人教A版高中数学必修五高二上学期期末考试理科Word版含答案.docx

19.(10分)已知四棱锥
P?ABCD
的底面为直角梯形，
ABD C
，
?DAB?90,PA?
底面
ABCD
，且
?
1
，
AB?1
，
M
是
PB
的中点。
2
（Ⅰ）证明：面
PAD?
面
PCD
；
（Ⅱ）求
AC
与
PB
所成的角；
（Ⅲ）求面
AMC
与面
BMC
所成二面角余弦值的大小。
PA?AD?DC?


































20.(10分) 已知椭圆的中心在原点，焦点为
F
1
(0
，且离心率
e?
，?22)
，
F
2
（0，< br>22
）
22
。
3

（I）求椭圆的方程；
（II）直线
l
（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同 的两点
A、B
，且线段
AB
中点的横坐标为
?
直线
l
倾斜角的取值范围。








































2
21. (12分） 如图，已知二次函数
f(x )?ax?bx?c
过点（0,0）和（1,0），(2,6).直线
l
1
: x?2
，直
1
，求
2
l
2
:y?3tx
（ 其中
?1?t?1
，
t
为常
数）.
直线 l
1,l
2
与函数f(x)
的图象所围成的封闭图形如阴
（2）求
y ?f(x)
； （2）求阴影面积s关于t的函数
y?s(t)
（3）若过点
A(1,m),m?4
可作曲线
y?s(t),t?R
的三条
线
影所示.
的解析式；

切线，求实数m的取值范围.














昆明三中2012——2013学年上学期期末考试
高二数学试卷(理科)(答案)
命题人：李玉辉
本试卷分第I卷（选择题，请答在机读卡上）和第II卷两部分，满分共100分，考 试用时120分钟。
一.选择题（36分，每题3分）
1.
i
为虚数单位，则
(1?i)(1?i)?
（ C ）

A. 2

i
B. -2

i
C. 2 D. -2
2.函数
y=x+x
的递增区间是（ C ）
A．
(0,??)
B．
(??,1)
C．
(??,??)
D．
(1,??)

3.已知
3?3i?z?(?23i)
,那么复数
z
在平面内对应的点位于( A )
A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有
（ A ）
A.
C
3
??
1
2
1
2
26
A
个
4
10
B.
AA
24
2610
个 C.
C
??
10
个
1
2
26
4

2
D.
A
26
10
4
个
A 解析：某城 市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码
共有
C
26
??
4
A
10
个，选A
5.记者要为5名志 愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的
排法共有（ B ）
A.1440种 B.960种 C.720种 D.480种
解析：5名 志愿者先排成一排，有
A
5
种方法，2位老人作一组插入其中，且两位老人有左右顺序 ，共有
5

5
=960种不同的排法，选B
2?4?A
5
6.抛物线
y?
?
1?2x
?
在点x=
3处的切线方程为（ B ）
2
2
A.
y?0

B.8x－y－8=0 C．x=1 D.y=0或者8x－y－8=0
7.已知对任意实数x，有
f(?x)??f(x)，g(?x)?g(x)
，且
x ?0
时，
f
?
(x)?0，g
?
(x)?0
，则< br>x?0
时
( B )
A．
f
?
(x)?0，g
?
(x)?0
B．f
?
(x)?0，g
?
(x)?0
C．
f
?< br>(x)?0，g
?
(x)?0
D．
f
?
(x)?0，g
?
(x)?0


(x)?ax
2
?bx?c
的图象如右图，则
f(x)
的图象可能 是( D ) 8.已知函数
f(x)
的导函数
f
?


y
y
y
y


x
o

o
o
x
x
x
o


C
B D
A
1
2
9.若
a?
?< br>sinxdx
，
b?cosxdx
，则
a
与
b
的关系（ B ）
y
o
x
?
2
?
0
A
a?b
B
a?b
C
a?b
D
a?b?0

10.如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置
6cm处，则克服弹力所做的功为( D)
A . 0.28J B. 0.12J C. 0.26J D. 0.18J
11.已知函数
f(x)?x?ax?(a?6)x?1
有极大值和极小值，则实数< br>a
的取值范围是( C )
A．
?1?a?2
B．
?3?a?6
C．
a??3
或
a?6
D．
a??1
或
a?2

12.在
?AOB
的边< br>OA
上有
A
1
、
A
2
、
A
3
、
A
4
四点，
OB
边上有
B
1
、
B
2
、
B
3
、
B
4
,
B
5
共9个点，连结
线段
A
i
B
j
(1 ?i?4,1?j?5)
，如果其中两条线段不相交，则称之为一对“和睦线”，则共有：( A )
对
A 60 B 80 C 120 D 160
二．填空题（12分，每题3分）
13.
3 2
?
2
1
(x?1)
5
dx
__________ ______
2
1
11
2
[(x?1)
6
]
?
?(x?1)
5
，
?
(x?1)
5
d x?(x?1)
6
|
1
?
；
1
6
66< br>m
?1?ni
，其中
m
、
n
为实数，则
m? n?
.3 14.已知
1?i
15.某市春节晚会原 定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目，但是赈灾节目不排
在第一个也不排在 最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变，则该晚会的节目单的编排总数
为 990 种.（用数字作答）

16. 已知R上可导函数
f(x)< br>的图象如图所示，则不等式
(x
2
?2x?3)f
?
(x)? 0
的解集为
16.
(??,?1)?(?1,1)?(3,??)





三．解答题（52分）
2
17.（10分）设数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，并且满足
a
n
＞0，
2S
n
?a
n
?n(n?N*)
.
（1）求
a
1
,a
2
,a
3
；
（2）猜测数列
?
a
n
?
的通项公式，并用数学归纳法证明.
17．（10分）
解：（１）分别令n=1,2,3得

∵，∴，，.......3分
(2)猜想：a
n
?n
........5分
下面用数学归纳法证明：（1）
当n?1时，a
1
?1成立；
......6分
2
2
2s
k
?a
k
?k

2 s
k?1
?a
k
(2)假设当n?k时，a
k
?k.

则n?k?1时，
?1
?k?1
...7分
22
两式 相减得：2a
k?1
?a
k?1
?a
k
?1

22
?a
k?1
?2a
k?1
?1?k?0

?(a
k?1
?1?k)(a
k?1
?1?k)?0
....9分
?
a
k?1
?0,?a
k?1
?1?k?0

?a
k?1
?1?k?0,?a
k?1
?k?1

?n?k?1时等式成立

?
由（1）（2）可得
对任意的n?N 都有a
n
?n成立
……………………………………10分18.（10分）已
32
知函数
f(x)?x?ax?bx?c
在
x??2
处取得极值, 并且它的图象与直线
y??3x?3
在点( 1 , 0 ) 处

解: f
'
(x)?3x
2
?2ax?b?f
'
(?2)?3(? 2)
2
?2a(?2)?b?0
?12?4a?b?0
相切, 求a , b , c的值。
又f
'
(1)?3?2a?b??3?a?1,b??8
< br>又f(x)过(1,0)点,?1
3
?a?1
2
?b?1?c?0?c?6



19.(10分)已知四棱锥
P?ABCD的底面为直角梯形，
ABDC
，
?DAB?90,PA?
底面
A BCD
，且
?
1
，
AB?1
，
M
是
PB
的中点。
2
（Ⅰ）证明：面
PAD?
面
PCD
；
（Ⅱ）求
AC
与
PB
所成的角；
（Ⅲ）求面
AMC
与面
BMC
所成二面角余弦值的大小。
证明：以
A
为坐标原点
AD
长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点 坐标为
1
A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P (0,0,1),M(0,1,)
.
2
PA?AD?DC?
（Ⅰ）证明：因
AP?(0,0,1),DC?(0,1,0),故AP?DC?0,所以AP?DC.
由题设知
AD?DC
，且
AP
与
AD
是平面
P AD
内的两条相交直线，由此得
DC?
面
PAD
.又
DC< br>在面
PCD
上，故面
PAD
⊥面
PCD
.
（Ⅱ）解：因
AC?(1,1,0),PB?(0,2,?1),

故|AC |?2,|PB|?5,AC?PB?2,所以
10
cos?AC,PB???.
5< br>|AC|?|PB|
AC?PB

（Ⅲ）解：在
MC
上取一点
N(x,y,z)
，则存在
?
?R,
使
NC?
?< br>MC,

11
NC?(1?x,1?y,?z),MC?(1,0,?),?x ?1?
?
,y?1,z?
?
..

22
14
要使
AN?MC,只需ANMC?0即x?z?0,解得
?
?.

25
412
可知当
?
?时,N点坐标为(,1,),能使AN?MC?0.< br>555

1212
此时,AN?(,1,),BN?(,?1,),有BN?M C?0
5555
由AN?MC?0,BN?MC?0得AN?MC,BN?MC.所以?ANB
为
所求二面角的平面角.

30304
,|BN|?,AN BN??.
555
ANBN2
?cos(AN,BN)???.

3
|AN|?|BN|
|AN|?


20.(10分) 已知椭圆的中心在原点，焦点为
F
1
(0
，且离心率
e?
， ?22)
，
F
2
（0，
22
）
（I）求椭圆的方程；
（II）直线
l
（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同 的两点
A、B
，且线段
AB
中点的横坐标为
?
直线
l
倾斜角的取值范围。
22
yxc22
??1，由已知c?22，又?解：（I）设椭圆方程为
2

2
a3
ab
22
。
3
1
，求
2
y
2
解得
a
=3，所以
b
=1，故所求方程为
?x
2
?1
………………4分
9
（II）设直线l的方程为
y
代入椭圆方程整理得
?kx?b(k≠0)
k?9)x?2kbx??b9?0

(
………………………… 5分
?
??(2kb)
2
? 4(k
2
?9)(b
2
?9)?0
?
由题意得
?
…………………………7分
2kb
??1
?
x
1
?x
2
??
2
k?9
?
解得
k?3
又直线
l
与坐标轴不平行 ………………10分
或k??3
故直线
l
倾斜角的取值范围是
(，)?(，)
……………12分
222
??
32
?
2
?
23
21. （本小题满分12分）
2
如图，已知二次函数
f(x)?ax?bx?c
过点（0,0）和（1,0），(2,6).直线
l
1
:x?2
，直线
l
2
:y?3tx
（其
中
?1?t?1
，
t为常数）.
直线 l
1
,l
2
与函数f(x)
的图象所围成的封闭图形如阴影所示.
（3）求
y?f(x)
； （2）求阴影面积s关于t的函数
y?s(t)
（3）若过点
A(1,m),m?4
可作曲线
y?s(t),t?R
的三条
切线，求实数m的取值范围.






的解析式；

22.解：（1由图可知二次函数的图象过点（0，0），（1，0）
则
f(x)?ax(x?1)
，又因为图象过点（2，6）∴6=2a ∴a=3 < br>∴函数
f
?
x
?
的解析式为
f(x)?3x(x?1 )?3x?3x

2
?
y?3x
2
?3x
2< br>（2)由
?
得
x?(1?t)x?0,?x
1
?0,x
2
?1?t,

?
y?3tx
∵
?1?t?1
， ∴直线
l
2
与
f
?
x
?
的图象的交点横坐 标分别为0,1+t ,
由定积分的几何意义知：
s(t)?


t?1
?
1?t
0
[3tx?(3x
2
?3x)]dx?< br>?
2
2
1?t
[(3x
2
?3x)?3tx]dx< br>
3(1?t)
2
3(1?t)
233
?[x?x]?[x? x]
?(1?t)
3
?2?6t
，
?1?t?1
；
22
0t?1
32
（3）∵曲线方程为
s(t)?(1?t)?2? 6t
，
t?R
，∴
s
?
(t)?3(1?t)?6
，
∴点
A(1,m),m?4
不在曲线上。设切点为
M(x
0,y
0
)
，则点M的坐标满足
y
0
?(1?x
0
)
3
?2?6x
0
,因
s
?
(x0
)?3(1?x
0
)
2
?6
，故切线的斜率为 (1?x
0
)
3
?6x
0
?2?m
3
，整理得
2x
0
?6x
0
?m?0
.
3(1?x
0
)?6?
x
0
?1
2
∵过点
A(1,m )
可作曲线的三条切线，∴关于x
0
方程
2x
0
?6x0
?m?0
有三个实根.
32
设
g(x
0
) ?2x
0
?6x
0
?m
，则
g
?
(x0
)?6x
0
?6
，由
g
?
(x
0< br>)?0
得
x
0
??1

3
∵当
x< br>0
?(??,?1)?(1,??)时,g
?
(x
0
)?0< br>∴
g(x
0
)
在
(??,?1),(1,??)
上单 调递增，
∵当
x
0
?(?1,1)时,g
?
(x
0
)?0
，∴
g(x
0
)
在
(?1,1)
上单调递减.
3
∴函数
g(x
0
)?2x
0
?6 x
0
?m
的极值点为
x
0
??1
，
?< br>g(?1)?0
∴关于x
0
方程
2x
0
?6x
0
?m?0
有三个实根的充要条件是
?
，
g(1)?0
?
解得
?4?m?4
，故所求的实数m的取值范围是
?4?m?4
。
3