2015人教版高中数学选修2-1-普通高中数学必修二试卷及答案
第二章 2.1 第2课时
A级 基础巩固
一、选择题
1.已知数列{a
n
}中,a
n
+
1
=a
n+
2
+a
n
,a
1
=2,a
2
=5,
则a
6
=( A )
A.-3
C.-5
[解析] 由
a
n
+
1
=a
n
+
2
+a
n得a
3
=3,
a
4
=-2,a
5
=-5,a
6
=-3.
2.已知a
n
=3n-2,则数列{a
n
}的图象是( D )
A.一条直线
C.一个圆
B.一条抛物线
D.一群孤立的点
B.-4
D.2
[解析] ∵a
n
=3n-2,n∈N
*
,∴数列{a
n
}的图象是一群孤立的点.
1
3.在数列{a<
br>n
}中,a
1
=,a
n
=(-1)
n
·2a
n
-
1
(n≥2),则a
5
等于( B )
3
16
A.-
3
8
C.-
3
1
[解析] ∵a
1
=,a
n
=(-1)
n
·2a
n
-
1
,
3
12
∴a
2
=(-1)
2
×2×=,
33
24
a
3
=(-1)
3
×2×=-,
33
48
a
4
=(-1)
4
×2×(-)=-,
33
816
a
5
=(-1)
5
×2×(-)=.
33
4.数列{a
n
}中,a
1
=1,以后各项由公式a<
br>1
·a
2
·a
3
·…·a
n
=n
2
给出,则a
3
+a
5
等于( C )
25
A.
9
61
C.
16
[解析] ∵a
1
·a2
·a
3
·…·a
n
=n
2
,
9<
br>∴a
1
·a
2
·a
3
=9,a
1
·
a
2
=4,∴a
3
=.
4
2592561
同理a
5
=,∴a
3
+a
5
=+=.
1641616<
br>5.数列{a
n
}的构成法则如下:a
1
=1,如果a
n-2为自然数且之前未出现过,则用递推
25
B.
16
31
D.
15
16
B.
3
8
D.
3
公式a
n
+
1
=a
n
-2,否则用递推公式a
n
+
1
=3a<
br>n
,则a
6
=( C )
A.-7
C.15
B.3
D.81
[解析] 由a
1
=1,a
1
-2=-1?N,得a
2
=3a
1
=3.
又a
2
-2=1=a
1
,故a
3
=3a
2
=9.
又a
3
-2=7∈N,故a
4
=a
3
-2=7.
又a
4
-2=5∈N,则a
5
=a
4
-2=5.
又a
5
-2=3=a
2
,所以a
6
=3a
5
=15.故选C.
6.设数列{a
n
}满足a
1
=1,
a
2
=3,且2na
n
=(n-1)a
n
-
1+(n+1)a
n
+
1
,则a
20
的值是( D )
1
A.4
5
3
C.4
5
2
B.4
5
4
D.4
5
2nan
-?n-1?a
n
-
1
[解析]
由题知:a
n
+
1
=,
n+1
11
2×3×-2
×3
3
2×2×3-1
11
a
3
==,a
4
==4,
334
1121
2×4×4-3×2×5×-4×4
3
21
5
5n-45×20-4
26
a
5
==,a
6
==,故a
n
=.所以a
20
=
5566n20
2
44
==4.故选D.
55
二、填空题
n-1
11
7.
已知F(x)=f(x+)-1是R上的奇函数.a
n
=f(0)+f()+…+f()+f(
1)(n∈N
*
),
2nn
则数列{a
n
}的通项公式为_
_a
n
=n+1__.
[解析] 因为F(x)+F(-x)=0,
11
所以f(x+)+f(-x+)=2,
22
即若a+b=1,则f(a)+f(b)=2.
n-1
1
于是
由a
n
=f(0)+f()+…+f()+f(1)(n∈N
*
),
nn
n-1n-1
11
得2a
n
=[f(0)+f(1)]+[f
()+f()]+…+[f()+f()]+[f(1)+f(0)]=2n+2,
nnnn
所以a
n
=n+1.
a
n
+
1
8.已知数列{a
n
}的通项公式a
n
=3n-1(n∈N
*
),通过公式b
n
=构造一个新数列{b
n
},
a
n
58111417
那么{b
n
}的前五项为__,,,,__.
2581114
[解析]
∵a
n
=3n-1(n∈N
*
),
∴a
n
+
1
=3(n+1)-1=3n+2,
a
n
+
1
3n+2
∴b
n
==.
a
n
3n-1
58111417
∴b
1
=,b
2
=,b
3
=,b
4
=,b
5
=.
2581114
三、解答题
9.一老汉为感激梁山好汉除暴安良,带了些千里马要送
给梁山好汉,见过宋江后,宋
江把老汉带来的马匹的一半和另外一匹马作为回礼送给了他,老汉又去见卢
俊义,把现有剩
马的一半送给卢俊义,卢俊义也把老汉送的马匹的一半和另一匹马作为回礼送给老汉……
一
直送到108名好汉的最后一名是这样的,老汉下山回家时还剩两匹马,你知道老汉上山时一
共带了多少匹千里马吗?
1
[解析] 设老汉上山一共带了a
1
匹千里马,
送给宋江后还剩a
2
匹,则a
2
=a
1
+1,再
2
11
送给卢俊义后还剩下a
3
匹,则a
3
=a
2<
br>+1.依次地进行下去,送给第k个人后还剩下a
k
+
1
=
2
2
a
k
+1,按照题目要求应有
1
a
109
=a
108
+1=2.∵a
109
=2,∴a
108
=2. <
br>2
依次代入递推关系可得a
1
=a
2
=a
3
=…=2.
即老汉最初上山带了两匹千里马.
B级 素养提升
一、选择题 1.数列{a
n
}满足a
1
=1,a
n
+
1<
br>=2a
n
-1(n∈N
*
),则a
1 000
=(
A )
A.1
C.1 000
∈N
*
).
2.已知数列{a
n
}满足a
1
=0,a
n
+
1<
br>=
A.0
C.3
[解析] ∵a
1
=0,a2
=
a
n
-3
(n∈N
+
),则a
2
0
=( B )
3a
n
+1
B.-3
D.
3
2
B.1 999
D.-1
[解析]
a
1
=1,a
2
=2×1-1=1,a
3
=2×1-1=1
,a
4
=2×1-1=1,…,可知a
n
=1(n
a
1-3a
2
-3a
3
-3
=-3,a
3
==3,
a
4
==0,….
3a
1
+13a
2
+13a<
br>3
+1
至此可知:数列{a
n
}的各项的值依次为0,-3,3,0,
-3,3,0,…,周而复
始.
∵20=3×6+2,∴a
20
=a
2
=-3.
3.已知
数列{a
n
}对任意的p,q∈N
*
满足a
p
+
q
=a
p
+a
q
,且a
2
=-6,那么a
1
0
等于( C )
A.-165 B.-33
C.-30
D.-21
[解析] 由已知得a
2
=a
1
+a
1
=2a
1
=-6,∴a
1
=-3.
∴a
10
=
2a
5
=2(a
2
+a
3
)=2a
2
+2
(a
1
+a
2
)=4a
2
+2a
1
=4×
(-6)+2×(-3)=-30.
4.观察下图,并阅读图形下面的文字,像这样10条直线相交,交点的个数最多的是
( B
)
A.40个
C.50个
B.45个
D.55个
2×12×33×4n?n-1?
[解析]
交点个数依次组成数列为1,3,6,即,,,由此猜想a
n
=,
2222
10×9
∴a
10
==45.
2
二、填空题
n
5.数列{a
n
}满足递推公式a
1
=5,a
n
=a
n
-
1
(n≥2,n∈N*
),则数列{a
n
}的前四项依
n+1
10510
次
为__5,,,2__,它的通项公式为__a
n
=__.
32
n+1a
n
na
2
2a
3
3a
n
n
[解析]
由=(n≥2,n∈N
*
),得=,=,…,=(n≥2,n∈N
*
), <
br>a
1
3a
2
4
a
n
-
1
n
+1a
n
-
1
n+1
a
n
23n2
将以上
各式两两相乘得=··…·=,
a
1
34
n+1n+1
10
所以a
n
=(n≥2,n∈N
*
),
n+1
10
又a
1
=5符合上式,所以其通项为a
n
=.
n+1
1
05
所以a
1
=5,a
2
=,a
3
=,a
4
=2.
32
11111
6.设f(n)=++…+(n∈N
*<
br>),那么f(n+1)-f(n)=__-__.
2n
n+1n+22n+12n+2
111111
[解析]
f(n+1)=+++…+++,
2n
2n+12n+2n+2n+3n+4
111
11
∴f(n+1)-f(n)=+-=-.
2n+12n+2n+12n+12n+2
三、解答题
7.(1)已知数列{an
}的第1项是1,第2项是2,以后各项由a
n
=a
n
-1
+a
n
-
2
(n≥3)给出,
写出这个数列的前5项
;
a
n
(2)用上面的数列{a
n
},通过公式b
n
=构造一个新的数列{b
n
},写出数列{b
n
}的前5
a
n
+
1
项.
[解析] (1)∵a
1
=1,a
2
=2,a
n
=a
n
-
1
+a<
br>n
-
2
(n≥3),
∴a
3
=a
1
+a
2
=3,a
4
=a
2
+a
3
=5,
a
5
=a
3
+a
4
=8.
a
n
a
1
1a
2
2a
3
3a
4
5
(2
)∵a
6
=a
4
+a
5
=13,b
n
=,
∴b
1
==,b
2
==,b
3
==,b
4
==,b
5
=
a
2
2a
3
3a
4
5a
5
8
a
n
+
1
a
5
8
=.
a
6
13
2*
8.设{a
n
}是首项为1
的正项数列,且(n+2)a
2
n
+
1
-na
n
+
2a
n
+
1
a
n
=0(n∈N),求通项公式
a<
br>n
.
2
[解析] 把(n+2)a
2
n
+
1
-na
n
+2a
n
+
1
a
n
=
0分解因式,
得[(n+2)a
n
+
1
-na
n
](a
n
+
1
+a
n
)=0.
∵a
n<
br>>0,∴a
n
+a
n
+
1
>0,
a
n
+
1
n
∴(n+2)a
n
+
1
-na
n
=0,∴=,
a
n
n+2
n-2n-1
a2
a
3
a
4
a
5
a
n
123
42
∴a
n
=a
1
·····…·=1×××××…××=(n≥2
).
a
1
a
2
a
3
a
4
345
6n
a
n
-
1
n+1n?n+1?
2
又a
1
=1满足上式,∴a
n
=.
n?n+1?
由Ruize收集整理。
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