高中数学必修五解三角形教案

高中数学必修五解三角形教案


高中数学必修五解三角形教案篇一：高中数学必修5解三角形知
识总结及练习
解三角形
一、知识点：
1、正弦定理：在???C中，a、b、c分别为角?、?、C 的对边，R
为???C的外接圆的半径，则有abc???2R．（两类正弦定理解三角
形的问 题：1、已知sin?sin?sinC
两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边
的对角，求其他边角.）
2、正弦定理的变形公式：①a?2Rsin?，b?2Rsin?，c?2RsinC； ②
sin??等式中）
③a:b:c?sin?:sin?:sinC； abc，sin??，sinC?；（正弦定理的变形经
常用在有三角函数的2R2R2R
a?b?cabc???． sin??sin??sinCsin?sin?sinC
1113、三角形面积公式：S???C?bcsin??absinC?acsin? 222④
?a2?b2?c2?2bccosA?2224．余弦定理： ?b?a?c?2accos(本文来自：
教师 联 盟 网:高中数学必修五解三角形
教案)B 或
?c2?b2?a2?2bacosC??b2?c2?a2?cosA?2bc?a2?c2?b2? ?cosB?2ac??
b2?a2?c2

?cosC?2ab?
（两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知
两边和他们的夹角，求第三 边和其他两角.）
2225、设a、b、c是???C的角?、?、C的对边，则：①若a?b?c，
则C?90?为
222222直角三角形；②若a?b?c，则C?90?为锐角三角形；③若
a?b?c， 则C?90?为
钝角三角形．
6．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一
成边的形式或角的形式.
7 ．解题中利用?ABC中A?B?C??，以及由此推得的一些基本关系
式进行三角变换的运算，如：< br>sin(A?B)?sinC,cos(A?B)??cosC,tan(A?B)??tanC, sin
A?BCA?BCA?BC?cos,cos?sin,tan?cot 222222
二、知识演练
1、ΔABC中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B等于 （ ）
A．60°B．60°或120° C．30°或150°D．120°
2、若(a+b+c)(b+c－a)=3bc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC是 （ ）
A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三
角形
3．己知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为
( )．

A．90° B．120° C．130° D．150°
2224．在△ABC 中，a?b?c?bc ，则A等于（ ）
A．60°B．45°C．120° D．30°
5．在△ABC中，A为锐角，lgb-lgc=lgsinA=－lg2, 则△ABC为（ ）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角
三角形
b
6、锐角?ABC中，B=2A，则a的取值范围是（ ）
A（-2，2） B（0，2）C（2，2） D2,）
7.在?ABC中．sinA?sinB?sinC?sinBsinC．则A的取值范围是 222
?
???A．（0，6]B．[ 6，?）C．（0，3]D．[ 3，?）
?8.在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45，若△ABC有两解，则x的
取值范围是______ _________
9. ?
ABC中，B?60?,AC，则AB+2BC的最大值为_________．
10．a，b，c为△ABC的三边，其面积S△ABC＝123，bc＝48，
b-c＝2，求a
11.在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满
足cosA?2，? ???????AB?AC?3．（I）求?ABC的面积；（II）若b?c?6，
求a的值．
12、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC

的面积，满足S?2a?b2?c2)。
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求sinA?sinB的最大值。
cosA-2cosC2c-a=cosBb． ?13、在ABC中，内角A，B，C的对边
分别为a，b，c．已知
sinC
（I）求sinA的值；
1
（II）若cosB=4，b=2，?ABC的面积S。
高中数学必修五解三角形教案篇二：高中数学必修5：第一章《解
三角形应用举例》教案1
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课题:
2.2解三角形应用举例
第一课时
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等 知识和方法解决一
些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语
过程与方法：首先 通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的
几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“提出 问题
——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学

过程，根据 大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，
设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示， 帮助学生掌
握解法，能够类比解决实际问题。对于例2这样的开放性题目要
鼓励学生讨论，开放 多种思路，引导学生发现问题并进行适当的
指点和矫正 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣, 并体
会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意
和应用转化思想解决数学问 题的能力
●教学重点
实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得
到实际问题的解 ●教学难点
根据题意建立数学模型，画出示意图
●教学过程
Ⅰ.课题导入
1、[复习旧知]
复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型
的三角形？
2、[设置情境]
请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们
遇到这么 一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远
呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算 出了两者的
距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于
未知的距离、高度等 ，存在着许多可供选择的测量方案，比如可

以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借 助解直角三角形等
等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法
会不能实施。 如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法
来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的 问题是用
以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定
理在科学实践中的重要 应用，首先研究如何测量距离。
Ⅱ.讲授新课[来源
（1）解决实际测量问题的过程一 般要充分认真理解题意，正确
做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和
未 知的边、角，通过建立数学模型来求解
[例题讲解]
(2)例1、如图，设A、B两点 在河的两岸，要测量两点之间的距
离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，?BAC=51?，?ACB=75?。求A、B两点的距离(精确到
0.1m)
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启发提问1：?ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理
比较适当？
启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。
分析：这是一道关于测量从一个可 到达的点到一个不可到达的点
之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，
再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对

角，应用正弦定理算出 AB边。
解：根据正弦定理，得
ACAB
sin?ACB=sin?ABC
ACsin?ACB
AB =sin?ABC
55sin?ACB
=sin?ABC
55sin75?
= sin(180??51??75?)
55sin75?
= sin54?[来源:学&科&网]
≈ 65.7(m)
答:A、B两点间的距离为65.7米
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a k m,灯塔
A在观察站C的北偏东30，灯塔B在观察站C南偏东60，则A、
B之间的距离为多 少？
老师指导学生画图，建立数学模型。 解略：2a km
例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测
量A、B两点间距离的方法。
[来源:学
科

网]
分析：这是例1的变式题，研究 的是两个不可到达的点之间的距
离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点。根
据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边
的方法，分别求出AC和BC，再利用 余弦定理可以计算出AB的距
离。 ??
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解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、
D两点分别测得?BCA=?， ? ACD=?，?CDB=?，?BDA =?，在?ADC
和?BDC中，应用正弦定理得
asin(???)asin(???)
AC = sin[180??(?????)]= sin(?????)
asin?asin?
BC = sin[180??(?????)]= sin(?????)
计算出AC和BC后，再在?ABC中，应用余弦定理计算出AB两
点间的距离
AB = AC2?BC2?2AC?BCcos?
分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对
比、分析。
?ACD=30， ?CDB=45，变式训练：若在河岸选取相距40米的C、
D两点，测得?BCA=60，
?BDA =60?

略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=206
评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多
种解决问题的方案，但有些过 程较繁复，如何找到最优的方法，
最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的
计算方式。
学生阅读课本4页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相
应例子。
Ⅲ.课堂练习
课本第14页练习第1、2题
Ⅳ.课时小结
解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量
集中在有关的三角形中，建立一个解斜三 角形的数学模型
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得
数学模型的解
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实
际问题的解
Ⅴ.课后作业
课本第22页第1、2、3题
●板书设计
???

金太阳新课标资源网●授后记
高中数学必修五解三角形教案篇三：1高中数学必修5第一章_解
三角形全章教案(整理)
课题:
1．1．1正弦定理
如图1．1-1，固定?ABC的边CB及?B，使边AC绕着顶点C转动。
思考：?C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角
三角形中，
角与边的等式关系。
从而在直角三角形ABC中，a
sin?b
sin?c
sin
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1．1-3，当?ABC是锐角三角形 时，设边AB上的高是CD，
根据任意角三角函数的定义，有CD=asinB?bsinA,则
同理可得
从而asinA?bsinB，
csin??bsin?，a
sinAbsinBcsinC Ac B

从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，
即
a
sinA?b
sinB?c
sinC
[理解定理]
（1）正 弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，
且比例系数为同一正数，即存在正数k使a?ks inA，b?ksinB，
c?ksinC；
（2）a
sinA?b
sinB?c
sinC等价于a
sinA?b
sinB，c
sinC?b
sinB，a
sinA?c
sinC
从而知正弦定理的基本作用为：

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a?bsinA；
sin②已知三角形的任意两边 与其中一边的对角可以求其他角的正
弦值，如sinA?sinB。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作
解三角形。
例1．在?ABC中，已知A?450，B?750，a?40cm，解三角形。
例2．在?ABC中，已知a?20cm，b?，A?450，解三角形。
练习：已知?ABC中，sinA:sinB:sinC?1:2:3，求a:b:c
1 ab
练习：1.在?ABC中，已知A?450，C?300，c?10cm，解三角形。
2.在?ABC中，已知A?600，B?450，c?20cm，解三角形。
3.在?ABC中，已知a?20cm
，b?，B?300，解三角形。
4.在?ABC
中，已知c?cm，b?20cm，B?450，解三角形。
补充：请试着推理出三角形面积公式（利用正弦）
课题:
1.1.2余弦定理
如图1．1-4，在?ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,
已知a,b和?C，求边c
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。A
????????????????? 如图1．1-5，设CB?a，CA?b，AB?c，那么c?a?b，
则 c
???????c?c?a?ba?b??????
aB ??2a??2 ?a?b?2a?b?2????
从而 c2?a2?b2?2abcosC (图1．1-5)
同理可证 a2?b2?c2?2bccosA
b2?a2?c2?2accosB
于是得到以下定理
余弦定理：三角形中任何一边的 平方等于其他两边的平方的和减
去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即
a2?b2?c2?2bccosA
b2?a2?c2?2accosB
c2?a2?b2?2abcosC
思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，
可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ 从余弦定理，又可得
到以下推论：
b2?c2?a2
cosA?2bc
a2?c2?b2
cosB?b2?a2?c2
cosC?
?ab?b??2a??b C

2
[理解定理]
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系 ，余弦
定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个
定理之间的关系？
若?ABC中，C=900，则cosC?0，这时c2?a2?b2
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特
例。
例1．在?ABC
中，已知a
?cB?450，求b及A
练习：在?ABC中，若a2?b2?c2?bc，求角A。
b,A，讨论三角形解的情况 例1．在?ABC中，已知a,
分析：先由sinB?
则C?1800?(A?B) 从而c?bsinA可进一步求出B； aasinC 1．当A
为钝角或直角时，必须a?b才能有且只有一解；否则无解。
2．当A为锐角时，
如果a≥b，那么只有一解；
如果a?b，那么可以分下面三种情况来讨论：

（1）若a?bsinA，则有两解；
（2）若a?bsinA，则只有一解；
（3）若a?bsinA，则无解。
（以上解答过程详见课本第9?10页）
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，
只有当A为锐角且
bsinA?a?b时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。
练习：（1）在?ABC中，已知a?80，b?100，?A?450，试判断此三
角形的解的情况。
（2）在?ABC中，若a?1，c?1，?C?400，则符合题意的b的值有
_____个。 2
（3）在?ABC中，a?xcm，b?2cm，?B?450，如果利用正弦定理
解三角形 有两解，求x的取值范围。
例2．在?ABC中，已知a?7，b?5，c?3，判断?ABC的类型。
3
练习： （1）在?ABC中，已知sinA:sinB:sinC?1:2:3，判断?ABC的类
型。
（2）已知?ABC满足条件acosA?bcosB，判断?ABC的类型。
例3．在?ABC中，A?600，b?
1
练习：（1）在?ABC中，若a?55，b?
16，且此三角形的面积S?C

（2）在?ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积S?
作业
（1）在?ABC中，已知b?4，c?10，B?300，试判断此三角形的解
的情况。
（2）设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值
范围。
（3）在?ABC中，A?600，a?1，b?c?2，判断?ABC的形状。
（4）三角形的 两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方
程5x2?7x?6?0的根，求这个三角形的面 积。

2.2解三角形应用举例
(2)例1、如图，设A、B两点在河的两 岸，要测量两点之间的距
离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的
距离 是55m，?BAC=51?，?ACB=75?。求A、B两点的距离(精确到
0.1m)
4 a?b?c，求的值 sinA?sinB?sinCa2?b2?c24，求角C
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔
A在观察站C的北偏东3 0?，灯塔B在观察站C南偏东60?，则A、
B之间的距离为多少？
例3、AB是底部 B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高
点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。
例4、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯

角?=54?40?，在塔底C处 测得A处的俯角?=50?1?。已知铁塔BC
部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)
例3、在?ABC中，求证：
a2?b2sin2A?sin2B?; （1）22csinC
（2）a2+b2+c2=2（bccosA+cacosB+abcosC）
变式练习1：已知在?ABC中，?B=30?,b=6,c=63,求a及?ABC的
面积S
5