人教版 高中数学必修5 简单的线性规划问题教案

简单的线性规划问题


一、教学内容分析
普通高中课程标准教科书数学5（必修）第三章第3课时
这是一堂关于简单的线性规划的“问题教学”．
线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成 熟、应用较广泛的一个分支，它能解决科
学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题.
简单的线性规划（涉及两个变量）关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源
一定的条件下， 如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以
最少的人力、物力、资金等资 源来完成.突出体现了优化的思想．
教科书利用生产安排的具体实例，介绍了线性规划问题的图解法， 引出线性规划等的概
念，最后举例说明了简单的二元线性规划在饮食营养搭配中的应用.

二、学生学习情况分析
本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础上，又通过实例，理解了 平面区域的意义，
并会画出平面区域，还能初步用数学关系式表示简单的二元线性规划的限制条件，将实 际问
题转化为数学问题. 从数学知识上看，问题涉及多个已知数据、多个字母变量，多个不等关
系，从数学方法上看，学生对图解法的认识还很少，数形结合的思想方法的掌握还需时日，
这都成了学 生学习的困难．
三、设计思想
本课以问题为载体，以学生为主体，以数学实验为手段，以问 题解决为目的，以几何画
板作为平台，激发他们动手操作、观察思考、猜想探究的兴趣。注重引导帮助学 生充分体验
“从实际问题到数学问题”的建构过程，“从具体到一般”的抽象思维过程，应用“数形结< br>合”的思想方法，培养学生的学会分析问题、解决问题的能力。
四、教学目标
1．了 解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等概
念；理解线性规划 问题的图解法；会利用图解法求线性目标函数的最优解．
2．在实验探究的过程中，让学生体验数学活 动充满着探索与创造，培养学生的数据分析能力、
探索能力、合情推理能力及动手操作、勇于探索的精神 ；
3、在应用图解法解题的过程中,培养学生运用数形结合思想解题的能力和化归能力，体验数学来源于生活，服务于生活，体验数学在建设节约型社会中的作用.
五、教学重点和难点
求线性目标函数的最值问题是重点；从数学思想上看，学生对为什么要将求目标函数最值问
题转化为经过 可行域的直线在y轴上的截距的最值问题？以及如何想到要这样转化？存在一定疑
虑及困难；教学应紧扣 问题实际，通过突出知识的形成发展过程，引入数学实验来突破这一难点．

六、教学过程设计
（一）引入
（1）情景
某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件
耗时1h，每 生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h.该产每天最多可从配件厂获得16
个A配件和12个B配件， 按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？
请学生读题，引导阅读理解后，列表 →建立数学关系式 → 画平面区域，学生就
近既分工又合作，教师关注有多少学生写出了线性数学关系 式，有多少学生画出了相应
的平面区域，在巡视中并发现代表性的练习进行展示，强调这是同一事物的两 种表达形
式数与形.
【问题情景使学生感到数学是自然的、有用的，学生已初步学会了建立线 性规划模型
的三个过程：列表 →建立数学关系式→ 画平面区域，可放手让学生去做，再次经历从实际问题中抽象出数学问题的过程，教师则在数据的分析整理、表格的设计上加以指导】
教师打开几何画板，作出平面区域.
（2）问题
师：进一步提出问题，若生产一件 甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，
采用哪种生产安排利润最大？
学生不难列出函数关系式
z?2x?3y
.
师：这是关于变量
x、 y
的一次解析式，从函数的观点看
x、y
的变化引起z的变
化，而
x 、y
是区域内的动点的坐标，对于每一组
x、y
的值都有唯一的z值与之对应，
请算出几个z的值. 填入课前发下的实验探究报告单中的第２—４列进行观察,看看你
有什么发现？
学生会选择比较好算的点，比如整点、边界点等.
【学生思维的最近发现区是上节的相关知识 ，因此教师有目的引导学生利用几何直观解
决问题，虽然这个过程计算比较繁琐，操作起来有难度，但是 教学是一个过程，从中让
学生体会科学探索的艰辛，这样引导出教科书给出的数形结合的合理性，也为引 入信息
技术埋下伏笔】
（二）实验

教师打开画板，当堂作出右图，在< br>区域内任意取点，进行计算,请学生与自
己的数据对比，继续在实验探究报告单上
补充填 写画板上的新数据.

利润最大的实验探究报告单
实验目的
?< br>x?2y?8,
?
4x?16,
?
?
求
z?2x?3 y
的最大值，使
x，y
满足约束条件
?
4y?12,

?
x?0,
?
?
?
y?0.
(1)
(2) 理解用图解法求线性规划问题的最优解，体会数形结合的思想.
进行实验与收集数据
(1)打开几何画板依次画出点、线构造平面区域;
(2)在 区域内任取一点M，度量横坐标及纵坐标，计算
z
=
2x?3y
的值，并制表 显示在屏幕上;
(3)拖动点M在区域内运动，观察度量值
z
的变化，猜想
z
取得最大值时点M的位置.同时请学生将有
代表性的位置的数据记录在下表中的第2—5列：

计数点n
1
2
3
4
5
6
x

y

2x?3y

点的坐标





直线的方程





直线在y
轴上的截距






















教师引导学生提 出猜想：点M的坐标为（４，２）时，
z
=
2x?3y
取得最大值14. < br>【在信息技术与课程整合过程中，为改变老师单机的演示学生被动观看的现状，
让学生参与进来， 老师（可以根据学生要求）操作，学生记录，共同提出猜想，在当前
技术条件受限时不失为一个好方法】
师：这有限次的实验得来的结论可靠吗？我们毕竟无法取遍所有点，因为区域内
的点是无数的！ 况且没有计算机怎么办，数据复杂手工无法计算怎么办？ 因此，有必
要寻找操作性强的可靠的求最优解的方法.
【形成认知冲突，激发求知欲望，调整探究思路，寻找解决问题的新方法】
继续观察实验报告单，聚焦每一行的点坐标和对应的度量值，比如M（3.2, 1.2）
时方 程是
2x?3y?10
，填写表中的第6—7列，引导学生先在点与直线之间建立起联
系 ------点M的坐标是方程
2x?3y?10
的解，那么点M就应该在直线
2 x?3y?10

上，反过来直线
2x?3y?10
经过点M，当然也就经过平面区域，所以 点M的运动就
可转化为直线的平移运动。
教师拖动直线并跟踪，学生看到直线平
移时 可以取遍区域内的所有点！这样我们的
猜想就非常合乎情理了.然后顺利过渡到直
线与平面区域 之间的关系.
师：由于我们可以将x，y所满足的条
件用平面区域表示了，你能否也给利润< br>z=2x+3y作出几何解释呢？
学生很自然地联想到上面实验的结果，
将等式z=2 x+3y视为关于x，y的一次方程，
它在几何上表示直线，当z取不同的值时可
得到一族平行 直线.
请把你猜想1换一种说法：
猜想与假设2___________________ ____________________________________
直线
z=
2x?3y
经过点（４，２）时，
z
=
2x?3y
取 得最大值14.
2
3
z
3

将直线
z
=
2x?3y
改写为
y??
此时水到渠成.
x?
，这时你能把猜想2再换一种说法吗？
猜想与假设3____________ ___________________________________________

直线
y??
值14.
最后探究出“
z
=
2x?3 y
最值问题可转化为经过可行域的直线
y??
轴上的截距的最值问题”来解决，实现其 图解的目的.
【
借助计算机技术用运动变化的方法，创设实验环境，形成多元联系，展示数< br>2
3
x?
z
3
2
3
x?
z
3
经过点
Ｍ
时，在y轴上的截距最大，此时
z
=
2x?3y
取得最大
在y
学关系式、平面区域、表格等各种形态的表现形式，在数、图、表的关联 中进
行观察、分析，从而逐步帮助学生进行有层次的猜想，也为我们的研究提供一
种方向，这是 新课程积极倡导的合情推理】
教师介绍线性规划、线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等
概念.
(三)探究
师：在上述问题中，若生产一件甲产品获利３万元，生产一件乙产品获利２万元，
又应当如何安排生产才能获得最大的利润？再换几组数据试试（课本第100页）

让学生“主动”更换数据，教师借助几何画板“被动”地进行操作演示，师生继续实验 …，
发现结论同样成立. 进一步发现目标函数直线的纵截距与z的最值之间的关系，有时并不是截距
越大，z值越大.
实验结论______________________________________________ _________
“目标函数的最值问题可转化直线z =2x+3y与平面区域有公共点时，在区域内
找一个点M，使直线经过点M时在y轴上的截距最大”
【从笔算到计算，从点到直线再到平面（区域），从一个函数到多个函数，
从特殊到一般，从具 体到抽象的认识过程，使学生经历数学知识形成、发现、
发展的过程，获得问题的解决，这有助于培养学 生的科学素养】

（四）练习小结
学生练习Ｐ104第1题.
[及时检 验学生利用图解法解线性规划问题的情况，练习目的：会用数形结合思想，
将求
z?2x?y< br>的最大值转化为直线
y??2x?z
与平面区域有公共点时，在区域内找
一个点
Ｍ
，使直线经过点
Ｍ
时在
y
轴上的截距最小的问题，为节省 时间，教师可预先
画好平面区域，让学生把精力集中到求最优解的解决方案上]
（五）实例展示
（课本第100页例5饮食营养搭配）
营养学家指出，成人良好的日常饮食至少应该提供0.075kg的碳水化合物， 0.06kg
的蛋白质，0.06kg的脂肪.1kg食物A含有0.105kg的碳水化合物，0.07kg的蛋白质，0 .14kg
的脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg的碳水化合物，0.14kg的蛋 白质，0.07kg
的脂肪，花费21元.为了满足营养学家的指出的日常饮食要求，同时使花费最低， 需要
同时食用食物A和食物B多少kg?

【一是使学生认识到现实生活中存在许多 简单的二元线性规划问题，二是让学生
经历完整的分析研究问题、制定解决问题的策略的过程，让学生全 面参与课堂教学，
完善知识结构体系】

这里要关注平面区域本题是开放型的，而引例是封闭型的.
（六）课后伸申
师：在 上述线性规划问题中，线性约束条件及线性目标函数是确定的，求最优
解.这是问题的一方面，另一方面
(1)若要求结果为整数呢？最优解是在哪？
(2)若已知有唯一（或无数）最优解时，反过 来确定线性约束条件或目标函数
某些字母系数的取值（范围），又如何解决呢？

（七）小结
求最优解的一般步骤（板书）：
(1)画线性约束条件所确定的平面区域；
(2)取目标函数z=0,过原点作相应的直线；
(3)平移该直线，观察确定区域内最优解的位置；
(4)解有关方程组求出最优解，代入目标函数得最值.
作业：第104页练习2，第106页习题3—4，第107页习题3.
七、教学反思 为了将学生从繁琐的数字计算和画区域图中解脱出来，将精力放在对最优
解的理解和突出思想方法上 ，可根据下列不同的情况，设计教学条件，支持教学．
(1)理想的实验应该是在网络环境的支持下完 成的，教学之前，老师将积件传
输到学生的计算机中，学生在单机的条件下自己动手操作．
( 2)在学生缺乏信息技术工具的条件下，教学和作业都应避免繁琐的计算，而
把注意力放在“算理”上．
另外数学探究的时间长会使学生失去耐心，基本训练时间无法保证，导致当
前效果不直接， < br>教学评价难以跟进，教师宜把握尺度、控制时间，组织起有效的课堂教学，提高
驾驭课堂的能力与 水平.
点评
该教学设计从研读教材入手，精心挖掘教学内容中的实验因子，依据教 师实验报告的
引导，使学生自己动手操作，通过观察、发现、思考、分析、归纳提出猜想等活动，完成对
最优解的意义建构，体现了新课程“倡导积极主动、勇于探索的学习方式”。同时在教育技
术平 台上进行师生互动“操盘”，改变单一的教师演示的模式，通过实时的动态模拟，实现
数、图、表的多元 联系，这初步体现了教学过程中教师、学生、内容、媒体四要素功能的转
变，激发了学生探究的兴趣，提 高了他们的实验、分析、探究能力，最终获得问题的解决。
这种兴趣和能力可迁移至课外，因而折射出“ 研究性学习”教学思想，长期坚持，对学生学
习能力培养的教学达成度也会更高！