人教A版高中数学必修五模块检测

高中数学学习材料
金戈铁骑整理制作


模块检测
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题 ，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的)
1．如果a<0，b>0，那么，下列不等式中正确的是
11
A.<
ab
B.－a

( )．
C．a
2
2
D．|a|>|b|
11
解析 如果a<0，b>0，那么<0，>0，
ab
11
∴<.
ab
答案 A
2．(2012·大连统 考(二))△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数
列，且c＝2a ，则cos B＝
1
A.
4

3
B.
4
2







C.





D.

2

3
( )．
2

4
a< br>2
＋c
2
－b
2
a
2
＋4a
2－a×2a
解析 由题意，得b＝ac，又c＝2a，由余弦定理，得cos B＝＝
2ac
2a×2a
3
＝，故选B.
4
答案 B < br>3．等差数列{a
n
}的公差d<0，且a
2
·a
4
＝12，a
2
＋a
4
＝8，则数列{a
n
}的通项公式是 ( )．
A．a
n
＝2n－2(n∈N
*
)



B．a
n
＝2n＋4(n∈N
*
)
D．a
n
＝－2n＋10(n∈N
*
) C．a
n
＝－2n＋12(n∈N
*
)
???
a< br>4
＝12，
?
a
2
·
?
a
2
＝2，
?
a
2
＝6，
??
解析 由得或
?

?
a
2
＋a
4
＝8.
??
a
4
＝2.
??
a
4
＝6
?

∵d<0，∴取a
2
＝6，a
4
＝2，
1
∴d＝(a
4
－a
2
)＝－2，
2
∴a
n
＝a
2
＋(n－2)d＝6－2(n－2)
＝10－2n.
答案 D
1
4．当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是
x－1
A．(－∞，2]
C．[3，＋∞)










B．[2，＋∞)
D．(－∞，3]
( )．
解析 ∵x>1，∴x＋
2
11
＝(x－1)＋＋1≥
x－1?x－1?
1
?x－1?·＋1＝3.∴a≤3.
x－1
答案 D
5．等差数列{a
n
}满足a
4
2
＋a
7
2
＋2a
4
a
7
＝9，则其前1 0项之和为
A．－9 B．－15 C．15
( )．
D．±15
解析 a
4
2
＋a
7
2
＋2a
4
a
7
＝(a
4
＋a
7
)
2
＝9，
∴a
4
＋a
7
＝±3，∴a
1
＋a
10
＝±3，
10?a
1
＋a
10
?∴S
10
＝＝±15.
2
答案 D
π
3
6．在△ABC中，BC＝2，B＝，当△ABC的面积等于时，sin C＝
32
A.
3

2

1
B.
2
C.
3

3
D.

3

4
( )．
1
π
3
解析 由三角形的面积公式，得S＝AB·BCsin ＝，易求得AB＝1，由余弦定理，得
232
π
1
AC
2
＝AB
2
＋BC
2
－2AB· BC·cos ，得AC＝3，再由三角形的面积公式，得S＝AC·BCsin
32
C＝
31
，即可得出sin C＝，选B.
22
答案 B
7．在△ABC中，若lg sin A－lg cos B－lg sin C＝lg 2，则△ABC是
A．等腰三角形
C．等边三角形








B．直角三角形
D．等腰直角三角形
( )．
解析 ∵lg sin A－lg cos B－lg sin C＝lg 2，

∴lg
sin A
＝lg 2.∴sin A＝2cos Bsin C，∵A＋B＋C＝180°，∴sin(B＋C)＝2cos Bsin C，
cos Bsin C
∴sin(B－C)＝0.
∴B＝C，∴△ABC为等腰三角形．
答案 A
8．对任意a∈[－1,1]，函 数f(x)＝x
2
＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是( )．
A．1C．1









B．x<1或x>3
D．x<1或x>2
2
?
g?1?＝x－3x＋2>0
?
2
?
解析 设 g(a)＝(x－2)a＋(x－4x＋4)，g(a)>0，恒成立??
2
?
?g?－1?＝x－5x＋6>0

?
?
x<1或x>2
?
?x<1或x>3.
?
x<2或x>3
?

答案 B
2x＋y≤40，
?
?
x＋2y≤50，
9．若变量x，y满足
?
x≥0，
?
?
y≥0.
A．90 B．80

则z＝3x＋2y的最大值是 ( )．
C．70 D．40
解析 作出可行域如图所示．
1
由于2x＋y＝40、x＋2y＝50的斜率分别为－2、－，而
2
3
3x＋2y＝0的斜率为－，故线性目标函数的倾斜角大于
2
2x＋y＝40的倾斜角而小于x＋2y＝50的倾斜角，由图
知，3x＋2y＝z经过点A(10,20)时，z有最大值，z的最大
值为70.
答案 C
10．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金 额，预计
五年内还清，则每年应偿还
a?1＋γ?
A.万元
?1＋γ?
5
－1
aγ?1＋γ?
5
C.万元
?1＋γ?
4
－1










( )．
aγ?1＋γ?
5
B.万元
?1＋γ?
5
－1
aγ
D.万元
?1＋γ?
5
解析 设每年偿还x万元，则：x＋x(1＋γ)＋x(1＋γ)
2
＋x(1＋γ)
3
＋x(1＋γ)
4
＝a(1＋γ)
5
，∴x
aγ?1＋γ?
5
＝
?1＋γ?
5
－1

答案 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)．
1
11．在数列{a
n
}中，S
n
是其前n项和，若a
1
＝ 1，a
n
＋
1
＝S
n
(n≥1)，则a
n
＝________.
3
11
解析 a
n
＋
1
＝ S
n
，a
n
＋
2
＝S
n
＋
1，
33
11
∴a
n
＋
2
－a
n＋
1
＝(S
n
＋
1
－S
n
)＝an
＋
1
，
33
4
∴a
n
＋
2
＝a
n
＋
1
(n≥1)．
3
11
∵a
2
＝S
1
＝，
33
1，n＝1，
?
?
∴a
n
＝
?
1
?
4
?
n
－
2

?
?
3
?
，n≥2.
?
3
·
1，n＝1
?
?
答案
?
1
?
4
?
n
－
2

· ，n≥2
?
?
3
?
3
?
a＋b
12．在△ ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若a＝csin A，则的最大值
c
为________．
解析 ∵a＝csin A，∴sin A＝sin C·sin A.
∴sin C＝1.C＝90°.∴A＋B＝90°，
a＋bsin A＋sin B
∴＝＝sin A＋sin B
csin C
＝sin A＋cos A＝2sin(A＋45°)≤2.
答案 2


13.(2011·安徽“三校”联考)2010年11月12日广州亚运会
上举行 升旗仪式．如图，在坡度为15°的观礼台上，某
一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面，在该
列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的
仰角分别为60°和30°，且座位A、 B的距离为106米，
则旗杆的高度为________米．
解析 由题，可知∠BAN＝1 05°，∠BNA＝30°，由正弦定理，得
AN106
＝，解得
sin 45°sin 30°
AN＝203米，在Rt△AMN中，MN＝203sin 60°＝30米．故旗杆的高度为30米．
答案 30
14．已知f(x)＝3
2 x
－k·3
x
＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围为______ __．

解析 由f(x)>0，得3
2x
－k·3
x
＋2>0，
2
解得k<3
x
＋
x
，
3
2
而3
x
＋
x
≥22，
3
∴k<22.
答案 (－∞，22)
三、解答题(本大题共5小题，共 54分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步
骤)
11111
15．( 10分)设S
n
是等差数列{a
n
}的前n项和，已知S
3
，S
4
的等比中项为S
5
；S
3
，S
4
的 等
34534
差中项为1，求数列{a
n
}的通项公式．
n?n－1?
解 设等差数列{a
n
}的首项a
1
＝a，公 差为d，则S
n
＝na＋d，依题意，有
2
?
3a＋
3× 2
d
?
×
1
?
4a＋
4×3
d
?
＝
1
?
5a＋
5×4
d
?
，
?< br>1
3
?
2
?
4
?
2
?
25
?
2
?
?
1
?
3×2
?
1
?
4×3
?
?
3
?
3a＋
2
d
?
＋
4
?
4a＋
2
d
?
＝1×2.
2


3ad＋5d＝0，
?
?
整理得
?

5
2 a＋d＝2.
?
2
?
12
∴a＝1，d＝0或a＝4，d＝－. < br>5
32123212
∴a
n
＝1或a
n
＝－n，经检 验，a
n
＝1和a
n
＝－n均合题意．
5555
3212
∴所求等差数列的通项公式为a
n
＝1或a
n
＝－n.
5 5
16．(10分)在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，若2b＝a＋c，B＝30° ，△ABC
3
的面积为，求b.
2
113
解 ∵S
△
ABC
＝acsin B＝acsin 30°＝，
222
∴ac＝6.∵2b＝a＋c.
由余弦定理，b
2
＝a
2
＋c
2
－2accos B＝(a＋c)
2
－2ac－2ac·cos 30°，
∴b
2
＝4b
2
－12－63，
得b
2
＝4＋23，∴b＝1＋3.
17．(10分)(2012·郑州模 拟)某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年
需要各种费用12万元．从第二年起 包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该
船每年捕捞总收入50万元．
2

(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？
(2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？
解 (1)设该船捕捞n年后的总盈利y万元．则
n?n－1?
y＝50n－98－[12×n＋×4]
2
＝－2n
2
＋40n－98
＝－2(n－10)
2
＋102
∴当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．
(2)年平均利润为
y49
＝－2(n＋－20)
nn
≤－2(2
49
n·－20)＝12，
n
49
当且仅当n＝，即n＝7时上式取等号．
n
所以，当捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元．
18．(12分)已知函 数f(x)＝x
2
－2x－8，g(x)＝2x
2
－4x－16，
(1)求不等式g(x)<0的解集；
(2)若对一切x>2，均有f(x)≥(m＋2)x－m－15成立，求实数m的取值范围．
解 (1)g(x)＝2x
2
－4x－16<0，
∴(2x＋4)(x－4)<0，∴－2∴不等式g(x)<0的解集为{x|－2(2)∵f(x)＝x
2
－2x－8.
当x>2时，f(x)≥(m＋2)x－m－15恒成立，
∴x
2
－2x－8≥(m＋2)x－m－15，
即x
2
－4x＋7≥m(x－1)．
x
2
－4x＋7
∴对一切x>2，均有不等式≥m成立．
x－1< br>x
2
－4x＋7
4
而＝(x－1)＋－2≥2
x－1x－1< br>∴实数m的取值范围是(－∞，2]．
4
?x－1?×－2＝2(当x＝3时等号成立)．
x－1
19．(12分 )已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
，a
1
＝1，an
＋
1
＝2S
n
＋1(n∈N
*
)，等差数< br>列{b
n
}中，b
n
＞0(n∈N
*
)，且b
1
＋b
2
＋b
3
＝15，又a
1
＋b
1
、a
2
＋b
2
、a
3
＋b
3
成等
比数列．
(1)求数列{a
n
}、{b
n
}的通项公式；

(2)求数列{a
n
·b
n
}的前n项和T
n
，
解 (1)∵a
1
＝1，a
n
＋
1
＝2S
n
＋1(n∈N
*
)，
∴a
n
＝2Sn
－
1
＋1(n∈N
*
，n＞1)，
∴a
n
＋
1
－a
n
＝2(S
n
－S
n
－
1
)，
即a
n
＋
1
－a
n
＝2 a
n
，∴a
n
＋
1
＝3a
n
(n∈N*
，n＞1)．
而a
2
＝2a
1
＋1＝3，∴a2
＝3a
1
.
∴数列{a
n
}是以1为首项，3为公比的等比数列，
∴a
n＝3
n
－
1
(n∈N
*
)．
∴a
1
＝1，a
2
＝3，a
3
＝9，
在 等差数列{b
n
}中，∵b
1
＋b
2
＋b
3
＝15，∴b
2
＝5.
又∵a
1
＋b
1
、a< br>2
＋b
2
、a
3
＋b
3
成等比数列，设等差 数列{b
n
}的公差为d，则有(a
1
＋b
1
)(a
3
＋b
3
)＝(a
2
＋b
2
)
2
.
∴(1＋5－d)(9＋5＋d)＝64，解得d＝－10或d＝2，
∵b
n
＞0(n∈N
*
)，∴舍去d＝－10，取d＝2，
∴b
1
＝3，∴b
n
＝2n＋1(n∈N
*
)．
(2)由(1)知T
n
＝3×1＋5×3＋7×3
2
＋…＋(2n－ 1)3
n
－
2
＋(2n＋1)3
n
－
1
， ①
∴3T
n
＝3×3＋5×3
2
＋7×3
3
＋… ＋(2n－1)3
n
－
1
＋(2n＋1)3
n
，②
∴①－②得－2T
n
＝3×1＋2×3＋2×3
2
＋2×3
3＋…＋2×3
n
－
1
－(2n＋1)3
n
＝3
＋2(3＋3
2
＋3
3
＋…＋3
n
－
1
) －(2n＋1)3
n

3－3
n
＝3＋2×－(2n＋1)3
n
＝3
n
－(2n＋1)3
n
＝－2n·3
n
.
1－3
∴T
n
＝n·3
n
.