高中数学试讲注意事项-高中数学二轮研讨心得
高中数学必修五第一章 正弦定理 练习
A组 基础巩固
1.在
△
ABC
中,已知
b
=40,
c
=20,
C
=60°,则此三角形的解的
情况是( )
A.有一解 B.有两解
C.无解 D.有解但解的个数不确定
解析:由正弦定理=,
sin
B
sin
C
3
40×
2
b
sin
C得sin
B
===3>1.
c
20
∴
B
不存在.即满足条件的三角形不存在.
答案:C
2.在△
ABC
中,角
A
、
B
、
C
的对边分别为
a
,
b
,
c
,且
a
cos
B
+
a
cos
C
=
b
+
c
,则△
ABC
的形状是( )
A.等边三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.直角三角形
解析:∵
a
cos<
br>B
+
a
cos
C
=
b
+
c
,由正弦定理得,
sin
A
cos
B
+sin
A
cos
C
=sin
B
+sin
C
=sin(
A+
C
)+sin(
A
+
B
),
化简得:co
s
A
(sin
B
+sin
C
)=0,又sin
B<
br>+sin
C
>0,
π
∴cos
A
=0,即
A
=,
2
∴△
ABC
为直角三角形.
答案:D
3.在△
ABC
中,一定成立的等式是( )
A.
a
sin
A
=
b
sin
B
B.
a
cos
A
=
b
cos
B
C.
a
sin
B
=
b
sin
A
D.
a
cos
B
=
b
cos
A
解析:由正弦定理==,得
a
sin
B
=
b
sin
A
.
sin
A
sin
B
sin
C
-
1 -
bc
abc
答案:C
3+1
4.在△ABC
中,已知
B
=60°,最大边与最小边的比为,则
2
三角
形的最大角为( )
A.60° B.75°
C.90° D.115°
解析:不妨设
a
为最大边,
c
为最小边,由题意有=
sin
A
即
sin120°-
A
a
sin
A
3+1
=,
c
sin
C
2
3+1
=.整理,得(3-3)sin
A
=(3+3)cos
A
.
2
∴tan
A
=2+3,∴
A
=75°,故选B.
答案:B
5.在△
ABC<
br>中,∠
BAC
=120°,
AD
为角
A
的平分线,<
br>AC
=3,
AB
=
6,则
AD
的长是( )
A.2 B.2或4 C.1或2 D.5
解析:
如图,由已知条件可得∠
DAC
=∠
DAB
=60°.
∵
AC
=3,
AB
=6,
S
△
ACD
+S
△
ABD
=
S
△
ABC
,
131
313
∴×3×
AD
×+×6×
AD
×=×3×6×,
222222
解得
AD
=2.
答案:A
6.在△
ABC
中,
A
=60°,
BC
=3,则△
ABC
的两边
AC
+
AB
的取值
范围是( )
A.[33,6] B.(2,43)
C.(33,43] D.(3,6] 解析:由正弦定理,得
AC
sin
B
sin
C
sin<
br>A
=
AB
=
BC
=
3
.
3
2
- 2 -
∴
AC
=23sin<
br>B
,
AB
=23sin
C
.
∴
AC
+
AB
=23(sin
B
+sin
C
)
=23[sin
B
+sin(120°-
B
)]
??31
?
=23
?
sin
B
+cos
B
+sin
B
?
?
22
??
?
3
?
3
?
=23
?
sin
B
+cos
B?
?
2
?
2
?
?
3
?1
?
=6
?
sin
B
+cos
B
?<
br>=6sin(
B
+30°).
?
2
?
2
?
∵0°<
B
<120°,∴30°<
B
+30°<150°. 1
∴
+30°)≤1.∴3<6sin(
B
+30
°)≤6.
2
∴3<
AC
+
AB
≤6.
答案:D
ππ
7.已知在△
ABC
中,
a
+b
=3,
A
=,
B
=,则
a
的值为_____
___.
34
a
sin
B
6
解析:由正弦定理,得
b
==
a
.
sin
A
3
由
a
+
b
=
a
+
6
a
=3,解得
a
=
33-32.
3
答案:33-32
8.若三角形三个内角的比是1∶2∶3,最大的边是20,则最小的
边是________.
解析:∵三个内角和为180°,∴三个内角分别为30°,60°,90°.
20
x
设最小的边为
x
,∵最大的边为20,∴=,∴
x
=
si
n90°sin30°
10,
∴最小的边是10.
答案:10
- 3
-
25
9.在△
ABC
中,
B
=45°,
AC
=10,cos
C
=,求
BC
边的长.
5
解:∵cos
C
=
25
5
,
∴sin
C
=1-cos
2
C
=1-
?
?
25?
?
?
2
5
?
5
?
?
=5
.
∴sin
A
=sin(
B
+
C
)=sin(45°+
C
)
=
2
2
(cos
C<
br>+sin
C
)=
310
10
.
由正弦定理可得:
10×
310
BC
=
AC
sin
A
10<
br>sin
B
=
2
=32.
2
10.在△
AB
C
中,角
A
,
B
,
C
所对的边分别为
a<
br>,
cos
A
=
6
3
,
B
=
A
+
π
2
.
(1)求
b
的值;
(2)求△
ABC
的面积.
解:(1)在△
ABC
中,
由题意知sin
A
=1-cos
2
A
=
3
3
,
又因为
B
=
A
+
π
2
,
所以sin
B
=sin
?
?
π
?
6
?
A
+
2
?
?
=cos
A
=
3
.
由正弦定理可得
b
=
a
sin
B
3
×
6
3
sin
A
=
3
=32.
3
,
c
.已知
a
=3,
- 4 -
b
π
(2)由
B
=
A
+得
2
?
π
?
3
cos
B
=cos
?
A
+
?
=-sin
A
=-,
2
?
3<
br>?
由
A
+
B
+
C
=π,得
C
=π-(
A
+
B
).
所以sin
C
=sin[π-(
A
+
B
)]
=sin(
A
+
B
)
=sin
A
cos
B
+cos
A
sin
B
3
?
6
6
3
?
?
=×
?
-
?
+×
?
3
?
3
?
33
1
=.
3
因此△
ABC
的面积
11132
S
=
ab
sin
C
=×3×32×=.
2232
B组 能力提升
11.若△
ABC
的三个内角
A
,
B
,
C
所对的边分别为
a
,
b
,
c
,
a
sin
A
sin
B
b
+
b
cos
A
=2
a
,则=( )
a
2
A.23 B.22
C.3 D.2
解析:由正
弦定理得,sin
2
A
sin
B
+sin
B
cos
2
A
=2sin
A
,即
sin
B
(sin
2
A
+cos
2
A
)=2sin
A
,故s
in
B
=2sin
A
,所以=2.
答案:D
12.已知
在△
ABC
中,
A
∶
B
∶
C
=1∶2∶3
,
a
=1,则
b
a
a
-2
b
+
c
=________.
sin
A
-2sin
B
+sin<
br>C
解析:∵
A
∶
B
∶
C
=1∶2∶3,
- 5 -
∴
A
=30°,
B
=60°
,
C
=90°.
∵
a
sin
A
=
bsin
B
=
c
sin
C
=
1
sin3
0°
=2,
∴
a
=2sin
A
,
b
=2
sin
B
,
c
=2sin
C
.
∴
a-2
b
+
c
sin
A
-2sin
B
+
sin
C
=2.
答案:2
13.
如图,
D
是
Rt△
ABC
斜边
BC
上一点,
AB
=
AD
,记∠
CAD
=
α
,∠
β
.
(1)证明:sin
α
+cos2
β
=0;
(2)若
AC
=3
DC
,求
β
的值.
解
:(1)证明:∵
α
=
ππ
2
-(π-2
β
)=2
β
-
2
,
∴sin
α
=sin
?
?
π
?
?
2
β
-
2
?
?
=-cos2
β
,即sin
α
+cos2
β
=0.
(2)解:在△
ADC
中,由正弦定理,
得
DC
sin<
br>α
=
AC
sinπ-
β
,
即
DC
sin
α
=
3
DC
sin
β
,∴sin
β
=3sin
α
.
由(1)得sin
α
=-cos2
β
,
∴sin
β
=-3cos2
β
=-3(1-2sin
2
β
),
由23sin
2
β
-sin
β
-3=0,
解得s
in
β
=
3
2
或sin
β
=-
3
3
.
∵0<
β
<
π3
2
,∴sin
β<
br>=
π
2
,∴
β
=
3
.
ABC
- 6 -
=
a
+
b<
br>sin
B
14.在△
ABC
中,已知=,且cos(
A
-
B
)+cos
C
=1
a
sin
B
-s
in
A
-cos2
C
.
(1)试确定△
ABC
的形状;
(2)求
a
+
c
b
的取值范围.
解:(1)∵<
br>a
+
b
a
=
sin
B
sin
B-sin
A
,∴
a
+
b
a
=
b
b
-
a
,
∴
b
2
-
a
2
=
ab
.
∵cos(
A
-
B
)+cos
C
=1-cos2
C
,
∴cos(
A
-
B
)-cos(
A
+
B
)=2sin
2
C
.
∴cos
A
c
os
B
+sin
A
sin
B
-cos
A
c
os
B
+sin
A
sin
B
=2sin
2
C
.
∴2sin
A
sin
B
=2sin
2
C
.∴sin
A
sin
B
=sin
2
C
.
∴
ab
=
c
2
.∴
b
2
-<
br>a
2
=
c
2
,即
a
2
+
c
2
=
b
2
.
∴△
ABC
为直角三角形.
(2)∵在△
ABC
中,
B
=
π
2
, <
br>∴
A
+
C
=
π
2
,sin
C
=cos
A
.
∵
a
+
c
b
=
sin
A
+sin
C
sin
B
=
sin
A
+sin
C
=sin
A
+cos
A
,
s
in
π
2
∴
a
+
c
?
π
?
b
=2sin
?
?
A
+
4
?
?
.
∵0<
A
<
πππ3π
2
,∴
4
<<
br>A
+
4
<
4
.
∴
2
?
π
??
π
?
2
?
A
+<
br>4
?
?
≤1.∴1<2sin
?
?
A
+4
?
?
≤2,
即
a
+
c
b
的取值范围为(1,2].
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