高中数学研究性课题体会-初高中数学题app
必修五
第一章 解三角形
1.在△ABC中,AB=5,BC=6,AC=8,则△ABC的形状是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.非钝角三角形 5
2
+6
2
-8
2
3
解析:最大边AC所对角
为B,则cosB==-<0,∴B为钝角. 答案 C
2×5×620
2.在△ABC中,
已知a=1,b=3,A=30°,B为锐角,那么A,B,C的大小关系为( )
A.A>B>C
B.B>A>C C.C>B>A D.C>A>B
abbsinA3
解析
由正弦定理=,∴sinB==.
sinAsinBa2
∵B为锐角,∴B=60°,则C=90°,故C>B>A. 答案
C
3.在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则b等于( )
A.42
32
B.43 C.46 D.
3
3
2
asinB
8×sin60°
解:由A+B+C=180°,可求得A=45°,由正弦定理,得b===
sinA
sin45°
8×
2
2
=46.
答案 C →→
4.在△ABC中,AB=5,BC=7,AC=8,则BA
·BC
的值为(
)
A.5 B.-5 C.15 D.-15
解析
在△ABC中,由余弦定理得
AB
2
+BC
2
-AC
2<
br>25+49-641
cosB===.
7
2AB·BC2×5×7
→
→→→
1
∴BA
·BC
=|BA|·|BC|cosB=5×7×=5.
答案 A
7
5.若三角形三边长之比是1:3:2,则其所对角之比是( )
A.1:2:3 B.1:3:2 C.1:2:3 D.2:3:2
a
2
+
解析 设三边长分别为a,3a,2a,设最大角为A
,则cosA=
3a
2
-2a
2
2·a·3a
=0,∴A=
90°.
设最小角为B,则cosB=
2a
2
+3a
2
-
a
2
2·2a·3a
=
3
,
2
∴B=30°,∴C=60°. 因此三角之比为1:2:3. 答案 A
6.在△ABC中,若a=6,b=9,A=45°,则此三角形有( )
A.无解
B.一解 C.两解 D.解的个数不确定
2
9×
2
3
2babsinA
解析 由=,得sinB===>1.
sinBsinAa64
∴此三角形无解. 答案 A
7.已知△ABC的外接圆
半径为R,且2R(sin
2
A-sin
2
C)=(2a-b)sinB(其
中a,b分别为A,B的对边),那么角C
的大小为( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
解析 根据正弦定理,原式可化为
c
?
b<
br>?
a
2R
?
2
-
2
?
=(2a-b
)·, ∴a
2
-c
2
=(2a-b)b,∴a
2
+b2
-c
2
=2ab,
2R
?
4R4R
?a
2
+b
2
-c
2
2
∴cosC==,∴C=
45°. 答案 B
2ab2
8.在△ABC中,已知sin
2
A+si
n
2
B-sinAsinB=sin
2
C,且满足ab=4,则该三角形的面
积为( )
A.1 B.2 C.2 D.3
abc
解析 由==
=2R,又sin
2
A+sin
2
B-sinAsinB=sin
2
C,
sinAsinBsinC
a
2
+b
2
-c
2
13
可得a+b-ab=c.∴cosC==,∴C=60°,sinC=. 2ab22
222
22
1
∴S
△ABC
=absinC
=3.答案 D
2
sinB
9.在△ABC中,A=120°,AB=5,BC=7,则的值为(
)
sinC
8
A.
5
553
B. C.
D.
835
解析 由余弦定理,得
AB
2
+AC
2
-BC
2
sinBAC3
cosA=,解得AC=3.
由正弦定理==. 答案 D
sinCAB5
2AB·AC
10.在三角形ABC
中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC的大小为( )
2π5π3π
A.
B. C.
364
π
D.
3
AB
2
+A
C
2
-BC
2
5
2
+3
2
-7
2
12π
解析 由余弦定理,得cos∠BAC===-,∴∠BAC=.
23
2AB·AC2×5×3
答案 A
11.有一长为1
km的斜坡,它的倾斜角为20°,现要将倾斜角改
为10°,则坡底要加长( )
A.0.5 km B.1 km C.1.5 km
解析
如图,AC=AB·sin20°=sin20°,
AC
BC=AB·cos20°=cos
20°,DC==2cos
2
10°,
tan10°
∴DB=DC-BC=2cos
2
10°-cos20°=1.
答案 B
12.已知△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=c=6+2,且A=7
5°,则b为( )
D.
3
km
2
A.2
B.4+23 C.4-23 D.6-2
解析 在△ABC中,由余弦定理,得a
2
=b
2
+c
2
-2bccosA,∵a=c,∴0=b
2<
br>-2bccosA=b
2
-2b(6+2)cos75°,
2
?
31
?
1
-
?
=(6-2),∴b
2
-2b(6
+2)cos75°=
?
2
?
22
?
4
而cos7
5°=cos(30°+45°)=cos30°cos45°-sin30°sin45°=
1
b
2
-2b(6+2)·(6-2)=b
2
-2b=0,解得b=2,或b
=0(舍去).故选A. 答案 A
4
13.在△ABC中,A=60°,C=45°,b=
4,则此三角形的最小边是____________.
bsinC4sin45°
解析
由A+B+C=180°,得B=75°,∴c为最小边,由正弦定理,知c===4(3-1). 答案
4(3
sinB
sin75°
-1)
14.在△ABC中,若b=2a,B=A+60°,则A=________.
解析
由B=A+60°,得
13
sinB=sin(A+60°)=sinA+cosA. 22
(2)边c的长度及△ABC的面积.
解
(1)由2sin(A+B)-3=0,得sin(A+B)=
3
.
2
∵△ABC为锐角三角形,∴A+B=120°,∴∠C=60°.
(2)∵a,b是方程x
2
-23x+2=0的两个根,
∴a+b=23,ab=2.
∴c
2
=a
2
+b
2
-2abcosC=(a+b)
2
-3ab=12-6=6.
∴c=6.
1133
S
△
ABC
=absinC=
×2×
=.
2222
19.(12分)如右图,某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°,距离为126
nmile,在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°,距离为83
nmile,货轮由A处
向正北航行到D处时,再看灯塔B在北偏东120°,求:
(1)A处与D处的距离;
(2)灯塔C与D处的距离.
2
126×2
ABsinB
6,由正弦定理,得AD===24(nmile).
sin∠ADB
3
2
解
(1)在△ABD中,∠ADB=60°,B=45°,AB=12
(2)在△ADC中,由余弦定理,得
CD
2
=AD
2
+
AC
2
-2AD·AC·cos30°.
解得CD=83(nmile).
∴A处与D处的距离为24 nmile,灯塔C与D处的距离为83 nmile.
20.
(12分)已知△ABC的角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量m=(a,b),n=(sinB,
sinA),p=(b-2,
a-2).
(1)若m∥n,求证:△ABC为等腰三角形;
π
(2)若m⊥p,边长c=2,角C=,求△ABC的面积.
3
解 (1)证明:∵m∥n,∴asinA=bsinB.
由正弦定得知,sinA=
为等腰三角形.
(2)∵m⊥p,∴m·p=0,∴a(b-2)+b(a-2)=0,∴a+b=ab.
由余弦定理c
2
=a
2
+b
2
-2abcosC得
4=(a+b)
2
-3ab,即(ab)
2
-3ab-4=0.
解得ab=4,ab=-1(舍去).
11
π
∴△ABC的面积S=absinC=
×4×sin
=3.
223
第二章 数列
abab
,sinB=(其中R为△ABC
外接圆的半径),代入上式,得a·=b·,∴a=b.故△ABC
2R2R2R2R
1.已知
正项数列{a
n
}中,a
1
=l,a
2
=2,(n≥2),
则a
6
=( )
A.16 B.4 C.2 D.45
【解答】解:∵
正项数列{a
n
}中,a
1
=1,a
2
=2,2a
n
2
=a
n+1
2
+a
n
﹣
1
2
(n≥2),
∴a
n+1
2
﹣a
n
2
=
a
n
2
﹣a
n
﹣
1
2
,
∴数列
{a
n
2
}为等差数列,首项为1,公差d=a
2
2
﹣a<
br>1
2
=3,
∴a
n
2
=1+3(n﹣1)=3n﹣2,∴a
n
=
∴a
6
==4, 故选:B
2.《丘建算经》卷上第22题﹣﹣“女子织布
”问题:某女子善于织布,一天比一天织得快,而且每天增加的数量
相同.已知第一天织布5尺,30天
共织布390尺,则该女子织布每天增加( )
A.尺 B.尺 C.尺 D.尺
【解答】解:设该妇子织布每天增加d尺,
由题意知,解得d=.
故该女子织布每天增加尺.故选:B.
3.已知数列{a
n
}满足a
1
=1,a
n+1
=
A.16 B.20 C.33
D.120
,则其前6项之和是( )
【解答】解:∵a
1
=1,a
n+1
=,
∴a
2
=2a
1
=2,a
3
=a
2
+1=2+1=3,a
4
=2a
3
=6,a
5
=a
4
+1=7,
a
6
=2a
5
=14
∴其前6项之和是1+2+3+6+7+14=33故选C.
4.定义
则
为
n个正数p
1
,p
2
,…p
n
的“均倒数”.若已知数列{
a
n
}的前n项的“均倒数”为
=( )
,又,
A. B.
C. D.
【解答】解:由已知得,∴a
1
+a
2
+…+a
n
=n(2n+1)=S
n
当n≥2时,a
n
=Sn
﹣S
n
﹣
1
=4n﹣1,验证知当n=1时也成立,∴an
=4n﹣1,
∴,∴
∴=(1-)+. 故选C.
5.已知等
比数列{a
n
}是递增数列,S
n
是{a
n
}的前n项和.
若a
1
,a
3
是方程x
2
﹣5x+4=0的两个根,则S<
br>6
= 63 .
【解答】解:解方程x
2
﹣5x+4=0,得x1
=1,x
2
=4.
因为数列{a
n
}是递增数列,
且a
1
,a
3
是方程x
2
﹣5x+4=0的两个根, 所以a
1
=1,a
3
=4.设等比数列{a
n
}的公比
为q,则,所以q=2.
则. 故答案为63.
6.如图给出一个“三角形数阵”.已知每
一列数成等差数列,从第三行起,每一行数成等比数列,而且每一行的公
比都相等,记第i行第j列的数
为a
ij
(i≥j,i,j∈N
*
),则a
53
等于
,a
mn
= (m≥3).
【解答】解:①第k行的所含的数的个数为k,∴前n行所含的数的总数=1+2+…+n=.
a
53
表示的是第5行的第三个数,由每一列数成等差数列,且第一列是首项为,公差d=<
br>一列的第5 个数=;
的等差数列,∴第
又从第三行起,每一行数成等比数列,而且每
一行的公比都相等,由第三行可知公比q==,∴第5行是以为首项,
为公比的等比数列,∴.
②a
mn
表示的是第m行的第n个数,由①可知:第一列的第m 个数=,∴.
故答案分别为,.
7.等差数列{a
n
}中,a
7
=4,
a
19
=2a
9
,
(Ⅰ)求{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)设b
n
=,求数
列{b
n
}的前n项和S
n
.
【考点】8E:数列的求和;84:等差数列的通项公式.
【分析】(I)由a
7<
br>=4,a
19
=2a
9
,结合等差数列的通项公式可求a
1<
br>,d,进而可求a
n
(II)由,利用裂项求和即可求解
【解答】解:(I)设等差数列{a
n
}的公差为d
∵a
7
=4,a
19
=2a
9
,∴
解得,a
1
=1,d=∴
(II)∵
∴
8.已知等差
数列{a
n
},的前n项和为S
n
,且a
2
=2,S
5
=15,数列{b
n
}满足b
1
=,b
n+1
=.
(1)求数列{a
n
},{b
n
}的通项公式;
(2)记T
n
为数列{b
n
}的前n项和,
请说明理由.
,试问f(n)是否存在最大值,若存在,求出最大值,若不存在
将b
n
整理
,得到{}是首项为,公比为的等比数列,应用等比数列的通项即可求出b
n
;
(2
)运用错位相减法求出前n项和T
n
,化简f(n),运用相邻两项的差f(n+1)﹣f(n
),判断f(n)的增减性,
从而判断f(n)是否存在最大值.
【解答】解:(1)设等差数列{a
n
}首项为a
1
,公差为d,
则解得a
1
=1,d=1,∴a
n
=n,又,
即{}是首项为,公比为的等比数列,
∴,∴;
(2)由(1)得:,
,
相减,得, =,
∴,又S
n
=n(n+1),
∴,
∴,
当n>3时,f(n+1)﹣f(n)<0,数列{f(n)}是递减数列,
又,,
∴f(n)存在最大值,且为.
9.设数列的前项
n
和为,若对于任意的正整数
n
都有.
(1)设,求证:数列是等比数列,并求出的通项公式。
(2)求数列的前
n
项和.
解:(1)∵对于任意的正整数都成立,∴
两式相减,得
∴, 即
∴,即对一切正整数都成立。
∴数列是等比数列。
由已知得
S
1
?2a
1
?3
即
a
1
?2a
1
?3,?a
1
?3
∴首项,公比q=2,∴。。
(2)
Q
na
n
?3?n?
2
n
?3n,
?S
n
?3(1?2?2?2
2
?3
?2
3
?
L
?n?2
n
)?3(1?2?3?
L<
br>?n),
2S
n
?3(1?2
2
?2?2
3
?3?2
4
?
L
?n?2
n?1
)?6(1?2?3?L
?n),
?S
n
?3(2?2
2
?2
3?
L
?2
n
)?3n?2
n?1
?3(1?2?3?<
br>L
?n),
2(2
n
?1)3n(n?1)
?3??6n?2
n
?
2?12
3n(n?1)
?S
n
?(6n?6
)?2
n
?6?.
2
10.设数列{
a
n
}的前<
br>n
项为
S
n
,点
(1)求数列{
a
n
}的通项公式。
均在函数
y
=
3
x
-2的图象上.
(2)设,T
n
为数列{
b
n
}的前
n
项和,求使得对所有都成立的最小正整数
m
.
解:(1)∵点在函数
y
= 3
x
-2的图象上,
?<
br>S
n
?3n?2,即S
n
?3n
2
?2n
n
∴
a
1
=
s
1
=1
当<
br>n?2时,a
n
?S
n
?S
n?1
?(3n
2
?2n)?[3(n?1)
2
?2(n?1)]?6n?5
4.若变量x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值为( )
?a
n
?6n?5n?N
*
b
3
(
n
?
a
?
3
?
1
(
1
?
1
)
2)
n
?a
n?1
(6n?5)(6n?1)26n?56n?1
T
n
?b
1
?b
2
?b
3
???b
n
?
1
[(
1
?
1
)?(
1
?
1
)?
(
1
?
1
)???(
1
?
1
)]
21771313196n?56n?1
?
1
2
(1?
1
6n?1
)
∴
,使得成立的
m
必须且仅需满足,故满足要求的最小整数
m
为10.
第三章 不等式
1.若bA.> B.|a|>|b| C.+>2 D.a+b>ab
【解析】选C.取b=-2,a=-1代入验证得C正确.
2.(2015·高二检测)不等式x-<1的解集是( )
A.(-∞,-1)∪(3,+∞) B.(-1,1)∪(3,+∞)
C.(-∞,-1)∪(1,3) D.(-1,3)
【解析】选C.不等式x-<1化为<0,
即<0,由穿根法可得不等式的解集为(-∞,-1)∪(1,3).
3.(20
15·高二检测)若m
)
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选C.可行域
是由A(-1,-1),B(-1,4),C(1,1)构成的三角形,可知目标函数过C时最大,最大值为3.
5.(2015·高二检测)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是(
)
A.3 B.4 C. D.
【解析】选B.考查基本不等式x+2y=8-x·(2y)≥8-,
整理得+4-32≥0,
即≥0,
又x+2y>0,所以x+2y≥4.
当且仅当x=2,y=1时取等号.
6.设不等式组
是( )
A.(1,3]
表示的平面区域为D,若指数函数y=a
x
的图象上存
在区域D上的点,则a的取值围
B.[2,3] C.(1,2] D.[3,+∞) <
br>【解析】选A.作出区域D的图象,联系指数函数y=a
x
的图象,能够看出,当图象经
过区域的边界点(2,9)时,a
可以取到最大值3,而显然只要a大于1,图象必然经过区域的点,故
a的取值围为(1,3].
7.当x>1时,不等式x+
A.(-∞,2]
≥a恒成立,则实数a的取值围是( )
D.(-∞,3] B.[2,+∞)
C.[3,+∞)
【解析】选D.因为x>1,所以x-1>0,则x+=x-1++1≥2+1=
3,当且仅当x=2时取等号,所以a≤3.
8.(2015·高二检测)已知函数y=ax
2
+bx+c(a≠0)的图象经过点(-1,3)和(1,1)两点,若0
【解题指南】由函数图象经过两点,将两点的坐标代入,可得a
,b,c的关系,又因为0
所以0
2x
-k·3
x
+2,当x∈R时,f(x)恒
为正值,则k的取值围为________.
【解析】由f(x)>0,得3
2x
-
k·3
x
+2>0,解得k<3
x
+,而3
x
+≥2
答案:(-∞,2)
,所以k<2.
16.(2015·高二检测)设m>1,已知在约束条件
__________.
【解析】由题意作出其平面区域,
下,目标函数z=x
2
+y
2
的最大值为,则实数m的值为
z=x
2
+y
2
可看成阴影的点到原点(0,0)的距离的平方,则
由题意得
解得,点C的坐标为,则m==2+. 答案:2+
17.已知a>0,b>0,且a≠b,比较+与a+b的大小.
【解析】+-(a+b)=-b+-a=+=(a
2
-b
2
)=,
又因为a>0,b>0,且a≠b,所以>0,
即+-(a+b)>0,所以+>a+b.
18. (2015·高二检测)已知函数f(x)=x
2
+ax+6.
(1)当a=5时,解不等式f(x)<0.
(2)若不等式f(x)>0的解集为R,数a的取值围.
【解析】(1)因为当a=5时,
不等式f(x)<0即x
2
+5x+6<0,所以(x+2)(x+3)<0,
所以-3
所以关于x的一元二次不等式x
2
+ax+6>0的解集为R,所以Δ=a
2
-4×6<0?-2所以实数a的取值围是(-2,2).
19.
(2015·高二检测)已知x>0,y>0,x+2y-xy=0.
(1)求xy的最小值.
(2)求x+y的最小值.
【解析】(1)因为x>0,y>0,x+2y-xy=0,所以
xy=x+2y≥2
当且仅当x=2y=4时取等号.所以xy的最小值是8.
,即xy≥8,
(2)由x+2y=xy,解得y=>0,解得x>2.
所以x+
y=x+
当且仅当x=2+
=x-2+
,y=1+
+3≥2+3=2+3,
+3. 时取等号,所以x+y的最小值为2
20.
(2015·高二检测)若a<1,解关于x的不等式>1.
【解析】不等式>1可化为>0.
因为a<1,所以a-1<0,故原不等式可化为<0.[来源:Z_xx_]
故当0当a<0时,原不等式的解集为,
当a=0时,原不等式的解集为?.
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