高一数学必修5数列经典例题(裂项相消法)

2．（2014?成都模拟）等比数列{a
n
}的各项均为正数，且2a
1
+3a
2
=1，a
3
=9a
2
a
6< br>，
（Ⅰ）求数列{a
n
}的通项公式；
（Ⅱ）设b
n=log
3
a
1
+log
3
a
2
+… +log
3
a
n
，求数列{
2
2
}的前n项和．
222
解：（Ⅰ）设数列{a
n
}的公比为q，由a
3
=9 a
2
a
6
有a
3
=9a
4
，∴q=．
由条件可知各项均为正数，故q=．
由2a
1
+3a
2
= 1有2a
1
+3a
1
q=1，∴a
1
=．
故数列 {a
n
}的通项式为a
n
=
（Ⅱ）b
n
=
故
则
=﹣
++…+
++…+
=﹣2（﹣
．
=﹣（1+2+…+n）=﹣
）
）]=﹣，
，
=﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣
． ∴数列{

}的前n项和为﹣7．（2013?江西）正项数列{a
n
}满足
（1）求数列{a
n}的通项公式a
n
；
（2）令b
n
=
﹣（2n﹣1）a
n
﹣2n=0．
，求数列{b
n
}的前n项和T
n
．
解：（1）由正项数 列{a
n
}满足：
可有（a
n
﹣2n）（a
n
+1 ）=0
∴a
n
=2n．
（2）∵a
n
=2n，b
n
=，
﹣（2n﹣1）a
n
﹣2n=0，
∴b
n
=
=
=
T
n
=
=
=．

，


数列{b
n
}的前n项和T
n
为

．

6．（2013?山东）设等差数列{a
n
}的前n项和 为S
n
，且S
4
=4S
2
，a
2n
=2a
n
+1．
（Ⅰ）求数列{a
n
}的通项公式；
（Ⅱ）设 数列{b
n
}满足=1﹣，n∈N，求{b
n
}的前n项和T
n．
*
解：（Ⅰ）设等差数列{a
n
}的首项为a
1
， 公差为d，由S
4
=4S
2
，a
2n
=2a
n+1有：
解有a
1
=1，d=2．
*
∴a
n
=2n﹣1，n∈N．
（Ⅱ）由已知++…+=1﹣，n∈N，有：
*
，
当n=1时，=，
当n≥2时，=（1﹣）﹣（1﹣）=，∴，n=1时符合．
∴=，n∈N
*
*
由（Ⅰ）知，a
n
=2n﹣1，n∈N．
∴b
n
=，n∈N．
*
又T
n
=+++…+，
∴T
n
=++…++，
两式相减有：T
n
=+（++…+）﹣
=﹣﹣
∴T
n
=3﹣









．
28．（2010?山东）已知等差数列{a
n
}满足：a
3
=7，a
5
+a
7
=26．{an
}的前n项和为S
n
．

（Ⅰ）求a
n
及S
n
；
（Ⅱ）令（n∈N），求数列{b
n
}的前n项和T
n
．
*
解：（Ⅰ）设等差数列{a
n
}的公差为d，
∵a
3
=7，a
5
+a
7
=26，
∴有，
解有a
1
=3，d=2，
∴a
n
=3+2（n﹣1）=2n+1；
S
n
==n+2n；
2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a
n
=2n+1，
∴b
n
====，
∴T
n
=
即数列{b
n
}的前n项和T
n
=

25．（2008?四川）在数列{an
}中，a
1
=1，
（Ⅰ）求{a
n
}的通项公式；
（Ⅱ）令
．
==，
．
，求数列{b
n
}的前n项和S
n
；
（Ⅲ）求数列{a
n
}的前n项和T
n
．

解：（Ⅰ）由条件有，又n=1时，，
故数列构成首项为1，公式为的等比数列．∴，即．
（Ⅱ）由
两式相减，有：
（Ⅲ）由
有，
，∴
有
．
．
，
∴T
n
=2S
n
+2a
1
﹣2a
n+1
=




．
3．（2010?四川）已知等差数列{a
n
}的前3项和为6，前8项和为﹣4．

（Ⅰ）求数列{a
n
}的通项公式；
n
﹣
1*
（Ⅱ）设b
n
=（4﹣a
n
）q（q≠0，n∈N），求数列{ b
n
}的前n项和S
n
．
解：（1）设{a
n
}的公差为d，
由已知有
解有a
1
=3，d=﹣1
故a
n
=3+（n﹣1）（﹣1）=4﹣n；
n
﹣
1
（2）由（1）的解答有，b
n
=n?q，于是 < br>012n
﹣
1
S
n
=1?q+2?q+3?q+…+n?q．
若q≠1，将上式两边同乘以q，有
123n
qS
n
=1?q+2?q+3?q+…+n?q．
上面两式相减，有
（q﹣1）S
n
=nq﹣（1+q+q+…+q
=nq﹣
n
n2n
﹣
1
）

于是S
n
=
若q=1，则S
n
=1+2+3+…+n=
∴，S
n
=．






















4．（2010?四川）已知数列{ a
n
}满足a
1
=0，a
2
=2，且对任意m、n∈N都有 a
2m
﹣
1
+a
2n
﹣
1
=2a
m+n
﹣
1
+2（m﹣n）
*2

（1）求a
3
，a
5
；
*< br>（2）设b
n
=a
2n+1
﹣a
2n
﹣
1< br>（n∈N），证明：{b
n
}是等差数列；
n
﹣
1*
（3）设c
n
=（a
n+1
﹣a
n
）q（q≠0，n∈N ），求数列{c
n
}的前n项和S
n
．
解：（1）由题意，令m= 2，n=1，可有a
3
=2a
2
﹣a
1
+2=6
再令m=3，n=1，可有a
5
=2a
3
﹣a
1
+8=20
*
（2）当n∈N时，由已知（以n+2代替m）可有
a
2n+3
+a
2n
﹣
1
=2a
2n+1
+8
于是[a2
（
n+1
）
+1
﹣a
2
（
n+1< br>）﹣
1
]﹣（a
2n+1
﹣a
2n
﹣
1）=8
即b
n+1
﹣b
n
=8
∴{b
n
}是公差为8的等差数列
（3）由（1）（2）解答可知{bn
}是首项为b
1
=a
3
﹣a
1
=6，公差为 8的等差数列
则b
n
=8n﹣2，即a
2n+1
﹣a
2n
﹣
1
=8n﹣2
另由已知（令m=1）可有
a
n
=﹣（n﹣1）．
2
∴a
n+1
﹣a
n
=
n
﹣
1
﹣2n+1=﹣2n+1=2n
于是c
n
=2nq．
当q=1时，S
n
=2+4+6++2n=n（n+1）
012n
﹣
1
当q≠1时，S
n
=2?q+4?q+6?q+…+2n?q．
两边同乘以q，可有
qS
n
=2?q+4?q+6?q+…+2n?q．
上述两式相减，有
（1﹣q）S
n
=2（1+q+q+…+q
=2?﹣2nq
n
2n
﹣
1
123n
）﹣2nq
n
=2?
∴S
n
=2?
综上所述，S
n
=











．
16．（2009?湖北）已知数 列{a
n
}是一个公差大于0的等差数列，且满足a
3
a
6
=55，a
2
+a
7
=16

（1）求数列{a
n
}的通项公式；
（2）数列{a
n
}和数列{b
n
}满足等式a
n
=
解：（1）设等差数 列{a
n
}的公差为d，
则依题意可知d＞0由a
2
+a
7
=16，
有，2a
1
+7d=16①
由a
3
a
6
=55，有（a
1
+2d）（a
1
+5d）=55②
由①②联立方程求，有
d=2，a
1
=1d=﹣2，a
1
=（排除）
（n∈N），求数列{b
n
}的前n项和S
n
．
*
∴a
n
=1+（n﹣1）?2=2n﹣1
（2）令c
n
=，则有a
n
=c
1
+c
2
+…+c
n< br>
a
n+1
=c
1
+c
2
+…+c
n+1

两式相减，有
a
n+1
﹣a
n
=cn+1
，由（1）有a
1
=1，a
n+1
﹣a
n
=2
∴c
n+1
=2，即c
n
=2（n≥2），
即当n≥2时，
n+1
b
n
=2，又当n=1时，b
1< br>=2a
1
=2
∴b
n
=
34n+1
于是 S
n
=b
1
+b
2
+b
3
+…+b
n
=2+2+2+…2
．

=2
n+2
﹣6，n≥2，