高中数学必修五第一章

第一章 解三角形
章节总体设计
（一）要求
本章的中心内容 是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实
在解三角形的应用上。通过本章学习 ，学生应当达到以下学习目标：
（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余< br>弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识 和方法解决一些与测量和几何计算有关的生
活实际问题。
（二）教学内容及课时安排建议
1.1正弦定理和余弦定理（约 课时）
1.2应用举例（约 课时）
1.3实习作业（约 课时）
（三）评价建议
1．要在本章的教学中，应该根据教 学实际，启发学生不断提出问题，研究问题。在对
于正弦定理和余弦定理的证明的探究过程中，应该因势 利导，根据具体教学过程中学生思考
问题的方向来启发学生得到自己对于定理的证明。如对于正弦定理， 可以启发得到有应用向
量方法的证明，对于余弦定理则可以启发得到三角方法和解析的方法。在应用两个 定理解决
有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较。对于一些常见的测量问
题甚至可 以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法。
2．适当安排一些实习作业，目的是 让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题
的解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语 言表达实习过程和实习结果能力，增
强学生应用数学的意识和数学实践能力。教师要注意对于学生实习作 业的指导，包括对于实
际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题。

第1课时
课题:
§1．1．1正弦定理
●教学目标
知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其 证明方法；
会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让 学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，
引导学生通过观察，推导， 比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实
践操作。
情感态度与价值观： 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合
情推理探索数学规律的数学思思想 能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识
间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一 。
●教学重点
正弦定理的探索和证明及其基本应用。
●教学难点
已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
●教学过程
Ⅰ.课题导入
如图1．1-1，固定
?
ABC的边CB及
?
B，使边AC绕着顶点 C转动。 A
思考：
?
C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边AB的长度随着其对角
?
C的大小的增大而增大。能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B
Ⅱ.讲授新课
[探索研究] (图1．1-1)
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的 等
式关系。如图1．1-2，在Rt
?
ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数
的
A
则
定义，有
a
?sin
A
c
?
，
b
?sin
B
c
，又< br>sin
C
?1?
c
c
,
a
sin
A
?
b
sin
B
c
si n
C
?
c
b c
?
从而在直角三角形ABC中，
a
sin
A
b
sin
B
?
c
sin
C
C a B
(图1．1-2)
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
（由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1．1-3，当
?
ABC是 锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的
定义，有CD=
a
si n
B
?
b
sin
A
,则
同理可得
a
sin
A
?
b
sin
B
， C
c
sin
C
?
b
sin
B
， b a

从而 A c B
sin
C
(图1．1-3)
思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量 来研究
这个问题。
uruuur
（证法二）：过点A作
j
?
AC
， C
a
sin
A
?
b
sin
B
?
c
uuuruur
由向量的加法可得
AB
?
AC
?
CB

uruururuuuruur
则
j
?
AB
?
j
?(
AC
?
CB
)
A B
uruururuuururuur
ur
j
∴
j
?
AB
?
j
?
AC
?< br>j
?
CB

uur
ruu urruuur
0
jABcos
?
90?A
?
?0?jCB cos
?
90
0
?C
?

∴
csinA?asinC
，即
ac
?

sinA sinC
ruuur
bc
?
同理，过点C作
j?BC
，可得
sinBsinC
从而
sinC
类似可推出，当
?
ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后 自己推导）
从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
a
sin
A
?
b
sin
B
?
c
a
sin
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C

[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同 一正数，即
存在正数k使
a
?
k
sin
A
，
b
?
k
sin
B
，
c
?
k
si n
C
；
（2）
a
sin
A
sin
C从而知正弦定理的基本作用为：
?
b
sin
B
?
c< br>等价于
a
sin
A
?
b
sin
B
，
c
sin
C
?
b
sin
B
，
a< br>sin
A
?
c
sin
C

①已知三角形的任 意两角及其一边可以求其他边，如
a
?
b
sin
A
； sin
B
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如
s in
A
?sin
B
。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
[例题分析] < br>例1．在
?ABC
中，已知
A?32.0
0
，
B?8 1.8
0
，
a?42.9
cm，解三角形。
解：根据三角形内角和定理，
a
b
C?180
0
?(A?B)


?1 80
0
?(32.0
0
?81.8
0
)

?66.2
0
；
根据正弦定理，
asinB42.9sin81.8
0
b???80.1(cm)
；
sinA
sin32.0
0
根据正弦定理，
asinC42.9sin66.2
0
c???74.1(cm).

sinA
sin32.0
0
评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2．在
?ABC
中，已知
a?20
cm，
b?28
cm，
A?40
0
，解三角形（角度精确到
1
0
，边长精确到1cm）。
解：根据正弦定理，
bsinA28sin40
0

sinB???0.8999.
< br>a20
因为
0
0
＜
B
＜
180
0< br>，所以
B?64
0
，或
B?116
0
.

⑴ 当
B?64
0
时，

C?180
0?(A?B)?180
0
?(40
0
?64
0
)?76
0
，
asinC20sin76
0
c???30(cm).

sinA
sin40
0
⑵ 当
B?116
0
时，

C?180
0
?(A?B)?180
0
?(400
?116
0
)?24
0
，
asinC20sin24
0
c???13(cm).

sinA< br>sin40
0
评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。
Ⅲ.课堂练习
第4页练习第1（1）、2（1）题。
[补充练习]已知
?
ABC中，
sin
A
:sin
B
:sin
C
?1:2:3
，求
a
:
b
:
c

（答案：1：2：3）
Ⅳ.课时小结（由学生归纳总结）
（1）定理的表示形式：
a
sin
A
sin
B
sin
C
或
a
?
k
sin
A
，
b
?
k
sin
B
，
c
?
k
sin
C
(
k
?0)

（2）正弦定理的应用范围：
①已知两角和任一边，求其它两边及一角；
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
Ⅴ.课后作业
第10页[习题1.1]A组第1（1）、2（1）题。






?
b
?
c
?
a
?
b
?
c
?
k
?
k
?0
?
；
sin
A
?sin
B
?sin
C

第2课时
课题:
§1.1.2余弦定理

●教学目标
知识与技能：掌握余 弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理
解决两类基本的解三角形问题。
过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理
解决 两类基本的解三角形问题
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力 ；通过三角函
数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点
余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
●教学难点
勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
●教学过程
Ⅰ.课题导入
C
如图1．1-4，在
?
ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,
已知a,b和
?
C，求边c b a

A c B
(图1．1-4)
Ⅱ.讲授新课
[探索研究]
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A
rr
uurruurruurrrrr
如图1．1-5，设
CB
?
a
，
CA
?
b
，
AB
?
c，那么
c
?
a
?
b
，则
b

c

rrrrrr
c
?
c
?
c
?
a
?
ba
?
b
rrrr rr
r
?
ab
?
b
?
r
2
a
r
?
b

C

a
B
r
?
2
a
?
r
2
?
a
?
b
?2
a
?
b
2
r
????
从而
c
2
?
a
2
?
b
2
?2
ab
cos
C
(
图1．1-5)

同理可证
a
2
?b
2
?
c
2
?2
bc
cos
A

b
2
?
a
2
?
c
2
?2ac
cos
B

于是得到以下定理
余弦定理：三角形中任何一 边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角
的余弦的积的两倍。即
a
2
?
b
2
?
c
2
?2
bc
cos
A

b
2
?
a
2
?< br>c
2
?2
ac
cos
B

c
2
?
a
2
?
b
2
?2
ab
cos
C

思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出 第四个量，能否由
三边求出一角？
（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：
b
2
?c
2
?a
2

cosA?
2bc
a
2
?c
2
?b
2

cosB?< br>2ac
b
2
?a
2
?c
2

cosC?
2ba
[理解定理]
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间 的关系，余弦定理则指出了一般三角
形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
（由学生总结）若
?
ABC中，C=
90
0
，则
cosC ?0
，这时
c
2
?a
2
?b
2

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
[例题分析]
例1．在
?
ABC中，已知
a?23
，
c?6?2
，
B?60
0
，求b及A
⑴解：∵
b
2
?a
2< br>?c
2
?2accosB

=
(23)
2
? (6?2)
2
?2?23?(6?2)
cos
45
0

=
12?(6?2)
2
?43(3?1)

=
8

∴
b?22.

求
A
可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
b
2
?c
2
?a
2
(22)
2
?(6?2)
2
?( 23)
2
1
??,
⑵解法一：∵cos
A?
2bc2
2?22?(6?2)
∴
A?60
0
.

a23
解法二：∵sin
A?sinB??sin45
0
,

b
22
又∵
6?2
＞
2.4?1.4?3.8,

23
＜
2?1.8?3.6,

∴
a
＜
c
，即
0
0
＜
A
＜
90
0
,

∴
A?60
0
.

评述：解法二应注意确定A的取值范围。

例2．在
?
ABC 中，已知
a?134.6cm
，
b?87.8cm
，
c?161.7 cm
，解三角形
（见课本第7页例4，可由学生通过阅读进行理解）
解：由余弦定理的推论得：
b
2
?c
2
?a
2
cos
A?

2bc


87.8
2
?161.7
2
?134.6
2

?
2?87.8?161.7
?0.5543,

A?56
0
20
?
；
c
2
?a
2
?b
2
cos
B?

2ca


134.6
2
?161.7
2
?87.8
2

?
2?134.6?161.7
?0.8398,

B?32
0
53
?
；
?

C?180< br>0
?(A?B)?180
0
?(56
0
20
?
?32
0
53)
Ⅲ.课堂练习
第8页练习第1（1）、2（1）题。 < br>[补充练习]在
?
ABC中，若
a
2
?
b
2
?
c
2
?
bc
，求角A（答案：A=120
0）
Ⅳ.课时小结
（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。
Ⅴ.课后作业
①课后阅读：课本第8页[探究与发现]
②课时作业：第11页[习题1.1]A组第3（1），4（1）题。

第3课时
课题:
§1．1．3解三角形的进一步讨论

●教学目标
知识与技能：掌握在已知 三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解
等情形；三角形各种类型的判定方法； 三角形面积定理的应用。
过程与方法：通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正 、余弦定理，
三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
情感态度与价值观：通过正、 余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角
函数的关系，反映了事物之间的必然联系及 一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映
了事物之间的内在联系。
●教学重点
在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
●教学难点
正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情景]
思考：在
?
ABC中，已知
a
?22
cm
，
b
?25
cm
，
A
?133
0< br>，解三角形。
（由学生阅读课本第9页解答过程）
从此题的分析我们发现，在已知三 角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条
件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形 下解三角形的问题。
Ⅱ.讲授新课
[探索研究]
例1．在
?
A BC中，已知
a
,
b
,
A
，讨论三角形解的情况
分析：先由
sin
B
?
则
C
?180
0
? (
A
?
B
)

从而
c
?
b
sin
A
可进一步求出B；
a
a
sin
C

A
1．当A为钝角或直角时，必须
a
?
b
才能有且只有一解；否则无解。
2．当A为锐角时，
如果
a
≥
b
，那么只有一解；
如果
a
?
b
，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若
a
?
b
sin
A
，则有两解；
（2）若
a
?
b
sin
A
，则只有一解；
（3）若
a
?
b
sin
A
，则无解。
（以上解答过程详见课本第9
:
10页）
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且
b
sin
A
?
a
?
b
时，有两解；其它情况时则只有一解或无 解。

[随堂练习1]
（1）在
?
ABC中，已知
a
?80
，
b
?100
，
?
A
?450
，试判断此三角形的解的情况。
（2）在
?
ABC中，若
a
?1
，
c
?
1
，
?
C
?400
，则符合题意的b的值有
_____个。

2
（3）在
?
ABC中，
a
?
xcm
，
b
?2
cm
，
?
B
?45
0
，如果利用正弦定理解三角形有两解，求< br>x的取值范围。
（答案：（1）有两解；（2）0；（3）
2?
x
?22
）
例2．在
?
ABC中，已知
a
?7
，
b
?5，
c
?3
，判断
?
ABC的类型。
分析：由余弦定理可知
a
2
?
b
2
?
c
2
?
A
是直角??ABC是直角三角形
a
2
?b
2
?
c
2
?
A
是钝角??ABC是钝角三角 形

a
2
?
b
2
?
c
2
?
A
是锐角??ABC是锐角三角形
（注意：
A
是锐角??ABC是 锐角三角形
）
解：
Q7
2
?5
2
?3
2
，即
a
2
?
b
2
?
c
2
，
∴
?ABC是钝角三角形
。
[随堂练习2]
（1）在
?
ABC中，已知
sin
A
:sin
B
:sin
C
?1:2:3
，判断
?
ABC的类型。
（2）已知
?
ABC满足条件
a
cos
A
?
b
cos
B
，判断
?
ABC的类型。
（答案：（1）
?ABC是钝角三角形
；（2）
?
ABC是等腰或直角三角形）
例3．在
?
AB C中，
A
?60
0
，
b
?1
，面积为
3< br>a
?
b
?
c
，求的值
2
sin
A
?sin
B
?sin
C
111
分析：可利用三角形面积定理
S
?
ab
sin
C
?
ac
sin
B
?
bc
sin
A
以及正弦定理
222
a
sin
A
?
b
sin
B
?
c
sinC
?
a
?
b
?
c

sin
A
?sin
B
?sin
C
13
解：由
S
?< br>bc
sin
A
?
得
c
?2
，
22
则
a
2
?
b
2
?
c
2
? 2
bc
cos
A
=3，即
a
?3
，
从而
a
?
b
?
c
a
??2
sin
A
?sin
B
?sin
C
sin
AⅢ.课堂练习
（1）在
?
ABC中，若
a
?55
，< br>b
?16
，且此三角形的面积
S
?2203
，求角C
（2）在
?
ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积
S
?（答案：（1）
60
0
或
120
0
；（2）
4 5
0
）
Ⅳ.课时小结
a
2
?
b
2?
c
2
4
，求角C

（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
（2）三角形各种类型的判定方法；
（3）三角形面积定理的应用。

Ⅴ.课后作业
（1）在
?
ABC中，已知
b
?4
，
c
?10
，
B
?30
0
，试判断此三角形的解的 情况。
（2）设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围。
（3） 在
?
ABC中，
A
?60
0
，
a
?1，
b
?
c
?2
，判断
?
ABC的形状。 （4）三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程
5
x
2< br>?7
x
?6?0
的根，
求这个三角形的面积。

第4课时
课题:
§2.2解三角形应用举例

●教学目标
知识与技能：能 够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，
了解常用的测量相关术语
过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结
合学 生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”
的教学过程，根 据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过
多媒体、图形观察等直观演示 ，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例2这样
的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思 路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正
情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会 数学的应用价值；同时培养学生运用
图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力
●教学重点
实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解
●教学难点
根据题意建立数学模型，画出示意图
●教学过程
Ⅰ.课题导入
1、[复习旧知]
复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？
2、[设置情境]
请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥
不可及 的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出
了两者的距离，是什 么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度
等，存在着许多可供选择的测量方 案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借
助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际 测量问题的真实背景下，某些方法会不能实
施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量 ，所以，有些方法会有局限性。
于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正 弦定理、余弦定理
在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。
Ⅱ.讲授新课
（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题
里的条件和所求 转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解
[例题讲解]
(2)例1 、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同
侧，在所在的河岸边选定一 点C，测出AC的距离是55m，
?
BAC=
51?
，
?
A CB=
75?
。求A、B
两点的距离(精确到0.1m)

启发提问1：
?
ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？
启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。
分析：这是一道关于测量从 一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题
，
题目条
件告诉了边AB的对角 ，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算
出AC的对角，应用正弦定理算出 AB边。
解：根据正弦定理，得
AB

=

AC

sin?ACB
sin?ABC
AB =
ACsin?ACB

sin?ABC

=
55sin?ACB

sin?ABC
=
55sin75?

sin(180??51??75?)

=
55sin75?

sin54?
≈ 65.7(m)
答:A、B两点间的距离为65.7米
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30
?
，
灯塔B在观察站C南偏东60
?
，则A、B之间的距离为多少？
老师指导学生画图，建立数学模型。
解略：
2
a km
例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。
分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造
三角形，所 以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可
求出另两边的方法，分别 求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。

解：测量者可以在河岸边选定两 点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得
?
BCA=
?
，
?
ACD=
?
，
?
CDB=
?
，
?
BDA =
?
，在
?
ADC和
?
BDC中，应用正弦定理得