新课标高中数学必做100题(必修5)

【精品练】高中数学必做100题—回归必修5
时量：120分钟 班级： 姓名： 计分：
（说明：《必修5》共精选13题，每题12分，“◎”为 教材精选，“☆”为《精讲精练.必修5》精选）

1. 在△ABC中，若
acosA?bcosB
，判断△ABC的形状. （☆P
6
3）


2. 在△
ABC
中，a
，
b
，
c
分别是角
A
、
B
、
C
的对边，且
a
＋
b
＝
c
＋
2
ab
.
（1）求C； （2）若


3. 如图，我炮 兵阵地位于A处，两观察所分别设于C，D，已知△ACD为边长等
于a的正三角形．当目标出现于B时 ，测得∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，试求
炮击目标的距离AB． （☆P
8
8）




4. 已知数列
{a
n
}
的第1项是1，第2项是2，以后各项由
a
n
?a
n?1
? a
n?2
(n?2)
给出.
（1）写出这个数列的前5项； （2）利用上 面的数列
{a
n
}
，通过公式
b
n
?
的数 列
{b
n
}
，试写出数列
{b
n
}
的前5 项. （◎P
34
B3）



222
tanB2a?c
，求A． （☆P
6
8）
?
tanCc
a
n?1
构造一个新
a
n
1
n
，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列
2
吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？（◎P
44
例3）



6.（09年福建卷.文17）等比数列
{a
n
}
中，已知
a
1
?2,a
4
?16
. （☆P
38
8）
5. 已知数列
?
a
n
?的前
n
项和为
S
n
?n
2
?
（1）求 数列
{a
n
}
的通项公式；
（2）若
a
3
,a
5
分别为等差数列
{b
n
}
的第3项和第5项，试求 数列
{b
n
}
的通项公式及前
n
项和
S
n
.


7. 若一等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50， 那么它的前15项的和等于多少？
（◎P
58
2）


8. 已知数列
?
a
n
?
的前
n
项和为< br>S
n
，
S
n
?(a
n
?1)(n?N
*
)
. （☆P
32
9）
1
3

< br>（1）求
a
1
,a
2
;
（2）求证：数列
?
a
n
?
是等比数列.


9. 已知不等式
x
2
?2x?3?0
的解集为A，不等式
x
2
?x?6?0
的解集是B. （☆P
42
9）
（1 ）求
AB
；（2）若不等式
x
2
?ax?b?0
的解集是< br>AB,
求
ax
2
?x?b?0
的解集.



10. 某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖 出30盏；若售
价每提高1元，日销售量将减少2盏. 为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应
怎样制定这批台灯的销售价格？ （◎P
81
6）




11. 电视台应某企业之约播放两套连续剧. 其中，连续剧甲每次播放时间为80 min，广告时
间为1 min，收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40 min，广告时间为1 min，收视
观众为20万. 已知此企业与电视台达成协议，要求电视台每周至少播放6 min广告，而电视
台每周播放连续剧的时间不能超过320分钟. 问两套连续剧各播多少次，才能获得最高的收
视率? （◎P
93
3）




12. 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m
3
，深为3 m，如果池底每平方 米
的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造
价是多少元？（◎P
99
例2）



13. 经过 长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量
y
（千辆小时）与汽
92 0v
(v?0)
．
2
v?3v?1600
（1）在该时段内，当汽 车的平均速度
v
为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
车的平均速度
v
（千米小时）之间的函数关系为：
y?















参考答案
1. 在△ABC中，已知
a?3
，
b?2
，B=45? ，求A、C及c. （☆P
4
8）

asinB3sin453
??
. ……（3分）
b2
2
∵B=45?<90?，且bbsinC2sin756?2
当A=60?时，C=75?，
c?< br>；……（9分）
??
sinBsin452
bsinC2sin156?2< br>当A=120?时，C=15?，
c?
. ……（12分）
??
s inBsin452
解二：根据余弦定理，
b
2
?a
2
?c
2
?2accosB
.
6?2
将已知条件代入，整理得
c
2
?6c?1?0
，解得
c?
. ……（6分）
2< br>6?2
2
2?()?3
222
6?2
b?c?a1?3?2
当
c?
时，
cosA????
，
2
2bc
6?22(3?1)
2
2?2?
2
从而A=60? ，C=75?； ……（10分）
6?2
当
c?
时，同理可求得：A=120? ，C=15? . ……（12分）
2

2. 在△ABC中，若
acosA?bcosB
，判断△ABC的形状. （☆P
6
3）
b
2
?c
2
?a
2a
2
?c
2
?b
2
解：
cosA?
，
cosB?
，
2bc2ac
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?c
2
?b
2
??a??b< br> ……（4分）
2bc2ac
化简得：
a
2
c
2
?a
4
?b
2
c
2
?b
4
，即
a
2
?b
2
c
2
?a
2
?b2
a
2
?b
2
. ……（9分）
解一：根据正弦 定理，
sinA?
??????
①若
a
2
?b
2< br>?0
时，
a?b
，此时
ABC
是等腰三角形；
②若
a
2
?b
2
?0
，
a
2
?b2
?c
2
，此时
ABC
是直角三角形，
所以
ABC
是等腰三角形或直角三角形. ……（12分）

3. 在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且a
2
＋b
2
＝c
2
＋
2
ab.
tanB2a?c
，求A． （☆P
6
8）
?
tanCc
a
2
?b
2
?c
2
2
222
解：（1）∵ a＋b＝c＋
2
ab， ∴ ，
?
2ab2
2
∴ cosC＝， ∴ C＝45°. ……（6分）
2
tanB2a?c2sinA?sin CsinBcosC2sinA?sinC
（2）由正弦定理可得， ∴
???
tanCcsinCcosBsinCsinC
∴ sinBcosC＝2sinAcosB-sinCcosB， ∴ sinBcosC＋sinCcosB＝2sinAcosB，
∴ sin(B＋C)＝2sinAcosB， ∴ sinA＝2sinAcosB. ……（9分）
1
∵ sinA≠0， ∴ cosB＝， ∴ B＝60°， A＝180°－45°－60°＝75°. ……（12分）
2

B
4. 如图，我炮兵阵地位于A处，两观察所分别设于C，D，已知△
（1）求C； （2）若
AC D为边长等于a的正三角形．当目标出现于B时，测得∠CDB＝
45°，∠BCD＝75°，试求炮击 目标的距离AB．（结果保留根式形
D C
A

式）（☆P
8
8）
解：在
?BCD
中，
?DBC?60?
，
∴
BC?
aBC
.
?
sin60?sin45?
6
a
. ……（5分）
3
在
?ABC
中，
?BCA?135?
，
62
65?23
2
AB
2
?(a)?a
2
?2? a?a?cos135??a
.
333
∴
AB?
5?23
a
. ……（12分）
3


5. 如图，一架直升飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知
飞机的高度为海拔10千米 ，速度为180千米小时，飞行员先看到
山顶的俯角为
30?
，经过2分钟后又看到山 顶的俯角为
75
，求山
顶的海拔高度. （☆P
9
例2）
解：在
?ABP
中，
?BAP?30?
，
?APB?75??30 ??45?
，
2
?6
. ……（3分）
60
ABBP6BP
根据正弦定理，， ，
BP?32
. ……（6分）
??
sin?APBsin?BAPsin4?5si?n30
3?33
. ……（10分）
BPsin75??32?sin(45??30?)?
2
3?33 17?33
所以，山顶P的海拔高度为
h?10?
（千米）. ……（12分）
?
22

6. 已知数列
{a
n
}
的第1 项是1，第2项是2，以后各项由
a
n
?a
n?1
?a
n? 2
(n?2)
给出.
（1）写出这个数列的前5项；
a
（2）利 用上面的数列
{a
n
}
，通过公式
b
n
?
n?1
构造一个新的数列
{b
n
}
，试写出数列
{b
n
}
的
a
n
前5项. （◎P
34
B3） < br>解：⑴由
a
1
?1,a
2
?2,a
n
?a< br>n?1
?a
n?2
，得
a
3
?a
2
?a
1
?2?1?3
，
a
4
?a
3
?a< br>2
?2?3?5

a
5
?a
4
?a
3
?3?5?8
； ……（5分）
aa
aa
2358
⑵依题意有：
b
1
?
2
??2
，
b
2
?
3
?
，< br>b
3
?
4
?
，
b
4
?
5< br>?
，
a
1
1a
2
2a
3
3a4
5
aa?a
4
5?813
b
5
?
6
?
5
??
. ……（12分）
a
5
a
5
88

1
7. 已知数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
? n
2
?n
，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列
2
吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？（◎P
44
例3）
3
解：⑴①当
n?1
时，
a
1
?s
1
?
； ……（2分）
2
n
??
11
2< br>??
②当
n?2
时，由
a
n
?s
n
?s
n?1
得
a
n
?
?
n
2
?< br>?
?
?
?
n?1
?
?
?
n?1?
?
?2n?
……（7分）
2
??
22
? ?
AB?180?

311
满足
a
n
?2n?
，所以此数列的通项公式为
a
n
?2n?
. ……（9分） 222
1
??
1
??
⑵因为
a
n
?a
n?1
?
?
2n?
?
?
?
2
?< br>n?1
?
?
?
?2
，
2
??
2
??
3
所以此数列是首项为，公差为2的等差数列. ……（12分）
2

8.（09年福建卷.文17）等比数列
{a
n
}中，已知
a
1
?2,a
4
?16
. （☆P
38
8）
（1）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（2）若
a
3
,a
5
分别为等差数列
{b
n
}
的第3 项和第5项，试求数列
{b
n
}
的通项公式及前
n
项和S
n
.
又
a
1
?
解：（1）设
{a
n
}
的公比为
q
， 由已知得
16?2q
3
，解得
q?2
. ……（3分）
所以
a
n
?22
n?1
?2
n
. ……（4分）
（2）由（1）得
a
2
?8
，
a
5
?32
，则
b
3
?8
，
b
5
?3 2
. ……（6分）
?
b
1
?2d?8
?
b< br>1
??16
设
{b
n
}
的公差为
d
，则有
?
解得
?
. ……（9分）
b?4d?32
d ?12
?
?
1
从而
b
n
??16?12(n?1) ?12n?28
. ……（10分）
所以数列
{b
n
}
的前
n
项和
S
n
?
n(?16?12n?28)
?6n
2
?22n
. ……（12分）
2

9. 如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么它的前15项的和等于
多少？ （◎P
58
2）
解法一：
S
5
?10,S
10
?50
，
?S
10
?S
5
?40,S
15
?S
10
?S
15
?50
， ……（3分）
又< br>S
5
,S
10
?S
5
,S
15
?S
10
成等比数列，所以
40
2
?10
?
S
15
?50
?
， ……（8分）
所以
S
15
?210
. ……（12分）
解法二：设等比数列的首项为
a
1
，公比为
q
，则： S
10
?
?
a
1
?a
2
??a
5
?
?
?
a
6
?a
7
??a
1 0
?
=
S
5
?q
5
S
5
=
1?q
5
S
5
?50
①，
??
同理
S
15
?S
10
?q
10
S
5
②，因为S
5
?10
，所以由①得
q
5
?
得
S
15
?S
10
?qS
5
?50?16?10?210
.

S
10
?1?4
，所以
q
10
? 16
，代入②，
S
5
1
3
（1）求
a
1< br>,a
2
;
（2）求证：数列
?
a
n
?
是等比数列.
1
3
1
2
10. 已知数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，
S
n
? (a
n
?1)(n?N
*
)
. （☆P
32
9）
解：（1）
a
1
?S
1
?(a
1
? 1)
，解得
a
1
??
. ……（2分）
1
. ……（5分）
4
111
（2）
S
n?1
?(a
n ?1
?1)
，则
a
n?1
?S
n?1
?S
n
?(a
n?1
?1)?(a
n
?1)
， ……（8分）
333
a
1
整理为
2a
n?1
??a
n< br>，即
n
??
，所以
{a
n
}
是等比数列. ……（12分）
a
n?1
2

11 已知不等式
x
2
?2x?3?0
的解集为A，不等式
x
2
?x?6?0
的解集是B. （☆P
42
9）
（1）求
AB
；（2）若不等式
x
2
?ax?b?0
的解集是
AB,
求
ax
2
?x?b?0
的解集.
解：（1）解
x
2
?2x?3?0
得
?1?x?3
，所以
A?(?1,3)
. ……（3分）
由
S
2
?(a
2
?1)?a
1
?a
2
???a
2
，解得
a
2
?1
3
1
2

解
x
2
?x?6? 0
得
?3?x?2
，所以
B?(?3,2)
. ∴
AB?(?1,2)
. ……（6分）
?
1?a?b?0
?< br>a??1
（2）由
x
2
?ax?b?0
的解集是
(? 1,2)
，所以
?
，解得
?
……（9分）
4?2a?b?0
b??2
?
?
∴
?x
2
?x?2?0
，解得解集为R. ……（12分）

12. 某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售
价每提高1元，日销售量将减少2盏. 为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应
怎样制 定这批台灯的销售价格（不能低于15元）？ （◎P
81
6）
?
?< br>x?15
解：设每盏台灯售价
x
元，则
?
， ……（6分）
?
x?
?
30?2
?
x?15
?
?
?
?400
?
即
15?x?20
，所以售价在
x15?x ?20
?
. ……（12分）

13. 电视台应某企业之约播放两套连续剧. 其中，连续剧甲每次播放时间为80 min，广告时
间为1 min，收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40 min，广告时间为1 min，收视
观众为20万. 已知此企业与电视台达成协议，要求电视台每周至少播放6 min广告，而电视
台每周播放连续剧的时间不能超过320分钟. 问两套连续剧各播多少次，才能获得最高的收
视率? （◎P
93
3）
解：将所给信息用下表表示.

每次播放时间(单位:min) 广告时间(单位:min) 收视观众(单位:万)
80 1 60
连续剧甲
40 1 20
连续剧乙

限制条件 播放最长时间320 最少广告时间6
设每周播放连续剧甲x次，播放连续剧乙y次，收视率为z. 则目标函数为z=60x+20y，
?
80x?40y?320
?
x?y? 6
?
约束条件为
?
，作出可行域如右图. ……（5分）
x?0
?
?
?
y?0
作平行直线系
y??3x?
?
zz
，由图可知，当直线过点A时纵截距
2020
最大. ……（6分）
?
80x?40y?320
解方程组
?
，得点A的坐标为(2，4)，z< br>max
=60x+20y=200 (万). …（11分）
x?y?6
?< br>所以，电视台每周应播放连续剧甲2次，播放连续剧乙4次，才能获得最高的收视率.

14. 已知
x,y
为正数. （☆P
52
8）
（1 ）若
19
（2）若
x?2y?2
，求
xy
的最大值.
??1
，求
x?2y
的最小值；
xy
解：（1）∵
19
??1
，
xy
2y9x
192y9x
??19?62
. ……（4分）
?
∴
x?2y?(x?2y)(?)?1?18?
≥
19?2xy
xyxy
当且仅当
2y9x
?
时，上式取等号. 所以
x?2y
的最小值为
19?62
. ……（6分）
xy
11x?2y2
x2y??
. ……（10分）
22
22
（2）
xy?

当且仅当
x?2y
即
x ?1,y?
1
时等号成立. ……（12分）
2

15. 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m
3
，深为3 m，如果池底每平方 米
的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造
价是多少元？（◎P
99
例2）
解：设水池底面一边的长度为x m，则另一边的长度为
据题意，得
4800
m，又设水池总造价为y元. 根
3x
48004800
＋120（2×3x＋2×3×） ……（4分）
33x
1600
＝240000＋720（x＋） ……（6分）
x
1600
≥240000＋720×2
x?
＝24 0000＋720×2×40＝297600. ……（9分）
x
1600
当x＝，即x＝40时，y有最小值297600. ……（11分）
x
因此，当水池的底面是边长为40 m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600
元.

16. （2 005年北京春招）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量
y
（千辆 小时）与汽车的平均速度
v
（千米小时）之间的函数关系为：
920v
y?< br>2
(v?0)
．
v?3v?1600
（1）在该时段内，当汽车的平 均速度
v
为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
920v920920
解：（1）依题意得
y?
． ……（4分） ??
1600
83
21600?3
(v?)?3
v
92 0
1600
当且仅当
v?
即
v?40
时取等号．故
y
max
?
千辆 小时． ……（6分）
83
v
920v
（2）由条件得
2
?10
．……（8分）
v?3v?1600
整理得
v
2
?89v?1600?0
． ……（10分）
解得
25?v?64
． ……（12分）

y＝150×