高中数学必修五第二章

§2.2等差数列（1）


学习目标

1. 理解等差数列的概念，了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据
定义判断一个数列 是等差数列；
2. 探索并掌握等差数列的通项公式；
3. 正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、
项数、指定的项.

学习过程

一、课前准备
（预习教材P
36
~ P
39
，找出疑惑之处）
复习1：什么是数列？





复习2：数列有几种表示方法？分别是哪几种方法？




二、新课导学
※ 学习探究

探究任务一：等差数列的概念
问题1：请同学们仔细观察，看看以下四个数列有什么共同特征？
① 0，5，10，15，20，25，…
② 48，53，58，63
③ 18，15.5，13，10.5，8，5.5
④ 10072，10144，10216，10288，10366




新知：
1.等差数列：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它 一项的 等于同一个
常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的 ， 常用字母
表示.

2.等差中项：由三个数a，A， b组成的等差数列，
这时数 叫做数 和 的等差中项，用等式表示为A=

探究任务二：等差数列的通项公式
问题2：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？

若一 等差数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
，公差是 d，则据其定义可得：
a
2
?a
1
?
，即：
a
2
?a
1
?

a
3
?a
2
?
， 即：
a
3
?a
2
?d?a
1
?

a
4
?a
3
?
，即：
a
4
?a
3
?d?a
1
?

……
由此归纳等差数列的通项公式可得：
a
n
?

∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项
a
1
和公差d，便可求得其通项< br>a
n
.

※ 典型例题

例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项；
⑵ －401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？














变式：（1）求等差数列3，7，11，……的第10项.





（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.






小结：要求出数列中的项，关键是求 出通项公式；要想判断一数是否为某一数列的其中一项，
则关键是要看是否存在一正整数n值，使得a
n
等于这一数.

例2 已知数列{
an
}的通项公式
a
n
?pn?q
，其中
p
、< br>q
是常数，那么这个数列是否一定是
等差数列？若是，首项与公差分别是多少？





变式：已知数列的通项公式为
a
n
?6n?1
，问这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与
公差分别是什么？







小结：要判定
?
a
n
?
是不是等差数列，只要看
a
n
?a
n?1
（n≥2）是不是一个与n无关的常数.
※ 动手试试

练1. 等差数列1，－3，－7，－11，…，求它的通项公式和第20项.







练2.在等差数列
?
a
n
?
的首项是
a
5
?10,a
12
?31
， 求数列的首项与公差.







三、总结提升
※ 学习小结

1. 等差数列定义：
a
n
?a
n?1
?d
(n≥2)；
2. 等差数列通项公式：
a
n
?
a
1
?(n?1)d
(n≥1).

※ 知识拓展

1. 等差数列通项公式为
an
?a
1
?(n?1)d
或
a
n
?a
m
?(n?m)d
. 分析等差数列的通项公式，可
知其为一次函数，图象上表现为直 线
y?a
1
?(x?1)d
上的一些间隔均匀的孤立点.
2. 若三个数成等差数列，且已知和时，可设这三个数为
a?d,a,a?d
. 若四个数成等差数列，
可设这四个数为
a?3d,a?d,a?d,a?3d
.

学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（ ）.
A. 92 B. 47 C. 46 D. 45
2. 数列
?
a
n
?
的通项公式
a
n
?2n?5
，则此数列是（ ）.
A.公差为2的等差数列 B.公差为5的等差数列
C.首项为2的等差数列 D.公差为n的等差数列
3. 等差数列的第1项是7，第7项是－1，则它的第5项是（ ）.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
4. 在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则∠B＝ .
5. 等差数列的相邻4项是a+1，a+3，b，a+b，那么a＝ ，b＝ .

课后作业

1. 在等差数列
?
a
n
?
中，
⑴已知
a
1< br>?2
，d＝3，n＝10，求
a
n
；




⑵已知
a
1
?3
，
a
n
?21
，d＝2，求n；




⑶已知
a
1
?12
，
a
6
?27
，求d；




1
⑷已知d＝－，
a
7
?8
，求a
1
.
3




2. 一个木制 梯形架的上下底边分别为33cm，75cm，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连
接各分点，构成梯 形架的各级，试计算梯形架中间各级的宽度.

§2.2等差数列（2）

学习目标

1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式；
2. 灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.

学习过程

一、课前准备
（预习教材P
39
~ P
40
，找出疑惑之处）
复习1：什么叫等差数列？



复习2：等差数列的通项公式是什么？




二、新课导学
※ 学习探究

探究任务：等差数列的性质
1. 在等差数列
?
a
n
?
中，
d
为公差，
a
m
与
a
n
有何关系？





2. 在等差数列
?
a
n
?
中，d
为公差，若
m,n,p,q?N
?
且
m?n?p?q
，则
a
m
，
a
n
，
a
p
，
a
q
有
何关系？







※ 典型例题

例1 在等差数列
?
a
n
?
中，已知
a
5
?10
，
a
12
?31
，求首项
a
1
与公差
d
.

变式：在等差数列
?
a
n
?
中， 若
a
5
?6
，
a
8
?15
，求公差d及
a
14
.










小结：在等差数列
{a
n
}
中，公 差d可以由数列中任意两项
a
m
与
a
n
通过公式

例2 在等差数列
?
a
n
?
中，
a
2< br>?a
3
?a
10
?a
11
?36
，求
a
5
?a
8
和
a
6
?a
7
.


















变式：在等差 数列
?
a
n
?
中，已知
a
2
?a
3
?a
4
?a
5
?34
，且
a
2
a
5
?52
，求公差d.










a
m
?a
n
?d
求出.
m?n

小结：在等差数列中，若m+n=p+q，则
a
m< br>?a
n
?a
p
?a
q
，可以使得计算简化.
※ 动手试试

练1. 在等差数列
?
a
n
?中，
a
1
?a
4
?a
7
?39
， < br>a
2
?a
5
?a
8
?33
，求
a< br>3
?a
6
?a
9
的值.












练2. 已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，问它们有多少个相同项？














三、总结提升
※ 学习小结

1. 在等 差数列中，若m+n=p+q，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q

注意：
a
m
?a
n
?a
m?n
，左右两边项数一定要相同才能用上述性质.
a?a
n
2. 在等差数列中，公差
d?
m
.
m?n

※ 知识拓展

判别一个数列是否等差数列的三种方法，即：
（1）
a
n?1
?a
n
?d
；
（2）
a
n
?pn?q(p?0)
；
（3）
S
n
?an
2
?bn
.

学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 一个等差 数列中，
a
15
?33
，
a
25
?66
， 则
a
35
?
（ ）.
A. 99 B. 49.5 C. 48 D. 49
2.

等差数列
?a
n
?
中
a
7
?a
9
?16
，
a
4
?1
，则
a
12
的值为（ ）.
A . 15 B. 30 C. 31 D. 64
3. 等 差数列
?
a
n
?
中，
a
3
，
a< br>10
是方程
x
2
?3x?5?0
，则
a
5< br>?a
6
＝（ ）.
A. 3 B. 5 C. －3 D. －5
4. 等差数列
?
a
n
?
中，
a2
??5
，
a
6
?11
，则公差d＝ .
5. 若48，a，b，c，－12是等差数列中连续五项，则a＝ ，b＝ ，c＝ .

课后作业

1. 若
a
1
?a
2
??a
5
?30
，
a
6
?a
7
??a
10
?80
， 求
a
11
?a
12
??a
15
.















2. 成等差数列的三个数和为9，三数的平方和为35，求这三个数.