人教版高中数学必修5全册导学案

§1.1.1 正弦定理

学习目标

1. 掌握正弦定理的内容；
2. 掌握正弦定理的证明方法；
3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．

学习过程

一、课前准备
试验：固定
?
ABC的边
CB及
?
B，使边AC绕着
顶点C转动．

思考：
?
C的大小与它的对边AB的长度之间有怎
样的数量关系？




显然，边AB的长度随着其对角
?
C的大小的增大
而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表
示出来？



二、新课导学
※ 学习探究

探究1：在 初中，我们已学
过如何解直角三角形，下面
就首先来探讨直角三角形
中，角与边的等式 关系. 如
图，在Rt
?
ABC中，设
BC=a，AC=b，AB=c，
根据锐角三角函数中正弦函数的定义，
有
a
c
?sinA
，
b
c
?sinB
，又
sinC?1?
c
c
，
从而在直角三角形ABC中，
ab
sinA
?
sinB
?
c
sinC
．

探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否
仍然成立？

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
当
?
ABC是锐角三角形时，设 边AB上的高是
CD，根据任意角三角函数的定义，
有CD=
asinB?bsin A
，则
ab
sinA
?
sinB
，
同理可得
cb
sinC
?
sinB
，
从而
ab
c
sinA
?
sinB
?
sin C
．
类似可推出，当
?
ABC是钝角三角形时，以上关系
式仍然成 立．请你试试导.





新知：正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的 的比
相等，即
a
sinA< br>?
b
sinB
?
c
sinC
．

试试：
（1）在
?ABC
中，一定成立的等式是（ ）．
A．
asinA?bsinB
B.
acosA?bcosB

C.
asinB?bsinA
D.
acosB?bcosA

（2）已知△ABC中，a＝4，b＝8，∠A＝30°，则
∠B等于 ．

[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的
正弦 成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数

k使
a?ksinA
， ，
c?ksinC
；
（2）
ab
c
sinA
?< br>sinB
?
sinC
等价于 ，
cb
sinC
?
sinB
，
ac
sinA
?
sinC
．
（3）正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边 ，
如
a?
bsinA
sinB
；
b?
．
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以
求其他角的正弦值，
如
sinA?
a
sinB
；
sinC?

（

4

）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它

b

．
的边和角的过程叫作解三角形．

※ 典型例题
例1. 在
?ABC
(

中，已 知
A?45
，
B?60
，
a?42
cm，
解三角形 ．

变式：在
?ABC
中，已知< br>B?45
，
C?60
，
a?12
cm，解三角形．












例2. 在?ABC中，c?6,A?45,a?2,求b和B,C．














变式：在
?ABC中，b?3,B?60,c?1,求a和A,C
．












三、总结提升
※ 学习小结

1. 正弦定理：
ab< br>sinA
?
sinB
?
c
sinC

2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，
还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法.
3．应用正弦定理解三角形：
①已知两角和一边；
②已知两边和其中一边的对角．

※ 知识拓展

a
si nA
?
b
sinB
?
c
sinC
?2R
， 其中
2R
为外接圆直径.
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 在
?ABC
中，若
cosA
cosB
?
b< br>a
，则
?ABC
是（ ）.
A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
2. 已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，
则a∶b∶c等于（ ）.
A．1∶1∶4 B．1∶1∶2
C．1∶1∶
3
D．2∶2∶
3

3. 在 △ABC中，若
sinA?sinB
，则
A
与
B
的大小关系为（ ）.
A.
A?B
B.
A?B

C.
A
≥
B
D.
A
、
B
的大小关系不能确定
4. 已知
?
ABC中，
sinA:sinB:sinC?1:2:3
，则
a:b:c
= ．
5. 已知
?
ABC中，
?
A
?60?
，a?3
，则
a?b?c
sinA?sinB?sinC
= ．

课后作业

1. 已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝
120?
，
解此三角形．
















2. 已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶
2k (k
≠
0)，求实数k的取值范围为．

§1.1.2 余弦定理

学习目标

1. 掌握余弦定理的两种表示形式；
2. 证明余弦定理的向量方法；
3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．

学习过程

一、课前准备
复习1：在一个三角形中，各 和它所对角
的 的 相等，即 = = ．

复习2：在△A BC中，已知
c?10
，A=45?，C=30?，
解此三角形．







思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？




二、新课导学
※ 探究新知

问题：在
?ABC
中，AB
、
BC
、
CA
的长分别为
c
、
a
、
b
.
C
∵
AC?
，
b
a
∴
AC?AC?

A
B

c




同理可得：
a
2?b
2
?c
2
?2bccos
，
A


c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
．


新知：余弦定理：三角形中任何一边的 等于其
他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的
的积的两倍．

思考：这个式子中有几个量？
从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个
量，能否由三边求出一角？
从余弦定理，又可得到以下推论：
cosA?
b
2
?c
2
?a
2
2bc
， ，
．
[理解定理]
（1）若C=
90?
，则
cosC?
，这时
c
2
?a
2
?b
2

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是
余弦定理的特例．
（2）余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求
出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角．

试试：
（1）△ABC中，
a?33
，
c?2
，
B?150
，求
b
．






（2）△ABC中，
a?2
，
b?2
，
c?3?1
，求
A
．






※ 典型例题

例1. 在△ ABC中，已知
a?3
，
b?2
，
B?45
，
求< br>A,C
和
c
．



















变式

：在△ABC中，若AB＝< br>5
，AC＝5，且cosC
＝
9
10
，则BC＝______ __．

例2. 在△ABC中，已知三边长
a?3
，
b?4
，
c?37
，求三角形的最大内角．



















变式：在
?
ABC中，若
a2
?b
2
?c
2
?bc
，求角A．





















三、总结提升
※ 学习小结

1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同
规律，勾股定理是余弦定理的特例；
2. 余弦定理的应用范围：
① 已知三边，求三角；
② 已知两边及它们的夹角，求第三边．

※ 知识拓展
在△ABC中，
若
a
2
?b< br>2
?c
2
，则角
C
是直角；
若
a
2
?b
2
?c
2
，则角
C
是钝角；
若< br>a
2
?b
2
?c
2
，则角
C
是锐角 ．
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 已知a＝
3
，c＝2，B＝150°，则边b的长为
（ ）.
A.
34
2
B.
34
C.
22
2
D.
22

2. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角
为（ ）.
A．
60
B．
75
C．
120
D．
150

3. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的
取值范围是（ ）.
A．
5?x?13
B．
13
＜x＜5
C． 2＜x＜
5
D．
5
＜x＜5
4. 在△ABC中，|
AB
|＝3，|
AC
|＝2，
AB
与AC
的
夹角为60°，则|
AB
－
AC
|＝_____ ___．
5. 在△ABC中，已知三边a、b、c满足
b
2
?a
2
?c
2
?ab
，则∠C等于 ．

课后作业

1. 在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cosC ＝
13
14
，求
最大角的余弦值．













2. 在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，求
ABB?C
的值.

§1.1 正弦定理和余弦定理（练习）

学习目标

1. 进一步熟悉正、余弦定理内容；
2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解
三角形时，有两解或一解或无解等情形．

学习过程

一、课前准备
复习1：在解三角形时
已知三边求角，用 定理；
已知两边和夹角，求第三边，用 定理；
已知两角和一边，用 定理．

复习2：在△ABC中，已知 A＝
?
6
，a＝25
2
， b
＝50
2
，解此三角形．








二、新课导学
※ 学习探究

探究：在△ABC中，已知下列条件，解三角形.
① A＝
?
6
，a＝25，b＝50
2
；
② A＝
?
6
，a＝
506
3
，b＝50
2
；
③ A＝
?
6
，a＝50，b＝50
2
.


















思考：解的个数情况为何会发生变化？
新知：用如下图示分析解的情况（A为锐角时）． < br>已知边a,b和
?
A
C
CC
C
b
a
bb
b
a
a
a
A
A
A
a
A
H
BB1
HB2H
B
aa=CH=bsinA
CH=bsinAa?b
无解
仅有一个解
有两个解
仅有一个解
试试：

1. 用图示分析（A为直角时）解的情况？




2．用图示分析（A为钝角时）解的情况？




※ 典型例题

例1. 在
?
ABC中，已知
a?80
，
b?100
，
?A?45?
，
试判断此 三角形的解的情况．

















变 式：在
?
ABC中，若
a?1
，
c?
1
2
，
?C?40?
，
则符合题意的b的值有
_____个
．

例2. 在
?
ABC中，
A?60?
，
b?1
，
c?2
，求
a?b?csinA?sinB?sinC
的值．

















变式：在
?
ABC中，若
a?55
，
b?16
，且
1
2
absinC?220
，求角
3
C．













三、总结提升
※ 学习小结

1. 已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）；
2. 已知三角形三边问题（用余弦定理解决）；
3. 已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）；
4. 已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用
正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解 、两解和
无解三种情况）．

※ 知识拓展

在
?
ABC中，已知
a,b,A
，讨论三角形解的情况 ：
①当A为钝角或直角时，必须
a?b
才能有且只有
一解；否则无解；
②当A为锐角时，
如果
a
≥
b
，那么只有一解；
如果
a?b
，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若
a?bsinA
，则有两解；
（2）若
a?bsinA
，则只有一解；
（3）若
a?bsinA
，则无解．
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a 、b的
对角，且
sinA2a?b
sinB
?
3
，则
b
的值=（ ）.
A.
1
3
B.
2
3
C.
4
3
D.
5
3

2. 已知在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，
那么这个三角形的最大角是（ ）.
A．135° B．90° C．120° D．150°
3. 如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三
角形形状为（ ）.
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．由增加长度决定
4. 在△ABC中，sinA:sinB:sinC＝4:5:6，则cosB
＝ ．
5. 已知△ABC中，
bcosC?ccosB
，试判断△ABC
的形状 ．

课后作业

1. 在
?
ABC中，
a? xcm
，
b?2cm
，
?B?45?
，
如果利用正弦定理解 三角形有两解，求x的取值范
围．












2. 在
?
ABC 中，其三边分别为a、b、c，且满足
1a
2
?b
2
?c
2
2
absinC?
4
，求角C．

§1.2应用举例—①测量距离

学习目标

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决
一些有关测量距离的实际问题

学习过程

一、课前准备
复习1：在△ABC中，∠C＝60°，a＋ b＝
23?2
，
c＝2
2
，则∠A为 .







复习2：在△ABC中，sinA＝
sinB?sinC
cosB?cosC
，判断三
角形的形状.









二、新课导学
※ 典型例题

例1. 如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点
之间的 距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边
选定一点C，测出AC的距离是55m，
?
BAC=
51?
，
?
ACB=
75?
. 求A、B两点的距离(精确到0.1m).






提问1：
?
ABC中，根据已知的边和对应角，运用
哪个定理比较适当？




提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？



分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个
不可到达的点之间的距离的问题
题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，
再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已
知角算出AC的对角，
应用正弦定理算出AB边.













新知1：基线
在测量上，根据测量需要适当确定的 叫基线.

例2. 如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），
设计一种测量A、B两点间距离的方法.

分析：这是例1的变式题，研究的
是两个 的点之间的距离
测量问题.
首先需要构造三角形，所以需要
确定C、D两点.
根据正弦定理中已知三角形的任 意两个内角与
一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，
再利用余弦定理可以计算出AB的距离.

















变式：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得
?
BCA= 60°，
?
ACD=30°，
?
CDB=45°，
?
BDA
=60°.

练：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a
km，灯塔A在 观察站C的北偏东30°，灯塔B在
观察站C南偏东60°，则A、B之间的距离为多少？



















三、总结提升
D．6cm
2. 台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北
方向移动，离台风 中心30千米内的地区为危险区，
城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区
内的时间为 （ ）.
A．0.5小时 B．1小时
C．1.5小时 D．2小时
3. 在
?ABC
中，已知
(a
2
?b
2
)sin(A?B)?(a
2
?b
2
)sin(A?B)
，
则
?ABC
的形状（ ）.
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
4.在
?ABC
中，已知
a?4
，则
n
C?120
，
b? 6
，
isA
的值是 ．
5. 一船以每小时15k m的速度向东航行，船在A处
看到一个灯塔B在北偏东
60
，行驶４h后，船到
达C处，看到这个灯塔在北偏东
15
，这时船与灯
塔的距离为 km．

课后作业

1. 隔河可以看到两个目标，但不能到达，在岸 边选
取相距
3
km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，
∠BCD＝45 °，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，A、
B、C、D在同一个平面，求两目标A、B间的距离.














2. 某船在海面A处测得灯塔C与A相距
103
海里，
且在北偏东
30?
方向；测得灯塔B与A相距
156
海
里，且在北偏西
75?
方向. 船由
A
向正北方向航行
到D处，测得灯塔B在南偏西
60?
方向. 这时灯塔
C与D相距多少海里？











※ 学习小结

1. 解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示
意图 （2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量
与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解
斜三角形的数学模型；
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出
三角形，求得数学模型的解
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，
从而得出实际问题的解.
2．基线的选取：
测量过程中，要根据需要选取合适的基线长度，
使测量具有较高的精确度.



学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 水平地面上有一个球，现用如下方法测量球的大
小，用锐角
45?
的等 腰直角三角板的斜边紧靠球
面，P为切点，一条直角边AC紧靠地面，并使
三角板与地面垂直， 如果测得PA=5cm，则球的
半径等于（ ）.
A．5cm
B．
52cm


C．
5(2?1)cm

P
A C

§1.2应用举例—②测量高度

学习目标

1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决
一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题；
2. 测量中的有关名称.

学习过程

一、课前准备 复习1：在
?
ABC中，
cosA
cosB
?
b
a
?
5
3
，则
?
ABC的
形状是怎样？









复 习2：在
?
ABC中，
a
、b、c分别为
?
A、
?
B、
?
C的对边，若
a:b:c
=1:1:
3
，求 A:B:C的值.









二、新课导学
※ 学习探究

新知：坡度、仰角、俯角、方位角

方位角---从指北方向顺时针转到目标方向线的水
平转角 ；

坡度---沿余坡向上的方向与水平方向的夹角；

仰角与俯角--- 视线与水平线的夹角当视线在水平
线之上时，称为仰角；当视线在水平线之下时，称
为俯角.


探究：AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为
建筑物的最高点，设计 一种测量建筑物高度AB的
方法.

分析：选择基线HG，使H、G、B三点共线，

要求AB，先求AE
在
?ACE
中，可测得角 ，关键求AC
在
?ACD
中，可测得角 ，线段 ，又有
?

故可求得AC



















※ 典型例题

例1. 如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A
的俯角
?
=54
?40
?
，在塔底C处测得A处的俯角
?
=50
?1
?
. 已知铁塔BC部分的高为27.3 m，求出
山高CD(精确到1 m)

例2. 如图，一辆汽车在一条 水平的公路上向正东
行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏
南15
?
的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山
顶在东偏南25
?
的方向上，仰角为8
?
，求此山的高
度CD.
问题1：
欲求出CD，思考在哪
个三角形中研究比较
适合呢？

问题2：
在
?
BCD中，已知BD或BC都可求出CD，根据
条件，易计算出哪条边的 长？












变式：某人在山顶观察到地面上有相距2500米的
A、B两 个目标，测得目标A在南偏西57°，俯角
是60°，测得目标B在南偏东78°，俯角是45°，试求山高.
















三、总结提升
※ 学习小结

利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审
题及根据题意画 方位图，要懂得从所给的背景资料
中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化.

※ 知识拓展
在湖面上高h处，测得云之仰角为
?
，湖中云之
影的 俯角为
?
，则云高为
h
sin(
?
?
?
)
sin(
?
?
?
)
.
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 在
?
ABC中，下列关系中一定成立的是（ ）.
A．
a?bsinA
B．
a?bsinA

C．
a?bsinA
D．
a?bsinA

2. 在
?
ABC中，AB=3，BC=
13
，AC=4，则边AC
上的高为（ ）.
A．
32
2
B．
33
2
C．
3
2
D．
33

3. D、C、B在地面同一直线上，DC=100米，从D、
C 两地测得A的仰角分别为
30
和
45
，则A点离地
面的高AB等于（ ）米．
A．100 B．
503

C．50
(3?1)
D．50
(3?1)

4. 在地面上
C
点，测得一塔塔顶
A
和塔基
B
的 仰角
分别是
60?
和
30?
，已知塔基
B
高出地面
20m
，则
塔身
AB
的高为_________
m
．
5. 在
?
ABC中，
b?22
，
a?2
，且 三角形有两
解，则A的取值范围是 ．

课后作业

1. 为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m
的楼的楼顶处测得塔顶A的 仰角为30°，测得塔基
B的俯角为45°，则塔AB的高度为多少m？










2. 在平地 上有A、B两点，A在山的正东，B在山
的东南，且在A的南25°西300米的地方，在A
侧 山顶的仰角是30°，求山高.

§1.2应用举例—③测量角度

学习目标

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决
一些有关计算角度的实际问题.

学习过程

一、课前准备
复习1：在
△ABC
中，已 知
c?2
，
C?
?
3
，且
1
2
a bsinC?3
，求
a，b
.









复习2：设
?ABC
的内角A
，
B
，
C的对边分别为a，
b，c，且A=
60
，
c ?3
，求
a
c
的值.








二、新课导学
※ 典型例题

例1. 如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75
?
的
方向航行67.5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，
沿北偏东32
?
的方向航行54.0 n m ile后达到海岛C.
如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎
样的方向航行，需要航 行多少距离?(角度精确到
0.1
?
，距离精确到0.01n mile)
分析：

首先由三角形的内角和定理求出角
?
ABC，
然后用余弦定理算出AC边，
再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角
?
CAB.





















例2. 某巡逻艇在A处发现北偏东45
?
相距9海里
的C处有一艘走私船， 正沿南偏东75
?
的方向以10
海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该
沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私< br>船？

※ 动手试试

练1. 甲、乙两船同时从B点出发，甲船以每小时
10(
3
＋1)km的速度向正东航行，乙 船以每小时
20km的速度沿南60°东的方向航行，1小时后甲、
乙两船分别到达A、C两点 ，求A、C两点的距离，
以及在A点观察C点的方向角.














练2. 某渔轮在A处测得在北45°的C处有一鱼群，
离渔轮9海里，并发现鱼群正沿南75 °东的方向以
每小时10海里的速度游去，渔轮立即以每小时14
海里的速度沿着直线方向追捕 ，问渔轮应沿什么方
向，需几小时才能追上鱼群？














三、总结提升
※ 学习小结

1. 已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次
利用正弦定理或余弦定理解之.；
2．已知量 与未知量涉及两个或几个三角形，这时
需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其
余的三 角形中求出问题的解.

※ 知识拓展

已知
?
ABC 的三边长均为有理数，A=
3
?
，B=
2
?
，
则< br>cos5
?
是有理数，还是无理数？
因为
C?
?
?5
?
，由余弦定理知
a
2
?b
2
?c
2
cosC?
2ab
为有理数， 所以
cos5
?
??cos(
?
?5
?
)?? cosC
为有理数.
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 从A处望B处的仰角为
?
，从B处望A处的俯
角为
?
，则
?
，
?
的关系为（ ）.
A．
?
?
?
B．
?
=
?

C．
?
+
?
=
90
D．
?
+
?
=
180

2. 已知两线段
a?2
，
b?22
，若以
a
、
b
为边作
三 角形，则边
a
所对的角A的取值范围是（ ）.
A．
(
??
?
6
,
3
)
B．
(0,
6
]

C．
(0,
??
2
)
D．
(0,
4
]

3. 关于
x
的方程
s inAx
2
?2sinBx?sinC?0
有相
等实根，且A、B、C是?
的三个内角，则三角形
的三边
a、b、c
满足（ ）.
A．
b?ac
B．
a?bc

C．
c?ab
D．
b
2
?ac

4. △ABC中，已知a:b:c=(
3
+1) :(
3
-1):
10
，
则此三角形中最大角的度数为 .
5. 在三角形中，已知:A，a，b给出下列说法:
(1)若A≥90°，且a≤b，则此三角形不存在
(2)若A≥90°，则此三角形最多有一解
(3)若A＜90°，且a=bsinA，则此三角形为直角三
角形，且B=90°
(4)当A＜90°，a(5)当A＜90°，且bsinA其中正确说法的序号是 .

课后作业

1. 我舰在敌岛A南偏西
50?
相 距12海里的B处，
发现敌舰正由岛沿北偏西
10?
的方向以10海里小
时的 速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航
行才能用2小时追上敌舰？









2.

§1.2应用举例—④解三角形

学习目标

1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一
步解决有关三角形的问题；
2. 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用；
3. 能证明三角形中的简单的恒等式．

学习过程

一、课前准备
复习1：在
?
ABC中
（1）若
a?1,b?3,B?120?
，则
A
等于 ．
（2）若
a?33
，
b?2
，
C?150?
， 则
c?
_____．








复习2：
在
?ABC
中，
a?33
，
b?2
，
C?150?
，则高
BD= ，三角形面积= ．








二、新课导学
※ 学习探究

探究：在
?< br>ABC中，边BC上的高分别记为h
a
，那
么它如何用已知边和角表示？
h
a
=bsinC=csinB
根据以前学过的三角形面积公式S=
1
2
ah，
代入
可以 推导出下面的三角形面积公式，
S=
1
2
absinC
，


或S= ，

同理S= ．


新知：三角形的面积等于三角形的任意两边以及它
们夹角的正弦之积的一半．


※ 典型例题

例1. 在
?
ABC中，根据下列条件， 求三角形的面
积S（精确到0.1cm
2
）：
（1）已知a=14.8cm，c=23.5cm，B=148.5
?
；
（2）已知B=62.7
?
，C=65.8
?
，b=3.16cm；
（3）已知三边的长分别
为
a=41.4cm，b=27.3cm，
c=38.7cm．


















变式：在某市进行城市环境建设中，要把一个三角
形的区域改造成室内公园，经过测 量得到这个三角
形区域的三条边长分别为68m，88m，127m，这个
区域的面积是多少？ （精确到0.1cm
2
）

例2. 在
?
ABC中，求证：
（1）
a
2
?b
2
sin
2
A?sin
2
B
c
2
?
sin
2
C
；

（2）
a
2
+
b
2
+
c
2
=2（bccosA+cacosB+abcosC）．

















小结：证明三角形中恒等式方法： 应用正弦定理
或余弦定理，“边”化“角”或“角”化“边”．

※ 动手试试

练1. 在
?
ABC中，已知
a?28cm
，< br>c?33cm
，
B?45
，则
?
ABC的面积是 ．




练2. 在
?
ABC中，求证：
c(acosB?bcosA)?a
2
?b
2
．










三、总结提升
※ 学习小结

1. 三角形面积公式：
S=
1
2
absinC= = ．
2. 证明三角形中的简单的恒等式方法：应用正弦定
理或余弦定理，“边”化“角”或“ 角”化“边”．
※ 知识拓展

三角形面积
S?p(p?a)(p?b)(p?c)
，
这里
p?
1
2
(a?b?c)
，这就是著名的海伦公式．
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 在
?ABC
中，
a?2,b?3,C?60
?
，则
S
?AB C
?
（ ）.
A.
23
B.
3
2
C.
3
D.
3
2

2. 三角形两边之差为2，夹角的正弦值为
3
5< br>，面积
为
9
2
，那么这个三角形的两边长分别是（ ）.
A. 3和5 B. 4和6 C. 6和8 D. 5和7
3. 在
?A BC
中，若
2cosB?sinA?sinC
，则
?ABC
一
定是（ ）三角形．
A. 等腰 B. 直角 C. 等边 D. 等腰直角
4.
?ABC
三边长分别为
3,4,6
，它的较大锐角的平
分线分三角形的面积比是 ．
5. 已知三角形的三边的长分别为
a? 54cm
，
b?61cm
，
c?71cm
，则
?
A BC的面积是 ．

课后作业

2. 已知在
?
ABC中，
?
B=30
?
，b=6，c=6
3
，求
a及
?
ABC的面积S．











2. 在△ABC中，若
sinA?sinB?sinC?(cosA?cosB)
，试判断△ABC
的形状.

§1.2应用举例（练习）

学习目标

1．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解
决一些有关测量的实际问题；
2．三角形的面积及有关恒等式．

学习过程

一、课前准备
复习1：解三角形应用题的关键：将实际问题转化
为解三角形问题来解决．

复习2：基本解题思路是：
①分析此题属于哪种类型（距离、高度、角度）；
②依题意画出示意图，把已知量和未知量标在图
中；
③确定用哪个定理转化，哪个定理求解；
④进行作答，并注意近似计算的要求．


二、新课导学
※ 典型例题

例1. 某观测站C在目标A的南 偏西
25
方向，从A
出发有一条南偏东
35
走向的公路，在C处测得 与
C相距31
km
的公路上有一人正沿着此公路向A走
去，走20
k m
到达D，此时测得CD距离为21
km
，
求此人在D处距A还有多远？



























例2. 在某点B处测得 建筑物AE的顶端A的仰角
为
?
，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A
的仰角为2
?
，再继续前进10
3
m至D点，测得
顶端A的仰角为 4
?
，求
?
的大小和建筑物AE的
高．




















例3. 如图 ，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，
∠ABC=60°，AC=7，AD=6，S
15 3
△
ADC
=
2
，求AB
的长．

D


A
1

2




60
0



B C

※ 动手试试

练1. 为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m
的楼的楼顶处测 得塔顶A的仰角为30°，测得塔基
B的俯角为45°，则塔AB的高度为多少m？





















练2. 两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a
km，灯塔A在观察站C的北偏东30 °，灯塔B在
观察站C南偏东60°，则A、B之间的距离为多少？


















三、总结提升
※ 学习小结

1. 解三角形应用题的基本思路，方法；
2．应用举例中测量问题的强化.

※ 知识拓展
秦九韶“三斜求积”公式：

?
1
?
22
2
S
4
?
?
c
2
a
2?
?
?
c?a?b
2
?
?
?
?

?
?
2
?
?
?
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 某人向正东方向走
xkm
后 ，向右转
150
，然后
朝新方向走
3km
，结果他离出发点恰好3km
，则
x
等于（ ）.
A．
3
B．
23
C．
3
或
23
D．3
2.在200米的山上顶，测得山下一塔顶与塔底的俯
角分别为
30,60
，则塔高为 （ ）米．
A．
200
3
B．
2003
3
C．
400
4003
3
D．
3

3. 在
?
ABC中，
?A?60?
，< br>AC?16
，面积为
2203
，那么
BC
的长度为（ ）.
A．
25
B．
51
C．
493
D．
49

4. 从200米高的山顶A处 测得地面上某两个景点
B、C的俯角分别是30?和45?，且∠BAC＝45?，则
这两个景 点B、C之间的距离 ．
5. 一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°相距20里处，随后货轮按北偏西30°的方
向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏 东
45?
，则货轮的速度 ．

课后作业

1. 3.5米长的棒斜靠在石堤旁，棒的一端在离堤足
1.2米地面上，另一端在 沿堤上2.8米的地方，求堤
对地面的倾斜角.











2. 已知a，b，c为△ABC的 三个内角A，B，C的
对边，向量m＝（
3,?1
），n＝（cosA，sinA）. 若
m⊥n，且acosB+bcosA=csinC，求角B.

第一章 解三角形（复习）

学习目标

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决
一些有关测量距离的实际问题．

学习过程

一、课前准备
复习1： 正弦定理和余弦定理
（1）用正弦定理：
①知两角及一边解三角形；
②知两边及其中一边所对的角解三角形（要讨
论解的个数）．
（2）用余弦定理：
①知三边求三角；
②知道两边及这两边的夹角解三角形．

复习2：应用举例
① 距离问题，②高度问题，
③ 角度问题，④计算问题．
练：有一长为2公里的斜坡，它的倾斜角为30°，
现要将倾斜角改为45°，且高度不变. 则斜坡长变
为___ ．







二、新课导学
※ 典型例题

例1. 在
? ABC
中
tan(A?B)?1
，且最长边为1，
tanA?tanB
，
tanB?
1
2
，求角C的大小及△ABC
最短边的长．

















例2. 如图，当甲船位 于A处时获悉，在其正东方
向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲
船立即前往救援 ，同时把消息告知在甲船的南偏西
30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏
东多少度 的方向沿直线前往B处救援（角度精确到
1）？
北





A
20
B
?


10


?


C













例3. 在
?
ABC中，设
tanA
tanB
?
2c?b
b
,
求A的值．

※ 动手试试

练1. 如图，某海轮以60 n mileh 的速度航行，在
A点测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行
40 min后到达B点，测得油井P在南偏东30°，
海轮改为北偏东60°的航向再行驶80 min到达C
点，求P、C间的距离．


北
C


B
60°

30°



A
60°


P











练2. 在△ABC中，b＝10，A＝30°，问a取何值
时，此三角形有一个解？两个解？无解？













三、总结提升
※ 学习小结

1. 应用正、余弦定理解三角形；
2. 利用正、余弦定理解决实际问题（测量距离、高
度、角度等）；
3．在现实生活中灵活运用正、余弦定理解决问题.
（边角转化）．

※ 知识拓展

设在
?ABC
中，已知三边
a
，
b，
c
，那么用已
知边表示外接圆半径R的公式是
R?
abc
p(p?a)(p?b)(p?c)

学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝
120?
，
则△ABC的面积为（ ）.
A．9 B．18 C．9 D．18
3

2.在△ABC 中，若
c
2
?a
2
?b
2
?ab
，则∠C =（ ）.
A． 60° B． 90° C．150° D．120°
3. 在
?
ABC中，
a?80
，
b?100
，A =30°，则B
的解的个数是（ ）.
A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定的
4. 在△ABC中，
a?32
，
b?23
，
cosC?
1
3
，
则
S
△ABC
?
__ _____
5. 在
?
ABC中，
a
、b、c分别为
?< br>A、
?
B、
?
C
的对边，若
a
2
? b
2
?c
2
?2bcsinA
，则A=___ ____.

课后作业

1. 已知
A
、
B
、< br>C
为
?ABC
的三内角，且其对边分
别为
a
、
b
、
c
，若
cosBcosC?sinBsinC?
1
2
．
（1）求
A
；
（2）若
a?23,b?c?4
，求
?ABC
的面积．













2. 在△ABC中，
a,b,c
分别为角A
、
B
、
C的对边，
a
2
?c
2
?b
2?
8bc
5
，
a
=3， △ABC的面积为6，
（1）求角A的正弦值； （2）求边b、c.

§2.1数列的概念与简单表示法(1)


学习目标

1. 理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的
关系；
2. 了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列
的任意一项；
3. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的
个通项公式.

学习过程

一、课前准备
（预习教材P
28
~ P
30
，找出疑惑之处）
复习1：函数
y?3
x
，当x依次取1，2，3 ，…时，
其函数值有什么特点？






复习2：函数y=7x+9，当x依次取1，2，3，…时，
其函数值有什么特点？






二、新课导学
※ 学习探究

探究任务：数列的概念
⒈ 数列的定义： 的一列
数叫做数列.

⒉ 数列的项：数列中的 都叫做这
个数列的项.
反思：
⑴ 如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，
那么它们是相同的数列？



⑵ 同一个数在数列中可以重复出现吗？


3. 数列的一般形式：a
1
,a
2
,a
3
,,a
n
,
，或简记为
?
a
n
?
，其中
a
n
是数列 的第 项.

4. 数列的通项公式：如果数列
?
a
n?
的第n项
a
n
与n
之间的关系可以用 来表示，那么
就叫做这个数列的通项公式.
反思：
⑴所有数列都能写出其通项公式？


⑵一个数列的通项公式是唯一？



⑶数列与函数有关系吗？如果有关，是什么关系？




5．数列的分类：
1）根据数列项数的多少分 数列和 数列；

2）根据数列中项的大小变化情况分为 数列，
数列， 数列和 数列.

※ 典型例题

例1写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项
分别是下列各数：
⑴ 1，－
1
2
，
1
3
，－
1
4
；
⑵ 1， 0， 1， 0.












变式：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4
项分别是下列各数：
⑴
14916
2
，
5
，
10
，
17
；
⑵ 1， －1， 1， －1；











小结：要由数列的若干项写出数列的一个通项公
式，只需观察分析数列中的项的构成规律，将项表

示为项数的函数关系.

例2已知数列2，
7
4
，2，…的通项公式为
a
an
2
?b
n
?
cn
，求这个数列的第四项和第五项.








变式：已知数列
5
，
11
，
17
，
23
，
29
，…，
则5
5
是它的 第 项.


小结：已知数列的通项公式，只要将数列中的项代
入通项公式，就可以求出项数和项.

※ 动手试试

练1. 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4
项分别是下列各数：
⑴ 1，
11
1
3
，
5
，
7
；
⑵ 1，
2
，
3
，2 .





练2. 写出数列
{n
2
?n}
的第20项，第n＋1项.







三、总结提升
※ 学习小结

1. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的
一个通项公式；
2. 会用通项公式写出数列的任意一项.

※ 知识拓展
数列可以看作是定义域为正整数集的特殊函数.
思考：设
f(n)
＝1＋
1
1
1
2
＋
3
＋…＋
3n?1
（ n
?
N*
）那么
f(n?1)?f(n)
等于（ ）
A.
1
3n?2
B.
11
3n
?
3n?1

C.
11
3n?1
?
3n?2
D.
1
3n
?
1
3n?1
?
1
3n?2

学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 下列说法正确的是（ ）.
A. 数列中不能重复出现同一个数
B. 1，2，3，4与4，3，2，1是同一数列
C. 1，1，1，1…不是数列
D. 两个数列的每一项相同，则数列相同
2. 下列四个数中，哪个是数列
{n(n?1)}
中的一项
（ ）.
A. 380 B. 392 C. 321 D. 232
3. 在横线上填上适当的数：
3，8，15， ，35，48.
n(n?1)
4.数列
{(?1)
2
}
的第4项是 .
5. 写出数列
?
11
2?1
，
2?2
，< br>?
1
2?3
，
1
2?4
的一个
通项公式 .

课后作业

1. 写出数列｛
2
n
｝的前5项.










2. （1）写出数列
2< br>2
?13
2
?14
2
?
2
，
15< br>2
?1
3
，
4
，
5
的
一个通项公式 为 .





（2）已知数列
3
，
7
，
11
，
15
，
19
，… 那
么3
11
是这个数列的第 项.

§2.1数列的概念与简单表示法(2)

学习目标

1. 了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式
的异同；
2. 会由递推公式写出数列的前几项，并掌握求简单
数列的通项公式的方法.

反思：所有数列都能有四种表示方法吗？

※ 典型例题

a
1
?1
?
?
例1

设数列
?< br>a
n
?
满足
?
写出这个
1
a?1?(n?1 ).
?
n
a
n?1
?
数列的前五项.









变式：已知< br>a
1
?2
，
a
n?1
?2a
n
，写 出前5项，并猜
学习过程

一、课前准备
（预习教材P
31
~ P
34
，找出疑惑之处）
复习1：什么是数列？什么是数列的通项公式？



复习2：数列如何分类？



二、新课导学
想通项公式
a
n
.



※ 学习探究


探究任务：数列的表示方法



问题：观察钢管堆放示意图，寻

找每层的钢管数
a
n
与层数n之

小结：由递推公式求数列的项，只要让n依次取不
间有何关系？
同的值代入递推公式就可求出数列的项.


1. 通项公式法：
试试：上图中每层的钢管数
a
n
与层数n之间关系的一
例2 已知数 列
?
a
n
?
满足
a
1
?0
，a
n?1
?a
n
?2n
， 那
么
a
2007
?
（ ）.
个通项公式是 .

A. 2003×2004 B. 2004×2005
2. 图象法：
C. 2007×2006 D.
2004
2



数列的图形是 ，因为横

坐标为 数，所以这些点都在y轴的 侧，而点

的个数取决于数列的 ．从图象中可以直观地

看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势
．





3. 递推公式法：
递推公式：如果已知数列< br>?
a
n
?
的第1项（或前几项），


且任 一项
a
n
与它的前一项
a
n?1
（或前n项）间的关
变式：已知数列
?
a
?
满足
a?0
，
a?a?2 n
，
n
1
n?1n
系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这
求
a
.
n
个数列的递推公式.



试试：上图中相邻两层的钢管数
a
n
与
a
n?1
之 间关系

的一个递推公式是 .




4. 列表法：
试试：上图中每层的钢管数
a
n
与层数n之间关系的


用列表法如何表示？
小结：由递推公式求数列的通项公式，适当的变形

与化归及归纳猜想都是常用方法.

※ 动手试试

练1. 已知数列
?
a
2
n
?
满足
a1
?1
，
a
2
?
3
，且
a
n ?1
a
n
?a
n
a
n?1
?2a
n?1< br>a
n?
?
1
0
（
n?2
），求
a< br>3
,a
4
.






练2.（2005年湖南）已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?0
，
a
?3
*
n?1
?
a
n
3a
（
n?N
），则
a
20
?
（ ） .
n
?1
A．0 B.－
3
C.
3
D.
3
2



练3. 在数列
?
a
n
?
中，
a
1
?2
，
a
17
?66
，通项公式
是项数n的一次函数.
⑴ 求数列
?
a
n
?
的通项公式；
⑵ 88是否是数列
?
a
n
?
中的项.







三、总结提升
※ 学习小结

1. 数列的表示方法；
2. 数列的递推公式.

※ 知识拓展

n刀最多能将比萨饼切成几块？
意大利一家比萨饼店的员工乔治喜
欢将比萨饼切成形状各异的小块，以
便出售. 他发现一刀能 将饼切成两块，
两刀最多能切成4块，而三刀最多能
切成7块（如图）.请你帮他算算看，四刀 最多能将

饼切成多少块？n刀呢？
解析：将比萨饼抽象成一个圆，每一刀的切痕看
成圆的一条弦. 因为任意两条弦最多只能有一 个交
点，所以第n刀最多与前n－1刀的切痕都各有一
个不同的交点，因此第n刀的切痕最多被 前n－1
刀分成n段，而每一段则将相应的一块饼分成两块.
也就是说n刀切下去最多能使饼增加n块. 记刀数
为1时，饼的块数最多为
a
1
，……，刀数为n时，
饼的块数最多为
a
n
，所以
a< br>n
=
a
n?1
?n
.
由此可求得
a
n
=1+
n(n?1)
2
.

学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 已知数列
a
n?1
?a
n
?3?0
，则数列
?
a< br>n
?
是（ ）.
A. 递增数列 B. 递减数列
C. 摆动数列 D. 常数列
2. 数列
?
a
n?
中，
a
n
??2n
2
?9n?3
，则此数列 最大
项的值是（ ）.
A. 3 B. 13 C. 13
1
8
D. 12
3. 数列
?
a
n
?
满足
a
1
?1
，
a
n?1
?a
n
?2
（n≥1），则该数
列的通项
a
n
?
（ ）.
A.
n(n?1)
B.
n(n?1)

C.
n(n?1)
2
D.
n(n?1)
2

4. 已知数列
?
a
?
满足
a
1
n
n
1
?
3
，
a
n
?(?1)2a
n?1
（n
≥2），则
a
5
?
.
5. 已知数列
?
a
1
1
n
?
满足
a
1
?
2
，
a
n?1< br>?1?
a
（n≥2），
n
则
a
6
?
.

课后作业

1. 数列
?
a
n
?
中，
a
1
＝0，
a
n?1
＝
a
n
＋(2n－1) (n∈N)，
写出前五项，并归纳出通项公式.











2. 数列
?< br>a
2a
n
n
?
满足
a
1
?1
，
a
n?1
?
a
(n?N)
，写出
n
? 2
前5项，并猜想通项公式
a
n
.

§2.2等差数列（1）


学习目标

1. 理解等差数列的概念，了解公差的概念，明确一
个数列是等差数列的限定条件，能根据定 义判断一
个数列是等差数列；
2. 探索并掌握等差数列的通项公式；
3. 正确 认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运
用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定
的 项.

学习过程

一、课前准备
（预习教材P
36
~ P
39
，找出疑惑之处）
复习1：什么是数列？





复习2：数列有几种表示方法？分别是哪几种方
法？




二、新课导学
※ 学习探究

探究任务一：等差数列的概念
问题1：请同学们仔细观察，看看以下四个数列有
什么共同特征？
① 0，5，10，15，20，25，…
② 48，53，58，63
③ 18，15.5，13，10.5，8，5.5
④ 10072，10144，10216，10288，10366




新知：
1.等差数列：一般地，如果一个数列从第 项起，
每一项与它 一项的 等于同一个常数，这
个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列
的 ， 常用字母 表示.

2.等差中项：由三个数a，A， b组成的等差数列，
这时数 叫做数 和 的等差中项，用等式
表示为A=

探究任务二：等差数列的通项公式
问题2：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？
如果存在，分别是什么？
若一等差数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
，公差是d，则据其
定义可得：
a
2
?a
1
?
，即：
a
2
?a
1
?

a
3
?a
2
?
， 即：
a
3
?a
2
?d?a
1
?

a
4
?a
3
?
，即：
a
4
?a
3
?d?a
1
?

……
由此归纳等差数列的通项公式可得：
a
n
?

∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项
a
1
和
公差d，便可求得 其通项
a
n
.

※ 典型例题

例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项；
⑵ －401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如
果是，是第几项？














变式：（1）求等差数列3，7，11，……的第10项.





（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？
如果 是，是第几项？如果不是，说明理由.





小结：要求出数列中的项，关键是求出通项公式；
要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键
是要看是否存在一正整数n值，使得
a
n
等于这一数.

例2 已知数列{
a
n
}的通项公式
a
n
?pn? q
，其中
p
、
q
是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？
若是，首项与公差分别是多少？

变式： 已知数列的通项公式为
a
n
?6n?1
，问这个
数列是否一定是等差 数列？若是，首项与公差分别
是什么？










小结：要判定
?
a
n
?
是不是等差数列，只要看
a
n
?a
n?1
（n≥ 2）是不是一个与n无关的常数.

※ 动手试试

练1. 等差数列1，－3，－7，－11，…，求它的通
项公式和第20项.










练2.在等差 数列
?
a
n
?
的首项是
a
5
?10,a< br>12
?31
，
求数列的首项与公差.










三、总结提升
※ 学习小结

1. 等差数列定义：
a
n
?a
n?1
?d
(n≥2)；
2. 等差数列通项公式：
a
n
?
a
1
?(n?1)d
(n≥1).

※ 知识拓展

1. 等差数列通项公式为
an
?a
1
?(n?1)d
或
a
n
?a
m
?(n?m)d
. 分析等差数列的通项公式，
可知其为一次函数，图象上表现为直 线
y?a
1
?(x?1)d
上的一些间隔均匀的孤立点.
2. 若三个数成等差数列，且已知和时，可设这三个
数为
a?d,a,a?d
. 若四个数成等差数列，可设
这四个数为
a?3d,a?d,a?d,a?3d
.
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（ ）.
A. 92 B. 47 C. 46 D. 45
2. 数列
?
a
n
?
的通项公式
a
n
?2n?5
，则此数列是
（ ）.
A.公差为2的等差数列 B.公差为5的等差数列
C.首项为2的等差数列 D.公差为n的等差数列
3. 等差数列的第1项是7，第7项是－1，则它的
第5项是（ ）.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
4. 在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，
则∠B＝ .
5. 等差数列的相邻4项是a+1，a+3，b，a+b，那
么a＝ ，b＝ .

课后作业

1. 在等差数列
?
a
n
?
中，
⑴已知
a
1< br>?2
，d＝3，n＝10，求
a
n
；




⑵已知
a
1
?3
，
a
n
?21
，d＝2，求n；




⑶已知
a
1
?12
，
a
6
?27
，求d；




⑷已知d＝－
1
3
，
a
7
? 8
，求
a
1
.




2. 一个木制梯形架的上下底边分别为33cm，75cm，
把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各分点 ，
构成梯形架的各级，试计算梯形架中间各级的宽度.

§2.2等差数列（2）

学习目标

1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公
式；
2. 灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关
问题.

学习过程

一、课前准备
（预习教材P
39
~ P
40
，找出疑惑之处）
复习1：什么叫等差数列？



复习2：等差数列的通项公式是什么？




二、新课导学
※ 学习探究

探究任务：等差数列的性质
1. 在等差数列
?
a
n
?
中，
d
为公差，
a
m
与
a
n
有何关
系？





2. 在等差数列
?
a
n
?
中，
d
为公差，若
m,n,p,q?N
?
且
m?n?p? q
，则
a
m
，
a
n
，
a
p
，
a
q
有何关系？







※ 典型例题

例1 在等差数列
?
a
n
?
中，已知
a
5
?10
，
a
12
?31
，
求首项
a
1
与公差
d
.











变式：在等差数列
?
a
n
?
中， 若
a
5
?6
，
a
8
?15
，
求公差d及
a
14
.










小结：在等差数列
{a
n
}
中，公差d可以由 数列中任
意两项
a
a?a
n
m
与
a
n通过公式
m
m?n
?d
求出.

例2 在等差数 列
?
a
n
?
中，
a
2
?a
3?a
10
?a
11
?36
，
求
a
5< br>?a
8
和
a
6
?a
7
.


















变式：在等差数列
?
a
n
?
中，已知
a
2
?a
3
?a
4
?a
5
?34
，
且
a
2
a
5
?52
，求公差d.
















小结：在等差数列中，若m+n=p+q，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
，可以使得计算简化.

※ 动手试试

练1. 在等差数列
?
a
n
?
中，
a
1
?a
4
?a
7
?39
，
a
2
?a
5
?a
8
?33
， 求
a
3
?a
6
?a
9
的值.
















练2. 已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…
都有100项，问它们有多少个相同项？



















三、总结提升
※ 学习小结

1. 在等差数列中，若m+n=p+q，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
注意：
a
m
?a
n
?a
m?n
，左右两边项数 一定要相同才
能用上述性质.
2. 在等差数列中，公差
d?
a
m
?a
n
m?n
.

※ 知识拓展

判别一个数列是否等差数列的三种方法，即：
（1）
a
n?1
?a
n
?d
；
（2）
a
n
?pn?q(p?0)
；
（3）
S
2
n
?an?bn
.
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 一个等差数列中，
a
15< br>?33
，
a
25
?66
，则
a
35
?
（ ）.
A. 99 B. 49.5 C. 48 D. 49
2.

等差数列
?
a
n
?
中
a
7
?a
9
?16
，
a
4
?1< br>，则
a
12
的
值为（ ）.
A . 15 B. 30 C. 31 D. 64
3. 等差数列
?
a
2
n
?
中，
a
3
，
a
10
是方 程
x?3x?5?0
，
则
a
5
?a
6
＝（ ）.
A. 3 B. 5 C. －3 D. －5
4. 等差数列
?
a
n
?
中，
a
2
??5
，a
6
?11
，则公差d
＝ .
5. 若48，a，b，c，－12是等差数列中连续五项，
则a＝ ，b＝ ，c＝ .

课后作业

1. 若
a
1
?a
2
??a
5
?30
，
a
6
?a
7
??a
10
?80
，
求
a
11
?a
12
??a
15
.















2. 成等差数列的三个数和为9，三数的平方和为
35，求这三个数.

§2.3 等差数列的前n项和(1)


学习目标

1. 掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；
2. 会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的
与前n项和有关的问题.

学习过程

一、课前准备
（预习教材P
42
~ P
44
，找出疑惑之处）
复习1：什么是等差数列？等差数列的通项公式是
什么？



复习2：等差数列有哪些性质？




二、新课导学
※ 学习探究

探究：等差数列的前n项和公式
问题：
1. 计算1+2+…+100=?




2. 如何求1+2+…+n=?




新知：
数列
{a
n
}
的前n项的和：
一般地，称 为数列
{a
n
}
的前n项
的和，用
S
n
表 示，即
S
n
?


反思：
① 如何求首项为
a
1
，第n项为
a
n
的等差数列
{a
n
}
的前n项的和?




② 如何求首项为
a
1
，公差为d的等差数列
{a
n
}
的
前n项的和?





试试：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列
{a
n
}
的前n项和
S
n
.
⑴
a
1
??4，a
8
??18，n?8；





⑵
a
1
?14.5，d?0.7，n?15
.





小结：
1. 用
S
n(a
1?a
n
)
n
?
2
，必须具备三个条件： .
2. 用
S
n(n?1)d
n
?na
1
?2
，必须已知三个条件： .

※ 典型例题

例1 2000年11月14日教育部下发了《关于在中
小学实施“校校通”工程的统治》. 某市据此提出< br>了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用
10年时间，在全市中小学建成不同标准的校 园网.
据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为
500万元. 为了保证工程的顺利实施，计划每年投
入的资金都比上一年增加50万元. 那么从2001年
起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总
投入是多少？






















小结：解实际问题的注意：
① 从问题中提取有用的信息，构建等差数列模型；
② 写这个等差数列的首项和公差，并根据首项和
公差选择前n项和公式进行求解.

例2 已知一个等差数列
{a
n
}
前10项的和是3 10，
前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差
数列的前n项和的公式吗？










变式：等差数列
{a
n
}
中，已知
a
10
?30
，
a
20
?50
，
S
n
?242< br>，求n.









小结：等差数列前n项和公式就是一个关于
a
n
、a
1< br>、n或者a
1
、n、d
的方程，已知几个量，通过
解方程，得出其余的 未知量.

※ 动手试试

练1.一个凸多边形内角成等差数列，其中最 小的内
角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n
为（ ）.
A. 12 B. 16 C. 9 D. 16或9






三、总结提升
※ 学习小结

1. 等差数列前n项和公式的两种形式；
2. 两个公式适用条件，并能灵活运用；
3. 等差 数列中的“知三求二”问题，即：已知等差
数列之
a
1
,a
n
,q,n,S
n
五个量中任意的三个，列方程
组可以求出其余的两个.

※ 知识拓展

1. 若数列
{a
n
}
的前n项的 和
S
n
?An
2
?Bn
（A
?0
，
A、B是与n无关的常数），则数列
{a
n
}
是等差数列.
2. 已知数列
?
a
n
?
,
是公差为d的等差数列，S
n
是其
前n项和，设
k?N
?
,S
k
,S
2 k
?S
k
,S
3k
?S
2k
也成等差
数列 ，公差为
k
2
d
.
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 在等差数列
{a
n
}
中，
S
10
?120
，那么
a
1
?a< br>10
?
（ ）.
A. 12 B. 24 C. 36 D. 48
2. 在50和350之间，所有末位数字是1的整数之
和是（ ）.
A．5880 B．5684 C．4877 D．4566
3. 已知等差数列的前4项和为21，末4项和为67，
前n项和为286，则项数n为（ ）
A. 24 B. 26 C. 27 D. 28
4. 在等差数列
{a
n
}
中，
a
1
?2
，
d?? 1
，则
S
8
?
.
5. 在等差数列
{a
n
}
中，
a
1
?25
，
a
5?33
，则
S
6
?
.

课后作业

1. 数列｛
a
n
｝是等差数列，公差为3 ，
a
n
＝11，前
n
和
S
n
＝14，求< br>n
和
a
3
.













2. 在小于100的正整数中共有多少个数被3除余
2? 这些数的和是多少？

§2.3 等差数列的前n项和(2)


学习目标

1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项
和公式；
2. 了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些
相关问题；
3. 会利用等差数列通项公式与前

n项和的公式研
究
S
n
的最大（小）值.

学习过程

一、课前准备
（预习教材P
45
~ P
46
，找出疑惑之处）
复习1：等差数列{
a
n
}中，
a
4
＝－15， 公差d＝3，
求
S
5
.




复习2：等差数列{
a
n
}中， 已知
a
3
?1
，
a
5
?11
，
求
a
n
和
S
8
.





二、新课导学
※ 学习探究

问题：如果一个数列
?< br>a
n
?
的前n项和为
S
2
n
?pn?qn? r
，其中p、q、r为常数，且
p?0
，
那么这个数列一定是等差数列吗？如 果是，它的首
项与公差分别是多少？







※ 典型例题

例1已知数列
{a}
的前n项为
S
1
n
n
?n
2
?
2
n
，求这< br>个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果
是，它的首项与公差分别是什么？







变式：已知数列
{a}的前n项为
S
1
2
2
n
n
?
4
n?
3
n?3
，
求这个数列的通项公式.










小结：数列通项
a
n
和前n项和
S
n
关系为 a
=
?
?
S
1
(n?1)
n
，由此可 由
?
S
S
n
求
a
n
.
n
?S
n?1
(n?2)

例2 已知等差数列
5 ，4
2
7
，3
4
7
，....
的前n项和为
S
n
，求使得
S
n
最大的序号n的值.











变式：等差数列{
a
n
}中，
a
4
＝－15， 公差d＝3，
求数列{
a
n
}的前n项和
S
n
的最小值.














小结：等差数列前项和的最大（小）值的求法.
（1）利用
a
n
: 当
a
n
>0，d<0，前n项 和有最大值，
可由
a
n
≥0，且
a
n?1
≤0，求 得n的值；当
a
n
<0，d>0，
前n项和有最小值，可由
a
n
≤0，且
a
n?1
≥0，求得n
的值
（2）利用S
dd
n
：由
S
n
?
2
n
2
?(a
1
?
2
)n
，利用二次
函数配方法求得最大 （小）值时n的值.

※ 动手试试

练1. 已知
S
2
n
?3n?2n
，求数列的通项
a
n
.

















练2. 有两个等差数列2，6，1 0，…，190及2，8，
14，…200，由这两个等差数列的公共项按从小到
大的顺序组成 一个新数列，求这个新数列的各项之
和.

















三、总结提升
※ 学习小结

1. 数列通项
a
n
和前n项和
S
n
关系；
2. 等差数列前项和最大（小）值的两种求法.

※ 知识拓展

等差数列奇数项与偶数项的性质如下：
1°若项数为偶数2n，则
SS
S
奇
a
偶
－
奇
＝nd
；
S
＝
n
(n?2)
；
偶
a
n?1
2°若项数为奇数2n＋1，则
S
奇
－S
偶
＝a
n?1
；
S
偶
?na
n?1< br>；
S
奇
＝(n?1)a
n?1
；
S
偶
S
＝
n
n?1
.
奇
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 下列数列是等差数列的是（ ）.
A.
a
n
?n
2
B.
S
n
?2n?1

C.
S
2
n
?2n
2
?1
D.
S
n
?2n?n

2. 等差数列{
a
n
}中，已知
S
15
?90
，那么
a
8
?
（ ）.
A. 3 B. 4 C. 6 D. 12
3. 等差数列{
a
n
}的前m项和为30，前2m项和为
100， 则它的前3m项和为（ ）.
A. 70 B. 130 C. 140 D. 170
4. 在小于100的正整数中共有 个数被7除
余2，这些数的和为 .
5. 在等差数列中，公差d＝
1
2
，
S
100
?145
，
则
a1
?a
3
?a
5
?...?a
99
?
.

课后作业

1. 在项数为2n+1的等差数列中，所有奇数项和为
165，所有偶数项和为150，求n的值.













2. 等差数列{
a
n
}，
a1
?0
，
S
9
?S
12
，该数列前多
少项的和最小？

§2.4等比数列（1）


学习目标

1理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通
项公式、性质；
2. 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，
提高数学建模能力；
3. 体会等比数列与指数函数的关系.

学习过程

一、课前准备
（预习教材P
48
~ P
51
，找出疑惑之处）
复习1：等差数列的定义？



复习2：等差数列的通项公式
a
n
?
，
等差数列的性质有：






二、新课导学
※ 学习探究

观察：①1，2，4，8，16，…
②1，
1
2
，
1
4
，
1
8
，< br>1
16
，…
③1，20，
20
2
，
20< br>3
，
20
4
，…
思考以上四个数列有什么共同特征？







新知：
1. 等比数列定义：一般地，如果一个数列从第 项
起， 一项与它的 一项的 等于 常数，
那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比
数列的 ，通常用字母 表示（q≠0），即：
a
n
a
= （q≠0）
n?1

2. 等比数列的通项公式：
a
2
?a
1
；
a
3
?a
2
q?(a
1
q)q?a
1
；
a
2
4
?a
3
q?(a
1
q)q?a
1
； … …
∴
a
n
?a
n?1
q?a
1
?
等式成立的条件

3. 等比数列中任意两项
a
n
与
a
m
的关系是：



※ 典型例题

例1 （1） 一个等比数列的第9项是
4
9
，公比是－
1
3
，求它的第1项；
（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，
求它的第1项与第4项.


















小结：关于等比数列的问 题首先应想到它的通项公
式
a
?1
n
?a
1
qn
.

例2 已知数列{
a
n
}中，lg
a
n
?3n?5
，试用定义证
明数列{
a
n
}是等比数列.



















小结：要证明一个数列是等比数列， 只需证明对于
任意正整数n，
a
n?1
a
是一个不为0的常数就行了 .
n

※ 动手试试

练1. 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经
过一年剩留的这种物质是原来的84％. 这种物质的
半衰期为多长(精确到1年)?















练2. 一个各项均正的等比数列，其每一项都等于
它后面的相邻两项之和，则公比
q?
（ ）.
A.
3
B.
35
C.
5?15?1
222
D.
2


















三、总结提升
※ 学习小结

1. 等比数列定义；
2. 等比数列的通项公式和任意两项
a
n
与
a
m
的关
系.

※ 知识拓展

在等比数列
{a
n
}
中，
⑴ 当
a
1
?0
，q >1时，数列
{a
n
}
是递增数列；
⑵ 当
a
1
?0
，
0?q?1
，数列
{a
n
}
是递增 数列；
⑶ 当
a
1
?0
，
0?q?1
时，数列< br>{a
n
}
是递减数列；
⑷ 当
a
1
?0
，q >1时，数列
{a
n
}
是递减数列；
⑸ 当
q?0
时，数列
{a
n
}
是摆动数列；
⑹ 当
q?1
时，数列
{a
n
}
是常数列.
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 在
?
a
n
?
为等比数列，
a
1
?12
，< br>a
2
?24
，则
a
3
?
（ ）.
A. 36 B. 48 C. 60 D. 72
2. 等比数列的首 项为
9
2
8
，末项为
1
3
，公比为
3，这
个数列的项数n＝（ ）.
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3. 已知数列a，a（1－a），
a1(?)a
2
，…是等比数
列，则实数a的取值范围是（ ）.
A. a≠1 B. a≠0且a≠1
C. a≠0 D. a≠0或a≠1
4. 设
a
1
，
a
2
，
a
3
，
a
4
成等比数列，公比为2，则
2a
1
?a
2
2a?a
＝ .
34
5. 在等比数列
{a
n
}
中，
2a
4
?a
6
?a
5
，则公比q
＝ .

课后作业

在等比数列
{a
n
}
中，
⑴
a
4
?27
，q＝－3，求
a
7
；






⑵
a
2
?18，
a
4
?8
，求
a
1
和q；






⑶
a
4
?4
，
a
7
?6
，求
a
9
；






⑷
a
5
?a
1
?15,a
4
?a
2
?6
，求
a
3
.

§2.4等比数列（2）


学习目标

1.灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解
等比中项概念；
2. 熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列
是否成等比数列的方法.

学习过程

一、课前准备
（预习教材P
51
~ P
54
，找出疑惑之处）
复习1：
等比数列的通项公式
a
n
?
= .

公比q满足的条件是

复习2：等差数列有何性质？




二、新课导学
※ 典型例题

例1已知
{a
n
},{b
n
}
是项数相同的等比数列，仿照下
表中的例子填写表格，从中你能得出什么结论?证
明你的结论.

例 自选1 自选2
2
a
n

3?()
n


3
b
n


?5?2
n?1

4
a
n
b
n

?10?()
n?1


3
{a
n
b
n
}
是

是
否等比









a
※ 学习探究
变式：项数相同等比数列{
a
n
}与{
b
n
}，数列{
n
}
b
n
问题1 ：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，
也一定是等比数列吗？证明你的结论.
Gb
b成等比数列，则
??G
2
?ab?G?



aG



新知1：等比中项定义

如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等

比数列，那么称这个数G称为a与b的等比中项.

即G= （a，b同号）.



试试：数4和6的等比中项是 .


小结：两个等比数列的积和商仍然是等比数列.
问题2：

例2在等比数列{
a
n
}中，已知
a
4
a
7
??512
，且
1.在等比数列{
a
n
}中，
a
5
2
?a
3
a
7
是否成立呢？

a
3
?a
8
?124
，公比为整数，求
a
10< br>.


2
2.
a
n
?a
n?1< br>a
n?1
(n?1)
是否成立？你据此能得到什么


结论？







2?a
n?k
a
n?k
(n?k?0)
是否成立？你又能得到什3 .
a
n

么结论？





新知2：等比数列的性质

在等比数列中，若m+n=p+q，则
am
a
n
?a
p
a
k
.

变式 ：在等比数列{
a
n
}中，已知
a
7
a
12
?5
，则

a
8
a
9
a
10
a
11
?
.
试试：在等比数列
?
a< br>n
?
，已知
a
1
?5,a
9
a
10
?100
，那


么
a
18
?
.

※ 动手试试

练1. 一个直角三角形三边成等比数列，则（ ）.
A. 三边之比为3：4：5
B. 三边之比为1：
3
：3
C. 较小锐角的正弦为
5?1
2

D. 较大锐角的正弦为
5?1
2






练2. 在7和56之间插入
a
、
b
，使7、
a
、
b
、56
成等比数列，若插入
c
、
d
，使7、
c
、
d
、56成
等差数列，求
a
＋
b
＋
c
＋
d
的值.
















三、总结提升
※ 学习小结

1. 等比中项定义；
2. 等比数列的性质.

※ 知识拓展

公比为q的等比数列
{a
n
}
具有如下基本性质：
1. 数列
{|a
n
|}
，
{a
2
n
}
，
{ca
n
}(c?0)
，
{a
nm
}(m?N< br>*
)
，
{a
k
2
n
}
等，也为等比 数列，公比分别为
|q|,q,q,q
m
,q
k
.
若数列
{b}
为等比数列，则
{ab
a
n
nn
}
，
{
n
b
}
也等比.
n
2. 若
m?N
*
，则
a
n?m
n
?a
m
q
. 当m=1时，便得到
等比数列的通项公式.
3. 若
m?n?k?l
，m,n,k,l?N
*
，则
a
m
a
n
?ak
a
l
.
4. 若
{a
n
}
各项为 正，c>0，则
{log
c
a
n
}
是一个以
log
c
a
1
为首项，
log
c
q
为公差的等差 数列. 若
{b
n
}
是
以d为公差的等差数列，则
{cb
n
}
是以
c
b
1
为首项，
c
d
为公比的等比数列. 当一个数列既是等差数列又是
等比数列时，这个数列是非零的常数列.
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 在
?
a
n
?
为等比数列中，
a
n
?0
，
a
2
a2
4
?2a
3
a
5
?a
5
?16，那么
a
3
?a
5
?
（ ）.
A. ±4 B. 4 C. 2 D. 8
2. 若－9，a
1
，a
2
，－1四个实数成等差数列，－9，
b
1
，b
2，b
3
，－1五个实数成等比数列，则b
2
(a
2
－< br>a
1
)＝（ ）.
A．8 B．－8 C．±8 D．
9
8

3. 若正数a，b，c依次成公比大于1的等比数列，
则当x>1时，
log
a
x
，
log
b
x
，
log
c
x
（ ）
A.依次成等差数列 B.各项的倒数依次成等差数列
C.依次成等比数列 D.各项的倒数依次成等比数列
4. 在两数1，16之间插入三个数，使它们成为等比
数列，则中间数等于 .
5. 在各项都为正数的等比数列
?
a
n
?
中，
a
5a
6
?9
，
则log
3
a
1
+ log
3
a
2
+
…
+
log
3
a
10
?
.


课后作业

1. 在
?
a
n
?
为等比数列中，< br>a
1
a
9
?64
，
a
3
?a
7
?20
，
求
a
11
的值.












2. 已知等差数列
?
a
n
?
的公差d≠0，且
a
1
，
a
3
，
a
9
成等比数列，求
a
1
?a
3
?a
9
a?a
.
24
?a
10

§2.5等比数列的前n项和(1)


学习目标

1. 掌握等比数列的前n项和公式；
2. 能用等比数列的前n项和公式解决实际问题.

学习过程

一、课前准备
（预习教材P
55
~ P
56
，找出疑惑之处）
复习1：什么是数列前n项和？等差数列的数列前
n项和公式是什么？





复习2：已知等比数列中，
a
3
?3
，
a
6
?81
，求
a
9
,
01
a
.




二、新课导学
※ 学习探究

探究任务：

等比数列的前
n
项和

故事：“国王对国际象棋的发明者的奖励”




新知：等比数列的前n项和公式

设等比数列
a
1
,a2
,a
3
,a
n
它的前n项和是
S
n
?
a
1
?a
2
?a
3
?a
n
，公 比为q≠0，

公式的推导方法一：
则
?
?
?
S
2n?2n?1
n
?a
1
?a
1
q?a
1
q?a
1
q?a
1
q
?
?
qS
n
?

?(1?q)S
n
?

当
q?1
时，
S
n
?
①
或
S
n
?
②
当q=1时，
S
n
?


公式的推导方法二：
由等比数列的定义，
a
2
a
?
a
3
a
??
a
n
?q
，
12
a
n?1
有
a
2
?a
3
??a
n
S?a
aa
?
n1
?q
，
1
?
2
??a
n?1
S
n
?a
n
即
S
n
?a
1
S
?q
.
n
?a
n
∴
(1?q)S
n
?a
1?a
n
q
（结论同上）

公式的推导方法三：
S< br>n
?
a
1
?a
2
?a
3
?a
n

＝
a
1
?q(a
1
?a
2
?a
3
?a
n?1
)

＝
a
1?qS
n?1
＝
a
1
?q(S
n
?a
n
)
.
∴
(1?qS)
n
?a
1
? a
n
q
（结论同上）

试试：求等比数列
1
2< br>，
1
4
，
1
8
，…的前8项的和.








※ 典型例题

例1已知a
1
=27，a
9
=
1
243
， q<0，求这个等比数列
前5项的和.














变式：
a
1
?3
，
a
5
?48
. 求此等比数列的前5项和.









例2某商场今年销售计算机5000台，如果平均每
年的销售量比上一年 的销售量增加10%，那么从今
年起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保
留到个 位)?

※ 动手试试

练1. 等比数列中，
a
39
3
?
2
,S
3
?
2
,求a
1
及 q.










练2. 一个球从100m高出处自由落下，每次着地后
又弹回到原来高度的一半再 落下，当它第10次着
地时，共经过的路程是多少？（精确到1m）
















三、总结提升
※ 学习小结

1. 等比数列的前n项和公式；

2. 等比数列的前n项和公式的推导方法；

3. “知三求二”问题，即：已知等比数列之
a
1
,a
n
,q,n,S
n
五个量中任意的三个，列方程组可以
求出其余的两个.

※ 知识拓展

1. 若
q??1
，
m?N
*，则
S
m
,S
m2
S?
m
,S
m3< br>S?
m2
,?
构
成新的等比数列，公比为
q
m
.
2. 若三个数成等比数列，且已知积时，可设这三个
数为
a
q
,a,aq
. 若四个同符号的数成等比数列，可设
这四个数为
aa
q3
,
q
,aq,aq
3
.
3. 证明等比数列的方法有：
（1）定义法：
a
n?1
a
?q
；（2）中项法：
a
2
n?1
?a
n
a
n?2.
n
4. 数列的前n项和构成一个新的数列，可用递推公
式
?
?
S
1
?a
1
?
S
表示
n
?S
n?1
?a
n
(n?1)
.
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 数列1，
a
，
a< br>2
，
a
3
，…，
a
n?1
，…的前n项和< br>为（ ）.
1?a
n
1?a
n?1
A.
1?a
B.
1?a

n?
C.
1?a
2
1?a
D. 以上都不对
2. 等比数列中 ，已知
a
1
?a
2
?20
，
a
3
?a
4
?40
，
则
a
5
?a
6
?
（ ）.
A. 30 B. 60 C. 80 D. 160
3. 设
{a
n
}
是由正数组成的等比数列，公比为2，且
a
1
a
2
a
3
???a
30
?2
30
，那么
a
3
a
6
a
9
??? a
30
?
（ ）.
A.
2
10
B.
2
20
C. 1 D.
2
60

4. 等比数列的各项都是正数，若
a
1
?81,a
5
?1 6
，
则它的前5项和为 .
5. 等比数列的前n项和
S
n
?3
n
?a
，则a＝ .

课后作业

1. 等比数列中，已知
a
1
? ?1,a
4
?64,求q及S
4
.
















2. 在等比数列
?
a
n
?
中，a
1
?a
6
?33,a
2
a
5
?32
，求
S
6
.

§2.5等比数列的前n项和(2)


学习目标

1. 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项
和公式；
2. 会用 公式解决有关等比数列的
S
n
,a
n
,a
1
,n, q
中知
道三个数求另外两个数的一些简单问题.

学习过程

一、课前准备
（预习教材P
57
~ P
62
，找出疑惑之处）
复习1：等比数列的前n项和公式.
当
q?1
时，
S
n
?
＝
当q=1时，
S
n
?



复习2：等比数列的通项公式.

a
n
?
= .






二、新课导学
※ 学习探究

探究任务：等比数列的前n项和与通项关系
问题：等比数列的前n项和
S
n
?
a
1
?a2
?a
3
??a
n?1
?a
n
，
S
n?1
?
a
1
?a
2
?a
3
?? a
n?1
（n≥2），
∴
S
n
?S
n?1
?
，
当n＝1时，
S
1
?
.


反思：
等比数列前n项和
S
n
与通项
a
n
的关系是什么？






※ 典型例题

例1 数列
{a
n
n
}
的前n项和
S
n< br>?a?1
（a≠0，a≠1），
试证明数列
{a
n
}
是等比数列.






变式：已知数列{a
n
}
的前n项和
S
n
，且
S
n? 1
?4a
n
?2
，
a
1
?1
，设
b
n
?a
n?1
?2a
n
，求证：
数列
{b
n
}
是等比数列.
















例2 等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别
是
S
n，
S
2n
，
S
3n
，求证：
S
n，
S
2n
?S
n
，
S
3n
?S
2n
也成等比.


















变式：在等比数列中，已知
S
n
?48,S
2n
?60
，求
S
3n
.