人教版高中数学必修一至必修五知识点总结大全

高中数学必修一常用公式及结论归纳总结
1、集合的含义与表示
一般地，我 们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体
叫做集合。它具有三大特性：确定性、互异性、无序性 。集合的表
示有列举法、描述法。
描述法格式为：{元素|元素的特征}，例如
{x|x?5,且x?N}

2、常用数集及其表示方法
（1）自然数集N（又称非负整数集）：0、1、2、3、……
（2）正整数集N*或 ：1、2、3、……
（3）整数集Z：-2、-1、0、1、……
（4）有理数集Q：包含分数、整数、有限小数等
（5）实数集R：全体实数的集合
（6）空集Ф：不含任何元素的集合
3、元素与集合的关系：属于∈，不属于
?

例如：a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A
4、集合与集合的关系：子集、真子集、相等
（1）子集的概念
如果集合A中的每 一个元素都是集合B中的元素，那么集合A叫
做集合B的子集(如图1)，记作
A?B
或
B?A
.
B
A
或
(图1)

若集合P中存在元素不是集合Q的元素，那么P不包含于Q，
记作
P?Q

（2）真子集的概念
若集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于
B
A
A,那么集合A叫做集合B的真子集(如图2).
?
?
或
?
?
.
(图2)
（3）集合相等：若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同则称
集合A等于集合B,记作.
A?B,B?A?A?B

5、重要结论（1）传递性：若
A?B
，
B?C
，则
A?C

（2）空Ф集是任意集合的子集，是任意非空集合的真
子集.
6、含有
n
个元素的集合,它的子集个数共有
2
n
个；真 子集有
2
n
–1
个；非空子集有
2
n
–1个(即不 计空集)；非空的真子集有
2
n
–2个.
7、集合的运算：交集、并集、补集
?

（1）一般地，由所有属于A又属于B的元素所组成的集合,叫做的
交集．
记作A∩B（读作＂A交B＂），即A∩｛∈A，且x∈B｝．
（2）一般地，对于给定的两个集合把它们所有的元素并在一起所组
?

成的集合,叫做的并集．记作A∪B（读作＂A并B＂），即A∪｛∈A，
或x∈B｝．
（3）若A是全集U的子集，由U中不属于A的元素构成的集合，
叫做A在U中的补集，记作
C
U
A
,
C
U
A?
?
x|x?U,且x?A
?

C
U
A

A
注：讨论集合的情况时，不要发遗忘了
A??
的情况。

8、映射观点下的函数概念
如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射f ：A→B就叫做
A到B的函数，记作(x)，其中x∈A，y∈B.原象的集合A叫做函数
(x )的定义域，象的集合C（
?
）叫做函数(x)的值域.函数符号(x)
表示“y是x 的函数”，有时简记作函数f(x).
9、分段函数：在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数 。如
?
2x?1
x?0

y?
?
2
x?0
?
?x?3
10、求函数的定义域的原则：（解决任何函数问题，必须要考虑其 定
义域）
1
,则x?1?0

x?1
②偶次方根的被开方数大于或等于零；
如:y?5?x,则5?x?0

①分式的分母不为零；
如:y?
③对数的底数大于０且不等于１；
如:y?l og
a
(x?2),则a?0且a?1

④对数的真数大于０；
如:y?log
a
(x?2),则x?2?0

⑤指数为０的底不能为零；
如:y?(m?1)
x
,则
m?1?0< br>
11、函数的奇偶性（在整个定义域内考虑）
（1）奇函数满足
f(?x)??f(x)
， 奇函数的图象关于原点对称；
（2）偶函数满足
f(?x)?f(x)
， 偶函数的图象关于y轴对称；
注：①具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称; ②若奇函
数在原点有定义,则
f(0)?0

③根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函
数又是偶函数、非奇非偶函数。
12、函数的单调性（在定义域的某个区间内考虑）
当
x
1
?x< br>2
时，都有
f(x
1
)?f(x
2
)
，则< br>f(x)
在该区间上是增函数，图
象从左到右上升；
当
x
1
?x
2
时，都有
f(x
1
)?f(x
2
)
，则
f(x)
在该区间上是减函数，图
象从左到右下降。

< br>函数
f(x)
在某区间上是增函数或减函数，那么说
f(x)
在该区间 具
有单调性，该区间叫做单调（增减）区间
13、一元二次方程
ax
2
?bx?c?0
(a?0)

（1）求根公式:
x
1,2
?b?b
2
?4ac< br>?
2a
（2）判别式：
??b
2
?4ac

（3）
??0
时方程有两个不等实根；
??0
时方程有一个实根；< br>??0
时方程无实根。
c
（4）根与系数的关系——韦达定理:
x< br>1
?x
2
??
，
x
1
?x
2
?

a
b
a
14、二次函数：一般式
y?a(x?x1
)(x?x
2
)
(a?0)

y?ax
2
?bx?c
(a?0)
； 两根式
y
（1）顶点坐标为
(?
b
b4ac?b
（2）对称轴方程为：
?< br>,)
；
2a
2a4a
2
；
0
x
（3）当
a?0
时，图象是开口向上的抛物线，在
?
4ac?b
2
4a
b
2a
处取得最小值

b
2a
当
a?0
时，图象是开口向下的抛物线，在
?
4ac?b
2
4a
处取得最大值

（4）二次函数图象与
x
轴的交点个数和判别式
?
的关系：

??0
时，有两个交点；
??0
时，有一个交点（即顶点 ）；
??0
时，
无交点。
15、函数的零点
使
f(x) ?0
的实数
x
0
叫做函数的零点。例如
x
0
??1
是函数
f(x)?x
2
?1
的一个零点。
注：函数
y?f
?
x
?
有零点
?
函数
y?f
?
x
?
的图象与
x
轴有交点
?
方程
f
?
x
?
?0
有实根
16、函数零点的判定：

如果函数
y?f
?
x< br>?
在区间
?
a,b
?
上的图象是连续不断的一条曲线，并且< br>有
f(a)?f(b)?0
。那么，函数
y?f
?
x
?
在区间
?
a,b
?
内有零点，即存在
c?
?a,b
?
,使得f
?
c
?
?0
。
17、分数指数幂 （
a?0,m,n?N
?
，且
n?1
）
（1）
a
m
n
?a
n
m
.如
x? x
3
3
2
；(2)
a
?
m
n
?
1
m
a
n
?
1
n
a
m
. 如
1
x
3
?x
?
3
2
；（3）
(
n
a)
n
?a
；
（4）当
n
为奇数时，
n
a
n
?a
； 当
n
为偶数时，
n
a
n
?|a|?
?
18 、有理指数幂的运算性质（
a?0,r,s?Q
）
（1）
a
r
?a
s
?a
r?s
； （2）
(a
r
)
s
?a
rs
； （3）
(ab)
r
19、指数函
（
a?0
且

x
是自变量，
?
a,a?0
.
?
?a,a?0
?a
r
b
r

y?a
x
数
a?1

y
0?a?1

y
，其中
a?1
）
a
叫做底数，

1
0
x

1
0
x
定义域是R







图
象

（1）定义域：R
性
（2）值域：（0，+∞）
质
（3）过定点（0，1），即0时，1
（4）在 R上是（4）在R上是
增函数 减函数

20、若
a
b
?N
，则
（
a?0,a?1
，
N?0
）
其中，
a
叫做对数的底数，
为底
N
的对数。记作：
N
叫做对数的真数。
做以
log
a
N?b
叫

注：指数式与对数 式的互化公式：
log
a
N?b?a
b
?N
(a?0,a? 1,N?0)

21、对数的性质
（1）零和负数没有对数，即
loga
N
中
N?0
；
（2）1的对数等于0，即
log
a
1?0
；底数的对数等于1，即
log
a
a?1

log
10N?lgN
22、常用对数
lgN
：以10为底的对数叫做常用对数，记为：
自然对数
lnN
：以e(2.71828…)为底的对数叫做自然对数，记为：
log
e
N?lnN

23、对数恒等式：
a
log
a
N
?N

24、对数的运算性质（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）
(1)
log
a
(MN)?log
a
M?log
a
N
; (2)
log
a
25、对数的换底公式
log
a
N?
N?0
).
log
m
N< br>log
m
a
M
?log
a
M?log
aN
;
N
(3)
log
a
M
n
?nl og
a
M(n?R)
（注意公式的逆用）
(
a? 0
,且
a?1
,
m?0
,且
m?1
,
推 论①
②
log
a
n
?
m
b
或
lo g
a
b?
1
log
b
a
；
n
log
a
b
.
m

26、对数函 数
y?log
a
x
（
a?0
，且
a?1
） ：其中，
x
是自变量，
a
叫做
底数，定义域是
(0,??)



图像


定义域：(0, ∞)
值域：R
性质
过定点（1，0）
增函数 减函数

y
a?1

0?a?1


1
x
0

x
0
1
00
y<0
取值范围
x>1时，
y>0
27、指数函数
y?a
x
与对数函数
y?log
a
x
互为反函数；它们图 象关于
直线
y?x
对称.
28、幂函数
y?x
?
（
?
?R
），其中
x
是自变量。要求掌握
?
??1 ,
五种情况(如下图)
29、幂函数
y?x
?
的性质及图象变化规律：
（Ⅰ）所有幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；
1
,1,2,3
这
2
x>1时，y<0

（Ⅱ）当
?
?0
时，幂函数的图象都通过原点，并且在区间
[0,??)< br>上是
增函数．
y?x
3

2
y?x

（Ⅲ）当

时，幂函数的图象在区间
(0,??)
上是减函数． < br>y
?
?
?
x
0
3
3
2
2< br>2

-2
1
1
1
1
1
1
y?x

-2
-1
y?x
?1

1
2
1
-1
-2
2

-2
1
-1
2


必修2

-2
-3
3 0、边长为
a
的等边三角形面积
S
正?
?
3
2a

4
31、柱体体积：
V
柱
＝S
底
h
， 锥体体积：
V
锥
＝
1
S
底
h

3
4
球表面积公式：
S
球
?4
?
R
2
， 球体积公式：
V?
?
R
3
（上述四
3
个公式不要求记忆）
32、四个公理：
① 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平
面内。
② 过不在一条直线上的三点，有且仅有一个平面。
③ 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且仅有一
条过该点的公共直线。
④ 平行于同一直线的两条直线平行（平行的传递性）。
33、等角定理：
1
2 3
空间中如果两个角的两边对应平行，那么这两个角相等或互补

(如图)
?
：（在同一平面内，没有公共点）
?
平行
?
共面直线< br>?
34、两条直线的位置关系：
?
：（在同一平面内，有一个公共点）
?
相交

?
：（不同在任何一个平面内的两条直线，没有公共点）
?
异面直线　　
直线与平面的位置关系：
（1）直线在平面上；（2）直线在平面外（包括直线与平面
平行，直线与平面相交）
两个平面的位置关系：（1）两个平面平行；（2）两个平面相交
35、直线与平面平行：
定义 一条直线与一个平面没有公共点，则这条直线与这个平面
平行。
判定 平面外一条直线与此平面内的一直线平行，则该直线与此
平面平行。
性质 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此
平面的交线与该直线平行。
36、平面与平面平行：
定义 两个平面没有公共点，则这两平面平行。
判定 若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两
个平面平 行。
性质 ① 如果两个平面平行，则其中一个面内的任一直线与
另一个平面平行。
② 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们交

线平行。
37、直线与平面垂直：
定义 如果一条直线与一个平面内的任一直线都垂直，则这条直
线与这个平面垂直。
判定 一条直线与一个平面内的两相交直线垂直，则这条直线与
这个平面垂直。
性质 ①垂直于同一平面的两条直线平行。
②两平行直线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这
个平面垂直。
38、平面与平面垂直：
定义 两个平行相交，如果它们所成的二面角是直二面角，则这
两个平面垂直。
判定 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
性质 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个
平面垂直。
39、三角形的五“心”
（1）
O
为
?ABC
的外心（各边垂直平分线的交点）.外心到三个
顶点的距离相等
（2）
O
为
?ABC
的重心（各边中线的 交点）.重心将中线分成2：
1的两段
（3）
O
为
?ABC
的垂心（各边高的交点）.
（4）
O
为
?ABC
的内心（各内角平分线的交点）. 内心到三边的
距离相等
（5）
O
为
?ABC
的
? A
的旁心（各外角平分线的交点）.

40、直线的斜率：
(1) 过
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?x
2
,y
2
?
两点的直线，斜率
k?
y
2
?y
1
，（
x
1
?x
2
）
x
2
?x
1
（2）已知倾斜角为
?
的直线，斜率
k ?tan
?
（
?
?90
0
)

（3）曲线
y?f(x)
在点（
x
0
,y
0
)
处的切 线，其斜率
k?f
?
(x
0
)

41、直线位置关 系：已知两直线
l
1
:y?k
1
x?b
1
,l2
:y?k
2
x?b
2
，则
l
1
l< br>2
?k
1
?k
2
且b
1
?b
2　　　　l
1
?l
2
?k
1
k
2
?? 1

l
1
l
2
； 特殊情况：（1）当
k
1
,k
2
都不存在时，（2）当
k
1
不存在而
k
2
?0
时，
l
1
?l
2

42、直线的五种方程 ：
①点斜式
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直线
l
过 点
(x
1
,y
1
)
，斜率为
k
)．
②斜截式
y?kx?b
(直线
l
在
y
轴上的截距为
b
，斜率为
k
).
③两点式
④截距式
y?y
1
x?x
1
?
(直线过两点
( x
1
,y
1
)
与
(x
2
,y
2< br>)
).
y
2
?y
1
x
2
?x1
x
y
??1
（
a,b
分别是直线在
x
轴和
y
轴上的截距，均不
ab
为0）
⑤一般式
A x?By?C?0
(其中A、B不同时为0)；可化为斜截式：
y??
AC
x ?

BB
43、（1）平面上两点
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
间的距离公式：
(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2

（2）空间两点
A(x
1
,y
1
, z
1
),B(x
2
,y
2
,z
2
)
距离公式
(x
1
?x
2
)
2
?(y
1< br>?y
2
)
2
?(z
1
?z
2
)2

（3）点到直线的距离
Ax?By?C?0
).
d?|Ax
0
?By
0
?C|
A?B
22
(点
P(x
0
,y
0
)
，直线
l
：
4 4、两条平行直线
Ax?By?C
1
?0
与
Ax?By?C
2
?0
间的距离公式：

d?
C
1
?C
2
A?B
22

注：求直线
Ax?By?C?0
的平行线 ，可设平行线为
Ax?By?m?0
，求
出
m
即得。
45 、求两相交直线
A
1
x?B
1
y?C
1
?0
与
A
2
x?B
2
y?C
2
?0
的交点： 解方程组
?
A
1
x?B
1
y?C
1
?0< br>
?
Ax?By?C?0
22
?
2
46、圆的方程：
①圆的标准方程
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
. 其中圆心为
(a,b)
，半径为
r

②圆的一般方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
.
DE
其中圆心为
(?,?)
，半径为
r?
22D
2
?E
2
?4F
2
，其中
D
2?E
2
?4F
＞0
47、直线
Ax?By?C?0
与 圆的
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
位置关系
（1）
d?r?相离???0
;
Aa?Bb?C
（2）
d?r?相切???0
其中
;
d< br>是圆心到直线的距离，且
d?
A
2
?B
2
（3）d?r?相交???0
.

48、直线与圆相交于
A(x
1< br>,y
1
),B(x
2
,y
2
)
两点，求弦长 度的公式：（1）
|AB|?2r
2
?d
2

（2），其中
k
是
|AB|?1?k
2
(x
1
?x
2< br>)
2
?4x
1
x
2
（结合韦达定理使用）
直 线的斜率
49、两个圆的位置关系：设两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为
r1，r2 ，
O
1
O
2
?d

1）
d?r
1
?r
2
?外离?4条公切线
; 2）
d?r
1
?r
2
?外切?3条公切线
;
3）; 4）
r
1
?r
2
?d?r
1
? r
2
?相交?2条公切线
d?r
1
?r
2
?内切? 1条公切线
;

5）
0?d?r
1
?r
2< br>?内含?无公切线

必修③公式表

50、算法：是指可以用计算机来 解决的某一类问题是程序或步骤，
这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.

51、程序框图及结构
功能
表示一个算法的起始和结束，是
起止框
任何流程图不可少的。
表示一个算法输入和输出的信
输入、输出框 息，可用在算法中任何需要输
入、输出的位置。
赋值、计算，算法中处理数据需
处理框 要的算式、公式等分别写在不同
的用以处理数据的处理框内。
判断某一条件是否成立，成立时

判断框 在出口处标明“是”或“Y”；

不成立时标明“否”或“N”。
52、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。
53、三种抽样方法的区别与联系
类别 共同点
简单随
抽取
机抽样
过程中
每个个
分层
体被抽
抽样
取的概
率相等
各自特点 相互联系
从总体中逐

个抽取
各层抽样可
将总体分
采用简单随
成几层进行
机抽样或系
抽取
统抽样
适用范围
总体中个体数较
少
总体有差异明显
的几部分组成
程序框




名称

系统抽
样
将总体平
均分成几部
分， 按事先确
定的规则分
别在各部分
抽取
在起始部分
抽样时采用总体中的个体较
简单随机抽多
样
54、（1）频率分布直方图（注意其纵坐标是“频率组距）

频数
?< br>极差
?
频率?
，
组数?
??
样本容量
?组距
?
，
小矩形面积?组距?
频率
?频率
。
组距
（2）数字特征 众数：一组数据中，出现次数最多的数。
中位数：一组数从小到大排列，最中间的那个数（若最中间有两个
数，则取其平均数）。 平均数：
x?
1
?
x
1
?x
2
??? x
n
?
n
方差:
1
s
2
=
[(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
?( x
3
?x)
2
?K?(x
n
?x)
2
]< br>
n
标准差：
s?
222
1
?
x
1
?x?x
2
?x???x
n
?x
?
?
??
n
?
??????
注：通过标准差或方差
可以判断一 组数据的分散程度；其值越小，数据越集中；其值越大，
数据越分散。
?
?bx?a
，其中
b?
回归直线方程：
y
?
xy
i
i ?1
n
n
i
?nxy
，
a?y?bx

? nx
2
?
x
i?1
2
i
55、事件的分类：
（1）必然事件：必然事件是每次试验都一定出现的事件。P（必
然事件）=1
（2）不可能事件：任何一次试验都不可能出现的事件称为不可能
事件。P（不可能事件）=0

（3）随机事件：随机试验的每一种结果或随机现象的每一种表现
称作随机事件，简称为事件
基本事件：一个事件如果不能再被分解为两个或两个以上事件，
称作基本事件。
56、在n次 重复实验中，事件A发生的次数为m，则事件A发生的
频率为，当n很大时，m总是在某个常数值附近摆 动，就把这个常
数叫做事件A的概率。（概率范围：
0?P
?
A
?< br>?1
）
57、互斥事件概念：在一次随机事件中，不可能同时发生的两个事
件 ，叫做互斥事件（如图1）。
如果事件A、B是互斥事件，则P（）（A）（B）
58、对立事件（如图2）：指两个事件不可能同时发生，但必有一个
发生。
对立事件性质：P（A）（
A
）=1，其中
A
表示事件A的对立事件。
A B
59、古典概型是最简单的随机试验模型，古典概型有两个特征：
（1）基本事件个数是有限的；
图（2）

A
B
图1
（2）各基本事件的出现是等可能的，即它们发生的概率相同．
60、设一试 验有n个等可能的基本事件，而事件A恰包含其中的m
个基本事件，则事件A的概率
基本事件的 总数
m
P(A)
n
公式为

P
?
A
?
?
A包含的基本事件的个数
=
运用互斥事件的概率加法公式时，首先要判断它们是否互斥，再由
随机事件的概率公式分别求它 们的概率，然后计算。 在计算某些事
件的概率较复杂时，可转而先示对立事件的概率。
构成 事件A的区域长度(面积或体积)
61、几何概型的概率公式：
P
?
A
?
?

试验的全部结果构成的区域长度(面积或体积)

必修④公式表

63、弧度计算公式：
?
?
l
r
r

)
?

62、终边相同角构成的集合：
?
?
|?
?
?
?2k
?
,k?Z
?


11
lr?
?
?r
2
(
?
为弧度)
22
l

64、扇形面积公式：
S?
P()
6 5、三角函数的定义：已知
P
?
x,y
?
是
?
的终 边上除原点外的任一点
r
y
)
?

yxy
222
则
sin
?
?，cos
?
?，tan
??
,其中
r?x?y

x
rrx
66、三角函数值的符号





sin
?

cos
?

tan
?



67、特殊角的三角函数值：

?

?

+
—
+
—
—
—
+
+
—
+
+
—
0
0
1
?

6
1

2
3
2
?

4
2
2
2
2
?

3
3
2
?

2
2
?
3
3
2


3
?
4
2
2


5
?
6
1
2

?


3
?
2




1 0 -1

-1 0
?


1

2
0
-
2

-
1
2
2
-
3
2

不
tan
?

不
3
0
3
3

1
3

存-
在
-1
-
3
3

0 存
在
68、同角三角函数的关系：
sin
2
?
?cos< br>2
?
?1,tan
?
?
sin
?
cos?

69、和角与差角公式： 二倍角公式：
sin(
?
?
?
)?sin
?
co s
?
?cos
?
sin
?
;
sin2
?
?2sin
?
cos
?

co s(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
msi n
?
sin
?
;
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?1?2sin
2
?

tan
?
?tan
?
tan(
?
?
?)?
1
m
tan
?
tan
?
2
2ta n
?
?2cos
?
?1

.
tan2
?
?

2
1?tan
?
70、诱导公式 记忆口诀：奇变偶不变,符号看象限；其中，奇偶是
指
?
的个数,符号参考第66条.
sin
?
?
?2k
?
?
?sin
?
cos
?
?
?2k
?
?
?cos
?
ta n
?
?
?2k
?
?
?tan
?
sin?
?
?
?
?
?sin
?
cos
??
?
?
?
??cos
?

tan
?
?
?
?
?
??tan
?
sin(
2< br>
sin
?
?
?
?
?
??sin
?
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
tan
?
?
?
?
?
?tan
?
sin
?
?
?
?
??sin
?
cos
?
?
?
?
?cos
?

tan
?
?
?
?
??tan
?
?
2
?
?
)?cos
?

cos(?
?
)?sin
?
2
?

sin(
?
2
?
?
)?cos
?

cos(?
?
)??sin
?

2
?
71 、辅助角公式：
asin
?
?bcos
?
=
a
2< br>?b
2
sin(
?
?
?
)
(辅助角
?
所在象限与
点
(a,b)
的象限相同,且
tan
?
?
).主要在求周期、单调性、最值时运
用。 如
y?3sinx?cosx? 2sin(x?
b
a
)
?
6

1?cos
?
?
1?cos
?
?cos
2
?
72、半角公式( 降幂公式)：
sin
2
?
，
2222
73、三角函数y?Asin(
?
x?
?
)
的性质（
A?0,
?
?0
）
（1）最小正周期
T?
?
；值域：
[?A,A]
；

2
?
?
；振幅为A；频率
f?
1
T
；相位 ：
?
x?
?
；初相：

对称轴：由
?
x?
?
?
?
2
?k
?
解得
x
；对 称中心：由
?
x?
?
?k
?
解得
x
组成的 点
(x,0)

（2）图象平移：
x
左加右减、
y
上加下减。
例如：向左 平移1个单位，解析式变为
y?Asin[
?
(x?1)?
?
]
向下平移3个单位，解析式变为
y?Asin(
?
x?< br>?
)?3

（3）函数
y?tan(
?
x?
?
)
的最小正周期
T?
?
.
?
74、正弦定理：在一个三角形中，各边与对应角正弦的比相等。
abc
???2R
(R
sinAsinBsinC
是三角形外接圆半径)
C
75、余弦定理：
b
2
?c
2
?a
2
c osA?
2bc
a
2
?b
2
?c
2
?2b ccosA,
c
2
?a
2
?b
2
222
b ?c?a?2cacosB,
推论
cosB?
2ca
222c?a?b?2abcosC.
a
2
?b
2
?c
2cosC?
2ab
,
,

.
A
b

c

a

B
76、三角形的面积公式：
S
?ABC
?
111
absinC?acsinB?bcsinA.

222
77、三角函数的图象与性质和性质
三角
函数
-
?

y?sinx

y
1
0
?

?

-1
2
y
x
y?cosx

y?tanx

y
2
?

图象
定义
域
值域

1

2
?
-
?

0
?

?

2
-1
2
x
?

-
?
0
2

2
x

3
?

2
(??,??)

(??,??)

(k
?
?
?
2
,k?
?
?
2
)

[-1，1] [-1，1]
(??,??)

最大
x?
?
2
? 2k
?
，
y
max
?1

，
值
最小
值
周期
奇偶
x?2k
?
，
y
max
?1


x??
?
2
?2k
?
y
min
??1

x?
?
?2k
?
，
y
min??1


?

2
?

2
?

奇函数
性
在
[?
单调
性
k?Z

偶函数
在
(?
?
2
奇函数
?k
?
,
?
2
?2k
?
,
?
2
?2k
?
]< br>
在
[?
?
?2k
?
,2k
?
]

?
2
?2k
?
)

上是增函数
在
[?2k
?
,
2
上是增函数
在
[2k
?
,
?
?2k
?
]

上都是增函数

?
3
?
?2k
?
]

2
上是减函数

上是减函数
78、向量的三角形法则： 79、向量
的平行四边形法则：

b
b


b

a a
a

80、平面向量的坐标运算:设向 量
(x
1
,y
1
)
,向量
(x
2
,y
2
)

（1）加法
(x
1
?x
2,y
1
?y
2
)
. （2）减法
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
.
（3）数乘
?
?
(x
1
,y
1
)?(
?< br>x
1
,
?
y
1
)

（4）数量积a ·θ=
x
1
x
2
?y
1
y
2
，其 中
?
是这两个向量的夹角
（5）已知两点A
(x
1
,y< br>1
)
，B
(x
2
,y
2
)
，则向量
uuuruuuruuur
AB?OB?OA?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
)
.
81、向量
(x,y)的模：
(a)?a?a?x?y
222
，即
|a|?a

2
2

rr
a
g
b
82、两向量的夹角公式
cos
?
?
rr
?
ab
x
1
x< br>2
?y
1
y
2
x?y?x?y
2
1
2
1
2
2
2
2

83、向量的平行与垂直 （b
?
0）

?
λa
?x
1
y< br>2
?x
2
y
1
?0
. 记法： (x
1
,y
1
)(x
2
,y
2
)
?

?
a·0
?x
1
x
2?y
1
y
2
?0
. 记法：
(x
1
,y
1
)(x
2
,y
2
)

必修⑤公式表

84、数列前
n
项和与通项公式的关系:
，n?1;
?
S
1

( 数列
{an
}
的前
a
n
?
?
S?S ， n? 2.
n?1
?
n
n项的和为
s
n
?a
1< br>?a
2
?L?a
n
).
85、等差、等比数列公式对比
n?N
?
等差数列
a?a?d

定义式
nn?1
a
n
a
n?1
等比数列
?q
(
q?0
)
通项公
式及推
广公式
中项公
式
运算性
质
前
n
项和
公式
一个性
质
b
若
a,A,b
成等差，则
A?
a?

2
a
n
?a
1
?
?
n?1
?
da
n
?a
m
?
?
n?m
?
d

a
n
?a
1
q
n?1

a
n?a
m
q
n?m
若
a,G,b
成等比，则
G< br>2
?ab

若
m?n?p?q?2r
，则
a
n
?a
m
?a
p
?a
q
?2a
r

n
?
a
1
?a
n
?
2
n?
n?1
?
?na
1
?d
2
S
n?
若
m?n?p?q?2r
，则
a
n
a
m< br>?a
p
a
q
?a
r
2

q?1,
?
na
1

?
S
n< br>?
?
a
1
1－q
n
a
1
?a
n
q


?
1?q
?
1?q
，q?1.
?

??
S
m
,S
2m
?S< br>m
,S
3m
?S
2m
成等差
数列
S
m
,S
2m
?S
m
,S
3m
?S
2m< br>成等比数列
86、解不等式

（1）、含有绝对值的不等式
当a > 0时，有
x?a?x
2
?a
2
??a?x?a
. [小于取中间]
x?a?x
2
?a
2
?x?a
或
x??a
.[大于取两边]
(2)、解一元二次不等式
ax
2
?bx?c?0,(a?0)
的步骤：
①求判别式
??0

??b
2
?4ac

??0

??0

②求一元二次方程的解： 两相异实根 一个实根
没有实根
③画二次函数
y?ax
2
?bx?c
的图象





④结合图象写出解集
?
b
?
ax
2
?bx?c?0
解集
?
xx?x
2
或x?x
1
?

?
xx??
?
R
2a
??
ax
2
?bx?c?0
?

解集
?
xx
1
?x?x
2
?

?

注：
ax
2
?bx?c?0
(a?0)
解集为R
?

ax
2
?bx?c?0
对
x?R
恒成立
?

??0

（3）高次不等式：数轴标根法(奇穿偶回，大于取上，小于取下)

（4）分 式不等式：先移项通分，化一边为0，再将除变乘，化为整
式不等式，求解。
如解分式不等式
x?1x?1(x?1)?x
??1
：先移项
?1?0;
通分
?0;

xxx
再除变乘
(2x?1)x?0
，解出。
87、线性规划：
（1）一条直线将平面分为三部分（如图）：
（2）不等式
Ax?By?C?0
表示直线
Ax?By?C?0

某一侧的平面区域，验证方法：取原点（0，0）代入不
等式，若不等式成立，则平面区域在原点所在的一侧。假如
直线恰好经过原点，则取其它点来验证，例如取点（1，0）。
（3）线性规划求最值问题： 一般情况可以求出平面区域各个顶点的
坐标，代入目标函数
z
，最大的为最大值。
选修1-1

88、充要条件
（1）若
p?q
， 则
p
是
q
充分条件，
q
是
p
必要条件.
（2）若
p?q
，且
q?p
，则
p
是
q< br>充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
89、逻辑联结词。“p或q”记作：p∨q; “p且q”记作：p∧q; 非
p记作：┐p
90、四种命题： 原命题：若p，则q 逆命题：若q，
则p
直线
Ax?By?C?0

Ax?By?C?0

Ax?By?C?0

否命题：若┐p，则┐q 逆否命题：若
┐q，则┐p
注意：（1）原命题与逆否命题同真同假，但逆命题的真假与否命题
之间没有关系；
（2）┐p是指命题P的否定，注意区别“否命题”。例如命
题P：“若
a?0
，则< br>b?0
”，那么P的“否命题”是：“若
a?0
，则
b?0
” ，而┐p是：“若
a?0
，则
b?0
”。
91、全称命题：含有“ 任意”、“所有”等全称量词（记为
?
）的
命题，如P：
?x?R,(x?1 )
2
?0

特称命题：含有“存在”、“有些”等存在量词（记为
?
）的
命题，如q：
?x?R,x
2
??1

注：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，
如上述命题p和q的否定：┐ p：
?m?R,(m?1)
2
?x?R,x
2
??1

?0
， ┐q：
92、椭圆
①定义：若F1，F2是两定点，P为动点 ，且
PF
1
?PF
2
?2a
(
a
为常数)
则P点的轨迹是椭圆。
②标准方程：焦点在x轴:
y
2
x
2
轴:
2
?
2
?1

(a?b?0)
；
ab
x
2
y
2
?
2
?1

(a?b?0)
； 焦点在
2
ab
y
长轴长=
2a
，短轴长=2b 焦距：2c 恒等式：a222 离心率：

e?
c

a
93、双曲线
①定义 ：若F1，F2是两定点，
PF
1
?PF
2
?2a
（
a
为常数），则动点P
的轨迹是双曲线。
②图形：如图
③标准方程：
焦点在x
焦点在y
x
2
y
2
轴:
2
?
2
?1

(a?0,b?0)

ab
y
2
x
2
轴:
2
?
2
?1

(a?0,b?0)

ab
实轴长=
2a
，虚轴长=2b， 焦距：2c
恒等式：a222 离心率：
e?

渐近线方程：当焦点在x轴时，渐近 线方程为
y??
b
x
；当焦点在y
a
c
a
轴时，渐近线方程为
y??
a
x

b
等轴双曲线：当
a?b
时，双曲线称为等轴双曲线，可设为
x
2
?y
2
9 4、抛物线
??
。
①定义：到定点F距离与到定直线
l
的距离相等的点M的轨迹是抛
物线（如左下图）。
②图形：
H


准线

M
F
(
p
,0)

2
F

方程
y
2
?2px,(p?0)

y
2
??2px,(p?0)

x
2
?2py,(p?0)

x
2
??2py,(p?0)

焦点： F
F
(0,?
p
)

2
(
p
,0)
2
F
(?
p
,0)
2
F
p
(0,)

2
准线方程：
x??
p

x?
p

y??
p

y?
p

2222
注意：几何特征：焦点到顶点的距离=；焦点到准线的距离=
p
；
95．导数的几何意义：
f

(x
0
)
表示曲线f(x)
在
x?x
0
处的切线的斜率
k
；
导数的物理意义：
f

(x
0
)
表示运动物体在时刻
x
0
处的瞬时速度。
96、几种常见函数的导数
(1)
C
?
?0
（C为常数）. (2)
(x
n
)'?nx
n?1
(n?Q)
.
(3)
(sinx)
?
?cosx
. (4)
(cosx)
?
??sinx
.
(5) (lnx)
?
?
1
；
(a
x
)
??a
x
lna
. (6)
(e
x
)
?
?e
x
;. （7）
x
p
2
11
()
?
??
2
x
x

97、导数的运算法则
u
'
u
'
v?uv'
(u?v)?u?v
.
(uv)?uv?uv
.
()?(v?0)
. （1）（2）（3）
vv
2
''''''98．函数的单调性与其导函数的正负的关系：
在某个区间（a , b）内，如果
f'(x)?0
，那么函数
y?
区间内单调递增；
如果
f'(x)?0
，那么函数
y?
区间内单调递减。
f(x)
在这个
f(x)
在这个

注：若函数
y?
若函数
y?
f(x)
在这个区间内单调递增，则
f'(x)?0

f(x)
在这个区间内单调递减，则
f'(x)?0

99、判别
f(x
0
)
是极大（小）值的方法
极大值
(1)求导
f
?
(x)
；
（2）令
f
?
(x)
=0，解方程，求出所有实根
x
0

极小值
（3）列表，判断每一个根
x
0
左右两侧
f'(x)
的正负情况：
如果在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
， 右侧
f
?
(x)?0
，则
f(x
0
)
是极
大值；
如果在
x
0
附近的左侧
f< br>?
(x)?0
，右侧
f
?
(x)?0
，则
f (x
0
)
是极
小值.
100、求函数在闭区间[a , b]上的最值的步骤：
（1）求函数
f(x)
的所有极值；
（2）求闭区间端点函数值
f(a),f(b)
；
（3）将各极值与
f(a),f(b)
比较，其中最大的为最大值，最小的为
最小值。
注意：（1）无论是极值还是最值，都是函数值，即
f(x
0
)
，千 万不能
写成导数值
f

(x
0
)
。
（2）若在某区间内只有一个极值，则不用与端点比较也知道
这个极值就是函数的最值。

选修1-2

101、复数
z?a?bi
，其中
a
叫做实部，
b
叫做虚部
(1)复数的相等
a?bi?c?di?a?c,b?d
.（
a,b,c,d?R
）
(2)当0≠0时为纯虚数;

(3)当0时为实数;
(4)复数z的共轭复数是
z?a?bi

(5)复数
z?a?bi
的模
|z|
=
a
2
?b
2
.
(6)i2 1, （）2 1.
(7) 复数
z?a?bi
对应复平面上的点
(a,b)
，
102、复数的四则运算法则
(1)加：
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
;
(2)减：
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
;
( 3)乘：
(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i
;类似多项式相乘
(4)除：
a?bi(a?bi)(c?di)
?
（分子、分母乘分母共轭复 数，此法
c?di(c?di)(c?di)
?
称为“分母实数化”）
103、常用不等式：
（1）重要不等式:若
a,b?R
，则
?< br>a
2
?b
2
?2ab
(当且仅当a＝b时取
“=”号 )．
（2）基本不等式:若
a?0,b?0
，则
a?b?2ab
(当且仅当a＝b时取
“=”号)．
基本不等式的适用原则可口诀表示为：一正、二定、三相等
当
ab
为定值时，
a?b
有最小值，简称“积定和最小”
当
a?b
为定值时，
ab
有最大值，简称“和定积最大”

104、推理：
（1）合情推理：包含归纳推理（从特殊到一般）和类比推理（从特
殊到特殊）
（2 ）演绎推理：从一般到特殊。三段论是演绎推理的一般模式，包
括：大前提（已知的一般原理）、小前提 （所研究的特殊情况）、结
论（根据一般原理，对特殊情况得出的判断）
105、证明：
（1）直接证明：包括综合法（又叫由因导果法）和分析法（又叫执
果索因法）
（2 ）间接证明：又叫反证法，通常假设原命题不成立，经过正确的
推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误 ，从而证明原命题成立。

坐标系与参数方程

106、极坐标系：其中
|OM|?
?

极径
?

·
M
(x,y)
点
y
极轴
x

)极角
?

（1）如图，点M的极坐标为
(
?
,
?
)

极点O
（2）极坐标与直角坐标的互化公式：
①
x?
?
cos
?
,y?
?
sin
?
; ②
?
2
107、参数方程形如
?
x
?x
2
?y
2
，
tan
?
?
y

x
?
x?f(t)
,(t为参数)
…………（*）
?y?g(t)
参数方程是借助参数
t
，间接给出
x,y
之间的关 系,而普通方程
是直接给出
x
与
y
的关系，如
x?y?1? 0

（1）圆
x
2
?y
2
?
x?rcos
?
?r
2
的参数方程是
?
,(
?
为参数)

?
y?rsin
?
?
x?acos
?
x
2
y
2
（2）椭圆
2
?
2
?1
的 参数方程
?
,(
?
为参数,a?b?0)

ab
y ?bsin
?
?
（3）参数方程与普通方程的互化：消去参数方程的参数，得
到普通方程。
消去参数的方法有：①公式法：用公式
sin
2
?< br>?cos
2
?
?1
等
②代入法：方程（*）中，由
x?
出
t?h(x)
，代入
y?g(t )

③加减消元法：方程（*）中，两式
相加（减）消去参数
t

请同学们试着将 圆的参数方程
?
?
x?a?rcos
?
化为圆的标
,(?
为参数)
，
?
y?b?rsin
?
f(t)
解
准方程，说说你用的是什么方法？

提示：解参数方程问题，通常先将参数方程化为普通方程，再
求解。

几何证明选讲

108．平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线
段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第
三边
推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分国一
腰
109．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对
应线段成比例
推论：平行于三角形的一边的直线截其他两边（或两边的延长
线），所得的对应线段成比例
110．判定两个三角形相似的方法：
预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或延长线）相
交，所构成的三角形相似
判定定理1：两角对应相等，两三角形相似
判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似
引理：若一条直线截三角形两边（或延长线）所 得的对应线段成

比例，那么直线平行第三边
111．相似三角形的性质定理：
1）相似三角形对应高、中线、角平分线的比都等于相似比
2）相似三角形周长的比等于相似比
3）相似三角形面积的比等于相似比的平方
112．直角三角形的射影定理
如图
Rt
△中，是斜边上的高，则
（1）
CD
2
（3）
AC
2
A

?AD?BD
（2）
AC?BC?AB?CD
D
B
C
?AD?AB
；
BC
2
?BD?AB

113．圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的
一半
圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角为直角
114．圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径
推论1：经过圆心垂直于切线的直线必经过切点
推论2：经过切点垂直于切线的直线必经过圆心
圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的
直线是圆的切线
115．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角
如图：
?1??2

2
1（
^

116．与圆有关的定理：
（1）相交弦定理：圆内两条相交弦，被交点分成的两条线段长
的积相等；
（2）割 线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割
线与圆的交点的两条线段长的积相等；
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这
点到割线与圆交点的两条线段长的比例中 项；
（4）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长
相等，圆心和这一点的连 线平分两条切线的夹角。