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高中数学必修五测试题

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 20:53
tags:高中数学必修五

高中数学拓展知识-小时代顾里高中数学


必修五阶段测试一(第一章
时间:120分钟 满分:150分
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
解三角形)
1.(2017·江西金溪一中月考)已知△ABC中,a=2,b=3,B=60°,那么∠A=( )
A.45° B.90° C.130°或45° D.150°或30°
π
2.在△ABC中,B=
,AB=8,BC=5,则△ABC外接圆的面积为( )
3
49π47π
A. B.16π C. D.15π
33
3.(2017·黑龙江鸡西期末)已知锐角△ ABC的面积为33,BC=4,CA=3,则角C的
大小为( )
A.75° B.60° C.45° D.30°
4.在△ABC中,si n
2
A=sin
2
B+sinB·sinC+sin
2
C, 则A等于( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
5.在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,且a>b>c, a
2
2
+c
2
,则∠A的取
值范围是( )
π
?
πππππ
,π
B.
?

?
C.
?

?
D.
?
0,
?
A.
?
?
2
??
42
??
32
??
2
?
6.(2017·阆中中学质检)设 △ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,如果bcosC
+ccosB-asinA=0 ,那么△ABC的形状为( )
A.直角三角形
C.钝角三角形
B.锐角三角形
D.不确定
7.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a ,b,c,已知8b=5c,C=2B,则cosC
=( )
72477
A. B.
C.- D.±

2525 2525
8.(2017·青海师范大学附属中学月考)在△ABC中,A=30°,B=60°,C= 90°,那么三
边之比a∶b∶c等于( )
A.1∶2∶3 B.3∶2∶1 C.1∶3∶2 D.2∶3∶1
9.在△ABC中,b=8, c=83, S

ABC
=163,则∠A等于( )
A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120°
1 0.(2017·莆田六中期末)如图,已知A,B两点分别在河的两岸,某测量者在点A所在

< br>的河岸边另选定一点C,测得AC=50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,则A,B两点的距
离为( )

A.503 m B.253 m C.252 m D.502 m
AC
11.在锐角△ABC中,B=2A,则
的取值范围是( )
BC
A.(-2,2) B.(2,2) C.(0,3) D.(2,3)
12.A,B两地相距200 m,且A地在B地的正东方.一人在A地测得建筑C在 正北方,
建筑D在北偏西60°;在B地测得建筑C在北偏东45°,建筑D在北偏西15°,则两建筑 C
和D之间的距离为( )

A.2002 m B.1007 m C.1006 m D.100(3-1)m
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.设△ABC的内角A,B,C 所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sinA=5sinB,
则角C=________ .
ba
14.(2017·唐山一中月考)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a ,b,c.若
+=
ab
tanCtanC
6cosC,则
+=___ _____.
tanAtanB
15.三角形的一边长为14,这条边所对的角为60°,另 两边之比为8∶5,则这个三角
形的面积为________.
16.已知△ABC的面积为
3
π
,AC=3,∠ABC=,则△ABC的周长等于_________.
23
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)在四边形ABCD 中,AD⊥CD,AD=5,AB=7,∠BDA=60°,∠CBD=15°,
求BC的长.



18.(12分)(2017·贵州铜仁期中)设a,b,c分别是△ABC 的三个内角A,B,C所对的边,
S是△ABC的面积,已知a=4,b=5,S=53.
(1)求角C;
(2)求c边的长度.

b
2
+c2
-a
2
8
19.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别 是a,b,c,且

S

ABC
(其
23
中S
ABC
为△ABC的面积).
(1)求sin
2
B+C
+cos2A;
2
(2)若b=2,△ABC的面积为3,求a.

20.(12分)(2 017·河北开滦一中期末)如图,△ACD是等边三角形,△ABC是等腰直角三
角形,∠ACB=9 0°,BD交AC于E,AB=2.
(1)求cos∠CBE的值;
(2)求AE.



21.(12分)(2017·山西省朔州期末)在△ABC中,A, B,C所对的边分别为a,b,c,且
357
a=4,cosA=
,sinB=,c> 4.
416
(1)求b; (2)求证:C=2A.


22.(12分)如图所示,一辆汽车从O点出发,沿海岸一条直线公路以100 kmh的速度
向东匀速行驶,汽车开动时,在O点南偏东方向距O点500 km,且与海岸距离为300 km
的海上M处有一快艇,与汽车同时发出,要把一件重要物品递送给这 辆汽车的司机,问快
艇至少必须以多大的速度行驶,才能把物品送到司机手中,并求快艇以最小速度行驶 的行驶


方向与OM所成的角.






答案与解析
ab
1.A 由正弦定理
=,
sinAsinB
asinB2sin60°2
得sinA===
.
b2
3
又a1
2.A 由余弦定 理得AC
2
=AB
2
+BC
2
-2AB·BCcosB=6 4+25-2×8×5×=49,∴AC
2
=7.
ACAC773
由正弦定 理得=2R(R为△ABC外接圆的半径),∴R===
.∴△ABC
sinB2sinB3< br>3

2
49π
外接圆的面积S=πR
2

.
3
1
3.B S

ABC

BC·CA·sinC,
2
1

×4×3·sinC=33,
2
∴sinC=
3

2
又△ABC是锐角三角形,∴C=60°,故选B.
4.C 由正弦定理,得sinA=
abc
, sinB=, sinC=
(其中R为△ABC 外接圆半径),
2R2R2R
代入sin
2
A=sin
2
B +sinB·sinC+sin
2
C,得a
2
=b
2
+bc +c
2
=b
2
+c
2
+bc,即b
2
+c
2
-a
2
=-bc,
b
2
+c
2
-a
2
-bc
1
由余弦定理得cosA===-
.
2bc2bc2
又0°<∠A<180°,∴∠A=120°.故选C.
b
2
+c
2
-a
2
5.C 解法一:cosA=

2bc


a
2
+c
2
-a
2
cb11
∵a
+c
a>b>c, cosA<

<
=,∴cosA>0,且cosA<
.
2bc2b2b22
222,
ππ
?
∴∠A的范围为
?< br>?
3

2
?
,故选C.
π
解法二:∵a>b>c, ∴a为最长边,∠A>
.
3
πππ
又a
2
2
+c
2,
∴∠A<
. ∴<∠A<.故选C.
232
6.A bcosC+ccosB-asinA=0,
∴sinBcosC+sinCcosB-sin
2
A=0.
∴sin(B+C)-sin
2
A=0.
∴sinA-sin
2
A=0,∴sinA=0(舍去)或sinA=1,
π
∴A=
.故选A.
2
7.A ∵C=2B,∴sinC=sin 2B=2sinBcosB.又∵8b=5c,
sinC184
∴cosB==
×
.
2sinB255
4
?
2
7
∴cosC =cos2B=2cos
2
B-1=2×
?
-1=
.
?
5
?
25
13
8.C a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=
∶∶1=1∶3∶2,故选C.
22
2S

ABC
11
9.C ∵S

ABC

bcsinA, ∴sinA=

.
2bc2
∴∠A=30°或150°,经检验均满足已知条件,故选C.
10.D ∠CBA=180°-∠ACB-∠CAB=180°-45°-105°=30°,

AC ·sin∠BCA
50×sin45°
ABAC
=,∴AB===502 m.故选D.
sin30°
sin∠BCAsin∠CBAsin∠CBA
cbcs inC8
=,∴==
.
sinCsinBbsinB5
11.D ∵B=2A,
ACsinBsin2A
∴===2cosA,
BCsinAsinA
∵△ABC是锐角三角形,
?
2A<
2

?
π
π-3A<

?
2
ππ∴<A<,
64
π


∴2<2cosA<3,故选D.


12.C 由题可知△BCA是等腰直角三角形,
∴AB=AC=200,BC=2002,
∠DBC=15°+45°=60°,
∵∠DAB=90°-60°=30°,
ABDB
∴∠BDA=45°,∴=
.
sin45°sin30°
AB·sin30°
∴DB==1002,
si n45°
∴DC
2
=DB
2
+BC
2
-2DB·B C·cos60°
1
=(1002)
2
+(2002)
2
-2×1002×2002×

2
=6×100
2

∴DC=1006 m,故选C.

13.
3
解析:由3sinA=5sinB,得3a=5b.
5c3c
又b+c=2a,∴a=,b=
.
77
a
2+b
2
-c
2
1
在△ABC中,由余弦定理得cosC==-< br>.
2ab2

∴C=
.
3
14.4
ba
解析:
+=6cosC,∴b
2
+a
2
=6abcos C=3(a
2
+b
2
-c
2
),
ab
∴3c
2
=2a
2
+2b
2
. cosAcosB
?
tanCtanC
+=tanC
?
?
sinA

sinB
?

tanAtanB
sinC< br>sin?A+B?
sin
2
Cc
2
===
cosC sinAsinBcosCsinAsinBabcosC
2
22
?a
+b< br>?
3
=4.
1
22
?a
+b
?
6
15.403
解析:设另两边分别为8t,5t(t>0),则由余弦定理得
14
2
=( 8t)
2
+(5t)
2
-2·8t·5t·cos60°,


∴t
2
=4, ∴t=2.
13
∴S
△ABC

×16×10×
=403.
22
16.3+3
解析:由已知得
31
π

AB ·BCsin
,∴AB·BC=2.又AC
2
=AB
2
+BC
2
-2AB·BCcosB=AB
2
223
+BC
2
-A B·BC=(AB+BC)
2
-3AB·BC=(AB+BC)
2
-6.又A C=3,∴AB+BC=3.∴AB+BC
+AC=3+3.
17.解:在△ABD中,由余 弦定理得AB
2
=AD
2
+BD
2
-2AD·BDcos6 0°,又AD=5,AB
=7,
∴BD
2
-5BD-24=0,解得BD=8.

BDsin∠B DC
8sin30°
在△BCD中,∠BDC=30°,∠BCD=135°,由正弦定理得B C==
sin135°
sin∠BCD
=42.
18.解:(1)由题知S=53,a=4,b=5.
1
由S=
absinC得,
2
1
53=×4×5sinC,
2
解得sinC=
3

2
π2π
又C是△ABC的内角,所以C=或C=
.
33
ππ
1
(2)当C=
时,由余弦定理得c
2
=a
2
+b
2
-2abcos=16+25-2×4×5×=21,解得c
332
= 21;
2π2π
当C=时,c
2
=a
2
+b
2< br>-2abcos=
33
1
16+25+2×4×5×
=61,解得c=61.
2
综上得,c边的长度是21或61.


2bccosA8 1
19.解:(1)由已知得

×bcsinA,即3cosA=4sinA>0,又 ∵sin
2
A+cos
2
A=1,
232
34
∴sinA=,cosA=
.
55
B+C1+ cosA
cosA1164159
sin
+cos2A=+cos2A=2cos2
A+
-=2×+-=
.
222225
2×5
250
2
31
(2)由(1)知sinA=
,S

ABC

bcsinA=3,b=2,
52
∴c=5.又∵a
2
=b2
+c
2
-2bccosA,
4
∴a
2
=4+25-2×2×5×=13,
5
∴a=13.
20.解:(1)∵∠BCD=90°+60°=150°,CB=AC=CD,
∴∠CBE=15°,∴cos∠CBE=cos(45°-30°)=
6+2
.
4
AE2
(2)在△ABE中,AB=2,由正弦定理得
=,
si n?45°-15°?sin?90°+15°?
1

2
2sin30°< br>故AE===6-2.
cos15°
6+2
4
3
21.解:(1)∵cosA=

4
可得sinA=1-cos
2
A=
7

457

16
a·sinB
∴由正弦定理可得b===5.
s inA
7
4
3
(2)证明:∵由(1)可得a=4,cosA=
,b =5,
4
3
∴由余弦定理可得16=25+c
2
-2×b×c×,
4
整理可得2c
2
-15c+18=0,
3
∴解得c=6或
(c>4,故舍去),
2
csinA
∴ 由正弦定理可得sinC==
a
又∵sin2A=2sinAcosA=2×
7
4
37

.
48
7337
×
=,
448


∴可得sinC=sin2A,
∵C∈(0,π),2A∈(0,π),
∴C=2A,或C+2A=π(A≠B故舍去).
∴C=2A,得证.
22.解:如图,设快艇从M处以v kmh的速度出发,沿MN方向航行,t小时后与汽
车相遇.

在△MON中,MO=500,
ON=100t, MN=vt.
34
设∠MON=α.由题意知sinα=,则cosα=
.
55
由余弦定理知
MN
2
=OM
2
+ON
2
-2OM·ON·cosα,
4
即v
2
t
2
=500
2
+100
2
t
2
-2×500×100t·.
5
11
v
2
=500
2
·
2-2×500×80·+100
2

tt
1
500·
-80
?
2
+3 600. =
?
t
??
18025
当=,即t=时, v
2
min
=3 600,即快艇必须至少以60 kmh的速度行驶.此时
t5004
25
MN=60×
=15×25.
4
MQ是M到ON的距离,且MQ=300,设∠MNO=β,
3004
∴sinβ==
.
15×25
5
∴α+β=90°, ∴MN与OM成直角.
∴快艇至少必须以60 kmh的速度行驶,才能把物品送到司机手中,其行驶方向与OM
成直角.

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