高中数学必修五知识点总结及例题

高中数学必修5知识点
1、正弦定理：在
???C
中，< br>a
、
b
、
c
分别为角
?
、
?
、
C
的对边，
R
为
???C
的外接圆的半径，
abc
???2R
．
sinAsinBsinC
2、正弦定理的变 形公式：①
a?2Rsin?
，
b?2Rsin?
，
c?2Rsin C
；（边化角）
abc
②
sinA?
，
sinB?
，
sinC?
；（角化边）
2R2R2R
③
a:b:c?sinA:sinB:sinC
；
a?b?cabc
???
④．
sinA?sinB?sinCsinAsi nBsinC
111
3、三角形面积公式：
S
???C
?bcsin A?absinC?acsinB
．
222
则有
4、余弦定理：在
???C
中，有
a?b?c?2bccosA
，
222
b
2
?a
2
?c
2
?2accosB
，
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
．
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?c2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2
5、余弦定理的推论：
cos??
，
cos??
，
cosC?
．
2bc2ab
2ac
6、设
a
、
b
、
c
是
???C
的角
?
、
?
、
C
的对边，
ABC
则：①若
a?b?c
，则
C?90
；（< br>C为直角??
ABC
②若
a?b?c
，则
C?90
； （
C为锐角??
ABC
③若
a?b?c
，则
C?90
．（
C为钝角??
注：在
???C
中，则有
222
222
222
为直角三角形.
）
不一定是锐角三角形.
）
为钝角三角形.
）
（1）
A?B?C?
?
，
sinA?0,sinB?0,sinC?0
（正弦值都大 于0）
（2）
a?b?c,a?c?b,b?c?a.
（两边之和大于第三边）
（3）
A?B?sinA?sinB?a?b
（大角对大边，大边对大角）
7、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．
a
n?1
?a
n
?0

8、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．
a
n?1
?a
n
?0

9、常数列：各项相等的数列．a
n
?a
1
,S
n
?na
1
.

10、数列的通项公式：表示数列
?
a
n
?
的第
n
项与序号
n
之间的关系的公式．
11、数列的递推公式：表示任一项< br>a
n
与它的前一项
a
n?1
（或前几项）间的关系的公式．
12、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列， 这个常数称为
等差数列的公差．
a
n
?a
n?1
?d(a< br>n?1
?a
n
?d)

13、由三个数
a
，
?
，
b
组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则
?
称 为
a
与
b
的等差中项．若
b?
称
b
为a
与
c
的等差中项．

a?c
，则
2

14、若等差数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
，公差是
d
，则
（可看做自变量是n的一次函数）
a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d?dn?(a
1
?d)?An?B
．
15、通项公式的变形：①
a
n
?a
m
?
?
n? m
?
d
；②
d?
a
n
?a
m
a? a
1
；③
d?
n
.（已知任意两项求公差）
n?mn?1
16、
?
a
n
?
是等差数列，若
m?n?p?q< br>（
m
、
n
、
p
、
q??
*
），则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；
*
若
m?n?2p
（
m
、
n
、
p
??
），则
a
m
?a
n
?2a
p．
17、等差数列的前
n
项和的公式：①
S
n
?n
?
a
1
?a
n
?
；
2
②
S
n
?na
1
?
n
?
n?1
?< br>dd
d?n
2
?(a
1
?)n?An
2
?B n
．（可看做自变量是n的二次函数）
222
18、等差数列的前
n
项和的性质：
*
①若项数为
2n
?
n??
?
，则
S
2n
?n
?
a
n
?a
n?1
?
，且
S
偶
? S
奇
?nd
，
S
奇
a
?
n
．
S
偶
a
n?1
S
奇
n

?
S
偶
n?1
*
②若项数为
2n?1n??
，则
S
2n?1
?
?
2n?1
?
a
n
，且
S
奇
?S
偶
?a
n
，
??
（其中
S
奇
?na
n
，
S
偶
?
?
n? 1
?
a
n
）．
③若等差数列
?
a
n?
的前
n
项和为
S
n
，则数列
S
k< br>，
S
2k
?S
k
，
S
3k
?S2k
成等差数列.
19、如果一个数列从第
2
项起，每一项与它的前一 项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为
等比数列的公比．注：等比数列中每一 项都不等于零，其奇数项符号相同，偶数项符号相同。（
a
n
?0,q?0
）
20、在
a
与
b
中间插入一个数
G
，使
a
，
G
，
b
成等比数列，则
G
称为
a
与
b
的等比中项．若
G?ab
（
G??ab
），
则称
G
为
a
与
b
的等比中项．
21、若等比数 列
?
a
n
?
的首项是
a
1
，公比是
q
，则
a
n
?a
1
q
n?1
2
?
a
1
n
?q?k?q
n
．
q
22、通 项公式的变形：①
a
n
?a
m
q
n?m
；②
q
n?1
?
a
n
a
n?m
；③
q?n
．
a
1
a
m
23、若
?
a
n
?
是等比数列，且
m?n?p?q
（
m
、，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；若
?
a
n
?
是等比数列，且
m?n?2p
q??
*）
n
、
p
、
*
（
m
、
n、
p
??
），则
a
m
?a
n
?a2
p
．
?
na
1
?
q?1
?
(常数列)
?
24、等比数列
?
a
n
?
的前n
项和的公式：
S
n
?
?
a
1
?1?q
n
?
a?aq
．
1n
?
?
q ?1
?
?
1?q1?q
?

*< br>25、等比数列的前
n
项和的性质：①若项数为
2nn??
，则
??
S
偶
S
奇
?q
．
②
S
n ?m
?S
n
?q
n
?S
m
．③
S
k
，
S
2k
?S
k
，
S
3k
?S
2k
成等比数列．
26、一元二次不等式的解法：①二次项系数化为正；②求对应一 元二次方程的根（因式分解，十字相乘或求根公式）；
③若无根或只有一根，则根据图象判断不等式解的 情况；
④若有两个根
x
1
?x
2
，看不等号，大于号取两 根之外，小于号取两根之间.（也可根据图像判断）；⑤解集写成集合或
区间的形式.
27、 分式不等式的解法：①
f(x)f(x)
?0?f(x)g(x)?0
；②
? 0?f(x)g(x)?0
；
g(x)g(x)
③
?
f(x)g( x)?0
?
f(x)g(x)?0
f(x)f(x)
；④.
?0?
?
?0?
?
g(x)?0g(x)?0
g(x)g(x)
? ?
?
(x?1)(2x?1)?0
x?11
?0?
?
?x? (??,?1](,??)

2x?12
?
2x?1?0
例：
a?b
称为正数
a
、
b
的算术平均数，
ab
称为 正数
a
、
b
的几何平均数．
2
a?b
?ab
． 29、均值不等式定理： 若
a?0
，
b?0
，则
a?b?2ab
，即
2
28、设
a、
b
是两个正数，则
a
2
?b
2
?
a ?b
?
22
30、基本不等式：①
a?b?2ab
?
a,b ?R
?
；②
ab?
??
?
a?0,b?0
?
；③
ab?
2
?
a,b?R
?
；
?
2
?
31、极值定理：设
x
、
y
都为正数，则有
2
s
2
s
2
?
a?b
??
s
?< br>①若
x?y?s
（和为定值），则
xy?
??
=
??
?,当x?y
时，
xy
取得最大值
4
．和定积最大
4
?
2
??
2
?
②若
xy?p
（积为定 值），则
x?y?2xy?2p
，当
x?y
时，
x?y
取得 最小值
2p
．积定和最小
32、三视图：正视图：从前往后；侧视图：从左往右；俯视图：从上往下
画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等.
33、直观图：斜二测画法：斜二测画法的步骤：
①平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；
②平行于y轴的线长度变为原来的一半，平行于x，z轴的线长度不变.
34、用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图
35、空间体的表面积：①棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和；
②圆柱的表面积
S?2
?
rl?2
?
r
；③圆锥的表面积
S?
?< br>rl?
?
r
；
④圆台的表面积
S?
?
rl ?
?
r?
?
Rl?
?
R
；⑤球的表面积
S ?4
?
R
.
36、空间几何体的体积:①柱体的体积:
V?S底
?h
；②锥体的体积：
V?
③台体的体积：
V?（S
上
?


222
22
22
1
S
底
?h
；
3
1
3
S
上
S
下
?S
下
)?h< br>；④球体的体积：
V?
4
3
?
R
.
3

1、在△ABC中，a＝
23
A．30°
，b＝
22
，B＝45°，则A等于（ ）
B．60° C．60°或120° D． 30°或150°
11
,)
，则
a+b
的值是（ ）A.
10
B.
-10
C.
14
D.
-14

23
1
3．
2+1
与
2-1
，两数的等比中项是（ ）A．1 B．
-1
C．
±1
D． < br>2
2．不等式
ax
2
+bx+2>0
的解集是
(-< br>4．若
lg2,lg(2-1),lg(2+3)
成等差数列，则
x
的 值等于（ ）A．1 B．0或32 C．32 D．
log
2
5

5．设
a>1>b>-1
,则下列不等式中恒成立的是 ( )A．
6 .已知
{
a
n
}
是等差数列，且
a
2
?a
5
?a
8
?a
11
?48,
7．设
Sn
是等差数列
{
a
n
}
的前n项和，若
2xx
1111
<
B．
>
C．
a>b
2
D．
a
2
>2b

ab

ab

则
a
6
?a
7
?
（ ）A．12 B．16 C．20 D．24

1
a
5
5
S
=,则
9
=
（ ）A．
1
B．
-1
C．
2
D．
2
a
3
9S
5
2
8．若
-2x+5x-2>0
，则
4x-4x+1+2x-2
等于（ ）A．
4x-5
B．
-3
C．
3
D．
5-4x

9、在△ABC中，周长为7.5cm，且sinA：sinB：sinC＝4：5：6,下列结论：
①
a:b:c=4:5:6
②
a:b:c=2:5:6
③
a=2cm,b=2.5cm,c=3cm
④
A:B:C=4:5:6

其中成立的个数是 ( )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 < br>10．在等比数列
{
a
n
}
中，若
a
2=6
，且
a
5
-2a
4
-a
3
+12 =0
则
a
n
为（ ）
A．
6
B．
6?(?1)
n?2
C．
6?2
n?2
D．6或
6?(?1)
n?2
或
6?2
n?2

11.在△ABC中，若
A: B: C=1:2:3
,则
a:b:c=
.

12．在等比数列
{
a
n
}
中, 若
a
3
=3,a
9
=75,
则
a
10
=________ ___.
14.等差数列
{
a
n
}
中，
a
3
+a
7
-a
10
=8,a
11
-a
4
=4,
则
S
13
=__________.

15 .已知等比数列｛
a
n
｝中，
a
1
＋
a
2
=9，
a
1
a
2
a
3
=27,则｛
a
n
｝的前
n
项和
S
n
= __________.
16．已知，在△ABC中，A=45°，C=30°，c=10cm，求a、b和B.
x< br>2
-8x+20
17．不等式
<0
的解集为
R
,求实 数
m
的取值范围.
2
mx+2(m+1)x+9m+4
22
2
18．已知集合
A
={
x
|
x?a?0
，其中
a>0
}，
B
={
x
|
x-3x-4>0
}，且
A
?
B
=
R
，求实数
a
的取值范围.
19．已知数列
{a
n
}
的前项和
S
（2）求
n
的最值.
n
S
n
?n
2
?48n
.（1）求数列的通项公式；
20．设 数列
{
a
n
}
的前项
n
和为
S
n
，若对于任意的正整数
n
都有
S
n
=2a
n
-3n
.
（1）设
b
n
=a
n
+3
， 求证：数列
{
b
n
}
是等比数列，并求出
{
an
}
的通项公式.
（2） 求数列
?
na
n
?
的前n项和.