高中数学必修5第一二章综合测试(答案)

高中数学必修5第一二章综合测试
一、选择题：(每小题4分，共计40分)
1．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若c=
2
,b=
6
,B=120，则a等于（ D ）
A．
6
B．2 C．
3
D．
2

o
故
a< br>1
a
8
?a
1
(a
1
?7d)?a
1
?7a
1
d,
a
4
a
5
?(a
1
?3d)(a
1
?4d)?a
1
?7a
1
d?d
2
2
2
；故
a
1
a
8
?a
4
a
5

9、3、已知数列{a
n
}满足a
1
=0， a
n+1
=a
n
+2n，那么a
2003
的值是 （ C ）
A、2003
2
B、2002×2001 C、2003×2002 D、2003×2004
10、已知等差数列{a
n
}中，|a
3
|=|a
9
|，公差d<0，则使前n项和S
n
取最大值的正整数n是
(B)
A、4或5 B、5或6 C、6或7 D、8或9
2．在△ABC中，已知b=2，B=45°，如果用正 弦定理解三角形有两解，则边长a的取
值范围是
A．
2?a?22

（ A ）
B．
2?a?4
C．
2?a?2
D．
2?a?22

二、填空题：(每小题4分，共计20分)
11．已知a+1，a+2，a+3是钝角三角形的三边，则a的取值范围是 （0，2）
3．在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a
2
+c
2
-b
2
)tanB=
3
ac,则角B的值为（D）
A.
?

6
B.
5
?
??
C.或
6
36
D.
2
?
?
或
3< br>3
12．在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为
a
、b、c ,若(
3
b – c)cosA=acosC，则cosA=

3

3
4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ D ）
5
A.
18
13．若AB=2, AC=
2
BC ，则S
△
ABC
的最大值
22

14． 在等比数列{a
n
}中，若a
9
·a
11
=4，则数列｛< br>log
1
a
n
｝前19项之和为___－19 ___
2< br>2
[解析]：由题意a
n
>0,且a
1
·a
19 =a
2
·a
18
=…=a
9
·a
11
=
a
10

7
3
3
B. C. D.
2
8
4
5．已知D、C、B三点在地面同一直线上，DC=a，从C、D两点测得A的点仰角分别
为α、β（α＞β）则A点离地面的高AB等于
A．
（ A ）
又a
9
·a
11
=4 ，故
a
1
a
2
?a
19
=
2
19

故log
1
a
1
?log
1
a
2
+…+log
1
a
19
=log
1
(a
1
a
2
?a
19
)??19
2222
asin
?< br>sin
?
asin
?
sin
?
acos
?< br>cos
?
acos
?
cos
?
B． C． D．
sin(
?
?
?
)cos(
?
?
?
)sin(
?
?
?
)cos(
?
?
?< br>)
6．已知等差数列{a
n
}满足a
2
+a
4
=4, a
3
+a
5
=10，则它的前10项的和S
10
=（ C ）
A．138 B．135 C．95 D．23
1
7．已知{a
n
}是等比数列，a
2
=2, a
5
=，则a
1
a
2
+ a
2
a
3
+…+ a
n
a
n+1
=（ C ）
4
3232
A．16(
1?4
?n
) B．16(
1?2
?n
) C．(
1?4
?n
) D．(
1?2
?n
)
33
8 如果a
1
,a
2
,…, a
8
为各项都大于零的等差数列，公差
d?0
，则 ( B )
15．已知函数f(x)=2
x
,等差数列{a
x
}的公差为
2
.若f(a
2
+a
4
+a
6
+a
8
+a
10
)=4,则
log
2
[f(a1
)f(a
2
)f(a
3
)…f(a
10
)] = －6


三、解答题：(共计40分)
16．(本题1 0分)△ABC中，∠A=45°，AD⊥BC，且AD=3，
CD=2，求三角形的面积S.
解：记
?BAD?
?
,?CAD?
?
,

A
a
1
a
8
?a
4
a
5
B
a
1
a
8
?a
4
a
5
C
a
1
?a
8
?a
4
?a
5
D
a
1
a
8
?a
4
a
5

[解析]：因为
a
1
,a
2
,L,a
8
为各项都大于零的等差数列，公差
d?0

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?tan
?
?

32
,ta n
?
?,
hh
18．(本题10分)一缉私艇发现在方位角45°方向，距离 12海里的海面上有一走私船正

以10海里小时的速度沿方位角为105°方向逃窜，若缉私 艇的速度为14海里小时，缉
私艇沿方位角45°+α的方向追去，若要在最短的时间内追上该走私船， 求追及所需时
间和α角的正弦.（注：方位角是指正北方向按顺时针方向旋转形成的角）.
解 ：设缉私艇与走私船原来的位置分别为A、B，在C处两船相遇，由条件知∠ABC=120°，
AB= 12（海里），
设t小时后追及，
?BC?10t,AC?14t
，由正弦定理得
由正弦定理得
10t14t5311
??sin
?
?,cos
?
?
；
sin
?
sin120?1414
tan
?
?tan
?
?tan45??tan(
?
?
?
)?
1?tan
?
tan
?
5h

?
2
，
?h
2
?5h?6?0?h?6(h??1
不合）
h?6
1

?S??6?5?15
. 2
17、(本题10分)已知数列{a
n
}为等差数列，公差d≠0，其中
a
k
1
，
a
k
2
，…，
a
k< br>n
恰为等比
数列，若k
1
=1，k
2
=5，k
3
=17，求k
1
+k
2
+…+k
n
。
解：设{a
n
}首项为a
1
，公差为d
∵ a
1
，a
5
，a
17
成等比数列
∴ a
5
2
=a
1
a
17

∴（a
1
+4d）=a
1
(a
1
+16d)
∴ a
1
=2d
设等比数列公比为q，则
q?
对
a
k
n
项来说，
在等差数列中：
a
k
n
k?1
?a
1
?( k
n
?1)d?
n
a
1

2
a
5
a
n
?4d
??3

a< br>1
a
1
2
再由余弦定理得
100t
2
?19 6t
2
?144?2?12?14tcos
?

?12t
2
?33t?18?0,?t?2或t?
3
,

4
321
但当
t?时AC??12?AB
，不合，
42
?t?2(小时),sin
?
?
53
.
14
19、(本题10分)在数列
{a
n
}
中，
a
1< br>?1
，
a
2
?2
，且
a
n?1
?( 1?q)a
n
?qa
n?1
（
n?2,q?0
）．
(1)设
b
n
?a
n?1
?a
n
（
n? N
*
），证明
{b
n
}
是等比数列；
(2)求数列
{a
n
}
的通项公式；
(3)若
a
3
是
a
6
与
a
9
的等差中项，求
q
的值，并证明：对任意的
n?N
*
，
a
n
是a
n?3
与
a
n?6
的
等差中项．
本小题主 要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前
n
项和公式，考
查运算能 力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分12分．
（Ⅰ）证明：由题设
a
n? 1
?(1?q)a
n
?qa
n?1
（
n?2
），得
a
n?1
?a
n
?q(a
n
?a
n?1< br>)
，即
b
n
?qb
n?1
，
n?2
．
在等比数列中：
a
k
n
?a
1
q
n? 1
?a
1
3
n?1

∴
k
n
?2?3
n?1
?1

∴
k
1
?k
2
??k
n
?(2?3
0
?1)?(2? 3
1
?1)???(2?3
n?1
?1)?2(1?3???3
n? 1
)?n



?3
n
?n?1

∴
k
n
?2?3
n?1
?1

∴
k
1
?k
2
??k
n
?(2?3
0
?1)?(2? 3
1
?1)???(2?3
n?1
?1)?2(1?3???3
n? 1
)?n



?3
n
?n?1

注：本题把k
1
+k
2
+…+k
n
看成是数列{k
n
}的求和问题，着重分析{k
n
}的通项公式。这
是解决数列问题的一般方法，称为“通项分析法”。
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又
b
1
?a
2
?a
1
?1
，
q?0
，所以
{b
n
}
是首项为1 ，公比为
q
的等比数列．
（Ⅱ）解法：由（Ⅰ）

a
2
?a
1
?1
，

a
3
?a
2
?q
，
……

a
n
?a
n?1
?q
2
，（
n?2
）．
将以上各式相加，得
a
n
?a
1
?1?q?L?q
n?2
（
n?2
）．
?
1?q
n?1
所以当
n?2
时，
a
?
?
1?1?q
,q?1,
n
?

?
?
n,q?1.
上式对
n?1
显然成立．
（Ⅲ ）解：由（Ⅱ），当
q?1
时，显然
a
3
不是
a
6
与
a
9
的等差中项，故
q?1
．
由
a3
?a
6
?a
52
9
?a
3
可得q?q?q
2
?q
8
，由
q?0
得
q
3
?1?1?q
6
， ①
整理得
(q
3
)
2
?q
3
?2?0
，解得
q
3
??2
或
q
3
?1
（舍去）．于是
q??
3
2
．
另一方面，
a
q
n?2
?q
n?1
q
n? 1
n
?a
n?3
?
1?q
?
1?q
(q< br>3
?1)
，
q
n?1
?q
n?5
q
n?1

a
n?6
?a
n
?
1?q
?
1?q
(1? q
6
)
．
由①可得
a
n
?a
n?3?a
n?6
?a
n
，
n?N
*
．
所 以对任意的
n?N
*
，
a
n
是
a
n?3< br>与
a
n?6
的等差中项．
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