新人教版高中数学必修5五全套教案

新人教版高中数学必修5
全套教案

1．1．1正弦定理
●教学目标
知识与技能：通 过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；
会运用正弦定理与三角形内 角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三 角形中，边与其对角的关系，
引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定 理基本应用的实
践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的 运算能力；培养学生合
情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量 积等知识
间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点
正弦定理的探索和证明及其基本应用。
●教学难点
已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
●教学过程
一.课题导入
如图1．1-1，固定
?
ABC的边CB及
?
B，使边AC绕着顶点 C转动。
A
思考：
?
C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边AB的长度随着其对角
?
C的大小的增大而增大。
能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？
C

B
二.讲授新课
[探索研究]
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关
系。 如图，在Rt
?
ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，
a
有
c
?sin
A
b
，
c
b
?sin
B
，又
?
c
s in
C
?1?
c
A
c
,
a
则
sin
A
?
sin
B
?
c< br>sin
C

a
?
b
sin
B
sin
C
从而在直角三角形ABC
思考1：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分 析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
中，
sin
A
?
c
C B
如图1．1-3，（1 ）当
?
ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数
的定义，
a
有CD=
a
sin
B
c
?
b
s in
A
?
,则
sin
A
?
b
sin
B
， C
b
sin
B
?
同理可得
sin
C
a
?
， b a
c
b
sin
C
A c B 从而
sin
A
sin
B
（2）当
?
ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）
思考2：还有其方法吗？
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这问题。
（证法二）：过点A作单位向量
j

?
AC
?
， 由向量的加法可得
AB
?
ACC

B
1

则
j
?
AB
∴
j
?
AB
?
j
?(
AC
?
CB
)

C

0
?
j
?
AC
?
j
?
CB
jABcos
?
90?A
?
?0?jCBcos
?
90?C
0
?

A
j
B
a
∴
csinA?asinC
，即
si nA
?
c
sinC

b
inB
?
c
sCin

a
同理，过点C作
j?BC
，可得
s
从上面的研探过程，可得以下定理
从而
sin
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C

c
a
sin
C
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦 的比相等，即
sin
A
sin
B
[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，
?< br>b
?
即存在正数k使
a
a
?
?
k
s in
A
?
，
b
?
k
sin
B
，< br>c
?
?
k
sin
C
；
c
?
b
c
ab
sin
B
b
sin
B
a
sin
C
等价于
sin
A
（2）
sin
A
sin
B
思考：正弦定理的基本作用是什么？
，
sin
C
，
sin
A
?
c
sin
C

①已知三角 形的任意两角及其一边可以求其他边，如
a
?
b
sin
A
s in
B
；
sin
A
?
a
b
②已知三角形 的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边 和角的过程叫作解三角形。
[例题分析]
例1．在
?ABC
中，已知A?32.0
，
B?81.8
，
a?42.9
cm，解三角形。
解：根据三角形内角和定理，
C?180?(A?B)?180?(32.0?81.8)
?66.2
0
；
asinB
sinA
42.9sin81.8
sin32.0
00
sin
B
。
00
0000
b???80.1(cm)
根据正弦定理， ；
0
c?
asinC
sinA
?
根据正弦定理，
42.9sin66.2
?74.c1m(
0
sin32.0
).

评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
练习：在
?ABC
中，已知下列条件解三角形。
（1）
A?45
，
C?30
，
c?10cm
， （2）
A?60
，
B?45
，
c?20cm

例2． 在
?ABC
中，已知
a?20
cm，
b?28cm，
A?40
，解三角形（角度精确到
1
，边长
精确到1cm ）。
0
0
????
2

解：根据正弦定理，

sinB?
bsinA
a
?
28sin40
20
0
?0.8999.
00
0
0
因为
0
＜
B
＜
180
，所以
B?64
，或
B?1 16.

0
⑴ 当
B?64
0
时，
C?180 ?A(?B)?180?
000
(4?0
0
asinC20sin76
c???30(cm).
0
6?4)76
sinA
sin40
，
asinC
sinA
20sin24
sin40
0
0
⑵ 当
B?116
0
时，
C?180?(A?B)?180?(40?11 6)?24
00000
，
c???13(cm).

应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。
课堂练习
第4页练习第2题。
a
思考题：在
?
ABC中，
sin< br>A
sin
B
三.课时小结（由学生归纳总结）
a
?
b
?
c
sin
C
?
k
(
k
>o)
，这个k与
?
ABC有什么关系？
a
?
b
?c
?
k
?
k
?0
?
（1）定理的表示形式：< br>sin
A
或
a
?
k
sin
A
?b
sin
B
?
c
sin
C
?
sin< br>A
?sin
B
?sin
C
；
，
b
?
k
sin
B
，
c
?
k
sin
C
(
k
?0)

（2）正弦定理的应用范围：
①已知两角和任一边，求其它两边及一角；
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
四.课后作业：P10面1、2题。

1.2解三角形应用举例 第一课时
一、教学目标
1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距 离的实际问题，了解常
用的测量相关术语
2、激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价 值；同时培养学生运用图形、数学符号表
达题意和应用转化思想解决数学问题的能力
二、教学重点、难点
教学重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的
解
教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图
三、教学设想
1、复习旧知
复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？
2、设置情境 < br>请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不
可及的 月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了
两者的距离，是什么 神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，
存在着许多可供选择的测量方案 ，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解
直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测 量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。
如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量， 所以，有些方法会有局限性。于
3

是上面介绍的问题是用以前的方法所不能 解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在
科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。
新课讲授
（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问 题里的
条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解
(2)例 1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在
所在的河岸边选定 一点C，测出AC的距离是55m，
?
BAC=
51?
，
?
ACB=
75?
。求A、B
两点的距离(精确到0.1m)

提问1：
?
ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？
提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。
分析：这是一道关于测量从一个 可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条
件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根 据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角
算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。
AB
AC
解：根据正弦定理，得
ACsin?ACB
sin?ACB
=
sin?ABC

55sin75?
55sin?ACB
55sin75?
AB =
sin?ABC
=
sin?ABC
=
sin(180??51??75?)
=
sin54?
≈ 65.7(m)
答:A、B两点间的距离为65.7米
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东
30，灯塔B在观察站C南偏东60，则A、B之间的距离为多少？
老师指导学生画图，建立数学模型。 解略：
2
??
a km
例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。
分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造
三角 形，所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可
求出另两边的方法 ，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。
4

< br>解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得
?
BCA=
?
，
?
ACD=
?
，
?
CDB=
?
，
?
BDA =
?
，在
?
ADC和
?
BDC中，应用正弦定理得
asin(
?
?
?
)asin(
?
?
?
)
AC =
BC =
sin [180??(
?
?
?
?
?
)]
asin
?
sin[180??(
?
?
?
?
?
)]
=
=
sin(
?
?
?
?
?
)
asin
?
sin(
?
?
?
?
?
)


计算出AC和BC后，再在
?
ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离
AB =
AC
2
?BC
2
?2AC?BCcos
?

分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。
变式训练：若在河岸 选取相距40米的C、D两点，测得
?
BCA=60，
?
ACD=30，?
CDB=45，
?
BDA =60
??
??
略解： 将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20
6

评注：可见，在研究三角形时 ，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些
过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要 的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选
择最佳的计算方式。
学生阅读课本4页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。
课堂练习：课本第14页练习第1、2题
归纳总结
解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图
（2）建模：根据已知条件与求解目标 ，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建
立一个解斜三角形的数学模型
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解
四、课后作业
课本第22页第1、2、3题
思考题：某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处，观察到 点C处有一辆汽车沿公路
?
5

向M站行驶。公路的走向是M站的北 偏东40。开始时，汽车到A的距离为31千米，汽
车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米。问 汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？
?

解：由题设，画出示意图，设汽车前进 20千米后到达B处。在
?
ABC中，AC=31，BC=20，
AB=21，由余弦 定理得
AC
2
?BC
2
?AB
2
23
c osC=
2AC?BC
432
=
31
,
则sinC =1- cosC =
31
123
22
2
,
sinC =
31
,
353
所以 sin
?
MAC = sin（120-C）= sin120cosC - cos120sinC =
在
?
MAC中，由正弦定理得
31
???
62

ACsin?MAC
3
35
?
3
MC =
sin?AMC
=
2
62
=35
从而有MB= MC- BC=15
答：汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站。

作业：《习案》作业三


1.2 解三角形应用举例 第二课时
一、教学目标
1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物 体高度测量
的问题
2、巩固深化解三角形实际问题的一般方法，养成良好的研究、探索习惯。
6

3、进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力
二、教学重点、难点
重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题
难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件
三、教学过程
Ⅰ.课题导入
提问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水 平飞行的飞
机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题
Ⅱ.讲授新课
[范例讲解]
例1、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑 物的最高点，设计一种测量建筑物高
度AB的方法。

分析：求AB长的关键是先求 AE，在
?
ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，
再测出由C点观察A 的仰角，就可以计算出AE的长。
解：选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上。由 在H、G两点用测角仪
器测得A的仰角分别是
?
、
?
，CD = a，测角仪器的高是h，那么，在
?
ACD中，根据正
弦定理可得
asin
?
asin
?
sin
?
AC =
sin(
?
?
?
)
AB = AE + h=AC
sin
?
+ h=
sin(
?
?
?
)
?
+ h
C处 测得A例2、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角
?
=54
处的俯角?
=50
?
40
?
，在塔底
1
?
。已 知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)
师:根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？
若在
?
ABD中求CD，则关键需要求出哪条边呢？
生：需求出BD边。
师：那如何求BD边呢？
生：可首先求出AB边，再根据
?
BAD=
?
求得。
解:在
?
ABC中,
?
BCA=90+
?
,
?
ABC =90-
?
,
??
7

BC
AB
?
?
BAC=
?
-
?
,
?
BAD =
?
.根据正弦定理,
sin(
?
?
?
)
=
sin(90?
?
)

BCsin(90
?
?
?
)
BCcos
?
所以 AB =
sin(
?
?
?
)
=
sin(< br>?
?
?
)
在Rt
?
ABD中,得 BD BCcos
?
sin
?
=ABsin
?
BAD=
sin(
?
?
?
)

27.3cos501
?< br>sin5440
?
??
27.3cos501
?
sin544 0
?
??
将测量数据代入上式,得BD =
CD =BD -BC≈177-27.3=150(m)
答:山的高度约为150米.
sin(5440
?
?501
?
)
??
=
sin439
?
?
≈177 (m)
思考：有没有别的解法呢？ 若在
?
ACD中求CD，可先求出AC。思考如何求出AC？

例3、如图 ,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D
在东偏南15的方向上 ,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25的方向上,仰角为8,
求此山的高度CD.







思考1：欲求出CD，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？ （在
?
BCD中）
思考2：在
?
BCD中，已知BD或BC都可求 出CD,根据条件,易计算出哪条边的长？ （ BC
边）
解:在
?
ABC中,
BC
sinA
AB
???< br>?
A=15,
?
C= 25-15=10,根据正弦定理,
ABsinA
????
=
sinC
, BC =
sinC
≈ 7.4524(km) CD=BC
?
tan
?< br>DBC≈BC
?
tan8≈
?
1047(m)
答:山的高度约为1047米
Ⅲ.课堂练习：课本第17页练习第1、2、3题
Ⅳ.课时小结
利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从 所给的背景
资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。
8

Ⅴ.课后作业
作业：《习案》作业五

1.2解三角形应用举例 第三课时
一、教学目标
1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题
2、通过综 合训练强化学生的相应能力，让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程
中来，逐步让学生自主发 现规律，举一反三。
3、培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并激发学生的探索精神。
二、教学重点、难点
重点：能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系
难点：灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题
三、教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情境]
提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的 一些边和角
求其余边的问题。然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上< br>如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问
题。
Ⅱ.讲授新课
[范例讲解]
例1、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后
从B出发,沿北偏东32的方向航行54.0 n mile后达到海岛C .如果下次航行直接从A出发到
达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0 .1,距离精确到0.01n
mile)







学生看图思考并讲述解题思路
分析：首先根据三角形的内角和定理求出 AC边所对的角
?
ABC，即可用余弦定理算出AC
边，再根据正弦定理算出AC边和 AB边的夹角
?
CAB。
解：在
?
ABC中，
?
ABC=180- 75+ 32=137，根据余弦定理，
AC=
AB
2
?
?
?????
?BC
2
?2AB?BC?cos?ABC
=
67. 5
2
?54.0
2
?2?67.5?54.0?cos137
?
≈113.15
9

BCACBCsin?ABC
54.0sin137
?
根据正弦定理,
sin?CAB
=
sin?ABC
sin
?
CAB =
AC
=
113.15
≈
0.3255,

所以
?
CAB =19.0, 75-
?
??
?
CAB =56.0
?
答:此船应该沿北偏东56.1的方向航行,需要航行113.15n mile
例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为
?
，沿BE方向前进30m，至点C处测< br>得顶端A的仰角为2
?
，再继续前进10
小和建筑物AE的高。
3
m至D点，测得顶端A的仰角为4
?
，求
?
的大

解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在
?
ACD中，
AC=BC=30， AD=DC=10
103
3
，
?
ADC =180-4
?
，
?
30

?
sin2
?
=
sin(180
?
?4
?
)
。 因为 sin4
?
=2sin2
?
cos2
?

3
?
cos2
?
=
2
???
,得 2
?
=30
?

?
=15，
?
在Rt
?
ADE中，AE=ADsin60=15
答：所求角
?
为15，建筑物高度为15m
解法二：（设方程来求解）设DE= x，AE=h
在 Rt
?
ACE中,(10
3
?
+ x) + h=30 在 Rt
?
ADE中,x+h=(10
h
22222
3
)
2
3
两式相减，得x=5
?
3
,h=15
?
在 Rt
?
ACE中,tan2
?
=
103?x
=
3

2
?
=30,
?
=15
?
??
答：所求角
?
为15，建筑物高度为15m
解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8，由题意，得
?
BAC=
?
，
?
CAD=2
?
， AC = BC =30m , AD = CD =10
10
3
m
< /p>

x
4
3
在Rt
?
ACE中，sin2
?
=
30
------ ① 在Rt
?
ADE中，sin4
?
=
10
3
, ---- ②
②
?
① 得 cos2
?
=
?
2
,2
?
=30,
?
=15，AE=ADsin60= 15
???
答：所求角
?
为15，建筑物高度为15m
例3、某 巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的
方向以10海里小时的 速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里小时的速度沿着直线方向
追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追 ？需要多少时间才追赶上该走私船？
??

师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型
分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。
解：如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x, AB=14x,AC=9,
?
ACB=
75?
+
45?
=
120?

?
(14x)
2
= 9+ (10x)
22
-2
?
9
?
10xcos
120?

39
?
化简得32x-30x-27=0，即x=
2
,或x=-
16
(舍 去)
2
所以BC = 10x =15,AB =14x =21,
BCsin1 20
?
15
3
?
53
又因为sin
?
BA C =
?
?
AB
=
21
?
2
=
1 4

BAC =38
?
?
13
?
?
,或
?
BAC =141
13
?
47
?
（钝角不合题意，舍去），
?
38
13
?
+
45?
=83
?
答：巡逻艇应该沿北偏东83
13
?
方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.
评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的
应用 题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解
Ⅲ.课堂练习
课本第16页练习
11

Ⅳ.课时小结
解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：
（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。
（2） 已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，
再逐步在其余的三角 形中求出问题的解。
Ⅴ.课后作业
《习案》作业六

1.2解三角形应用举例 第四课时
一、教学目标
1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形
的面积公式的简单推导和应用
2、本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑， 引导学生证明，同时总结出该公式的特
点，循序渐进地具体运用于相关的题型。另外本节课的证明题体现 了前面所学知识的生动运
用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定 理的特点，
能不拘一格，一题多解。只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进< br>一步突破难点。
3、让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进 一步培养学
生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验
二、教学重点、难点
重点：推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目
难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题
三、教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情境]
师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。在
?
ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h
a
、h
b
、hc
，那么它们如何用已知边和角表
示？
生：h
a
=bsinC=csinB h
b
=csinA=asinC
1
h
c
=asinB=bsinaA
师：根据以前学过的三角形面积公式S=
2
ah,应用以上求出的高的公式如h
a
=bsinC代入，
1
可以 推导出下面的三角形面积公式，S=
2
absinC，大家能推出其它的几个公式吗？
11
生：同理可得，S=
2
bcsinA, S=
2
acsinB
Ⅱ.讲授新课
[范例讲解]
例1、在
?
ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm）
2
12

（1）已知a=14 cm, c=24 cm, B=150;
（2）已知B=60, C=45, b=4 cm;
（3）已知三边的长分别为a=3 cm,b=4 cm, c=6 cm
分析：这是一道 在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，
我们可以应用解三角形面积的 知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求
出三角形的面积。
解：略 例2、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得
到这 个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到
0.1c m）？
思考：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？
本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。
解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，
c
2
?
??
2
?a
2
?b
2
127
2
?68
2
?88
2
cosB=
2ca
=
2?127?68
≈0.7532
1
sinB=
1
1? 0.7532
2
?
0.6578 应用S=
2
acsinB
S ≈
2
?
68
?< br>127
?
0.6578≈2840.38(m)
2
2
答：这个区域的面积是2840.38m。
变式练习1：已知在
?
ABC中，
?
B=30,b=6,c=6
?
3
,求a及
?
ABC的面积S
提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。
答案：a=6,S=9
3
;a=12,S=18
3

例3、在
?
ABC中，求证：
a
2
?b
c
2
2
?
sin
2
A?sin
sin
2
2
B
;
（1）
2
C

（2）
a
+< br>b
+
c
=2（bccosA+cacosB+abcosC）
分析： 这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，用正弦
定理来证明
证明：（1）根据正弦定理，可设
a
b
c
22

sinA
=
sinB
=
sinC
= k 显然 k
?
0，所以
13

a
2
?b< br>c
2
2
?
k
2
sin
2
A?k2
2
sin
2
Bsin
2
A?sin
sin< br>2
2
B
左边=
ksin
2
C
=
C
=右边
（2）根据余弦定理的推论，
b
2
?c
2
?a
2
c
2
?a
2
?b
2
a
2
?b2
?c
2
右边=2(bc
222
2bc
2 2
+ca
22
2ca
22
+ab
2
2ab
22
)
=(b+c- a)+(c+a-b)+(a+b-c) =a+b+c=左边
sinA?sinB
变式练习2：判断满足sinC =
cosA?cosB
条件的三角形形状
提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边” （解略）直角三角形
Ⅲ.课堂练习 课本第18页练习第1、2、3题
Ⅳ.课时小结
利用正弦定 理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简
并考察边或角的关系，从 而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦
定理甚至可以两者混用。
Ⅴ.课后作业
《习案》作业七

2．1数列的概念与简单表示法（一）
一、教学要求：
理解数列及其有关概念；了 解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公
式写出数列的任意一项；对于比较简单的 数列，会根据其前几项的特征写出它的一个通项公
式.
二、教学重点、教学难点：
重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用.
难点：根据一些数列的前几项，抽象、归纳出数列的通项公式.
三、教学过程：
导入新课
“有人说，大自然是懂数学的”“树木的，。。。。。”，
（一）、复习准备：
1. 在必修①课本中，我们在讲利用二分法求方程的近似解时，曾跟大 家说过这样一句话：“一
1
尺之棰，日取其半，万世不竭”，即如果将初始量看成“1”，取其 一半剩“
2
”，再取一半
1111
还剩“
4
”，、、、、、 、，如此下去，即得到1，
2
，
4
，
8
，、、、、、、
2. 生活中的三角形数、正方形数. 阅读教材
提问：这些数有什么规律？与它所表示的图形的序号有什么关系？
（二）、讲授新课：
1. 教学数列及其有关概念：
14

（1）三角形数：1，3，6，10，···
（2）正方形数：1，4，9，16，···
111
1，，，，??
列数： （2）1，2，3，4……的倒数排列成的一
234

（3）-1的1次幂，2次幂，3次幂，……排列成一列数：-1，1，-1，1，-1，。。。。。
（4）无穷多个1排列成的一列数：1，1，1，1，。。。。。。
有什么共同特点？ 1. 都是一列数；2. 都有一定的顺序
① 数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列
的项.
辩析数列的概念：（1）“1，2，3，4，5”与“5，4，3，2，1”是同一个数列吗？
与“1，3，2，4，5”呢？ ----------数列的有序性
（2）数列中的数可以重复吗？
（3）数列与集合有什么区别？
集合讲究：无序性、互异性、确定性，数列讲究：有序性、可重复性、确定性。
② 数列中每 一个数叫数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项（或首项），排在第
二位的数称为这个数列的 第2项、、、、、、排在第
n
位的数称为这个数列的第
n
项.
③ 数列的一般形式可以写成
a
1
,a
2
,a
3
,,a
n
,
，简记为
?
a
n
?
.
④ 数列的分类：(1)按项数分：有穷数列与无穷数列，
(2)按项之间的大小关系：递增数列、递减数列、常数列与摆动数列.
⑤ 数列中的数与它的序号有怎样的关系？
序号可以看作自变量，数列中的数可以看作随着变动的量。把数列看作函数。
即：数列可看作一 个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次
取值对应的一列函数值。反过来，对 于函数
y?f(x)
，如果
f(i)(i?1
、２、３、４）
意义， 可以得到一个数列：
f(1)f(2)f(3)......

如果数列< br>有
?
a
n
?
的第n项与项数之间的关系可以用一个公式来表示 ，那么这个公式就
函数
R或R的子集
数列（特殊的函数）
N
或它的子集
a
n
?f(n)
*
叫做这个数列的通项公式。

定义域
解析式
y?f(x)


图象 点的集合 一些离散的点的集合
2．应用举例
例1、写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
1,?
111
,,?;
234
（2） 2，0，2，0． （1）
练习：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
2
4
6810
(1) 3, 5, 7, 9, 11,……； (2)
3
,
15
,
35
,
63
,
99
, ……；
15

(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……；
(5) 2, －6, 18, －54, 162, …….
1,
234 5
,,,.....
471013
的一个通项公式，并判断它的增减性。 例2. 写出数列
思考：是不是所有的数列都存在通项公式？根据数列的前几项写出的通项公式是唯一的吗？
例3．根据下面数列
a
n
?
n
n?1
（2）
a
n
?(?1)
n
?
a
n
?
的通项公式，写出前五项：
（1）
?n

2
例4．求数列
?
?2n?9n?3
?
中的最大项。 例5．已知数列
?
a
n
?
的通项公式为
a
n< br>?log
2
(n
2
?3)?2
gl
，求
o< br>2
3
是这个数列的第几项？
三. 小结：数列及其基本概念，数列通项公式及其应用.
四、巩固练习：
1. 练习：P31面1、2、题、
2. 作业：《习案》九。

2.1 数列的概念与简单表示法（二）
教学要求：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会 根据数列的递推公式
写出数列的前几项；理解数列的前n项和与
a
n
的关系.
教学重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项.
教学难点：理解递推公式与通项公式的关系.
教学过程：
一、复习：
??
1).以下四个数中,是数列
n(n?1)
中的一项的是 ( A )
A.380 B.39 C.32 D.18
2).设数列为
2,5,22,11,?
则
42
是该数列的 ( C )
A.第9项 B. 第10项 C. 第11项 D. 第12项
n?1
a
n
?(?1)n
1,?2, 3, ?4, 5
3).数列的一个通项公式为．
4）、图2.1-5中的三角形称为希尔宾斯基（Sier pinski）三角形。在下图4个三角形中，着色
三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这 个数列的一个通项公式，并在直角坐标
系中画出它的图象。
二、探究新知
16

（一）、观察以下数列，并写出其通项公式：
(1)1,3,5,7,9,11,?


a
n
?2n?1


(2)0,?2,?4,?6,?8, ?
a
n
??2(n?1)
a
n
?3
n
(3 )3,9,27,81,?

思 考： 除了用通项公式外，还有什么办法可以确定这些数列的每一项？
(1)a< br>1
?1,a
2
?3?1?2?a
1
?2,a
3
?5?a
2
?2,?,a
n
?a
n?1
?2
< br>(2)a
1
?0,a
n
?a
n?1
?2
(3 )a
1
?3,a
n
?3a
n?1


{a
n
}
（二）定义：已知数列的第一项（或前几项），且任一项
a
n< br>与它的前一项
a
n?1
（或前
几项）间的关系可以用一个公式来表示， 这个公式就叫做这个数列的递推公式.
练习: 运用递推公式确定一个数列的通项：
(1)2,5,8,11,?

a
1
?2,a
n
?a
n?1
?3(n?2)
(2)1,1,2,3,5,8,13,21,?
a
1
?1,a
2
?1,a
n
?a
n?1
?a
n?2
(n?3)


a
n
?1?
1
a
n?1
例1:已知数列
项．
1,2,
3
2
,
5
3
,
{ a
n
}
的第一项是1,以后的各项由公式给出,写出这个数列的前五
8
5
． 解:
若记数列
{a
n
}
的前
n
项之和为
S
n
,
则
a
n
?
S
n
?S
n?1
(n?2)
?
?
?
S
1
(n?1)

2
练习: 已知数列
项公式.
例2.已知
{ a
n
}
的前n项和为:
(1)S
n
?2n?n;(2)S< br>n
?n
2
?n?1,
求数列
{a
n
}
的通
a
1
?2,a
n?1
?a
n
?4
, 求
a
n
.
: 可以写出:a
1
?2,a< br>2
??2,a
3
??6,a
4
??10,?,观察可得
解法一:

解法二:
a
n
?2?(n?1)(?4)?2?4(n?1)
--------- 观察法
17

由题设:a
n?1
?a
n
??4,
? a
n
?a
n?1
??4
a
n?1
?a
n?2
??4
a
n?2
?a
n?3
??4

??
a
2
?a
1
??4
相加得:a
n
?a
1
??4(n?1)
?a
n
?2?4(n?1)
----------------累加法
,求
a
n
例3:已知
a
1
?2,a
n?1
?2a
n
.
由a
n?1
?2a
n
,
? a
n
?2a
n?1
,即
a
n
a
n?1
?2
解法一: 解法二: --------迭乘法
a
1
?2,a
2
?2?2?2,
a
3
?2?2
观察可得
2
2
?2,
?
,
:a
n
?2
n
3
nn?1n?2
2
????
??
??2

a
n?1
a
n?2
a
n?3
a
1
三、课堂小结：
n?1n
?a
n
?a
1
?2?2
1.递推公式的概念；
2.递推公式与数列的通项公式的区别是：
(1)通项公式反映的是项与项数之间的关系，而 递推公式反映的是相临两项(或n项)之间的关
系.

a

a

a

a
n?1
(2)对于通项公式,只要将公式中的n依次取
1,2,3,4,?
即可得到相应的项，而递推公式则要
已知首项（或前n项），才可依次求出其他项.
3．用递推公式求通项公式的方法：观察法、累加法、迭乘法.
四、作业
1.阅读教材P30----33面
2. 《习案》作业十

2．2 等差数列(一)
一、教学目标
1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌 握等差数列的通项公式；能在具
体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；
2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出
等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列
通项公式应 用的实践操作并在操作过程中
二、教学重、难点
重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；
难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。
三、教学设想
[创设情景]
上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以
18

后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们先学习一类特殊的数列。
[探索研究]
由学生观察分析并得出答案：
（放投影片） 1、在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到
数列：0，5，____, ____,____,____,……
2、2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被 正式列为比赛项目。该项目共设
置了7个级别。其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48 ，53，58，63。
3、水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库 的杂鱼。如
果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始 放水
算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，15.5，13 ，
10.5，8，5.5
4、我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把 利息加入本金计算下一
期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×寸期）. 例如，按活期
存入10 000元钱，年利率是0.72%。那么按照单利，5年内各年末的本利和分别是：
时间
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
年初本金（元）
10 000
10 000
10 000
10 000
10 000
年末本利和（元）
10 072
10 144
10 216
10 288
10 360
各年末的本利和（单位：元）组成了数列：10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360。
思考：同学们观察一下上面的这四个数列：0，5，10，15，20，…… ①
48，53，58，63 ②
18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③
10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360 ④
看这些数列有什么共同特点呢？引导学生观察相邻两项间的关系，
由学生归纳和概括 出，以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常
数（即：每个都具有相邻两项差为同 一个常数的特点）。
[等差数列的概念]
等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起， 每一项与它的前一项的差等于同一个常数，
那么这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差 数列的公差，公差通常用字母d表示。那么对于以上四组等差数列，它们
的公差依次是5，5，-2.5 ，72。
注意：⑴公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
⑵对于数列{
a
n
},若
a
n
－
a
n?1
=d (d是与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N ，则此数列是
等差数列，d 为公差；
(3)若d=0, 则该数列为常数列．
提问：（1）你能举一些生活中的等差数列的例子吗？
（2）如果在
a
与< br>b
中间插入一个数A，使
a
，A，
b
成等差数列数列，那么A 应满足什么
条件？
由学生回答：因为a，A，b组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：
19

A?
a?b
2
A-a=b-A 所以就有
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等
差中项。
不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它 的前一
项与后一项的等差中项。
如数列：1，3，5，7，9，11，13…中 ，5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。
9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。 < br>看来，
a
2
?a
4
?a
1
?a
5< br>,a
4
?a
6
?a
3
?a
7
a
m
?a
n
?a
p
从而可得在一等差数列中，若m+n =p+q 则
?a
q

[等差数列的通项公式]
提问：对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？
⑴、我们是通过研 究数列
{a
n
}
的第n项与序号n之间的关系去写出数列的通项公式的。下< br>面由同学们根据通项公式的定义，写出这四组等差数列的通项公式。
由学生经过分析写出通项公式：
猜想得到这个数列的通项公式是
a
n
?5n




② 猜想得到这个数列的通项公式是
③ 猜想得到这个数列的通项公式是
④ 猜 想得到这个数列的通项公式是
a
n
?48?5(n?1)
a
n
?18?2.5(n?1)
a
n
?10072?72(n?1)
⑵、那么， 如果任意给了一个等差数列的首项
a
1
和公差d，它的通项公式是什么呢？
引导学生根据等差数列的定义进行归纳：

a
2
?a
1
?d,

（n-1）个等式
a?a
2
?d,

3


…
所以
a
2
?a
1
?d,



a
3
?a
2
?d,
a
3
?a
2< br>?d?(a
1
?d)?d?a?2d,
a
4
?a
3< br>?d,



a
4
?a
3
?d,
a
4
?a
3
?d?(a
1
?2d)?d?a?3d ,
……
20

思考：那么通项公式到底如何表达呢？
得出通项公式：以
a< br>1
为首项，d为公差的等差数列
{a
n
}
的通项公式为：n
a?a
1
?(n?1)d

也就是说，只要我们知道了 等差数列的首项
a
1
和公差d，那么这个等差数列的通项
可以表示出来了。
选讲：除此之外，还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式：
（迭加法）：
所以
{a
n
}
a
n
就
是等差数列， （迭代法）：
{a
n
}
是等差数列，则有
a
n
?a
n?1
?d

a
n
?a
n?1
?d,

?a
n?2
?d?d

a
n?1
?a
n?2
?d,

?a
n?2
?2d


a
n?2
?a
n?3
?d,

?a
n?3
?d?2d
……
?a
n?3
?3d


a
2
?a
1
?d,
……
两边分别相加得
所以
a
n
?a
1
?(n?1)d,

?a
1
?(n?1)d

a
n
?a
1?(n?1)da
n
?a
1
?(n?1)d
所以
[例题分析]
例1、⑴求等差数列8，5，2，…的第20项.
⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？
解：⑴由a
1
=8，d=5-8=-3，n=20，得
a
20
?8?(2 1?1)?(?3)??49

由 ⑵由
a
1
=-5，d=- 9-（-5）=-4，得这个数列的通项公式为
a
n
??5?4(n?1)??4n? 1,
题意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立。
解这个关于n的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项。
例2：（1）在等差数列
{a
n
}
中，已知
a
3
?
a
5< br>?10,a
12
?31
，求首项
a
1
与公差d； < br>5
4
（2）已知数列
{a
n
}
为等差数列
, a
7
??
3
4
，求
a
15
的值.
解：(1)解法一：∵
a
5
?10
，
a
12
?3 1
，则
?
a
1
??2
?
?
d?3

?
a
1
?4d?10
?
a?11d?31

?
1
?
所以，这个等差数列的首项是－2，公差是3．
解法二：∵

a
12
?a
5
?7d?31?10?7d?d?3
,
21

由
10?a
1
?(5?1)?3
得
a
1
??2

所以，这个等差数列的首项是－2，公差是3．
例3：梯子最高一级宽33cm，最低一级宽 为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数
列，计算中间各级的宽度．
解：设?
a
n
?
表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列，
由已知条件，可知：
a
1
=33,
a
12
=110，n=12
∴
a
12
?a
1
?(12?1)d
,即10=33+11
d
解得：
d?7

因此，
a
2
?33?7?40,a3
?40?7?47,a
4
?54,a
5
?61,
< br>a
6
?68,a
7
?75,a
8
?82,a
9
?89,a
10
?96,a
11
?103,

答 ：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82c m，
89cm，96cm，103cm.
例4：三个数成等差数列,它们的和为18,它们的平方和为116,求这三个数.
解：设这三个数为a-d,a,a+d
a?d?a?a?d?18
?
?222
(a?d)?a?(a?d)?116
?
则
解得这三个数依次为4，6，8或8，6，4
[注]（1）设未知数时尽量减少未知数的个数.（2）结果应给出由大到小和由小到大两种情况.
例5：已知四个数成等差数列,它们的和为28,中间两项的积为40,求这四个数.
解：设这个数为a-3d, a-d, a+d,a+3d
?
a?3d?a?d?a ?d?a?3d?28
?
(a?d)(a?d)?40
则
?

?
a?7
?
a?3
??
d?3d?7
解得:
?
或
?

?
这四个数依次为-2,4,10,16或16,10,4,-2.
例6．某市出租 车的计价标准为1.2元km，起步价为10元，即最初的4km（不含4千米）
计费10元。如果某人 乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，
需要支付多少车费？
解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2
元.所 以，我们可以建立一个等差数列
{a
n
}
来计算车费.
令< br>a
1
=11.2，表示4km处的车费，公差d=1.2。那么当出租车行至14km处 时，n=11，此
时需要支付车费
a
11
?11.2?(11?1)?1.2 ?23.2(元)

答：需要支付车费23.2元。
22

[随堂练习] 课本39页“练习”第1、2题；
[课堂小结]
①等差数列定义：即
a
n
?a
n?1
?d
(n≥2) ②等差数列通项公式：
a
n
?
a
1
?(n?1)d(n≥1)
推导出公式：
a
n
?a
m
?(n?m)d

四、作业《习案》作业十一。

2.2等差数列（二）
一、教学目标
1、掌握＂判断数列是否为等差数列＂常用的方法；
2、进一步熟练掌握等差数列的通项公式、性质及应用．
3、进一步熟练掌握等差数列的通项公式、性质及应用．
二、教学重点、难点
重点：等差数列的通项公式、性质及应用．
难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题．
三、教学过程
（一）、复习
1．等差数列的定义．
2．等差数列的通项公式：
a
n
?a
1
?(n?1)d
(
a
n
?
a
m
?(n?m)d
或
a
n
=pn+q (p、q是常数))
3．有几种方法可以计算公差d:
a
n
?a
1
a
n
?a
m
① d=
a
n
－
a
n?1
② d=
n?1
③ d=
n?m

4. {an}是首项a1=1, 公差d=3的等差数列, 若an =2005,则n =( )
A. 667 B. 668 C. 669 D. 670
5. 在3与27之间插入7个数, 使它们成为等差数列,则插入的7个数的第四个数是(
A. 18 B. 9 C. 12 D. 15
二、新课
1．性质：在等差数列{an}中,若m + n=p + q, 则am + an = ap + aq
特别地,若m+n=2p, 则am+an=2ap
例1. 在等差数列{an}中
(1) 若a5=a, a10=b, 求a15;
(2) 若a3+a8=m, 求a5+a6;
(3) 若a5=6, a8=15, 求a14;
(4) 若a1+a2+…+a5=30, a6+a7+…+a10=80,求a11+a12+…+a15.
解: (1) 2a10=a5+a15,即2b=a+a15 , ∴a15=2b﹣a;
(2) ∵5+6=3+8=11,∴a5+a6=a3+a=m
(3) a8=a5+(8﹣3)d, 即15=6+3d, ∴d=3，从而a14=a5+(14-5)d=6+9×3=33
23
)

(4)
?
6?6?11?1, 7?7?12?2,?2a
6
?a
1
?a
11
, 2 a
7
?a
2
?a
12
从而(a
11
?a< br>12
?
?
?a
15
)?(a
1
?a
2
?
?
?a
5
)?2(a
6
?a
7
?
?
?a
10
)
?a
11
?a
12< br>?
?
?a
15
?2(a
6
?a
7
?
?
?a
10
) ?(a
1
?a
2
?
?
?a
5
)?2?80?30?130.

2．判断数列是否为等差数列的常用方法：
（1） 定义法: 证明an-an-1=d (常数)
例2. 已知数列{an}的前n项和为Sn=3n2-2n, 求证数列{an}成等差数列,并求其首项、公差、
通项公式.
解: 当n=1时,a1=S1=3﹣2=1;
当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=3n2﹣2n﹣ [3(n﹣1)2﹣2(n﹣1)]=6n﹣5;
∵n=1时a1满足an=6n﹣5,∴an=6n﹣5
首项a1=1,an﹣an﹣1=6(常数)
∴数列{an}成等差数列且公差为6.
（2）中项法: 利用中项公式, 若2b=a+c,则a, b, c成等差数列.
（3）通项公式法: 等差数列的通项公式是关于n的一次函数.
例3. 已知数列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
?pn?q,
其中p、 q为常数，且p≠0，那么这个数列
一定是等差数列吗？
分析：判定
{a
n
}
是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看
a
n
?a< br>n?1
（n＞1）
是不是一个与n无关的常数。
解：取数列
求差得
{a
n
}
中的任意相邻两项
a
n
与a
n? 1
（n＞1），

a
n
?a
n?1
?(pn?q )?[p{n?1)?q]?pn?q?(pn?p?q]?p
它是一个与n无关的数.
所以
{a
n
}
是等差数列。
课本左边“旁注”：这个等差数列的首项与公差分别是多少？
这个数列的首项
a1
?p?q,公差d?p
。由此我们可以知道对于通项公式是形如
a
n< br>?pn?q
的数列，一定是等差数列，一次项系数p就是这个等差数列的公差，首项是p+q.
如果一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列。
[探究]
引导学生动手画图研究完成以下探究：
⑴在直角坐标系中，画出通项公式 为
a
n
?3n?5
的数列的图象。这个图象有什么特点？
⑵在同一 个直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么？据此说一说等差数列
a
n?pn?q
与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系。
a
n
分析 ：⑴n为正整数，当n取1，2，3，……时，对应的
点知道该图象是均匀分布的一群孤立点；
可以利用通项公式求出。经过描
24

⑵画出函数y=3x-5的图 象一条直线后发现数列的图象（点）在直线上，数列的图象是改一
次函数当x在正整数范围内取值时相应 的点的集合。于是可以得出结论：等差数列
a
n
?pn?q
的图象是一次函数 y=px+q的图象的一个子集，是y=px+q定义在正整数集上对
应的点的集合。
该处还 可以引导学生从等差数列
a
n
?pn?q
中的p的几何意义去探究。
三、课堂小结：
1. 等差数列的性质； 2. 判断数列是否为等差数列常用的方法．
四、课外作业
1.阅读教材第110～114页； 2.教材第39页练习第4、5题．
作业：《习案》作业十二

2.3等差数列的前n项和（一）
一、教学目标
1、等差数列前n项和公式．
2、等差数列前n项和公式及其获取思路；
3、会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题．
二、教学重点：等差数列前n项和公式的理解、推导及应用．
教学难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题．
三、教学过程
（一）、复习引入：
1．等差数列的定义：
a
n
－
a
n?1
=d ，（n≥2，n∈N）
?
2．等差数列的通项公式：
（1）
a
n
?a
1
?(n?1)d
（2 ）
a
n
?
a
m
?(n?m)d
a
n?1< br>d?
（3）
a
n
a
n
=pn+q (p、q是常数)
d?
a
n
3．几种计算公差d的方法：①
A?
a?b
2
d?a
n
?a
1
?a
m
－ ②
n?1
③
n?m

?a,b,
4．等差中项：成等差数列
a?a
n
?a
p
?a
q
5．等差数列的性质： m+n=p+q
?
m
(m, n, p, q ∈N )
6．数列的前 n项和：数列
S
n
?
a
n
?
中，
a
1
?a
2
?a
3
???a
n
称为数列
?
a
n
?
的前n项和，记为
.
“小故事”1、2、3
高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给
大家出道题目: 1+2+…100=?”
过了两分钟,正当大家在：1+ 2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：
“1+2+3+…+100=5050．”
教师问：“你是如何算出答案的？”
25

高斯回答说：“因为1+100=101；
2+99=101；…50+51=101，所以 101×50=5050”
这个故事告诉我们：
（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些 简单的事物中发现
和寻找出某些规律性的东西．
（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和 的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要
介绍的“倒序相加”法．
二、讲解新课：
S
n
?
n(a
1
?a
n
)
2 1．等差数列的前
n
项和公式1：
证明：

①+②：

S
n
?a
1
?a
2
? a
3
?
?
?a
n?1
?a
n
①
②

S
n
?a
n
?a
n?1
?a
n?2
?
?
?a
2
?a
1
2Sn
?(a
1
?a
n
)?(a
2
?a
n ?1
)?(a
3
?a
n?2
)?
?
?(a
n
?a
n
)
a
1
?
a
n
?
a
2
?
a
n?1
?
a
3
?
a< br>n?2
???
∵
∴
2S
n
?n(a
1
?a
n
)
由此得 ：
S
n
?
n(a
1
?a
n
)
2< br>．
2． 等差数列的前
n
项和公式2：
用上述公式要求
S
n
S
n
?na
1
?
n(n?1)d2
．
必须具备三个条件：
n,a
1
,a
n
．
n(n?1)d
2
但
a
n
?a
1
?(n?1)d
S
代入公式1即得：
S
n
?na
1
?

此公式要求
n
必须已知三个条件：
n,a
1
,d

S
n
总之：两个公式都表明要求必须已知
d
2
n
2
n,a
1
,d,a
n
中三个．
公式二又可化成式子：
S
n
??(a
1
?
d
2
)n
，当d≠0 ，是一个常数项为零的二次式．
三、例题讲解
例1、(1)已知等差数列{an}中, a1 =4, S8 =172,求a8和d
(2)等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？
172?
8(4 ?a
8
)
2
?a
8
?39
解：(1)
39?4?(8?1)d?d?5

S
n
(2)设题中的等差数列为

?
a
n
?
，前n项为 则
26
a
1
??10,d?(?6)?(?10)?4,S
n
?54

?10n?
n(n?1)
2
?4?54
由公式可得 . 解之得：
n
1
?9,n
2
??3
（舍去）
∴等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54．
例2、教材P43面的例1
解：
例3．求集合
M?
?
m|m?7n,n?N*且m?100< br>?
的元素个数，并求这些元素的和．
n?
100
7
?14
2
7
解：由
7n?100
得
∴正整数
n
共有14个即
M
中共有14个元素
即：7，14，21，…，98 是
a
1
?7为首项
S
n
?
14?(7?98)
2
?735
a
14
?98
等差 数列．
∴ 答：略．
S
n
例4、等差数列< br>?
a
n
?
的前
n
项和为，若
S
12
?84,S
20
?460
，求
S
28
.
（学生练
?
学生板书
?
教师点评及规范）
练习：⑴在等差 数列
⑵在等差数列
?
a
n
?
中，已知
a
3
?a
99
?200
，求
S
101
.
.
?
a
n
?
中，已知
a
15
?a
1 2
?a
9
?a
6
?20
，求
S
20
例4．已知等差数列{an}前四项和为21,最后四项的和为67,所有项的和为286,求项数n. a
1
?a
2
?a
3
?a
4
?21,< br>?
?
a?a
n?1
?a
n?2
?a
n?3< br>?67,
解：依题意，得
?
n

两式相加得
又
(a
1
?a
n
)?(a
2
?a
n?1< br>)?(a
3
?a
n?2
)?(a
4
?a
n? 3
)?88,
a
1
?a
n
?22

a1
?a
n
?a
2
?a
n?1
?a
3< br>?a
n?2
?a
4
?a
n?3
,
所以
又
S
n
?
n(a
1
?a
n)
2
?286
，所以n=26．
例5．已知一个等差数列{an}前1 0项和为310,前20项的和为1220,由这些条件能确定这个
等差数
列的前n项的和吗？.
思考：（1）等差数列中
S
10
,S
20
?S
10
,S
30
?S
20
，成等差数列吗 ？
.、
S
3m
?S
2m
（2）等差数列前m项和为
S
m
,则
S
m
、
S
2m
?S
m
是等差数列吗？
练习：教材第118页练习第1、3题．
27

三、课堂小结：
S
n
?
n(a
1
?a
n
)
2
1.等差数列的前n项和公式1： ；
n(n?1)d
2
2.等差数列的前n项和公式2：
S
n
?na
1
?
．
四、课外作业：
1.阅读教材第42～44页；
2.《习案》作业十三．
2.3 等差数列的前
n
项和（二） < br>教学要求：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前
n
项和公式；了解等差数列的一些性 质，
并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前
值.
a
n
?
A
2n?1
B
2n?1
项和的公式研究 的最
如果An，Bn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，则
教学重点：熟练掌握等差数列的求和 公式.
教学难点：灵活应用求和公式解决问题.
教学过程：
复习准备：
S
n
?
n(a
1
?a
n
)
2
b
n
．
1、等差数列求和公式：，
S
n
?na
1< br>?
n(n?1)
2
d

2、在等差数列{an}中
(1) 若a5=a, a10=b, 求a15; (2) 若a3+a8=m, 求a5+a6;
(3) 若a5=6, a8=15, 求a14; (4) 若a1+a2+…+a5=30, a6+a7+…+a10=80,求
a11+a12+…+a15.
二、讲授新课：
1、探究：等差数列的前
n
项和公式是一个常数项为零的二次式.
例1、已 知数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
?n?
2
1
2
n
，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差
数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
【结论】数列
?a
n
?
的前
n
项和
S
n
与
a
n
的关系：
?
S
1
(n?1)
?
Sn
a
n
S
n
S
n?1
a
n
?
S
n
?S
n?1
(n?2)
S
1
a
1
由的定义可知，当n=1时，=；当n≥2时，=-，即=.
练习：已知数列
差数列吗？
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
?
1
4
n?
2
2< br>3
n?3
，求该数列的通项公式. 这个数列是等
28

探究：一般地，如果一个数列
?
a
n
?
,
的前n项和为
S
n
?pn
2
?qn?r
，其中p、 q、r为常数，
且
p?0
，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差 分别是多少？
（是，
a
1
?p?q?r
，
d?2p
）.
S
n
?na
1
?
n(n?1)d
2
S
n
?
d
2
n
2
由此，等差数列的前
n
项和公 式可化成式子：
?(a
1
?
d
2
)n
，
当 d≠0，是一个常数项为零的二次式.
2. 教学等差数列前
n
项和的最值问题：
① 例题讲解：
例2、数列
?
a
n
?
是等差数列 ，
a
1
?50,d??0.6
. （1）从第几项开始有
a
n
?0
；（2）求此数
列的前
n
项和的最大值.
结论：等差数列前项和的最值问题有两种方法：
当
当
a
n
a
n
>0，d<0，前n项和有最大值可由
a
n
a
n
≥0，且
≤0，且
a
n?1
a
n?1
≤0，求得n的值；
≥0，求得n的值. <0，d>0，前n项和有最小值可由
（2）由
S
n< br>?
d
2
n
2
?(a
1
?
d
2
)n
利用二次函数配方法求得最值时n的值.
练习：在等差数列{
a
n
S
a
}中,
a
4
＝－15, 公差d＝3, 求数列{
n
}的前n项和
n
的最小值.
5,4
2
7
,3
4
7
,....
例3、已知等差数列的前n项的和为
S
n
，求使得
S
n
最大的序号n的值。
S
n
归纳：（1）当等差数列{an}首项为正数，公差小于零时，它的前n项的和为
可以通过
?
a
n
?o
?
a?0

?
n?1
求得n
有最大值，
（2）当等差数列{an}首项不大于 零，公差大于零时，它的前n项的和为
通过
?
a
n
?o
?
a?0

?
n?1
求得n
S
n
有最小值，可以
三、课堂小结：
求＂等差数列前n项和的最值问题＂常用的方法有：
（1）满足
a
n
?0且a
n?1
?0
的n值；
29

（2）由
S
n
?na
1
?
n(n?1)
2
d?
d
2
n
2
?(a1
?
d
2
)n,
利用二次函数的性质求n的值；
（3）利用等差数列的性质求．
四、课外作业：
作业：《习案》作业十四。
补充题：（依情况而定）
1．(1)已知等差数列{an}的an＝24－3n，则前多少项和最大？
(2)已知等差数列{bn}的通项bn＝2n-17,则前多少项和最小?
a?0
a?0
解：(1)由an＝24－3n知当
n?8
时，
n
，当
n?9
时，
n
，
?
前8项或前7项的
和取最大值. a?0a?0
(2)由bn＝2n－17n知当
n?8
时，
n
， 当
n?9
时，
n
，
?
前8项的和取最小值.
2. 数列{an}是首项为正数a1的等差数列,又S9= S17.问数列的前几项和最大?
解:由S9= S17得9a5=17 a9,
?2a
1
?25d?0,< br>?a
13
?a
14
?0,所以相邻两项之和为
又a
1
?0,?a
13
?0,a
14
?0.
?S
13最大.
0.

S
17
?S
9
?0?a
10
?a
11
???a
17
?0?a
13
?a14
?0
说
明:
a
13
?a
14
?0 也可以这样得出
．
3．首项为正数的等差数列{an},它的前3项之和与前11项之和相等 ,问此数列前多少项之和
最大?
3a
1
?
3?2
2
d?11a
1
?
1
13
11?10
2
?
14
13
d,
解法一:由S3=S11 得:
d??
2
13
a
1
?0?S
n
?na
1
? 解之得
a
1
n??
1
13
a
1(n?7)
2
n(n?1)
n
d??a
1
n
2
?
49
13
a
1

故当n=7时, Sn 最大,即前7项之和最大.
1
?
a
n
?a
1
?( n?1)d?a
1
(15?2n)?0
?
13
?
1
?
a
n?1
?a
1
?nd?a
1
(13?2n)? 0
13
?
解法二:由
13
解得:
2
?n?< br>15
2
，所以n=7,即前7项之和最大.
2
13
d??
解法三:由
又S3=S11,
a
1
?0
知: {an}是递减的等差数列.
30