高一数学必修5第一章单元测试题及答案

高一数学第一章单元测试题
（时间100分钟，满分100分）
一、选择题：（每小题4分，共计40分）
1. 在△ABC中，a＝10，B=60°,C=45°,则c等于 （ ）
A．
10?3
B．
103?1
C．
3?1

??
D．
103

2. 在△ABC中，b=
3
，c=3，B=30
0
，则a等于（ ）
A．
3
B．12
3
C．
3
或2
3
D．2
3. 不解三角形，下列判断中正确的是（ ）
A．a=7，b=14，A=30
0
有两解 B．a=30，b=25，A=150
0
有一解
C．a=6，b=9，A=45
0
有两解 D．a=9，c=10，B=60
0
无解
4. 已知△ABC的周长为9，且
sinA:sinB:sinC?3:2:4
，则cosC的值为
（ ）
1122
A．
?
B． C．
?
D．
43
43
a?b?c
5. 在△
ABC
中，
A＝60°，
b
＝1，其面积为
3
，则等于( )
sinA?sinB?sinC
2398339
A．3
3
B． C． D．
332
6. 在△
ABC
中，
AB
＝5，
BC
＝7，
AC
＝8，则
AB?BC
的值为( )
A．79 B．69 C．5 D．-5
C
7.关于
x
的方程
x
2
?x?cosA?cosB?cos
2
?0
有一个根为1，则△ABC一定是
2
（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
8. 7、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的范围是（ ）
A．
?
8,10
?
B．
?
8,10
?
C．
8,10

??
D．
10,8

??
9.在△ABC中，
t anA?sin
2
B?tanB?sin
2
A
，那么△ABC一定是 （ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形
10. 已知△ABC的三边长
a?3,b?5,c?6
，则△ABC的面积为 （ ）
A．
14
B．
214
C．
15
D．
215

二、填空题（每小题4分，满分16分）
11.在△ABC 中，有等式：①asinA=bsinB；②asinB=bsinA；③acosB=bcosA；④
ab?c
. 其中恒成立的等式序号为______________
?
sinAsinB?sinC

12. 在等腰三角形 ABC中，已知sinA∶sinB=1∶2，底边BC=10，则△ABC的周长
是 。
13. 在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,则此三角形的最大内角 的度数
等于________.
a
2
?b
2
?c
2
14. 已知△
ABC
的三边分别是
a
、
b
、
c
，且面积
S?< br>，则角
C=____________
．
4
三、解答题（48分）

15. 在△ABC中，已知a-b=4,a+c=2b，且最大角为120°，求△ABC的三边长.














cos2Acos2B11
???
16. 在△ABC中，证明：。
a
2
b
2
a
2
b
2

17.已知△
ABC
的内角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
,其中
c?2
，
又向量
m
?(1,cosC)
，

n
?(cosC,1)
，
m?n
=1
（1）若
A?45?
，
求
a
的值；
（2）
若
a?b?4
，
求△
ABC
的面积













18. 在△ABC中，若
sinA?sinB?sinC< br>?
cosA?cosB
?
.
(1)判断△ABC的形状；
(2)在上述△ABC中，若角C的对边
c?1
，求该三角形内切圆半径的取值范围。

19. 如图1，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方
向，距 A有9海里并以20海里时的速度沿南偏西15°方向
航行，若甲船以28海里时的速度航行，应沿什么 方向，用
多少小时能尽快追上乙船？














北
A
45
°

B
15
°

C
图1
7
20.在△ABC中，已知角A、B、C所对的边分别是a、b、c，边c= ，且tanA+tanB=3
2
tanA·tanB－3 ，又△ABC的面积为S
△ABC
=

















33
，求a+b的值。
2

高一数学必修5解三角形单元测试题参考答案

一、选择题
题号
1


2
C
3
B
4
A
5
B
6
D
7
B
8
B
9
B
10
B
11
D
12
D
答案
B
二、填空题

00
13. ②④ 14.50, 15.120, 16. 45
三、解答题

17.解：（1）∵
m n

?cosC?cosC?2cosC?1

1
cosC?
2
∴
0??C?180?
∴
C?60?
……………………………2分
a2
?
由正弦定理得，
sin45?sin60?
， …………………………………4分
a?
22
3
?
26
3
， …………………………………………………6分 ∴
22
（2）∵
c?2
，
?C?60?
，
?a?b?2abcos60??4
，
22
∴
a?b?ab?4
， ………………………………………………8分
22
a?b?4
a?b?2ab?16
，∴
ab?4
， ……………………10分 又∵，∴
∴

S
?ABC
?
1
absinC?3
2
． ………………………………………………12分


18. 解答：a=14,b=10,c=6

?
si n
2
Asin
2
B
?
cos2Acos2B1?2sin< br>2
A1?2sin
2
B11
????
2
?
2
?2
?
19. 证明：
?
a
2
?
b
2
?
?
a
2
b
2
a
2
b
2
ab
??
sin
2
Asin
2
B
?
由正弦定理得：
a
2
b
2

?

cos2Acos2B11
???

a
2
b
2
a
2
b
2
20. 解： （1）由
sinA?sinB?sinC
?
cosA?cosB
?

C
?1

?cosC?0
即C＝90°
2

?
△ABC是以C为直角顶点得直角三角形
1
（2）内切圆半径
r?
?
a?b?c
?

2
1

?
?
sinA?sinB?1
?

2
可得
2sin
2

?
2
?
?
?
12?1

sin
?
A?
?
??
24
?
22
?
?
2? 1
?
??

?
内切圆半径的取值范围是< br>?
0,
2
?
??
21. 解析：设用t h，甲船能追上乙船，且在C处相遇。
在△ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，设∠ABC=α，∠BAC=β。
∴α=180°－45°－15°=120°。根据余弦定理 ，
AC
2
?AB
2
?BC
2
?2AB?BCcos
?

1< br>22
（4t－3）（32t+9）=0，
?
28t
?
?81?
?
20t
?
?2?9?20t?(?)
，
128t
2
?60t?27?0
，
2
3933
解得t=，t=（舍）∴AC= 28×=21 n mile，BC=20×=15 n mile。
444
32
3
15?
BCsin
?
2
?
53
，又∵α=120° ，∴β为锐
?
根据正弦定理，得
sin
?
?
AC2 114
?
535372253
角，β=arcsin，又＜＜，∴arcsin＜，∴ 甲船沿南偏东
4
14141414
2
?
3
53
－a rcsin的方向用h可以追上乙船。
44
14

22. 解答：由tanA+tanB=3 tanA·tanB－3 可得
tanA?tanB
＝－3 ，即tan(A+B)=－3
1?tanA?tanB
∴tan(π－C)= －3 , ∴－tanC=－3 , ∴tanC=3 ∵C∈(0, π), ∴C=
又△ABC的面积为S
△ABC
=
?

3
331331333
，∴ absinC= 即 ab× = , ∴ab=6
222222
7
?
又由余弦定理可得c
2
=a
2< br>+b
2
－2abcosC ∴( )
2
= a
2
+b
2
－2abcos
2
3
7
222
11
22
121
∴( )= a+b－ab=(a+b)－3ab ∴(a+b)= , ∵a+b>0, ∴a+b=
242