高中数学必修5数列题目精选精编

金太阳教育网

高中数学必修5数列题目精选精编
【典型例题】
（一）研究等差等比数列的有关性质
1. 研究通项的性质
n?1
例题1. 已知数列
{a
n
}
满足
a
1
?1,a
n
?3?a
n?1
(n?2)
.
（1）求
a
2
,a
3
；
（2）证明：
a
n
?
3?1
2
n
. 2
解：（1）
?a
1
?1,?a
2
?3?1?4,a< br>3
?3?4?13
.
（2）证明：由已知
a
n
? a
n?1
?3
n
n?1
，故
a
n
?(a< br>n
?a
n?1
)?(a
n?1
?a
n?2
) ?
?
?(a
2
?a
1
)

， 所以证得< br>a
n
?
3?1
2
n
?a
1
?3n?1
?3
n?2
???3?1?
3?1
2
.

例题2. 数列
?
（Ⅰ）求
?
a
n
?< br>的前
n
项和记为
S
n
,a
1
?1,a
n?1
?2S
n
?1(n?1)

a
n
?
的通项公式；
b
n
?
,a?2
b
3
,a
3
?b
12
的各项为正，其前n
项和为
T
n
，且
T
3
?15
，又< br>a
1
?b
（Ⅱ）等差数列
?
成等比数列，求
T
n
.
解：（Ⅰ）由
a
n?1
?2S
n
?1< br>可得
a
n
?2S
n?1
?1(n?2)
，
两式相减得：
a
n?1
?a
n
?2a
n
,a
n?1
?3a
n
(n?2)
，
a
又
a
2
?2S
1
?1?3
∴
a
2
?3a
1 故
?
n
?
是首项为1，公比为3的等比数列
∴
a
n
?3
n?1

（Ⅱ）设
?
b
n
?
的公比为
d
，由
T
3
?15
得，可 得
b
1
?b
2
?b
3
?15
，可得
b
2
?5

故可设
b
1
?5?d,b
3
?5?d
，又
a
1
?1,a
2
?3,a
3
?9
，
2
由题意可得
(5?d?1)(5?d?9)?(5?3)
，解得
d
1
?2,d
2
?10

∵等差数列
?
∴

T
n
?3n?
b
n
?
2
的各项为正，∴
d?0
∴
d?2

?2?n?2n

2
n(n?1)
例题3. 已知数列
?< br>?2
n?1
a
n
?
2
的前三项与数列
?b
n
?
的前三项对应相同，且
a
1
?2a
2< br>?2a
3
?...

a
n
?8n
对任意的< br>n?N
*
都成立，数列
b
n?1
?b
n
是等 差数列.
??
⑴求数列
?
a
n
?
与
?
b
n
?
的通项公式；
a
n
?8n
左边相 当于是数列
?
2
n?1
?
⑵是否存在
k?N
，使得
b
k
?a
k
?(0,1)
，请说明理由.
点拨 ：（1）
a
1
?2a
2
?2a
3
?...?22n?1
a
n
?
前n项和的形式，
可以联想到已知
S< br>n
求
a
n
的方法，当
n?2
时，
S
n
?S
n?1
?a
n
.
第 1 页 共 15 页
金太阳教育网

金太阳教育网

（2）把
b
k
?a
k
看作一个函数，利用函数的思 想方法来研究
b
k
?a
k
的取值情况.
2n?1
解：（1）已知
a
1
?2a
2
?2a
3
?
?
?2a
n
?8n
(n?
N*
）①
2n?2< br>n?2
时，
a
1
?2a
2
?2a
3
?
?
?2a
n?1
?8(n?1)
(n?
N*
）②
4?n
①－②得，
2
n?1
a
n
?8
，求 得
a
n
?2
，
4?1
在①中令
n?1
， 可得得
a
1
?8?2
，
4?n
(n?
N*）. 所以
a
n
?2
由题意
b
1
?8
，
b
2
?4
，
b
3
?2
，所以
b
2
?b
1
??4
，
b
3
?b
2
?? 2
，
∴数列
{b
n?1
?b
n
}
的公差 为
?2?(?4)?2
，
∴
b
n?1
?b
n?
?4?(n?1)?2
?2n?6
，
b
n
?b1
?(b
2
?b
1
)?(b
3
?b
2
)???(b
n
?b
n?1
)

?(?4)?(? 2)???(2n?8)
?n
2
?7n?14
(n?
N*
） .
2
4?k
（2）
b
k
?a
k
?
k?7k?14?
2
，
当
k?4
时，
f(k)?(k?
7
2
)?
2
7
4
?
2
4?k
单调递增，且
f(4)?1
，
2
4?k
?1
， 所以
k?4
时 ，
f(k)?k?7k?14?
2
又
f(1)?f(2)?f(3)?0，
所以，不存在
k?N*
，使得
b
k
?a
k
?(0,1)
.

例题4. 设各项均为正数的数列{a
n}和{b
n
}满足：a
n
、b
n
、a
n+1< br>成等差数列，b
n
、a
n+1
、b
n+1
成等比数列 ，且a
1
= 1， b
1
= 2 ， a
2
= 3 ，求通项a
n
，b
n

解： 依题意得：
2b
n+1
= a
n+1
+ a
n+2
①
a
2
n+1
= b
n
b
n+1
②
∵ a
n
、b
n
为正数， 由②得
代入①并同除以
∴
{b
n
}
b
n?1a
n?1
?b
n
b
n?1
,a
n?2
?
b
n
?b
n?2
b
n?1
b
n?2，
得：
2b
n?1
?
，
为等差数列
∵ b
1
= 2 ， a
2
= 3 ，
b
n
?
a
2
?b
1
b
2
,则b
2?
2
9
2
，
2
2?(n?1)(
a
n
?
9
2
?2)?
2
2
∴
(n?1),?b
n
?
(n?1)
2
，
∴当n ≥2时，
b
n
b
n?1
?
n(n?1)
2
a
n
?
，
n(n?1)
2
又a
1
= 1，当n = 1时成立， ∴

2. 研究前n项和的性质

第 2 页 共 15 页
金太阳教育网

金太阳教育网

例题5. 已知
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
?a?2
n
?b
，且
a
1
?3
.
（1）求
a
、
b
的值及数列
{a
n
}
的通项公式；
（2）设
b
n
?
n
a
n
，求数列
{b
n
}
的前
n
项和
T
n
.
n?1
1?1
解：（1）
n?2
时，
an
?S
n
?S
n?1
?2?a
.而
{a
n
}
为等比数列，得
a
1
?2?a?a
，
n? 1
又
a
1
?3
，得
a?3
，从而
a
n
?3?2
.又
?a
1
?2a?b?3,?b??3
.
（2）
1
2
b
n
?
n
a
n
?
n
3?2
n?1
，
T
n
?
1
3
(1?
2
2
?
3
2
2
???
n
2
n?1
)

T
n
?
112 3n?1n11111n
(?
2
?
3
???
n?1
?
n
T
n
?(1??
2
???
n?1
?< br>n
)
322222
） ，得
232222
，
1?( 1?
[
1?
1
2
1
2
n
T
n?
2
3
)
?
n
2
n
]?
4< br>3
(1?
1
2
n
?
n
2
n?1)
.
1

例题6. 数列
{a
n
}
是首项为1000，公比为
10
的等比数列，数列
{b
n
}
满足
b
k
?
1
k
(lga
1
?lga< br>2
???lga
k
)

(k?N)
，
?
*
（1）求数列
{b
n
}
的前
n
项和的最 大值；（2）求数列
{|b
n
|}
的前
n
项和
S< br>n
.

的等差数列，
∴
解：（1）由题意：
a
n
?10
4?n
，∴
lga
n
?4?n
，∴数列
{lga
n
}
是首项为3，公差为
?1
k(k?1 )
2
1
n
n(n?1)
2
7?n
2
lga
1
?lga
2
???lga
k
?3k?
，∴
b
n
?[3n?]?



?
b
n?0
21
?
S?S?
67
b?0
2
. 由< br>?
n?1
，得
6?n?7
，∴数列
{b
n
}
的前
n
项和的最大值为
（2）由（1）当
n?7
时，
b
n
?0
，当
n?7
时，
b
n
?0，
3?
7?n
2
2
)n??
1
4
n ?
2


∴当
n?7
时，
当
n?7
时，
S
n?
?b
1
?b
2
???b
n
?(
13
4
n

113
2
S
n
?
?b1
?b
2
???b
7
?b
8
?b
9< br>???b
n
?2S
7
?(b
1
?b
2
???b
n
)?
4
n?
4
n?21



?
1
2
13
?n?n(n?7)
?
?< br>44
S
n
?
?
?
?
1
n
2
?
13
n?21(n?7)
?
44
?
∴.
第 3 页 共 15 页
金太阳教育网

金太阳教育网

例题7. 已知递增的等比数列{
a
n
}满足
a
2
?a
3
?a
4
?28
，且
a
3
?2
是
a
2
，
a
4
的等差中项.
（1）求{a
n
}的通项公式
a
n
；（2）若
S
n
?n?2
n?1
b
n
?a
n
log
1
a
n
2
，
S
n
?b
1
?b
2
???b
n
求使
?30
成立的
n
的最小值.
解：（1）设等比数列的公比为q（q＞1），由
1
a
1
q+a
1
q
2
+a
1
q
3
=28，a
1
q+a
1
q
3
=2（a
1
q
2
+ 2），得：a
1
=2，q=2或a
1
=32，q=
2
∴a< br>n
=2·2
（
n
－
1
）
=2
n
b
n
?a
n
log
1
a
n
??n?2
n
（舍）
2
（2） ∵，∴S
n
=－（1·2 +2·2
2
+3·2
3
+…+n·2
n
）
∴2S
n
=－（1·2
2
+2·2
3
+…+n·2
n+1
），∴S
n
=2+2
2
+2
3
+…+2
n
－n·2
n+1
=－（n－1）·2
n+1
－2，
若S
n
+n ·2
n+1
＞30成立，则2
n+1
＞32，故n＞4，∴n的最小值为5.

*
例题8. 已知数列
{a
n
}
的前n项和为S
n
，且
?1,S
n
,a
n?1
成等差数列，
n?N,a
1
?1
. 函数
f(x)?log
3
x
.
（I）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（II）设数列{b
n
}
满足
T
n
与
5
12
?
2n?5
312
b
n
?
1
(n?3)[f(a< br>n
)?2]
，记数列
{b
n
}
的前n项和为T，试比 较
n
的大小.
a
n?1
a
n
解：（I）??1,S
n
,a
n?1
成等差数列，
?2S
n
?a
n?1
?1
① 当
n?2
时，
2S
n?1
?a
n
?1
②.
①－②得：
2(S
n
?S
n?1
)?a
n?1?a
n
，
?3a
n
?a
n?1
，
当n =1时，由①得
?2S
1
?2a
1
?a
2
?1， 又
a
1
?1,
??3.

a
2
a
1
?3,?a
2
?3,?
n?1

?{a
n
}
是以1为首项3为公比的等比数列，
?a
n
?3.

n?1
（II）∵
f
?
x
?
?log
3< br>x
，
?f(a
n
)?log
3
a
n
?log
3
3?n?1
，
b
n
?
1
( n?3)[f(a
n
)?2]
?
1
(n?1)(n?3)
?
1
2n?1
(
1
?)
n?3
，
111
(????????
?
????)
224354657nn?2n? 1n?3

52n?5
11111
??,
?(???)
12 2(n?2)(n?3)
223n?2n?3

52n?5
T
n与?
12312
的大小，只需比较
2(n?2)(n?3)
与312 的大小即可. 比较
?T
n
?
又2(n?2)(n?3)?312?2(n ?5n?6?156)?2(n?5n?150)
?2(n?15)(n?10)

2 2
∵
n?N,
∴当
1?n?9且n?N
时，
当
n? 10
时，
**
2(n?2)(n?3)?312,即T
n
?
5
12
?
2n?5
312
;
5
12
?2n?5
312
;

2(n?2)(n?3)?312,即T
n
?

第 4 页 共 15 页
金太阳教育网

金太阳教育网

*
当
n?10且n?N
时，
2(n?2)(n?3)?312,即T
n
?
5
12
?
2n?5
312
.

3. 研究生成数列的性质
nn
例题9. （I） 已知数列
?
c
n?
，其中
c
n
?2?3
，且数列
?
c
n?1
?pc
n
?
为等比数列，求常数
p
；
（II） 设
?
a
n
?
、
?
b
n
?
是公比不相等的两个等比数列，
c
n
?a
n
?b
n
，证明数列
?
c
n
?
不是
等比数列.
解：（Ⅰ）因为{c
n+1
－pc
n
}是等比数列，故有
（c
n+1
－pc
n
）
2
=（ c
n+2
－pc
n+1
）（c
n
－pc
n
－
1），
将c
n
=2
n
＋3
n
代入上式，得 < br>[2
n
＋
1
+3
n
＋
1
－p（2＋ 3）]
nn2
=[2
n
＋
2
+3
n
＋< br>2
－p（2
n+1
＋3
n+1
）]·[2
n
+3
n
－p（2
n
－
1
＋3
n
－
1
）]，
nn2
即[（2－p）2+（3 －p）3]
=[（2－p）2
n+1
+（3－p）3
n+1
][ （ 2－p）2
n
－
1
+（3－p）3
n
－
1
]，
1
整理得
6
（2－p）（3－p）·2
n
·3
n
=0，
解得p=2或p=3.
（Ⅱ）设{a
n
}、{b
n
}的公比分别为p、q，p≠q，cn
=a
n
+b
n
.
为证{c
n
} 不是等比数列只需证
c
2
≠c
1
·c
3
. 事实上，
c
2
=（a
1
p＋b
1
q）
2
=
a
1
p
2
＋
b
1
q
2
＋2a
1
b
1
pq，
c
1
·c
3
=（a
1
＋b
1
）（a
1
p
2
＋b
1
q
2
）=
a
1
p< br>2
＋
b
1
q
2
＋a
1
b
1
（p
2
＋q
2
）
.
由于p≠q，p
2
＋q
2
>2pq，又a
1
、b
1
不为零，
因此
c
2
?
c
1
·c
3
，故{c
n
}不是等比数列.

例题10. n
2
（ n≥4）个正数排成n行n列：其中每一行的数成等 差数列，每一列的数成
等比数列，并且所有公比相等已知a
24
=1，
求S= a
11
+ a
22
+ a
33
+ ? + a
nn

2
2
2
2
2
2
2a
42
?
1
8
,a
43
?
3
16

解： 设数列{
a
1k
}的公差为d， 数列{
a
ik
}（i=1，2，3，?，n）的公比为q
则
a
1k
= a
11
+ （k－1）d ， a
kk
= [a
11
+ （k－1）d]q
k
－
1

?
?
a
24< br>?(a
11
?3d)q?1
?
1
?
3
?a
42
?(a
11
?d)q?
8
?
3
?
1
3
a?(a?2d)q?
11
?
43
16，解得：a
11
= d = q = ±
2
依题意得：
?
2
又n个数都是正数，
1k
k
∴a
11
= d = q =
2
， ∴a
kk
=
2

第 5 页 共 15 页
金太阳教育网

金太阳教育网
S?
1
2
1
2
?2?
1
2
2
1
2
2
?3?
1
2
1
n?1
1
2
3
???n?
1
2
4
1
2
n
，
S??2?
S?2?
3
?3?
n
2
n
?? ?n?
1
2
n?1
，
两式相减得：

2
?

例题11. 已知函数
f(x)?log
3
(ax?b)
的图象经过点
A(2,1)
和
B(5,2)
，记
a
n
?3
f(n)
,n?N
*

.
（1）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（2）设
b
n
?
a
n
2
n
,T
n
?b
1
?b
2
???b
n
，若
T
n
?m(m?Z)
，求
m
的最小值；
1
a
n
)? p2n?1(1?
1
a
1
)(1?
1
a
2
)
?
(1?
（3）求使不等式
实数
p
.
对一切< br>n?N*
均成立的最大
?
log
3
(2a?b)?1
?
a?2
?
?
log(5a?b)?2
3
解：（1）由题意 得
?
，解得
?
b??1
，
?2n?1,n?N

2n?11352n?32n?1
b
n
??T????
?
? ?
n
n123n?1n
222222
（2）由（1）得， ①
?f(x)?log
3
(2x?1)

a
n
?3
lo
3
g(2n?1)
*
1
2
1
2< br>?
2
T
n
?
T
n
?
?
3< br>2
1
2
1
1
2
?
1
2
n? 1
2
?
?
3
2
3
???
???
2 n?5
2
2
2
n?1
n?1
?
2
2
n
2n?3
2
?
1
2
n?2
n
?
2n?1
2
?
n?1
② ①－②得
?(
12
1
2
2
2
2
3
2n?1
n?1??
2
2n?1
2
n?1
?
2n?1
2
?
n?1
1
2
1
?
1
2
2
?? ?
1
2
n?2
?
1
2
n?1
)
.
*
?T
n
?3?
2n?1
2
n
?3?2n?3
2
n
，
设
f(n)?
2n?3
2
n
,n?N
，则由 2n?5
f(n?1)
f(n)
n?1
2n?51111
2???????1
2n?3
2(2n?3)22n?325
得
f(n)?
2
2n?3
2
n
n

,n?N
*
随
n
的增大而减小
?当n???
时，
T
n
?3
又
T
n
?m(m?Z)
恒成立，
?m
min
?3

p?
1
2n?1
(1?
1
a
1
(1?
1
a
1
1
a
2
)(1?
1
a
2
)?(1?
1
1
a< br>n
)对n?N
*
（3）由题意得
F(n)?
1
2n?1
恒成立
)(1?)?(1?
记
a
n
，则
)
第 6 页 共 15 页
金太阳教育网

金太阳教育网
1
F(n?1)
F(n)
?
2n?3
1
2n?1
?
2n?2
(2n?1)(2n?3)
?
(1?
1
a1
)(1?
1
a
1
1
a
2
)
?
(1?
1
a
2
1
a
n
)(1?
1
a
n
1
a
n?1
)
?1
)
(1 ?)(1?)
?
(1?
?
2(n?1)
4(n?1)?(n?1)< br>2
2
?
n?1
?
2
?
n?1
?
2
3
?F(n)?0,?F(n?1)?F(n),即F(n)
是随< br>n
的增大而增大
F(n)
的最小值为
F(1)?
23
3
，
?p?
2
3
3
，即
p
max
?3
.

（二）证明等差与等比数列
1. 转化为等差等比数列.
*
例题12. 数列
{a
n
}
中，
a
1
?8,a
4
?2
且满足
a
n?2?2a
n?1
?a
n
，
n?N
.
⑴求数列
{a
n
}
的通项公式；
⑵设
S
n
?|a
1
|?|a
2
|???|a
n
|
，求
S
n
；
1
**
b
n(12?a)
( n?N),T?b?b???b(n?N)
，是否存在最大的整数
m
，使得
n
n
n12n
⑶设=
m
*
对任意
n?N
，均 有
T
n
?
32
成立？若存在，求出
m
的值；若不存 在，请说明理由.
解：（1）由题意，
a
n?2
?a
n?1?a
n?1
?a
n
，
?{a
n
}
为等 差数列，设公差为
d
，
由题意得
2?8?3d?d??2
，
?a
n
?8?2(n?1)?10?2n
.
（2）若
10?2n ?0则n?5
，
n?5时,S
n
?|a
1
|?|a
2
|???|a
n
|

?a
1
?a
2???a
n
?
8?10?2n
2
?n?9n?n,
2< br>
n?6
时，
S
n
?a
1
?a
2< br>???a
5
?a
6
?a
7
??a
n

?S
5
?(S
n
?S
5
)?2S
5
?S
n
?n?9n?40

2
?
?
9n?nn?5
S
n
?
?
2
?
?
n?9n?4 0

n?6
故
2
（3）
?
T
n
?
b
n
?
1
2
m
1
n(12?a
n
)
1
2
)?(
1
2
?
?
1< br>3
*
1
2n(n?1)
)?(
1
3
?
1
4
?
111
(?)
2nn?1
，
1
?
1
n
)?(
1
n
?
1
n?1
) ]
?
?[(1?)?
?
?(
n
?
1
若?
T
n
?
n
n?1
n?1
m
.
2(n?1)

n
32
对任意
n?N
成立，即
n ?1
(n?N)
*
16
对任意
n?N
成立，
*< br>1
的最小值是
2
，
16
?
m
?,
2
?m
的最大整数值是7.
T
n
?.
32
m
*
即存在最大整数
m?7,
使对任意
n?N
，均有< br>
第 7 页 共 15 页
金太阳教育网

金太阳教育网

a
例题13. 已知等比数列
{b
n
}
与数列
{a
n
}
满足
b
n
?3,n?
N
*.
n
（1）判断
{a
n
}
是何种数列，并给出证明；
（2）若
a
8
?a
13
?m,求b
1
b
2
?b
20
.
a
解：（1）设
{b
n
}
的公比为q，∵
b
n
?3
，∴
3
a
?q
n?1
?3
a
?a
n
?a
1
?
?
n?1
?
log
3
q
。
n
1n
所以
{a
n
}
是以
log
3
q
为公差的等 差数列.
（2）∵
a
8
?a
13
?m,
所以由 等差数列性质可得
a
1
?a
20
?a
8
?a
13
?m,

a
1
?a
2
?a
3
?
?
?a
20
?
(a
1
?a
20
)?20
2
?10m?
b
1
b
2
?
b< br>20
?3
(a
1
?a
2
?
?
?a< br>20
)
?3
10m


2. 由简单递推关系证明等差等比数列
例题14. 已知数列
{a
n
}
和
{b
n
}
满足：
a
1
?1
，
a
2
?2
，
a
n
?0
，
b
n
?
且
{b
n
}
是以
q
为公比的等比数列.
2
（I）证明：
a
n?2
?a
n
q
；
a
n
a
n?1
（
n?N*
），
（II） 若
c
n
?a
2n?1
?2a
2n
，证明：数列{c
n
}
是等比数列；
1
（III）求和：
a
1
?
1
a
2
?
1
a
3
?
1
a
4
???
1
a
2n?1
?
1
a
2n
.
b
n?1
解法1：（I）证：由
b
n
?q
a
n?1
a
n?2
，有
a
n
a
n?1
?
a
n?2
a
n
?q
2
，
∴
a
n?2
?a
n
q
?
n?N*?
.
2
（II）证：∵
a
n
?a
n?2
q
，
?a
2n?1
?a
2n?3
q???a
1
q
?c
n
?a
2n?1
?2a
2n
?a
1
q
22n?2
22n?2
...
，
a
2n
?a2n?2
q??a
2
q
，
2n?22n?2
?2a< br>2
q
2
?(a
1
?2a
2
)q
2n ?2
?5q
2n?2
.
?
?
c
n
?< br>是首项为5，公比为
q
的等比数列.
1
?
1
a< br>1
q
2?2n
1
（III）解：由（II）得
a
2n ?1
1
a
1
?
?
1
a
2
???< br>1
a
2n
1
q
1
q
1
4
，
a
1
a
2n?1
(1?
2n
?
1
a
2
q
2?2n
，于是
???)
a
2n

)
1
?(
1
a
1
?
1
a
3
1
???)?(
1
a
2
1
q
4
?
1
a
4
1
a
1
3
2
(1?1
q
1
q
2
2
????

?
q
)?
2n?2
1
a
2
1
q
2
? ???
1
q
2n?2

(1?????
1
q
2n?2
)
.
1
a
2n
1
a
2n
?
3
2
3
2< br>(1?
1
q
2
1
当
q?1
时，
a< br>1
1
?
1
a
2
1
a
2
?? ??
1
q
4
???
q
)
?
2n?2
1
1
3
2
n
.
当
q?1
时，
a
1
?????(1?
1
q
2
?
1
q< br>4
???
q
2n?2
)

第 8 页 共 15 页
金太阳教育网

金太阳教育网
31?q3q?1
?[]
?()
?22n?22
2q(q?1)
.
21?q
?2n2n
?
3
?
2
n， q?1，
111
?
??
?
??
?
2n
?q ?1
a
1
a
2
a
2n
?
[]，q?1.< br>2n?22
?
?q(q?1)
?
故
解法2：（I）同解法1（I）.
c
n?1
（II）证：
c< br>n
?
?
c
n
?
?
a
2n?1
?2a
2n?2
a
2n?1
?2a
2n
2
?qa
2n?1
?2qa
2n
a
2n?1
?2a
2n
22
?q(n?N)
2*
，又
c
1
?a
1
?2a
2
?5
，
是首项为5，公比为
q
的等比数列.
2n?2
（III）由解法 1中（II）的类似方法得
a
2n?1
?a
2n
?(a
1< br>?a
2
)q
1
a
1
?
1
a
2
???
1
a
2n
3q
2q
?3q
2n? 2
，
?
a
1
?a
2
a
1
a2
3
2
?
a
3
?a
4
a
3< br>a
4
???
a
2n?1
?a
2n
a
2n?1
a
2n
，
?
a
2k?1
?a
2 k
a
2k?1
a
2k
2k?2
4k?4
??q?2k?2
2，?，n
. ，
k?1，
1
∴
a
1
?
1
a
2
?
...
?
1
a< br>2n
?
3
2
?
1?q
?2
?
...
?q
?2n?2
?
.

例题15. 设数列
{ a
n
}的前n项和为S
n
,且S
n
?(1?
?)?
?
a
n
,其中
?
??1,0

（ 1）证明：数列
（2）设数列
求数列
{b
n
}
{a
n
}
是等比数列；
f(
?
)
{a
n
}< br>的公比
q?
1
b
n
，数列
{b
n
}
满足
b
1
?
，b
n
=f （b
n
－
1
）（n∈N*
，
n≥2），
的通项公式；
?1)，求数列
{C
n
}
的前n项和
Ｔ
n
. （3 ）设
?
?1
，
C
n
?a
n
(
（1 ）证明：由
S
n
?(1?
?
)?
?
a
n< br>?S
n?1
?(1?
?
)?
?
a
n?1(n?2)

相减得：
a
n
??
?
a
n
?
?
a
n?1
,?
（2）解：
?{
1< br>b
n
}
是首项为
1
b
1
?2
，公差 为1的等差数列，∴
a
n
a
n?1
?
?
1?
?
(n?2),
∴数列
{a
n
}
是等比数列

1
b
n
?2?(n?1)?n?1
.
?b
n
?
1
n?1
.
1
n?1
11
n?1
,a?(),?C?a(?1)?()n
（3）解：
?
?1
时
nnn
2b
n
2
第 9 页 共 15 页
金太阳教育网

金太阳教育网
11
2
1
n?1
?T
n
?1?2()?3()???n ()
①
222

①－②得：
nn
?
?
1
?
?
?
1
?
T
n
?2
?1?
??
?
?n
??
2
?
2
?
?
?
2
?
?
??
∴
1
n
1< br>n
所以：
T
n
?4(1?())?2n()
.
22
②

1

例题16.
?OBC
的 各个顶点分别为
(0,0),(1,0),(0,2)
，设
P
1
为线 段
BC
的中点，
P
2
为线段
OC的中点，
P
3
为线段
OP
1
的中点. 对每一个正整数
n,P
n?3
为线段
P
n
P
n?1
的中点. 令
P
n< br>的坐标
为
(x
n
,y
n
)
，
an
?
1
2
y
n
?y
n?1
?y
n?2
.

（1）求
a
1
,a
2
, a
3
及
a
n
,(n?N)
；
y
n
4
,(n?N)

?
?
（2）证明：
y
n?4
?1?
?
（3）记
b
n
?y4n?4
?y
4n
,(n?N)
，证明：
{b
n
}
是等比数列.
（1）解：因为y
1
=y
2
=y
4
=1， y3
=
又由
y
n?3
?
a
n
+1
=
1
2
y
n
?y
n?1
2
1
2
，y
5
=
3
4
，所以 得a
1
=a
2
=a
3
=2.
，对任意的正整数n有
1
2
y
n?1
?y
n?2
?
y
n
?y
n?1
2
1
y
n?1
?y
n?2
?y
n?3
==
1
2
y
n
?y
n?1
?y
n?2
=a
n

恒成立，且a
1
=2， 所以{a
n
}为常数数列， a
n
=2，（n为正整数）
（2）证明：根据
y
n?4
?
y
n?1
?y
n?2
2
， 及
y
n
?y
n?1
?y
n?2
=a
n
=2， 易证得y
n
+4
=1－
2
y
n
4

（3）证明：因为b
n
+1
=
y
4n?8
?y
4 n?4
=（1－
y
4n?4
4
）－（1－
y
4n< br>4
）=
?b
n
，
4
1
第 10 页 共 15 页
金太阳教育网

金太阳教育网

又由b
1=
y
8
?y
4
=1－
?
1
y
4
4
?
y
4
=
?
1
4
?
，
1
所以{b
n
}是首项为
4
，公比为
4的等比数列.

【模拟试题】
一、填空题
1. 在等差数列｛a
n
｝中，已知a
1
=2，a
2
+a
3
=1 3，则a
4
+a
5
+a
6
等于= .
2. 已知数列的通项
a
n
??5n?2
，则其前
n
项和
S
n
?
.
3. 首项为－24的等差数列，从第10项开始为正，则公差
d
的取值范围是 .
4. 在等比数列
{a
n
}
中，
a
3
和
a
5
是二次方程
x?kx?5?0
的两个根，则
a
2
a
4
a
6

的值为 .
5. 等差数列{a
n
}中，a
1
=1，a
3+a
5
=14，其前n项和S
n
=100，则n= .
2
6. 等差数列{a
n
}的前m项和为30，前2m项的和为100 ，求它的前3m项的和为________
A
n
7. 已知两个等差数列
{a
n
}
和
{b
n
}
的前
n
项 和分别为A
n
和
B
n
，且
B
n
a
n
?
7n?45
n?3
a
7
，
b
7
=
，若
b
n
为正整数，n的取值个数为___________。
8. 已知 数列
?
a
n
?
a?a
q
?a
p?q
对于任意
p，q?N
，有
p
，若
*
a
1
?
1
9
，则
a
36
?
.
9. 记数列
{a
n
}
所有项的和为
和为
S
(3),?
1
2
n?2
S
(1)
，第二项及以后各项的和为< br>S
(2)
，第三项及以后各项的
S
(3)
?
1
2
,?
SS?2S?1
，第
n
项及以后各项的和为
(n)
，若
(1)
，
(2)
，
,?
，
S
(n)
?
，则
a
n
等于 .
10. 等差数列
{a
n
}
共有
2n?1
项，其中 奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项
为_____.
11. 等差数列< br>{a
n
}
中，
a
n
?0
，若
m?1
且
a
m?1
?a
m
?a
m?1
?0
，
S
2m?1
?38
，则
m
的值
为 .
12. 设
S
n
为等差数列
{a
n
}
的前
n
项和. 已知
S
6
?36,S
n
?324, S
n?6
?144(n?6)
，则
n
等于
.
13. 已知函数
f(x)
定义在正整数集上，且对于任意的正整数
x
，都有
f(x?2)?2f(x?1)

?f(x)
，且
f (1)?2,f(3)?6
，则
f(2005)?
__ __.
2
14. 三个数
a,b,c
成等比数列，且
a?b?c?m(m? 0)
，则b的取值范围是 .
15. 等差数列
{ a
n
}
中，前
n
项和为
S
n
，首项
a
1
?4,S
9
?0
.
（1）若
a
n
?S
n
??10
，求
n

（2） 设
b
n
?2
a
n
，求使不等式
b
1
?b
2
???b
n
?2007
的最小正整数
n
的值. 点拨：在等差数列中
a
n
,S
n
,n,d
知道其中三个 就可以求出另外一个，由已知可以求出首
第 11 页 共 15 页
金太阳教育网

金太阳教育网
项
a
1
与公差
d
，把
a
n
,S
n
分别用首项
a
1
与公差
d
，表示即可. 对于求和公式
S
n
?
S
n
?na
1
?
n(n? 1)
2
n(a
1
?a
n
)
2
，
d
采用哪一个都可以，但是很多题目要视具体情况确定采用哪一个可能更
简单一些. 例如：已知
a
9
?0,a
10
?0,a
9
?a
10< br>?0,
判断
S
17
,S
18
,S
20
的正负. 问题2在思考时要注
意加了绝对值时负项变正时，新的数列首项是多少，一共有多少项.
16. 等差数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
，
a
1
?1?2
，
S
3
?9?32< br>.
（I）求数列{
a
n
}的通项
a
n
与 前
n
项和为
S
n
；
（II）设
b
n?
S
n
n
（
n?N
），求证：数列{
b
n
}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.
*
17. 在直角坐标平面上有 一点列
P
1
(x
1
,y
1
),P
2
(x
2
,y
2
)?,P
n
(x
n
,y< br>n
)?
，对一切正整数n，点
P
n
位
于函数
y?3x?
13
4
的图象上，且
P
n
的横坐标构成以
2
为首项，
?1
为公差的等差数列
{x
n
}
.
?
5
⑴求点
P
n
的坐标；
⑵设抛物线列
c
1
,
c
2
,
c
3
,?,
cn
,?
中的每一条的对称轴都垂直于
x
轴，第
n
条抛物 线
c
n
的
2
顶点为
P
n
，且过点
D
n
(0,n?1)
，设与抛物线
c
n
相切于
D< br>n
的直线的斜率为
k
n
，求：
1
k
1
k
2
?
1
k
2
k
???
3
1< br>k
n?
k
1n
.
,?Nn,?
?
1T, ?
?
yy?|y
n
4n?,
?
1
⑶设
S?
?
x|x?2x
n
n
，等差数列{
a
n
} 的任一项
a
n
?S?T
，其中
a
1
是
S? T
中的最大数，
?265?a
10
??125
，求{
an
}的通项公式.
*
18. 已知数列
?
a
n?
满足
a
1
?1,a
n?1
?2a
n
?1(n?N)
，
（1）求数列
?
a
n
?
的通项公式；
（2）若数列
?
a
n
?
满足
4
数列. < br>b
1
?1
4
b
2
?1
?4
b
n
?1
?(a
n
?1)
n
(n?N)
（n∈N< br>*
），证明：
?
b
n
?
是等差
b
*















第 12 页 共 15 页
金太阳教育网

金太阳教育网






【试题答案】
1. 42
2.
?
n(5n?1)
2

8
(,3]
3.
3

4.
?55

5. 10
6. 210
7. 8.5；5个
S
n
?
(a
1
?a
n
)n
2
解法一：点拨 利用等差数列 的求和公式
?
“若
2m?p?q,m,p,q?N
，则
及等差数列的 性质
a
m
?
a
p
?a
q
2
”
(a
1
?a
13
)
a
7
解析：
b
7
=
?13
A
17
2
?
13
?< br>(b
1
?b
13
)?13
B
13
2
2

2
解法2： 点拨 利用“若{
a
n
}为等差数列， 那么
S
n
?an?bn
”这个结论，根据条件
找出
a
n
和
b
n
的通项.
解析：可设
A
n
?kn(7n?45)
，
B
n
?kn(n?3 )
，则
a
n
?A
n
?A
n?1
?k(14 n?38)
，
a
7
k(14?7?38)
b
n
? k(2n?2)
，则
b
7
=
k(2?7?2)
?
1 7
2

12
12
a
n
k(14n?38)
由上面的解法2可知
b
n
=
k(2n?2)
?7?
n?1< br>，显然只需使
n?1
为正整数即可，
故
n?1,2,3,5,11
，共5个.
点评：对等差数列的求和公式的几种形式要熟练掌握，根据具体的情况能够灵活应用.
反思：解法2中，若是填空题，比例常数k可以直接设为1.
8. 4
9. 解 ：
a
n
?S
(n)
?S
(n?1)
?
1< br>2
n?2
?
1
2
n?1
?
1
2n?1
.
第 13 页 共 15 页
金太阳教育网

金太阳教育网

?
(n?1)a
n?1
?319
?
a
10. 解： 依题意，中间项为
n?1
，于是有
?
na
n?1
?290< br>解得
a
n?1
?29
.
11. 解：由题设得
a< br>m
?a
m?1
?a
m?1
?2a
m
，而a
m
?0
，
?a
m
?2
，又
?S2m?1
?38
，
?38?
(a
1
?a
2m? 1
)(2m?1)
2
?
2a
m
(2m?1)
2?2(2m?1)
2
，
m?10
.
12. 解 ：
S
6
?(S
n
?S
n?6
)?6(a
1
?a
n
)?36?(324?144)?216
，
a
1
?a
n
?36
，
S
n
?< br>n(a
1
?a
n
)
2
?324
. ∴
n?18
。
*
13. 解：由
f(x?2)?f(x)?2f( x?1)
知函数
f(x)(x?N)
当
x
从小到大依次取值时对应< br>的一系列函数值组成一个等差数列，
f(1),f(3),?,f(2005)
形成一个 首项为2，公差为4的
等差数列，
f(2005)?2?(1003?1)?4?4010.
a?
b
q
,c?bq
b1
q
m< br>b
. 14. 解：设，则有
q
?b?bq?m,?b?0,??q?1?< br>m
当
q?0
时，
b
m
?
1
q
1
q
?q?1?3
，而
b?0
，
?q?1??1
m
?0?b?
m
3
；
当
q?0
时，
b< br>?
，即
b
]
??1
，而
m?0
，
? b?0
，则
?m?b?0
，
故
b?[?m,0)?(0,
m
3
.
15. 解 ：（1）由
S
9
?9a
1
?36d?0
，得：
d? ?1,a
n
?5?n
，
又由
a
n
?S
n
??10,4?(n?1)(?1)?4n?
即
n
2
?7n?30? 0
，得到
n?10
.
（2）由
b
n
?2

若
n
≤5，则
b
1
?b
2
???b
n
≤
b
1
?b
2
???b
5
?31
，不合题意
故
n
>5，
b
1
?b
2
?
?
b
n
? 31?
即
2
n?5
n(n?1)
2
?(?1)??10.
5?n
2(2
n?5
?1)
2?1
?2007
< br>?989
，所以
n
≥15，使不等式成立的最小正整数
n
的值 为15
?
?
a
1
?2?1，
?
?
3a< br>1
?3d?9?32
，
?d?2
， 16. 解答：（I）由已知得< br>?
故
a
n
?2n?1?2，S
n
?n(n?2).
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
b
n
?
S
n
n
?n?2
.
2
b,b,b
b?b
p
b
r假设数列
{b
n
}
中存在三项
pqr
（
p,q ,r
互不相等）成等比数列，则
q
.
第 14 页 共 15 页
金太阳教育网

金太阳教育网

即
(q?
2
2)?(p?
2
2)(r?2)
.
?(q?pr)?(2q?p?r)2?0

?p，q，r?N
，
?
q
2
?pr?0，
p?r
22
?
?
?( )?pr，(p?r)?0，?p?r
?
2q?p?r?0，
2
.
?
与
p?r
矛盾.
17. 解：（1）
x
n< br>??
13
4
5
2
?(n?1)?(?1)??n?
5
4
,?P
n
(?n?
3
2
3
2

5
4

)?y
n
?3?x
n
???3n? ,?3n?
（2）
?c
n
的对称轴垂直于
x
轴，且顶点为< br>P
n
.
?
设
c
n
的方程为：
y? a(x?
2n?3
2
2
)?
2
12n?5
4
,

1
k
n?1
k
n
?
1
2< br>[(
22
把
D
n
(0,n?1)
代入上式，得
a?1
，
?c
n
的方程为：
y?x?(2n?3)x?n?1.
k
n
?y|
x?0
?2n?3
，
?1
k
1
k
2
?
1
k
2
k3
???
1
'
??
1
5
1
(2n?1 )(2n?3)
?
1
7
)?(
1
7
?
1< br>9
?
1
22n?1
1
2n?1
(
1
?)
2n?3

1
2n?3
)]
1
k
n? 1
k
n
)?
?
?(?

11111
(?)??
=
252n?3104n?6
.
（3）
S?{x|x??(2n?3),n?N,n?1}
，
T?{y|y ??(12n?5),n?N,n?1}?{y|y??2(6n?1)?3,n?N,n?1}

?S?T?T,
T 中最大数
a
1
??17
.
设
{a
n
}
公差为
d
，则
a
10
??17?9d?(?265,?125)
，由此得
?
248
9
? d??12,又?a
n
?T?d??12m(m?N)
*
*

?d??24,?a
n
?7?24n(n?N)

*
18. （1）解：
?a
n?1
?2a
n
?1(n?N),

?a
n?1
?1?2(a
n
?1),



?
?
a
n
?1
?
是以
a
1
?1?2
为首项，2为公比的等比数列.
n
?a
n
?1?2.
即
a
n
?2
n
?1(n?N*)
.
（2）证：
?4




k
1
? 1
4
k
2
?1
...4
k
n
?1
?(a
n
?1)
n
.

k
?4
(k
1
?k
2
?...?k
n
)?n
?2
nk
n
.

?2[(b
1
?b
2
?...?b
n
)?n]?nb
n
,
①

2 [(b
1
?b
2
?...?b
n
?b
n?1
)?(n?1)]?(n?1)b
n?1
.
②
②－①，得2(b
n?1
?1)?(n?1)b
n?1
?nb
n
,

即
(n?1)b
n?1
?nb
n
?2?0,
③
nb
n?2
?(n?1)b
n?1
?2?0.
④
第 15 页 共 15 页
金太阳教育网

金太阳教育网




③－④，得
nb
n?2
?2nb
n?1
?nb
n
?0,

即
b
n?2
?2b
n?1
?b
n
?0,

?
?
b
n
?
是等差数列.
?b
n?2
?b
n?1
?b
n?1
?b
n
(n?N),

*
第 16 页 共 16 页



金太阳教育网