高中数学必修五第三章《不等式》知识点归纳及单元测试题

第三章 不等式 单元测试题
一、选择题
1.已知
a、b、c、 d?R,且a?b?0,?
cd
a
??
b
,
则下列各式恒成 立的是（ ）
A
bc?ad
B
bc?ad
C
ab
c
?
d
D
ab
c
?
d

2.若
a?0,?1?b?0,
则有（ ）
A
a?ab?ab
2
B
a?ab?ab
2
C
ab?a?ab
2
D
ab?ab
2
?a

3.x(x-3)(2-x)(x+1)>0的解集为（ ）
A （-1，1） B
(?1,0)?(2,3)
C
(??,?1)?(2,3)
D
(??,?1)?(0,2)?(3,??)

4.
?
在第二象限 ，
sin
?
?
4?2m
m?5
,cos
?
?
m?3
m?5
，则
m
满足（ ）
A m<-5或m>3 B 35.不等式
（1?x)(1?x)?0
的解集为（ ）
A （-1，1） B
(??,?1)?(1,??)
C
(??,?1)?(?1,1)
D
(?1,1)?(1,??)

6.已知不等式
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的解集是
?
，则（ ）
A
a?0,??0
B
a?0,??0
C
a?0,??0
D
a?0,??0

7.图中阴影部分可用二元一次不等式组表示（ ）
A
?
y??1
y
?
?
2x?y?2?0

2
B
?
y??1
?
x?y?2?0

?
2
-1
?
x?0
O
x
C
?
?
y??2
y=-2
?
?
2x?y?4?0
?
x?0
D
?
?
y??2

?
?
2x?y?4?0
8 .已知在（-1,1）上的奇函数f(x)是增函数，若
f(1?a)?f(1?a
2
)?0
,则a的取值范围是（
A （-1，1） B （0，2） C （0，1） D（1，2）
22
9. 2． “
a?b?0
”是“
ab?
a?b
2
”的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
）

10．不等式
ax
2
?bx?2?0
的解集是(?
11
,)
，则
a?b
的值等于 （ ）
23
A．－14 B．14 C．－10 D．10
二、填空题
11.点
(a,b)
在直线x+2y=3上移动 ，则
2
a
?4
b
的最小值是 .
12.设0f(x)?3x(8?x)
的最大值为 .
1
2
1
3
13.不等式
ax
2
?bx ?2?0
的解集是
{x??x?}
，则a+b= .
14 .若
x?0,y?0且x?y?1,则z?x?y的最大值是
x?ax?(a?1)
x ?3x?4
2
2
.
15.若不等式
?0
的解为-11 6.设
f(x)?ax
2
?bx,且1?f(?1)?2,3?f(1)?4,则f( ?2)
的取值范围是 .
三、解答题（共4题，满分36分）
17.已知集合
A?{x

x?4
x?4
2
?0}
，
B?{x?x?4x?3?0}
，求
A?B,A?B
（8分）
18.求证：
a
2
?b
2
?1?ab?a?b
（8分）

19.解关于x的不等式
ax?(a?1)x?1?0
(10分)
20.某学校办工厂有毁坏的房屋一座，留有一面14m的旧墙，现准备利用这面墙的一段为面墙，建造
平面图形为矩形且面积为126
m
2
2
的厂房（不管墙高），工程的造价是：
（1）修1m旧墙的费用是造1m新墙费用的25%;
(2)拆去1m旧墙用所得的材料来建1m新墙的费用是建1m新墙费用的50%.
问如何利用旧墙才能使建墙的费用最低？（10分）

参考答案
一、选择题 ADBD CCCC AC
二、 填空题
1.2
2
2.4
3
3.-10 4. 1 5. 4 6.[10,14]
三、解答题
1,解：因为 不等式
x?4
x?4
?0
的解集为：-4?4
不等式
?x
2
?4x?3?0
的解集为：
x?1或x?3

所以A
?B?R
A
?B?
(-4,1]
?
[3,4]
2,证明：
?
a
2
+b
2
?2ab

a
2
+1
?2a

b
2
+1
?2b

把以上三个式子相加得：2(a
2
+b
2
+1)
?
2(ab+a+b)
?
a?b?1?ab?a?b

22
3,解：就a的范围进行讨论：
1)当a=0时，原不等式可化为：-x+1
?0
得不等式的解集{
xx?1}

2)当a>0时，原不等式可化为：(x-1)(x-
当a>1时，不等式的解集为：
{x
1
a
1
a
)<0
?x?1}

1
a
}
当0{x1?x?
当a=1时，不等式的解集为:
?

1
a
3,当a<0时，原不等式可化为：(x-1)(x-
4,解：
)>0 解之得：
{xx?1或x?
1
a
}

设保留旧墙x m,即拆去旧墙（14-x）m修新墙，设建1m新墙费用为a元，则修旧墙的费用为
y
1
=2
y
3
=(
252
x
?
ax =
1
4
ax; 拆旧墙建新墙的费用为y
2
=(14-x)
?50
%a=
1
2
a(14-x);建新墙的费用为：
+2x-14 )a.
7
4
252
x
于是，所需的总费用为：y=y
1
+ y
2
+ y
3
=[(
当且仅当
7
4
x?< br>252
x
x?)?7]
a
?
[2
7
4
x?
252
x
?7
]a=35a,
，即x=12时上式的“=”成立；
故保留12 m的旧墙时总费用为最低。

第三章 不等式知识点归纳
一、两实数大小的比较：
a?b?0? a?b
；
a?b?0?a?b
；
a?b?0?a?b
．
二、不等式的性质： ①
a?b?b?a
；②
a?b,b?c?a?c
；③
a?b?a?c?b?c
；
④
a?b,c?0?ac?bc
，
a?b,c?0?ac?bc
；⑤
a?b,c?d?a?c?b?d
； < br>⑥
a?b?0,c?d?0?ac?bd
；⑦
a?b?0?a?b
⑧< br>a?b?0?
n
nn
?
n??,n?1
?
；
a?
n
b
?
n??,n?1
?
．
三、基本不等式定理
1、整式形式：①
a?b?2ab
?
a,b? R
?
；②
ab?
22
2
22
a?b
22
22
?
a,b?R
?
；
?
a,b?R
?

（2a?b)

22
?
a?b
?
③
ab?
??
?
2
?
?
a?0,b?0
?
；④
?
a?b
2
?
a? b
?
?
??
?
2
?
2、根式形式：①
3、 分式形式：
b
a
a?b
2
a
b
ab
（a?0
，
b?0
）②a+b
?
+
?
2（a、b 同号）
1
a
4、倒数形式：a>0
?
a+
2
1< br>a
?
1
b
?
2 ；a<0
?
a+
a?b
2
2
1
a
?
-2
2
四、公式：
?
ab
??
a?b
2

五、极值定理：设
x
、
y
都为正数，则有
⑴若
x ?y?s
（和为定值），则当
x?y
时，积
xy
取得最大值
s
4
2
．
⑵若
xy?p
（积为定值），则当
x? y
时，和
x?y
取得最小值
2
六、解不等式
1、一元一次不等式：
ax>b（a
?
0）的解：当
a>0时，< br>x>
b
a
p
．
；
当
a<0时，
x<
b
a
；

2 、一元二次不等式
：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是
2
的不等式．
3、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：
判别式
??b?4ac

2
??0

??0

??0

二次函数
y?ax?bx?c

2
?
a?0
?
的图象

有两个相异实数根
一元二次方程
ax?bx?c?0

2


x1,2
?
?b?
2a
?
有两个相等实数根

?
a?0
?
的根
?
x
1
?
ax?bx?c?0

2
x1
?x
2
??
b
2a
没有实数根

x
2
?

?
xx?x
1
或x?x
2
?

一元二次不
等式的解集
?
a?0
?

ax?bx?c?0

2
?b?
?
xx??
?

2a
??
R

?
x
?
a?0
?

x
1
?x?x
2
?

?

?

4、解一元二次不等式步骤：一化：化二次项前的系数为整数
二判：判 断对应方程的根，三求：求对应方程的根，四画：画出对应函数的图像，五解集：根据图像
写出不等式的 解集
5、解分式不等式：
f(x)
g(x)
>0
?
f(x)g(x)>0
?
f(x)g(x)?0

?
0
?
?g(x)
?
g(x)?0
f(x)
6、解高次不等式：(x-
a
1
)(x-
a
2
)?（x-
a
n
）>0
7、解含参数的不等式：解形如a
x
2
+bx+c>0的不等式时分类讨论的 标准有：（1）讨论a与0的大小
（2）讨论
?
与0的大小（3）讨论两根的大小
七、一元二次方程根的分布问题：
方法：依据二次函数的图像特征从：开口方向、判别式、对 称轴、函数值三个角度列出不等式组，总
之都是转化为一元二次不等式组求解。

?
f(k)?0
?
?
b
1、
x
1
<x
2
?
?
??k

2a
?
?
?
??0

?
f(k)?0
?
?
b
2、k <
x
1
<
x
2
?
?
??k

?
2a
?
?
??0

3、
x
1
x
2
?
f(k)<0

4、
k
1
<
x
1
<
x
2
<
k
2
?
f（k
1
)?0
?
f (k
2
)?0
?
?
?
?
??0

?
?
k??
b
?k
12
?
2a
?

?
f（k
1
)?0
?
5、
、
x
1
<
k
1
<
k
2
<
x
2

?
f(k)?0
2
?

?
f（k
1
)?0
?
6、
k
1
<
x
1
<k
2
<
x
2
<
k
3
?

?
f(k
2
)?0

?
f(k)?0
3
?

八、线性规划问题
1、定义：
线性约束条件：由
x
，
y
的不等式（或方程） 组成的不等式组，是
x
，
y
的线性约束条件．

目标 函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量
x
，
y
的解析式．
线性目标函数：目标函数为
x
，
y
的一次解析式．
线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．
可行解：满足线性约束条件的解
?
x,y
?
．
可行域：所有可行解组成的集合．
最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解

2、区域判断
在平面直角坐标系中，已知直线
?x??y?C?0
，坐标平 面内的点
?
?
x
0
,y
0
?
．
①若
??0
，
?x
0
??y
0
?C?0
， 则点
?
?
x
0
,y
0
?
在直线
? x??y?C?0
的上方．
②若
??0
，
?x
0
??y
0
?C?0
，则点
?
?
x
0
,y< br>0
?
在直线
?x??y?C?0
的下方．
在平面直角坐标系中，已知直线
?x??y?C?0
．
①若
??0
，则
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
上方的区域；
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
下方的区域．
② 若
??0
，则
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0下方的区域；
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
上方的区 域．

3、解线性规划问题的一般步骤
第一步：在平面直角坐标系中做出可行域
第二步：在可行域内找出最优解所对应的点
第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值