍 张文刚 时间：


赠言：高二夯实基础，强化能力，作好飞跃的准备。
【基础知识】
一、不等式的定义及分类
1、定义：
2、分类：
二、比较两代数式大小的理论依据

a?b?a?b?0a?b?a?b?0a?b?a?b?0

注：任意两实数a, b，在三个关系中有且仅有一种关系成立。
▲：作差法
【典例精析】
例1、比较x
2
-x和x-2的大小。



练：比较
x?
2
x与?x?
3
的大小。
2



小结：

例2、比较
x?
2
x与x?
1
的大小。
2




练：已知a>b, 试比较a
3
与b
3
的大小。



小结：
【当堂练习】
1、请用不等号表示下列关系：
-可编辑-

精品教育
（1）a是非负实数；
（2）实数a小于3，但不小于-2；
（3）a和b的差的绝对值大于2，且小于等于9。



2、试比较





3、已知
a?b,求证
：




4、已知
a
,
b?R
?
,
且
a?b，试比较a
5
+b
5
和a
2
b
3
+a
3
b
2
的大小。







5、列出下题中未知数x所满足的不等式（或不等式组）：
一辆汽车原 来每天行驶x公里，如果它每天多行驶19公里，那么在8天内它的行程s就超过2200公
里；如果它 每天比原来少行驶12公里，那么行驶同样的路程s就需超过9天时间。





【课堂小结】




3.1.1 不等关系与不等式习题
设计人：刘淑珍 张文刚 时间：
4a
和1的大小。
2
4?a
a
2
?
4< br>b
2
?
2
b
(
a?b
)

赠言：踏踏实实学习，快快乐乐生活。
1、下列不等式①
x?
3
?
2
x
(
x?R
)
②
a?b?ab?ab(a,b?R)
③
2553323
a
2?b
2
?2(a?b?1)
，其中正确的个数为（ ）个
-可编辑-

精品教育
A、0个 B、1个
2
C、2个
2
D、3个
2、已知
?1?a?0 ,A?1?a,B?1?a,C?
1
,
把A、B、C由小到大排为
1?a

3、有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机 两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输效果如
下表：
方式
效果
种类
粮食
石油
轮船运输量t
300
250
飞机运输量t
150
100
现在要在一天内运输20 00t粮食和1500t石油，写出安排轮船艘救和飞机架数所满足的所有不等关系
的不等式。







4、若x(
x?y
)(
x?y
)
与
(
x?y)(
x?y
)
的大小。
2222






5、证明：对任意实数x，f(x)=3x
2
-x+ 1总大于g(x)=2x
2
+x-1。






6、比较





7、
lg
x
?log
x
10?2
，并说明式中等号成立的条件。

-可编辑-
1
与1?
x
的大小，其中
x?R且x??1

1?x

精品教育




8、已知
xy?0,x?y,
试比较
log
a
(
x4
?
6
x
2
y
2
?y
4
)< br>与
log
a
[4
xy
(
x
2
?y< br>2
)](
a?
0,
a?
1)
的大小。






9、（选）设f(x)=1+log
x
3, g(x)=2log
x
2, 其中x>0，且x≠1，比较f(x)与g(x)的大小。







【高二数学学案】
3.1.2 不等式的性质（一）
刘淑珍 张文刚 时间：


赠言：
天道酬勤，上帝不会让任何努力学习、奋勇前进

的人失望的。

【基本知识】
复习：1、不等式的定义、分类
2、比较两数（式）大小的方法：
新授：1、对称性
证明：


2、传递性
证明：


3、可加性
证明：


4、可乘性：
证明：




-可编辑-

精品教育














推论1
证明：
推论2：可乘方性：
5、可开方性：
证明：
注：（1）记清各性质的使用条件
（2）注意各性质中是单向推导还是双向互推。


例题部分
a>b>0
1、求证：
?

ac c










4、已知函数
f
(
x
)
?ax?bx
，满足
?1?f(?1)?2,2?f(1)?4
，求
f(?2)
的范围。
2
2、已知
?
?
2
?
?
<
??
?
2
，求
?
?
?
2

3、已知-3(a?b)?c
的取值范围。



练习




2、< br>?
为第三角限角，
?
是第二象限角，则
1、已知
ac
a?bc?d
<，比较与的大小。
b
d
bd
?
?
?
2
的终边所在象限是 。
-可编辑-

精品教育



3、
f
(
x
)
?ax?c
，且
?4?f(1) ??1,?1?f(2)?5
，试求
f(3)
的取值范围。
2
4、 已知2
?a?3
且
?2?b??1
。试求
a?b,a?b,ab和
a
的取值范围。
b
【高二数学学案】
3.1.2 不等式的性质（二）
刘淑珍 张文刚
赠言：
用青春和激情抒画自己最美的高中历程
。

知识回顾：默写不等式的性质及推论










习题部分
1、若a>b>c,且a+b+c=0,则下面恒成立的不等式是（ ）
A、ac>bc B、ab>ac C、a|b|>|b|c D、ab>bc

2、对于实数u ,v,w下列命题成立的是（ ）
A、若u>v,且w>v,则u>w B、若w>v，且u>v，则uw>vw
C、若u>v，则uw>vw D、若u>-v，则w-u3、若0

A、
(1?x)
>
(1?x)

C、
(1?x)
>
(1?x)

y
1
y
y




B、
(1?x)
>
(1?y)

D、
(1?x)
>
(1?y)

xy
xy
y
2
4、若m>n，

11
>，则（ ）
m
n
B、m>0，n>0 C、m<0，n>0
22
A、m>0，n<0 D、m<0，n<0
c
2
c
2
ab
2
2
5、若a>b，则给出下列不等式：①
(ac)?(bc)
；②
2
>
2
；③
ac
>bc
；④
>，则成立
ab
cc
的有（ ）
-可编辑-

精品教育
A、① B、②
x

x
C、②③ D、①③④
6、已知
f(x)? a,g(x)?b
，当
f(x
1
)?g(x
2
)?3
时，
x
1
>
x
2
，则a与b的大小关系不可能成立
的是（ ）
A、b>a>1 B、a>1>b>0 C、01>a>0
7、已知
a,b,c?R
，则下面推理中正确的是（ ）
A、
a
>
b?am
>
bm

2
2
3
C、
a
>
b,ab
>0
?
B、
a
b
>
?
a
>b
c
c
1
1
1
1
2
2
<
D、
a
>
b,ab
>0
?
<
a
b
a
b
8、若
a,b
是任意实数，且
a
>b，则（ ）
b1
a
1
b
22
A、
a
>
b
B、
<1 C、
lg(a?b)
>0 D、
()
<
()

a< br>22
3
9、当0(1?a)(1?a)
的大小关系是
10、若d>c，a+b=c+d，a+d11、若
x,y,z,w
是四个实数，且满足xz>0，xyw<0，xyzw> 0，y+w<0，则
x,y,z,w
各实数的正负符
号是 。
12、设
a?b?0,p?
13、证明下列不等式：
①已知a




②已知a>b>0，求证




③已知a>b，



【高二数学学案】
3.2 均值不等式（一）
刘淑珍 张文刚 时间：




赠言
：
始终坚信自己能成功，并执著求索，那你就离成功不远了。
知识部分
1、重要不等式：如果
a,b?R
，那么
a
?
b
?
2ab
（当且仅当
a?b
时取“=”号）
22
-可编辑-
1
3
与
1
2
a?b,q ?a?b
，p与q的大小关系为
ba
<
ab
ab
>

ba
11
<，求证：ab>0
ab

精品教育



































证明：
注：
2、基本不等式：如果a、b是正数，那么
证明：
a?b
?
ab
，（当且仅当a=b时取“=”号）
2
注：
例1、已知
a,b,c?R
，求证：
a?b?c?ab?ac?bc

222
a?b
?ab??
例2、已知a>0，b>0求证：
112
?
ab
2a
2
?b
2

2
例3、已知x>0，y>0
（1）若积xy为定值P，求和
x?y
的最小值：
（2）若和
x?y
为定值S，求积xy的最大值。








练习1、
a,b,c?R
且均不为0，求证
-可编辑-

精品教育
（1）
a?b?c?abc
(
a?b?c
)

44 4
b
2
c
2
c
2
a
2
a
2
b
2
222
（2）
2
?
2
?
2
?a?b?c

abc







2、证明下列不等式
（1）
a
?
1
?
2a
（2）
ab?(
2
a?b
2
1?b
2
)
（3）
b?()

22
（4）x，y同号，
xy
??2

yx






a
（5）a>0，x>0，则
x??2
a

x


【高二数学学案】

a
2
?2a?b(b
>0） （6）
b
3.2 均值不等式（二）
刘淑珍 张文刚 时间：




赠言：每天进步一点点，成功迟早来到眼前。

知识：设
x,y
都为正数，则有




（1）若
x?y?S
（和为定值），则当
x?y
时，积
xy
取得最大值 。
（2）若
xy?p
（积为定值）， 则当
x?y
时和
x?y
取得最小值 。
利用上述结论求最大值或最小值时应注意：
①
②
③
例1、（1）已知
x
<






-可编辑-
5
1
，求函数
y?4x?2?
的最大值。
4
4x ?5
（2）已知02
2
，求
y?2x?5x
的最大值 。
5

精品教育


































-可编辑-
2x
2
（3）已知x>3，求
y?
的最小值。
x?3
例2、（1）已知x>0，y>0，且
19
??
1
， 求
x?y
的最小值。
xy
（2）已知x>0，y>0且
2x?y? 1
，求
11
?
的最小值。
xy
例3、（1）已知a>b> 0，求
a?
2
16
的最小值。
b(a?b)
（2）已知a ，b为实常数，求
y?(x?a)?(x?b)
的最小值。
22
例4、（1 ）已知函数
y?ax?
b
(
a
>0，b>0），研究其值域、单调性 。
x
（2）求函数
y?
x
2
?5
x?4
2
的最小值。

精品教育
（3）已知
x?(0,
?
2
]
，求函数
y?sinx?
1
的值域。
sinx




【高二数学学案】

§3.3 一元二次不等式及其解法（一）
设计人：刘淑珍 张文刚 时间：


大胆的想象，不倦的思索，一往直前的前进，这才

是青春的美，青春的快乐，青春的本分。

【基础知识】
1、解一元二次不等式的一般步骤：
赠言：
当a>0时，解形如
ax?b x?c?
0(
?
0)
或
ax?bx?c?0(?0)
的一元 二次不等式，一般可分为三
22
步：
（1） ；
（2） ；
（3） 。
2、“三个一元二次”的关系
判别式△=b
2
-4ac △>0












△=0

△<0
二次函数y=ax
2
+bx+c(a>0)的
图像
一元二次方程
ax
2
+bx+c=0(a>0)的根

















ax
2
+bx+c>0(a>0)

一元二次

不等式的

解集
ax
2
+bx+c<0(a>0)


3、关于一元二次方程根的分布
设方程ax
2
+bx+c=0(a>0)的两根分别为x
1
, x
2
(x
1
2
)



-可编辑-

精品教育







④ ⑤ ⑥




【典型例题】
例1、解不等式
3x
?
2x
?
2
?
3x

2








例2、解关于x的不等式 ：
x?
(2
m?
1)
x?m?m?
0
。
22










例3、若关于x的不等式










-可编辑-
4x?m
?
2
对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围。
2
x?2x?3

精品教育
例4、关于x的方程
x?
(
m?
2)
x?
5
?m?
0
的两根都大于 2，求实数m的取值范围。
2






例5、解关于x的不等式
(x?2)[(a?1)x?a?2]?0(a?0)








【课堂练习】
1、解不等式
?
2
x?x?
1
?
0
。
2







2、已知一元 二次方程
ax?bx?
1
?
0
的解集为
{x|?2?x?1 }
，求a, b的值。
2







3、若不等式
(
a?
2)
x?
2(
a?
2)
x?
4
?
0
恒成立，求a的取值范围。
2







-可编辑-

精品教育
4、已知关于x 的方程
x?
(
a?1)
x?a?
2
?
0
的一根大于1另一根小于1则实数a的取值 范围。
22






（选做）5、 已知函数
f
(
x
)
?
lg[(
a?
1)< br>x?
(
a?
1)
x?
1]

22
（1）f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围
（2）f(x)的值域为R，求实数a的取值范围。













3.3 一元二次不等式及其解法习题
设计人：刘淑珍 张文刚 时间：
岁月如流水，不断地逝去却又源源而来，惟有青春
赠言：
一去不复返。
1、在下列不等式中，解集是
?
的是（ ）
A、
2
x?
3
x?
2
?
0

2


B、
x?4x?4?0

D、
?2?3x?2x?0

2
2
C、
4
?
4
x?x?
0

2

2 、若不等式ax
2
+bx+2>0的解集是
{x|?
11
?x?}
，则a+b的值为（ ）
23
A、14 B、-10 C、10 D、-14
3、二次函数y=-x
2
-6x+k的图象的顶点在x轴上，则k的值为（ ）
A、-9 B、9 C、3 D、-3
4、已知函数y=ax
2
+bx+c, 如果a>b>c且a+b+c=0，则它的图象可能是图中的（ ）







22
5、要使关于x的方程
x?
(
a?
1)
x?a?
2
?
0
的一根比1大，且另一 根比1小，则a的取值范围
是（ ）
A、
?1?a?1
B、
a??1或a?1

C、
?2?a?1
D、
a??2或a?1

6、二次方程ax
2
+bx+c=0的两根分别为-2, 3，a<0，那么ax
2
+bx+c>0的解集为（ ）
A、
{x|x?3或x??2}
B、
{x|x?2或x??3}

-可编辑-

精品教育
C、
{x|?2?x?3}
D、
{x|?3?x?2}

7、2x
2
-3x-2>0的解集是 。
8、当
x?
时，
x
2
?x?
12
有意义。
9、若关于x的不等式ax?bx?c?
0
的解集是
{x|x??2或x??}
，则关于x的不 等式cx
2
-bx+a>0
2
1
2
的解集是 。
10、已知函数y=x
2
-4x+3，则当自变量x满足 ，函数值等于0；当自变量x满
足 ，函数值大于0；当自变量x满足 ，函数值小于0。
11、m为什么实数时，关于x的方程mx
2
-(1-m)x+m=0有实根？








22
12、若函数
y?x?
2
ax?a?
1(0
?x?
1)的函数值大于0恒成立，求实数a的取值范围。








22
13、已知不等式
(
a?
1)
x?
2(
a?
1)
x?
3
?
0
的 解集为R，求实数a的取值范围。







2
?
?
x?x?2?0
14、若不等式组
?
2的整数解只有-2，求k的取值范围。
?
?
2x?(5?2k)x?5k?0








2
（选做）15、已知函数
y?ax?b x?c
的图象过点（-1，0）；是否存在常数a, b, c，使不等式
x?ax
2
?bx?c?



1
(1?x
2
)
对一切实数x都成立？
2
-可编辑-

精品教育




【高二数学学案】

§3.3 一元二次不等式及其解法（二）
设计人：刘淑珍 张文刚 时间：

学问是好的，……如果自己不想，只随口问，即使能得到正确答

赠言：
复，也未必受大益，所以学问二字，“问”放在“学”的下面。


【基础知识】
1、分式不等式：
f(x)
?0?

g(x)



f(x)
?0?

g(x)
f(x)
?0?

g(x)

f(x)
?0?

g(x)



2、一元高次不等式的解法：
步骤：





【典型例题】
例1、解不等式：





例2、解关于x的不等式





1
?
1

x
a(x?1)
?
1(
a?
0)

x?2
-可编辑-

精品教育
x
2
?4x?1
?
0

例3、
2
3x?7x?2





【当堂训练】
(x?1)
2
(x?2)
1、不等式
?
0
解集是
(x?3)(x?4)
23
2、不等式
(
x?
2)(
x?
1)(
x?
1)(
x?
3)
?
0
解 集
x?a
3、不等式
2
?
0
解集是
{x|1?x?a或x?2}
，则a范围
x?3x?2
x?3
?
0
解集为 4、不等式
2?x
x
2
?px?q
2
?0
解集 5、若
x?px?q?
0
解集为
{x|1?x?2}
，则
2
x?5x?6
1
6、若m>0, n>0，不等式
?m??
n
解集
x
x?c
(x?a)(x?b)
?
0
解集为
?
0
解为
?1?x?2或x?3
，则7、已知，
(x?a) (x?b)
x?c
8、对
?
?R,不等式cos2
?
?3? 2mcos
?
?4m
恒成立，求m范围。







【高二数学学案】

3.4 不等式的实际应用
设计人：刘淑珍 张文刚 时间：


赠言：
要紧张不要慌张，要快乐不要没落。

【基础知识】
1、应用不等式解决数学问题时，关键在于要善于把 转化为 ，以及不等
关系的转化等，把问题转化为不等式问题求解。
2、解答不等式的实际应用问题，一般可分三个步骤：
（1）阅读理解材料，应用题所用语言多为“ 、 、 ”并用，而
且文字叙述篇幅较长，阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型，这就要求解 题者领悟问
题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路， 明确解题方
向。
-可编辑-