高中数学概论课-全国高中数学建模优秀论文
高中数学必修五模块检测卷
考试时间:120分钟 满分:150分
一、选择题(共10小题,每小题5分,共50分)
1、在等差数列
?<
br>a
n
?
中,
a
5
=33,
a
45<
br>=153,则201是该数列的第( )项
A.60
B.61 C.62 D.63
2、在100和500之间能被9整除的所有数之和为( )
A.12699
B.13266 C.13833 D.14400
3、等比数列<
br>?
a
n
?
中,
a
2
3
,
a
9
是方程3
x
—11
x
+9=0的两个根,则
a<
br>6
=( )
A.3
B.
11
6
C.?3 D.以上皆非
4、四个不相等的正数
a,b,c,d
成等差数列,则( )
A.
a?da?
2
?bc
B.
d
2
?bc
C.
a?d
2
?bc
D.
a?d
2
?bc
5、在
?ABC
中,已知<
br>A?30?
,
C?45?
,
a?2
,则
?ABC的面积等于( )
A.
2
B.
3?1
C.
22
D.
1
2
(3?1)
6、在
?ABC
中,
a,b,c
分别是
?A,?B,?C
所对应的边,
?C?90?
,
则
a?b
c
的取值范围是(
A.(1,2)
B.
(1,2)
C.
(1,2]
D.
[1,2]
7、不等式
3x?1
2?x
?1
的解集是( )
A.
?
?
3
?
B.
?
?
x|
4<
br>?x?2
?
?
?
?
x|
3
4
?x?
2
?
?
?
C.
?
?
3
?
D.?
x|x?2
?
?
x|x?2或x?
4
?<
br>?
8、关于
x
的方程
ax
2
+2
x
-1=0至少有一个正的实根,则
a
的取值范围是( )
A.
a
≥0 B.-1≤
a
<0
C.
a
>0或-1<
a
<0 D.
a
≥-1
9、若
?
?
x?2,
?
y?2,x?y?2,则目标函数
z?x?2y
的取值范围是 ( )
1
)
A.[2 ,6] B.
[2,5] C. [3,6] D. [3,5]
→→→→
10.在△
ABC中,已知|
AB
|=4,|
AC
|=1,
S
△
ABC
=3 ,则
AB
·
AC
等于( )
A.-2
B.2 C.±2 D.±4
二、填空题(共5小题,每小题5分,共25分)
11
、在坐标平面上,不等式组
?
?
y?x?1
所表示的平面区域的面积为___
_____________________
?
y??3|x|?1
12、数列<
br>?
a
n
?
的前n项的和
S
n
?2n
2
?n?1
,则
a
n
=_________________ <
br>13、已知
x?4,函数y??x?
1
,当x?_______
时,函
数有最_______值是________________
4?x
14、不等式
(x?2)(3?x
2
)?0
的解集是____________________
15、在下列函数中,
1
x
2
?2
①
y?|x?|
;②
y?<
br>;③
y?log
2
x?log
x
2(x?0,且x?1);
2
x
x?1
④
0?x?
?
2
x?
x
,y?tanx?cotx
;⑤
y?3?3
;⑥
y?x?
4
4
?2
;⑦
y?x??2
;⑧
y?log
2x
2
?2
;
x
x
其中最小值为2的函数是
(填入正确命题的序号)
三、解答题(共6小题,共75分)
16、(12分)解关于x的不等式
17、(12
分)在数列
?
a
n
?
中,
a
1
?1
,
a
n?1
?2a
n
?2
n
.
(Ⅰ)设
b
n
?
x?a
?0
(a??1)
(x?1)(x?1)
a
n
.证明:数列
?
b
n<
br>?
是等差数列;
2
n?1
(Ⅱ)求数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
.
2
18、(12分)已知
a
、
b
、
c
分别是
?ABC
的三个内角
A
、
B
、
C
所对的边
【Ⅰ】若
?ABC
面积
S
?ABC
?
3
,c?2,A?60?,
求
a
、
b
的值;
2
【Ⅱ】若
a?ccosB
,且b?csinA
,试判断
?ABC
的形状.
19、(12分)某工厂用7万元钱购买了一台新机器,运
输安装费用2千元,每年投保、动力消耗的费用也为2千
元,每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐
年增加,第一年为2千元,第二年为3千元,第三年为4千元,
依此类推,即每年增加1千元.问这台机
器最佳使用年限是多少年?并求出年平均费用的最小值.
20、(13分)某村计划建造一个室内面积为800
m的矩形蔬菜温室.在温室内,沿左.右两侧与后侧内墙各保留
1
m
宽的通道,沿前
侧内墙保留3
m
宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时?蔬菜的种植面积最大?最大种植面<
br>积是多少?
3
2
21、(14分)某厂使用两种零件
A
、
B
装配两种产品
P
、
Q
,该厂的生产能力是月产
P
产品最多有2500件,月产
Q
产品最多有1200件;而且组装一件
P
产品要4个
A
、2个
B
,组装一件
Q
产品要6个<
br>A
、8个
B
,该厂在某个月能
用的
A
零件最多140
00个;
B
零件最多12000个.已知
P
产品每件利润1000元,
Q
产品每件2000元,欲使月利润
最大,需要组装
P
、
Q
产品各多少件?最大利润多少万元?
4
参考答案
一、选择题
二、填空题
11、
3
2
题号
答案
1 2
B
3
C
4
A
5
B
6
C
7
B
8
D
9
A
10
C
B
?
2n?1
?
12、
a
n
?
?
;
?
4n?3n?2
?
13、5; 大;-6
14、
{x|x??3或3?x?2}
;
15、①②④⑤⑦
三、解答题
16、解:原不等式
?
(x?a)(x?1(x?1)?0
.
分情况讨论:
(i)当
a??1
时,不等式的解集为
{x|x?a
或?1?x?1}
;
(ii)当
?1?a?1
时,不等式的解集为
{x|x??1或a?x?1}
(iii)当
a?1
时,不等式的解集
为
{x|x??1或1?x?a}
;
17、(Ⅰ)
a
n?1?2a
n
?2
n
,
a
n?1
a
n??1
,
b
n?1
?b
n
?1
,
nn?1
22
则
b
n
为等差数列,
b
1
?
1
,
b
n
?n
,
a
n
?n2
n?
1
.
(Ⅱ)
S
n
?1?2
0
?2?2
1
?3?2
2
???(n?1)?2
n?2
?n?2
n?1<
br>
2S
n
?1?2
1
?2?2
2
?3?2<
br>3
?
?
?(n?1)?2
n?1
?n?2
n
两式相减,得
S
n
?n?2
n
?1?2
0
?2
1
?2
2
???2
n?1
?n?2
n
?2
n
?1
.
5
18
、解:【Ⅰ】
?
S
?ABC
?
1
bcsinA?
3
,
?
1
b?2sin60??
3
,得
b?1
22
22
由余弦定理得:
a?b?c?2bccosA?1?2?2?
1?2?cos60??3
22222
所以
a?3
a
2
?c
2
?b
2
?a
2
?b
2<
br>?c
2
,
【Ⅱ】由余弦定理得:
a?c?
2ac
所以
?C?90?
在
Rt?ABC
中,
sinA?
aa
,所以
b?c??a
cc
所以
?ABC
是等腰直角三角形;
19、[解析]设这台机器最佳使用年限是n年,则n年的保养、维修、更换易损零件的总费用为: <
br>n
2
?3n
0.2?0.3?0.4?????0.1(n?1)?,
2
n
2
?3nn
2
?7n
?总费用为:7?0.2
?0.2n??7.2?
,
2020
n
2
?7n
7.2
?
20
?0.35?(
n
?
7.2
),
?n年的年平均费用为:y?
n20n
?
n7.27.2
??2?1.2,<
br>
20n20
n7.2
?即n?12时成立.
?y
min?0.35?1.2?1.55(万元)
20n
等号当且仅当
答:这
台机器最佳使用年限是12年,年平均费用的最小值为1.55万元.
6
20、解:设矩形温室的左侧边长为
a
m,后侧边长为
b
m,则
ab
=800.
蔬菜的种植面积
S?(a?4)(b?2)?ab?4b?2a?8?808?2(a?2b).
所以
S?808?42ab?648(m
2
).
当且仅当a?2b,即a?40(m),b?20(m)时,S
最大值
?648(m
2).
答:当矩形温室的左侧边长为40m,后侧边长为20m时,蔬菜的种植面积最大
,最大种植面积为648m.
2
21、解:设分别生产
P
、
Q<
br>产品
x
件、
y
件,则有
?
4x?6y?14000
?
2x?8y?12000
?
依题意有
?
?
0?x?2500
?
?
0?y?12
00
设利润
z
=1000
x
+2000
y
=10
00(
x
+2
y
)
要使利润最大,只需求
z
的最大值.
y
2x+8y=12000<
br>1200
A(2000,1000)
x
2500
4x+6y=1400
0
作出可行域如图示(阴影部分及边界)
作出直线
l:
1000(
x
+2
y
)=0,即
x
+2
y
=0
由于向上平移平移直线
l
时,
z
的值增大,所以在点A处
z
取得最大值
?
2x?3y?7000
?
x?2000
由<
br>?
解得
?
,即A(2000,1000)
x?4y?6000y?
1000
??
因此,此时最大利润
z
max
=1000(
x
+2
y
)=4000000=400(万元).
答:要使月利润最大,需
要组装
P
、
Q
产品2000件、1000件,此时最大利润为400万元.
7
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