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高中数学必修5 均值不等式

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 20:28
tags:高中数学必修五

高中数学函数的三要素PPT-哔哩哔哩上高中数学课知乎


均值不等式复习(学案)

基础知识回顾
1.均值不等式:
ab

2
(1)均值不等式成立的条件:
_______________
.
(2)等号成立的条件:当且仅当
____________
时取等号.
2.几个重要的不等式
(1)
a

b
≥2
ab< br>(
a

b
∈R). (2)+≥2(
a

b
同号).
(3)
ab
≤< br>?
22
a

b
?
a

b
?
2
(
a

b
∈R). (4)≥
???
(
a

b
∈R).
2
?
2
??
2
?
ba
ab
a
2
b
2
?
a

b
?
2
注意:使用均值不 等式求最值,前提是“一正、二定、三相等”
3.算术平均数与几何平均数
a

b

a
>0,
b
>0,则
a

b
的算术平均数为,几何平均数为
ab
,均值不等式可叙述为两个正数的
2算术平均数大于或等于它的几何平均数.
4.利用均值不等式求最值问题
已知
x
>0,
y
>0,则
(1) 如果积
xy< br>是定值
p
,那么当且仅当
________
时,
______ ____
有最_____值是_____(简记:积定和
最小)
(2)如果和
x

y
是定值
s
,那么当且仅当
_____
时,
____
有最______值是_______.(简记:和定积最大)
双基自测
1
1.函数
y

x
+(
x
>0)的值域为 ( ).
x

A.(-∞,-2]∪[2,+∞) B.(0,+∞)
C.[2,+∞) D.(2,+∞)
a< br>+
b
1
22
2.下列不等式:①
a
+1>2
a
;②≤2;③
x

2
≥1.其中正确的个数是( ).
x
+1
ab
A.0 B.1 C.2 D.3
3.若正实数
a

b
满 足
a

b
=1,则( ).
11
A.+有最大值4
ab

1
B.
ab
有最小值
4
22
C.
a

b
有最大值2 D.
a

b
有最小值
2

2
ab
4.若实数
a,b
满足
a?b?2
,则
3?3
的最小值是( )
A.18 B. 6 C.
23
D.
2
4
3

5 .若正数
a,b
满足
ab?a?b?3
,则
ab
的取值范围 是 .
?
6.若
x,y?R
,且
2x?y? 1
,则
11
?
的最小值为 .
xy
典型例题
类型一 利用均值不等式求最值
1
1.若函数f
(
x
)=
x
+(
x
>2)的最小值为___ _________.
x
-2
t
2
-4
t
+1< br>2.已知
t
>0,则函数
y
=的最小值为________.
t

1


2
x
的最大值为________.
x
+1
11
4. 已知
x
>0,
y
>0, 且2
x

y
=1,则+的最小值为________;
3. 当< br>x
>0时,则
f
(
x
)=
2
xy
5 . 若
x

y
∈(0,+∞)且2
x
+8
y

xy
=0,则
x

y
的最小值为________.
2
2
6. 已知0<
x
<,则
y
=2
x< br>-5
x
的最大值为________.
5
7. 已知
53< br>??2,(x?0,y?0)
,则
xy
的最小值是_____________
xy

8.已知
x

y
∈R,且满足+=1,则< br>xy
的最大值为________.
34
类型二. 证明题
111
1.已知
a
>0,
b
>0,
c
>0,且
a

b

c
=1. 求证:++≥9.
xy
abc








2.正数
a

b

c
满足
a< br>+
b

c
=1,求证:(1-
a
)(1-
b
)(1-
c
)≥8
abc









类型三. 恒成立问题
1.若对任意
x
>0,
x

a
恒成立,则
a
的取值范围 是________.
x
+3
x
+1
2
2.已知不等式< br>(x?y)(?
巩固练习
1
x
a
)?9
对任意正实 数
x,y
恒成立,则正实数
a
的最小值为
y(a?b)
2
1.已知
x
>0,
y
>0,
x< br>,
a

b

y
成等差数列,
x
,< br>c

d

y
成等比数列,则的最小值是
cd
A.0 B.1 C.2 D.4
2.已知0<
x< br><1,则
x
(3-3
x
)取得最大值时
x
的值为( ).
1132
A. B. C. D.
3243
3. 把一段长16米的铁丝截成两段,分别围成正方形,则两个正方形面积之和的最小值为( ).
A.4 B.8 C.16 D.32

2


14
4. 设x、y为正数,则有(x+y)(+)的最小值为( )
xy
A.15 B.12 C.9 D.6
?
5. 已知
x,y?R
,且
x?4y?1
,则
x?y
的最大值为 .

51
,则函数
y?4x?2?
的最大值为
44x?5
12
7. 已知
x

y
为正实数,且
+=1
,则x+y的最小值 。
xy
8. 已知
x?0,y?0
,且
x?2y?xy?30,则
xy
的最大值 .
52
9. 已知
lgx?lgy?1
,则
?
的最小值是 . < br>xy
1
2
1
10.若
x
,y是正数,则
(x ?)?(y?)
2
的最小值是
2y2x
6. 已知
x?
11. 函数
y?a
1?x
若点
A
在直线
mx?ny?1?0(mn?0)
上,则
(a?0,a?1)
的图象恒过定点
A

11
?
mn
的最小值为 .
12
12. 已知
a
>0,
b
>0,且
a
b
=1,则+的最小值 .
ab
x
2
?7x?10
(x??1)
的值域。 13.(1)求
y?
x?1



(2)求函数
y?



14.求下列函数的最小值,并求取得最小值时,
x
的值.
x
2
?5
x?4
2
的值域。
x
2
?3x?1
(1)y?,(x?0)

x


(2)y?2x?



1
,(x?3)

x?3
3


(3)y?2sinx?


1
,x?(0,
?
)

sinx
15. 已知
x?0,y?0




19
??1
,求使不等式
x?y?m
恒成立的实数
m
的取值范围。
xy
16.已知
x
>0,
y
>0,且2
x
+8
y
xy
=0,求:(1)
xy
的最小值; (2)
x

y
的最小值.







17. 某种汽车,购买时费用为10万元;每年应交保险费、养路费 及汽油费合计9千元;汽车的维修费平均
为第一年2千元,第二年4千元,第三年6千元,依次成等差数 列递增。问这种汽车使用多少年报废
最合算(及使用多少年的年平均费用最少)?








18.研究函数
f(x)?ax?
b
(a、b?0)
图象及性质。
x
?
y
b
2ab
a
(1)定义域
(2)值域
(3)奇偶性
(4)单调性
(5)极值点
(6)图象
练习:若x、y
?R
,求
f(x)?x?
?< br>o
?2ab
x
b
a
4
(0?x?1)
的最小 值。
x

4

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