博士当高中数学家教-高中数学涂色问题 难题

高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳
1、三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°—(A+B);
2、三角形三边关系:a+b>c; a-b
si
n(A?B)?sinC,cos(A?B)??cosC,tan(A?B)??tanC,
A?BCA?BCA?BC
?cos,cos?sin,tan?cot
2
22222
4、正弦定理:在
???C
中,
a
、
b
、
c
分别为角
?
、
?
、
C
的对边,
R
为
???C
的外接圆的半径,
abc
则有
???2R<
br>.
sin?sin?sinC
sin
5、正弦定理的变形公式:
①化角为边:
a?2Rsin?
,
b?2Rsin?
,
c?2RsinC
;
abc
,
sin??
,
sinC?
;
2R2R2R
③
a:b:c?sin?:sin?:sinC
;
a?b?cabc
④.
???
sin??sin??sinCsin?si
n?sinC
②化边为角:
sin??
6、两类正弦定理解三角形的问题:①已知两角
和任意一边,求其他的两边及一角.
②已知两角和其中一边的对角,求其他边角.(对于已知两边和其
中一边所对的角的题型要注意解的情况
(一解、两解、三解)
7、三角形面积公式:
111abcr(a?b?c)
==<
br>S
???C
?bcsin??absinC?acsin?
.=2R
2
sinAsinBsinC=
2224R2
p(p?a)(p?b)(p?c)
8、余弦定理:在
???C
中,有
a?b?c?2bccos?
,
b?a?c?2accos?
,
222222
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
.
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?b
2
?c
2a
2
?c
2
?b
2
9、余弦定理的推论:
co
s??
,
cos??
,
cosC?
.
2bc2ab
2ac
10、余弦定理主要解决的问题:
①已知两边和夹角,求其余的量。
②已知三边求角)
11、如何判断三角形的形状
:判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式
或角的形式。设
a、
b
、
c
是
???C
的角
?
、
?
、
C
的对边,则:
①若
a?b?c
,则
C?90
;
222
<
br>②若
a
2
?b
2
?c
2
,则
C?9
0
;
③若
a
2
?b
2
?c
2
,
则
C?90
.
12、三角形的五心:
垂心——三角形的三边上的高相交于一点
重心——三角形三条中线的相交于一点
外心——三角形三边垂直平分线相交于一点
内心——三角形三内角的平分线相交于一点
旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
第一章
解三角形单元测试
一 选择题:
1.已知△ABC中,
A?30
,C?105
,
b?8
,则等于 (
)
A
4
B
42
C
43
D
45
2. △ABC中,<
br>B?45
,
C?60
,
c?1
,则最短边的边长等于
( )
66
1
3
A
3
B
2
C
2
D
2
3.长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为
( )
A 90° B 120° C 135°
D 150°
a
?
b
?
c
4.
△ABC中,
cosAcosBcosC
,则△ABC一定是
( )
A 直角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D
等边三角形
5.
△ABC中,
B?60
,
b
2
?ac
,则△ABC一定是
( )
A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D
等边三角形
6.△ABC中,∠A=60°, a=6 , b=4, 那么满足条件的△ABC
( )
A 有 一个解 B 有两个解 C 无解
D 不能确定
7. △ABC中,
b?8
,
c?83
,
S
ABC
?163
,则
?A
等于 (
)
A
30
B
60
C
30
或
150
D
60
或
120
a?b?c
8.△ABC中,若
A
?60
,
a?3
,则
sinA?sinB?sinC
等于
( )
1
3
A 2 B
2
C
3
D
2
9. △ABC中,
A:B?1:2
,
C
的平分线
CD
把三角形面积分成
3:2
两部分,则
cosA?
(
A
1
3
B
13
2
C
4
D
0
10.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为
(
A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 由增加的长度决定
)
)
11
在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°,则塔高为( )
400
米
3
4003
米 C.
200
3
米
3
米
12 海上有A、B两个小岛相距10海里,从A
岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛和
A岛成75°的视角,则B、C间的距离是 (
)
A.10 海里 B.5海里 C.
5
6
海里 D.5
3
海里
二、填空题: <
br>13.在△ABC中,如果
sinA:sinB:sinC?2:3:4
,那么
cosC
等于 。
14.在△ABC中,已知
b?503
,
c?150
,
B?30
,则边长
a?
。
15.在钝角△ABC中,已知
a?1
,
b?2
,则最大边c
的取值范围是 。
16.三角形的一边长为14,这条边所对的角
为
60
,另两边之比为8:5,则这个三角形的
面积为
。
三、解答题:
cosAb4
??
17(本题10分)在△ABC中,已知边c=10,
又知
cosBa3
,求边a、b 的长。
18(本题12分)在△ABC
中,已知
2a?b?c
,
sinA?sinBsinC
,试判断△ABC的形
状。
2
19(本题12分)在锐角三角形中,边a、b是方程x-23
x+2=0的两根,角A、B满足:
2sin(A+B)-3
=0,求角C的度数,边c的长度及△ABC的面积。
20(本题12分)在奥运会垒球比
赛前,C国教练布置战术时,要求击球手以与连结本垒及游
击手的直线成15°的方向把球击出,根据经
验及测速仪的显示,通常情况下球速为游击手最大跑
速的4倍,问按这样的布置,游击手能不能接着球?
(如图所示)
2
第一章 解三角形单元测试参考答案
一、选择题
BABDD CCACA C
二、填空题(
4?4
)
13
?
1
14、
1003
或
503
15、
5?c?3
16、
403
4
三、解答题
15、(本题8分)
cosAb
sinB
b
cosAsinB
?
,可得 ,变形为sinAcosA=sinBcosB
?
,
?
sinA
cosBacosBsinA
a
?
∴sin2A=sin2
B, 又∵a≠b, ∴2A=π-2B, ∴A+B=
. ∴△ABC为直角三角形.
2
b4
222
由a
+b=10
和
?
,解得a=6,
b=8。
a3
解:由
16、(本题8分)
解:由正弦定理
abcab
,
sinB?
,
???2R<
br>得:
sinA?
sinAsinBsinC2R2R
sinC?
c。
2R
2
sinA?sinBsinC
可得:
(
a<
br>)
2
?
b
?
c
,即:
a
2
?bc
。 所以由
2R2R2R
2
222
又已知
2a?b?
c
,所以
4a?(b?c)
,所以
4bc?(b?c)
,即
(b?c)?0
,
因而
b?c
。故由
2a?b?c
得:<
br>2a?b?b?2b
,
a?b
。所以
a?b?c
,△ABC
为等边三角形。
17、(本题9分)
解:由2sin(A+B)-3
=0,得sin(A+B)=
3
, ∵△ABC为锐角三角形
2
2
∴A+B=120°, C=60°, 又∵a、b是方程x-23
x+2=0的两根,∴a+b=23 ,
133
1
∴c=6 ,
S
ABC
?absinC
= ×2× = 。
222
2
a·b=2,
∴c=a+b-2a·bcosC=(a+b)-3ab=12-6=6,
1
133
∴c=6 ,
S
ABC
?absinC
= ×2× = 。
222
2
18、(本题9分)
解: 设游击手能接着
球,接球点为B,而游击手从点A跑出,本垒为O点(如图所示).设从
击出球到接着球的时间为t,球
速为v,则∠AOB=15°,OB=vt,
AB?
在△AOB中,由正弦定理,得
2
222
v
?t
。
4
OBAB
?
sin?OABsin15
,
OBvt6?
2
sin15???6?2
而
ABvt44
(6?2)
2
?
8?43?8?4?1.74?1
,即sin∠OAB>1,∴这样的∠OAB不存在,因此,游击手不
sin?OAB?
能接着球.
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