高中数学必修五第一章《解三角形》知识点

高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳
1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；
2、三角形三边关系：a+b>c; a-b3、三角形中的基本关系：
si n(A?B)?sinC,cos(A?B)??cosC,tan(A?B)??tanC,

A?BCA?BCA?BC
?cos,cos?sin,tan?cot

2 22222
4、正弦定理：在
???C
中，
a
、
b
、
c
分别为角
?
、
?
、
C
的对边，
R
为
???C
的外接圆的半径，
abc
则有
???2R< br>．
sin?sin?sinC

sin
5、正弦定理的变形公式：
①化角为边：
a?2Rsin?
，
b?2Rsin?
，
c?2RsinC
；
abc
，
sin??
，
sinC?
；
2R2R2R
③
a:b:c?sin?:sin?:sinC
；
a?b?cabc
④．
???
sin??sin??sinCsin?si n?sinC
②化边为角：
sin??
6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角 和任意一边，求其他的两边及一角.
②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其
中一边所对的角的题型要注意解的情况 （一解、两解、三解）
7、三角形面积公式：
111abcr(a?b?c)
==< br>S
???C
?bcsin??absinC?acsin?
．=2R
2
sinAsinBsinC=
2224R2
p(p?a)(p?b)(p?c)

8、余弦定理：在
???C
中，有
a?b?c?2bccos?
，
b?a?c?2accos?
，
222222
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
．
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?b
2
?c
2a
2
?c
2
?b
2
9、余弦定理的推论：
co s??
，
cos??
，
cosC?
．
2bc2ab
2ac
10、余弦定理主要解决的问题：
①已知两边和夹角，求其余的量。
②已知三边求角）
11、如何判断三角形的形状 ：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式
或角的形式。设
a、
b
、
c
是
???C
的角
?
、
?
、
C
的对边，则：
①若
a?b?c
，则
C?90
；
222

< br>②若
a
2
?b
2
?c
2
，则
C?9 0
；
③若
a
2
?b
2
?c
2
， 则
C?90
．
12、三角形的五心：
垂心——三角形的三边上的高相交于一点
重心——三角形三条中线的相交于一点
外心——三角形三边垂直平分线相交于一点
内心——三角形三内角的平分线相交于一点
旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点


第一章 解三角形单元测试
一 选择题：
1.已知△ABC中，
A?30
，C?105
，
b?8
，则等于 （ ）
A
4
B
42
C
43
D
45

2. △ABC中，< br>B?45
，
C?60
，
c?1
，则最短边的边长等于 （ ）
66
1
3
A
3
B
2
C
2
D
2

3.长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( )
A 90° B 120° C 135° D 150°
a
?
b
?
c
4. △ABC中，
cosAcosBcosC
，则△ABC一定是 （ ）
A 直角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形
5. △ABC中，
B?60
，
b
2
?ac
，则△ABC一定是 （ ）
A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形
6.△ABC中，∠A=60°, a=6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( )
A 有 一个解 B 有两个解 C 无解 D 不能确定
7. △ABC中，
b?8
，
c?83
，
S
ABC
?163
，则
?A
等于 （ ）
A
30
B
60
C
30
或
150
D
60
或
120

a?b?c
8.△ABC中，若
A ?60
，
a?3
，则
sinA?sinB?sinC
等于 （ ）
1
3
A 2 B
2
C
3
D
2

9. △ABC中，
A:B?1:2
，
C
的平分线
CD
把三角形面积分成
3:2
两部分，则
cosA?
（
A
1
3
B
13
2
C
4
D
0

10.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 （
A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 由增加的长度决定

）





）

11 在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ ）
400
米
3
4003
米 C. 200
3
米
3
米
12 海上有A、B两个小岛相距10海里，从A 岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和
A岛成75°的视角，则B、C间的距离是 ( )
A.10 海里 B.5海里 C. 5
6
海里 D.5
3
海里
二、填空题： < br>13.在△ABC中，如果
sinA:sinB:sinC?2:3:4
，那么
cosC
等于 。
14.在△ABC中，已知
b?503
，
c?150
，
B?30
，则边长
a?
。
15.在钝角△ABC中，已知
a?1
，
b?2
，则最大边c
的取值范围是 。
16.三角形的一边长为14，这条边所对的角 为
60
，另两边之比为8：5，则这个三角形的
面积为 。


三、解答题：
cosAb4
??
17（本题10分）在△ABC中，已知边c=10, 又知
cosBa3
，求边a、b 的长。

18（本题12分）在△ABC 中，已知
2a?b?c
，
sinA?sinBsinC
，试判断△ABC的形 状。

2
19（本题12分）在锐角三角形中，边a、b是方程x－23 x+2=0的两根，角A、B满足：
2sin(A+B)－3 =0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积。

20（本题12分）在奥运会垒球比 赛前，C国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游
击手的直线成15°的方向把球击出，根据经 验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑
速的4倍，问按这样的布置，游击手能不能接着球？ （如图所示）











2
第一章 解三角形单元测试参考答案
一、选择题
BABDD CCACA C
二、填空题（
4?4
）
13
?
1
14、
1003
或
503
15、
5?c?3
16、
403

4
三、解答题

15、（本题8分）
cosAb
sinB
b
cosAsinB

?
,可得 ，变形为sinAcosA=sinBcosB
?
，
?
sinA
cosBacosBsinA
a
?
∴sin2A=sin2 B, 又∵a≠b, ∴2A=π－2B, ∴A+B=
. ∴△ABC为直角三角形.
2
b4
222
由a
+b=10
和
?
，解得a=6, b=8。
a3
解：由
16、（本题8分）
解：由正弦定理
abcab
，
sinB?
，
???2R< br>得：
sinA?
sinAsinBsinC2R2R
sinC?
c。
2R
2
sinA?sinBsinC
可得：
(
a< br>)
2
?
b
?
c
，即：
a
2
?bc
。 所以由
2R2R2R
2
222
又已知
2a?b? c
，所以
4a?(b?c)
，所以
4bc?(b?c)
，即
(b?c)?0
，
因而
b?c
。故由
2a?b?c
得：< br>2a?b?b?2b
，
a?b
。所以
a?b?c
，△ABC
为等边三角形。
17、（本题9分）
解：由2sin(A+B)－3 =0，得sin(A+B)=
3
, ∵△ABC为锐角三角形
2
2
∴A+B=120°, C=60°, 又∵a、b是方程x－23 x+2=0的两根，∴a+b=23 ,
133
1
∴c=6 ,
S
ABC
?absinC
= ×2× = 。
222
2
a·b=2, ∴c=a+b－2a·bcosC=(a+b)－3ab=12－6=6,
1
133
∴c=6 ,
S
ABC
?absinC
= ×2× = 。
222
2


18、（本题9分）
解： 设游击手能接着 球，接球点为B，而游击手从点A跑出，本垒为O点（如图所示）.设从
击出球到接着球的时间为t，球 速为v，则∠AOB＝15°，OB＝vt，
AB?
在△AOB中，由正弦定理，得
2 222
v
?t
。
4
OBAB
?
sin?OABsin15
，
OBvt6? 2
sin15???6?2
而
ABvt44
(6?2)
2
? 8?43?8?4?1.74?1
，即sin∠OAB>1,∴这样的∠OAB不存在，因此，游击手不
sin?OAB?
能接着球.