高中数学函数的三要素PPT-哔哩哔哩上高中数学课知乎
均值不等式复习(学案)
基础知识回顾
1.均值不等式:
ab
≤
2
(1)均值不等式成立的条件:
_______________
.
(2)等号成立的条件:当且仅当
____________
时取等号.
2.几个重要的不等式
(1)
a
+
b
≥2
ab<
br>(
a
,
b
∈R).
(2)+≥2(
a
,
b
同号).
(3)
ab
≤<
br>?
22
a
+
b
?
a
+
b
?
2
(
a
,
b
∈R).
(4)≥
???
(
a
,
b
∈R).
2
?
2
??
2
?
ba
ab
a
2
+b
2
?
a
+
b
?
2
注意:使用均值不
等式求最值,前提是“一正、二定、三相等”
3.算术平均数与几何平均数
a
+
b
设
a
>0,
b
>0,则
a
,
b
的算术平均数为,几何平均数为
ab
,均值不等式可叙述为两个正数的
2算术平均数大于或等于它的几何平均数.
4.利用均值不等式求最值问题
已知
x
>0,
y
>0,则
(1) 如果积
xy<
br>是定值
p
,那么当且仅当
________
时,
______
____
有最_____值是_____(简记:积定和
最小)
(2)如果和
x
+
y
是定值
s
,那么当且仅当
_____
时,
____
有最______值是_______.(简记:和定积最大)
双基自测
1
1.函数
y
=
x
+(
x
>0)的值域为
( ).
x
A.(-∞,-2]∪[2,+∞) B.(0,+∞)
C.[2,+∞) D.(2,+∞)
a<
br>+
b
1
22
2.下列不等式:①
a
+1>2
a
;②≤2;③
x
+
2
≥1.其中正确的个数是( ).
x
+1
ab
A.0 B.1
C.2 D.3
3.若正实数
a
,
b
满
足
a
+
b
=1,则( ).
11
A.+有最大值4
ab
1
B.
ab
有最小值
4
22
C.
a
+
b
有最大值2
D.
a
+
b
有最小值
2
2
ab
4.若实数
a,b
满足
a?b?2
,则
3?3
的最小值是(
)
A.18 B. 6 C.
23
D.
2
4
3
5
.若正数
a,b
满足
ab?a?b?3
,则
ab
的取值范围
是 .
?
6.若
x,y?R
,且
2x?y?
1
,则
11
?
的最小值为 .
xy
典型例题
类型一 利用均值不等式求最值
1
1.若函数f
(
x
)=
x
+(
x
>2)的最小值为___
_________.
x
-2
t
2
-4
t
+1<
br>2.已知
t
>0,则函数
y
=的最小值为________.
t
1
2
x
的最大值为________.
x
+1
11
4. 已知
x
>0,
y
>0,
且2
x
+
y
=1,则+的最小值为________;
3. 当<
br>x
>0时,则
f
(
x
)=
2
xy
5
. 若
x
,
y
∈(0,+∞)且2
x
+8
y
-
xy
=0,则
x
+
y
的最小值为________.
2
2
6. 已知0<
x
<,则
y
=2
x<
br>-5
x
的最大值为________.
5
7. 已知
53<
br>??2,(x?0,y?0)
,则
xy
的最小值是_____________
xy
+
8.已知
x
,
y
∈R,且满足+=1,则<
br>xy
的最大值为________.
34
类型二. 证明题
111
1.已知
a
>0,
b
>0,
c
>0,且
a
+
b
+
c
=1. 求证:++≥9.
xy
abc
2.正数
a
,
b
,
c
满足
a<
br>+
b
+
c
=1,求证:(1-
a
)(1-
b
)(1-
c
)≥8
abc
类型三. 恒成立问题
1.若对任意
x
>0,
x
≤
a
恒成立,则
a
的取值范围
是________.
x
+3
x
+1
2
2.已知不等式<
br>(x?y)(?
巩固练习
1
x
a
)?9
对任意正实
数
x,y
恒成立,则正实数
a
的最小值为
y(a?b)
2
1.已知
x
>0,
y
>0,
x<
br>,
a
,
b
,
y
成等差数列,
x
,<
br>c
,
d
,
y
成等比数列,则的最小值是
cd
A.0 B.1 C.2 D.4
2.已知0<
x<
br><1,则
x
(3-3
x
)取得最大值时
x
的值为(
).
1132
A. B. C. D.
3243
3.
把一段长16米的铁丝截成两段,分别围成正方形,则两个正方形面积之和的最小值为( ).
A.4 B.8 C.16 D.32
2
14
4. 设x、y为正数,则有(x+y)(+)的最小值为( )
xy
A.15 B.12 C.9 D.6
?
5.
已知
x,y?R
,且
x?4y?1
,则
x?y
的最大值为
.
51
,则函数
y?4x?2?
的最大值为
44x?5
12
7.
已知
x
、
y
为正实数,且
+=1
,则x+y的最小值
。
xy
8. 已知
x?0,y?0
,且
x?2y?xy?30,则
xy
的最大值 .
52
9.
已知
lgx?lgy?1
,则
?
的最小值是 . <
br>xy
1
2
1
10.若
x
,y是正数,则
(x
?)?(y?)
2
的最小值是
2y2x
6.
已知
x?
11. 函数
y?a
1?x
若点
A
在直线
mx?ny?1?0(mn?0)
上,则
(a?0,a?1)
的图象恒过定点
A
,
11
?
mn
的最小值为
.
12
12. 已知
a
>0,
b
>0,且
a+
b
=1,则+的最小值 .
ab
x
2
?7x?10
(x??1)
的值域。
13.(1)求
y?
x?1
(2)求函数
y?
14.求下列函数的最小值,并求取得最小值时,
x
的值.
x
2
?5
x?4
2
的值域。
x
2
?3x?1
(1)y?,(x?0)
x
(2)y?2x?
1
,(x?3)
x?3
3
(3)y?2sinx?
1
,x?(0,
?
)
sinx
15.
已知
x?0,y?0
且
19
??1
,求使不等式
x?y?m
恒成立的实数
m
的取值范围。
xy
16.已知
x
>0,
y
>0,且2
x
+8
y-
xy
=0,求:(1)
xy
的最小值;
(2)
x
+
y
的最小值.
17. 某种汽车,购买时费用为10万元;每年应交保险费、养路费
及汽油费合计9千元;汽车的维修费平均
为第一年2千元,第二年4千元,第三年6千元,依次成等差数
列递增。问这种汽车使用多少年报废
最合算(及使用多少年的年平均费用最少)?
18.研究函数
f(x)?ax?
b
(a、b?0)
图象及性质。
x
?
y
b
2ab
a
(1)定义域
(2)值域
(3)奇偶性
(4)单调性
(5)极值点
(6)图象
练习:若x、y
?R
,求
f(x)?x?
?<
br>o
?2ab
x
b
a
4
(0?x?1)
的最小
值。
x
4