2020年人教版高中数学必修五全册精品教案(精华版)

2020年人教版高中数学必修五全册精品教
案（精华版）

课题: §1．1．1正弦定理
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：通过对任意三 角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定
理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解 斜三
角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角 形
中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到
一般归纳出正弦定理，并 进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的< br>运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过
三角形函数、正弦定理、向量 的数量积等知识间的联系来体现事物之
间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点
正弦定理的探索和证明及其基本应用。
●教学难点
已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
●教学过程
Ⅰ.课题导入
1

如图1．1-1，固定
?
ABC的边CB及
?< br>B，使边AC绕着顶点C转动。
A
思考：
?
C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边AB的长度随着其对角
?
C的大小的增大而增大。能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来？
C B
Ⅱ.讲授新课
[探索研究]
(图1．1-1) < br>在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角
三角形中，角与边的等式关系。如 图1．1-2，在Rt
?
ABC中，设
BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三 角函数中正弦函数的定义，有
a
?sin
A
，
c
b
?sin
B
c
，又
sin
C
?1?
c
c< br>,
A
则
a
c
从而在直角三角形ABC中，
a
B
(
图1．1-2)
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
（由学生讨论、分析）
2
sin
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C
?
c
b
sin
A
?
b
sin
B
?
c
si n
C
C a

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1．1-3，当
?< br>ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，
根据任意角三角函数的定义，有CD=
a
sin
B
?
b
sin
A
,则
a
C
同理可得
c
a
从而
a
sin
A
?< br>sin
C
?
sin
A
?
b
sin
B
，
b
sin
B
， b
b
sin
B
?
c
sin
C
A
c B

(图1．1-3)
思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而
可以考虑用向量来研究这个问题。
（证法二）：过点A作
j
?
AC
， C
uuuruur
由向量的加法可得
AB
?
AC
?
CB
uur
uruuur

则
B
uruururuuuruur
j
?
AB
?
j
?(
AC
?
CB
)
A
∴
j
?AB
?
j
?
AC
?
j
?
CB

j

ruuurruuur
jABcos
?
90
0
?A
?
?0?jCBcos
?
90
0
?C
?

ac
?
∴
csinA?asinC
，即
sin

AsinC
bc
?
同理，过点C作
j?BC
，可得
sin

BsinC
ruuur
uruururuuururuurur
从而
a
sin
A
?
b
sin
B
?
c< br>sin
C

类似可推出，当
?
ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学
3

生课后自己推导）
从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，
即
a
sin
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C< br>
[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比< br>例系数为同一正数，即存在正数k使
a
?
k
sin
A
，
b
?
k
sin
B
，
c
?
ksin
C
；
（2）
a
sin
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C
等价于
a
sin
A
?
b
sin
B
，
c
sin
C
?
b
sin
B
，
a
sin
A
?
c
sin
C

从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三 角形的任意两角及其一边可以求其他边，如
a
?
b
sin
A
；
sin
B
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如
sin
A
?
a
sin
B
。
b
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作
解三角形。
[例题分析]
例1．在
?ABC
中，已知
A?32.0
0
，
B?81.8
0
，
a?42.9
cm，解三角形。
解：根据三角形内角和定理，
C?180
0
?(A?B)



?180
0
?(32.0
0
?81.8
0
)

?66.2
0
；
根据正弦定理，
4

asinB42.9sin81.8
0
b???80.1(cm)；
sinA
sin32.0
0
根据正弦定理，
asinC42.9sin66.2
0
c???74.1(cm).

sinA
sin32.0
0
评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2．在
?ABC
中，已知
a?20
cm，
b?28
cm，
A?40
0
，解三角形（角
度精确到
1
0
，边长精确到1cm）。
解：根据正弦定理，

bsinA28sin40
0
sinB???0.8999.

a2 0
因为
0
0
＜
B
＜
180
0
，所 以
B?64
0
，或
B?116
0
.

⑴ 当
B?64
0
时，

C?180
0
?(A? B)?180
0
?(40
0
?64
0
)?76
0< br>，
asinC20sin76
0
c???30(cm).

sinA
sin40
0
⑵ 当
B?116
0
时，

C?180
0
?(A?B)?180
0
?(400
?116
0
)?24
0
，
asinC20sin24
0
c???13(cm).

sinA< br>sin40
0
评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的
情形。
Ⅲ.课堂练习
第5页练习第1（1）、2（1）题。
[补充练习]已知
?
ABC中，
sin
A
:sin
B
:sin
C
?1:2:3
，求
a
:
b
:
c

（答案：1：2：3）
Ⅳ.课时小结（由学生归纳总结）
5

（1）定理的表示形式：
a
sin
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C
?
a
?
b
?< br>c

?
k
?
k
?0
?
；
s in
A
?sin
B
?sin
C
或
a
?k
sin
A
，
b
?
k
sin
B
，
c
?
k
sin
C
(
k
?0)

（2）正弦定理的应用范围：
①已知两角和任一边，求其它两边及一角；
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
Ⅴ.课后作业
第10页[习题1.1]A组第1（1）、2（1）题。
●板书设计
●授后记









课题: §1.1.2余弦定理
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方
6

法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
过程与方法：利用向量 的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践
演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的
运算能力；通过三角函数、余弦 定理、向量的数量积等知识间的关系，
来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点
余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
●教学难点
勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
●教学过程
Ⅰ.课题导入

C
如图1．1-4，在
?
ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,
已知a,b和
?
C，求边c b
a

A c
B
(
图1．1-4)
Ⅱ.讲授新课
7

[探索研究]
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
A < br>如图1．1-5，设
CB
?
a
，
CA
?
b< br>，
AB
?
c
，那么
c
?
a
?
b
，则
b

c

rrrrr r
c
?
c
?
c
?
a
?
ba
?
b
rrrrrr
?
ab
?
b
?
r
2
a
r
?
b
r
?
2
a
?
r
2
?
a
?
b
?2
a
?b
2
uurruurruurrrrrr
r
r
????
C
a

r
B
从而
c
2
?
a
2
?
b
2
?2
ab
cos
C
(图1．1-5)
同理可证
a
2
?
b
2
?
c
2
?2
bc
cos
A

b
2
?
a
2
?
c
2
?2
ac
cos
B< br>
于是得到以下定理
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减< br>去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即
a
2
?
b
2
?
c
2
?2
bc
cos
A

b
2
?
a
2
?
c
2
? 2
ac
cos
B

c
2
?
a
2< br>?
b
2
?2
ab
cos
C

思考： 这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以
求出第四个量，能否由三边求出一角？
（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：
b
2
?c
2?a
2
cosA?
2bc
a
2
?c
2
?b
2
cosB?
2ac


8

b
2
?a
2
?c
2
cosC?
2ba

[理解定理]
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间 的关系，余弦
定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理
之间的关系？
（由学生总结）若
?
ABC中，C=
90
0
，则
c osC?0
，这时
c
2
?a
2
?b
2

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
[例题分析]
例1．在
?
ABC中，已知
a?2
⑴解：∵
b
2
? a
2
?c
2
?2accosB

=
(23)
2
?(6?2)
2
?2?23?(6?2)
cos
45
0

6?2)
2
?43(3?1)

3
，
c?6?2
，
B?60
0
，求b及A
=
12?(
=
8

∴
b?22.

求
A
可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
b
2
?c
2
?a
2
(22)
2
?(6?2)
2
?( 23)
2
1
?,
⑵解法一：∵cos
A?
2bc
?
2
2?22?(6?2)

0
∴
A?60.

a2
解法二：∵sin
A?b
sinB?
3
?sin45
0
,

22
又∵
6?2
＞
2.4?1.4?3.8,

9

23
＜
2?1.8?3.6,

∴
a
＜
c
，即
0
0
＜
A
＜
90
0< br>,

0
∴
A?60.

评述：解法二应注意确定A的取值范围。
例2．在
?
ABC中，已知
a?134.6cm
，
b?87.8cm
，
c?161.7cm
， 解三角形
（见课本第8页例4，可由学生通过阅读进行理解）
解：由余弦定理的推论得：
b
2
?c
2
?a
2
cos
A?
2 bc



87.8
2
?161.7
2
?134.6
2

?
2?87.8?161.7
?0.5543,

A?56
0
20
?
；
c
2
?a
2
?b
2
cos
B?
2ca



134.6
2
?161.7
2
?87.8
2

?
2?134.6?161.7
?0.8398,

B?32
0
53
?
；
?

C?180< br>0
?(A?B)?180
0
?(56
0
20
?
?32
0
53)
Ⅲ.课堂练习
第8页练习第1（1）、2（1）题。 < br>[补充练习]在
?
ABC中，若
a
2
?
b
2
?
c
2
?
bc
，求角A（答案：A=120
0）
Ⅳ.课时小结
（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是
余弦定理的特例；
（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及
10

它们的夹角，求第三边。
Ⅴ.课后作业
①课后阅读：课本第9页[探究与发现]
②课时作业：第11页[习题1.1]A组第3（1），4（1）题。
●板书设计
●授后记
















11

课题: §1．1．3解三角形的进一步讨论
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形
时，有 两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角
形面积定理的应用。
过程与方法 ：通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综
合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有 关性质求解三角形问
题。
情感态度与价值观：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三
角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一
定条件下相互转化的可能， 从而从本质上反映了事物之间的内在联
系。
●教学重点
在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或
无解等情形；
三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
●教学难点
正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
●教学过程
Ⅰ.课题导入
12

[创设情景]
思考：在
?
ABC中，已知< br>a
?22
cm
，
b
?25
cm
，
A
?133
0
，解三角形。
（由学生阅读课本第9页解答过程）
从 此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角
解三角形时，在某些条件下会出现无解的情 形。下面进一步来研究这
种情形下解三角形的问题。
Ⅱ.讲授新课
[探索研究]
例1．在
?
ABC中，已知
a
,
b
,
A< br>，讨论三角形解的情况
分析：先由
sin
B
?
b
s in
A
可进一步求出B；
a
则
C
?180
0?(
A
?
B
)

从而
c
?
a
sin
C

A
1．当 A为钝角或直角时，必须
a
?
b
才能有且只有一解；否则无解。
2．当A为锐角时，
如果
a
≥
b
，那么只有一解；
如果
a
?
b
，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若
a
?
b
sin
A
，则有两解；
（2）若
a
?
b
sin
A
，则只有一解；
（3）若
a
?
b
sin
A
，则无解。
（以上解答过程详见课本第9
:
10页）
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形
时，只有当A为锐角且
13

b
sin
A
?
a
?
b
时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。
[随堂练习1]
（1）在
?
ABC中，已知
a
?80
，
b
?100
，
?
A
?45
0
，试判断此三角形的解
的情况。
1
（2）在
?
ABC中，若
a
?1
，
?
C
c
?
，
2
则符合题意的
?40
0
，b的值有___ __
个。
（3）在
?
ABC中，
a
?
xcm，
b
?2
cm
，
?
B
?45
0
，如果利用正弦定理解三
角形有两解，求x的取值范围。
（答案：（1）有两解；（2）0；（3）
2?
x
?22
）
例2．在
?
ABC中，已知
a
?7
，
b
?5，
c
?3
，判断
?
ABC的类型。
分析：由余弦定理可知
a
2
?
b
2
?
c
2
?
A
是直角??ABC是直角三角形
a
2
?b
2
?
c
2
?
A
是钝角??ABC是钝角三角 形

a
2
?
b
2
?
c
2
?
A
是锐角??ABC是锐角三角形
（注意：
A
是锐角??ABC是 锐角三角形
）
解：
Q7
2
?5
2
?3
2
，即
a
2
?
b
2
?
c
2
，
∴
?ABC是钝角三角形
。
[随堂练习2]
（1）在
?
ABC中，已知
sin
A
:sin
B
:sin
C
?1:2:3
，判断
?
ABC的类型。
（2）已知
?
ABC满足条件
a
cos
A
?
b
cos
B
，判断
?
ABC的类型。
（答案：（1）
?ABC是钝角三角形
；（2）
?
ABC是等腰或直角三角形）
例3．在
?
AB C中，
A
?60
0
，
b
?1
，面积为
2< br>3
2
，求
a
?
b
?
c
的值
sin
A
?sin
B
?sin
C
分析：可利用三角形面积 定理
S
?
1
ab
sin
C
正弦定理
14
11
?
ac
sin
B
?
bc
sin
A
以及
22

a
sin
A
?
bsin
B
?
c
sin
C
?
a
?
b
?
c

sin
A
?sin
B
?sin
C
解：由
S
13
得
c
?2
，
?
bc
sin
A
?
22
3
， 则
a
2
?
b
2
?
c
2
?2
bccos
A
=3，即
a
?
从而
a
?
b< br>?
c
a
??2

sin
A
?sin
B
?sin
C
sin
A
Ⅲ.课堂练习
（1）在
?
ABC中，若
a
?55
，
b
?16
，且此三角形的 面积
S
?220
C
（2）在
?
ABC中，其三边分别为a 、b、c，且三角形的面积
S
?
求角C
（答案：（1）
60
0
或
120
0
；（2）
45
0
）
Ⅳ.课时小结
（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或
一解或无解等情形；
（2）三角形各种类型的判定方法；
（3）三角形面积定理的应用。

Ⅴ.课后作业
（1）在
?
ABC中，已知
b
?4
，
c
?10
，
B
?30
0
，试判断此三角形的解的
情况。
（2）设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围。
（3）在
?
ABC中，
A
?60
0
，
a
?1
，
b
?
c
?2
，判断
?
ABC的形状 。
（4）三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程
15
3
，求角
a
2
?
b
2
?
c
2
4
，

5
x
2
?7
x
?6?0
的根，
求这个三角形的面积。
●板书设计
●授后记


















16

课题: §2.2解三角形应用举例
第一课时
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和 方法解决一些有
关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语
过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节
17

课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发
思考——探索猜想——总结规律 ——反馈训练”的教学过程，根据大
纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通
过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决
实际问题。对于例2这样的 开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思
路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正
情感 态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价
值；同时培养学生运用图形、数学符号表 达题意和应用转化思想解决
数学问题的能力
●教学重点
实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实
际问题的解
●教学难点
根据题意建立数学模型，画出示意图
●教学过程
Ⅰ.课题导入
1、[复习旧知]
复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型
的三角形？
2、[设置情境]
请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们
遇 到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”
18

在古代 ，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什
么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知 道，对于未知的距离、高
度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、
相 似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在
实际测量问题的真实背景下，某些方法 会不能实施。如因为没有足够
的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限
性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开
始学习正弦定理、余弦定理在科学 实践中的重要应用，首先研究如何
测量距离。
Ⅱ.讲授新课
（1）解决实际测量问 题的过程一般要充分认真理解题意，正确
做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和 未知
的边、角，通过建立数学模型来求解
[例题讲解]
(2)例1、如图，设A、 B两点在河的两岸，要测量两点之间的
距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC 的
距离是55m，
?
BAC=
51?
，
?
ACB=
75?
。求A、B两点的距离(精确到0.1m)

19

启发提问1：
?
ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理
比较适当？
启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。
分析：这是一道关于测量从 一个可到达的点到一个不可到达的点之间
的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边， 再根据
三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正
弦定理算出AB边。
解：根据正弦定理，得
AB
=
AC

sin?ACB
sin?ABC
AB =
ACsin?ACB

sin?ABC
=
55sin?ACB

sin?ABC
=
55sin75?

sin(180??51??75?)
=
55sin75?

sin54?
≈ 65.7(m)
答:A、B两点间的距离为65.7米
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A
在观察站C的北偏东3 0
?
，灯塔B在观察站C南偏东60
?
，则A、B之
间的距离为多少 ？
老师指导学生画图，建立数学模型。
解略：
2
a km
例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、
B两点间距离的方法。
20

分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点。根据正弦
定理中已知三角形的任意两个内 角与一边既可求出另两边的方法，分
别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。

解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两
点分别测 得
?
BCA=
?
，
?
ACD=
?
，
?
CDB=
?
，
?
BDA =
?
，在
?
ADC和
?
BDC中，应用正弦
定理得
AC =
BC =
asin(
?
?
?
)
=
asin(
?
?
?
)

sin[180??(?
?
?
?
?
)]sin(
?
?
??
?
)
asin
?
=
asin
?

sin[180??(
?
?
?
?
?
)]sin(
?
?
?
?
?
)
计算出AC和BC后，再在
?
ABC中，应用余弦定理计算出AB两点
间的距离
AB =
AC
2
?BC
2
?2AC?BCcos
?

分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分
析。
变式训练： 若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得
?
BCA=60
?
，
?
ACD=30
?
，
?
CDB=45
?
，
?
BDA =60
?

21

略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20
6

评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解
决问题的方案，但有些过程较繁复 ，如何找到最优的方法，最主要的
还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。
学生阅读课本4页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例
子。
Ⅲ.课堂练习
课本第14页练习第1、2题
Ⅳ.课时小结
解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图 （2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中
在有关的三角形中，建立一个解 斜三角形的数学模型
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学
模型的解
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问
题的解
Ⅴ.课后作业
课本第22页第1、2、3题
●板书设计
●授后记

22

课题: §2.2解三角形应用举例
第二课时
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：能够运用正弦定理 、余弦定理等知识和方法解决一些有
关底部不可到达的物体高度测量的问题
过程与方法：本节 课是解三角形应用举例的延伸。采用启发与尝试的
方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图 ，帮助学生逐
步构建知识框架。通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三
角形实际问题 的一般方法。教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目
的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的 研究、探索习惯。作
业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间
情感态度与价值观：进一步培 养学生学习数学、应用数学的意识及观
察、归纳、类比、概括的能力
●教学重点
结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题
●教学难点
能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件
●教学过程
Ⅰ.课题导入
23

提问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天
我们就来共同探讨这方面的问题
Ⅱ.讲授新课
[范例讲解]
例1、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑 物的最高点，设
计一种测量建筑物高度AB的方法。

分析：求AB长的关键是先求 AE，在
?
ACE中，如能求出C点到建筑
物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A 的仰角，就可以计算出AE
的长。
解：选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直 线上。由在H、
G两点用测角仪器测得A的仰角分别是
?
、
?
，CD = a，测角仪器的
高是h，那么，在
?
ACD中，根据正弦定理可得
AC =
asin
?

sin(
?
?
?
)
AB = AE + h
= AC
sin
?
+ h
=
asin
?
sin
?
sin(
?
?
?
)
+ h
24

例2、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角
?=54
?
40
?
，
在塔底C处测得A处的俯角
?
=50
?
1
?
。已知铁塔BC部分的高为27.3 m,
求出山高CD(精确到1 m)


师:根据已知条件,大家能设计出 解题方案吗？（给时间给学生讨论思
考）若在
?
ABD中求CD，则关键需要求出哪条 边呢？
生：需求出BD边。
师：那如何求BD边呢？
生：可首先求出AB边，再根据
?
BAD=
?
求得。
解:在
?
ABC中,
?
BCA=90
?
+
?
,
?
ABC =90
?
-
?
,
?
BAC=
?
-
?
,
?
BAD
=
?
.根据正弦定理,

BC
=
AB

?
sin(
?
?
?
)
sin(90?
?
)
BCsin(90
?
?
?
)
BCcos
?
所以 AB ==
sin(
?
?
?
)
sin(
?
?
?
)
解Rt
?
ABD中,得 BD =ABsin
?
BAD=
BCcos
?
sin
?

sin(
?
?
?
)
将测量数据代入上式,得
25

27.3cos50
?
1
?
sin54
?< br>40
?
BD =
??
??< br>sin(5440?501)
27.3cos50
?
1
?
si n54
?
40
?
=
?
?
sin439
≈177 (m)
CD =BD -BC≈177-27.3=150(m)
答:山的高度约为150米.
师：有没有别的解法呢？
生：若在
?
ACD中求CD，可先求出AC。
师：分析得很好，请大家接着思考如何求出AC？
生：同理，在
?
ABC中，根据正弦定理求得。（解题过程略）
例3、如图 ,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得
公路南侧远处一山顶D在东偏南15
?
的方向上,行驶5km后到达B处,
测得此山顶在东偏南25
?
的方向上, 仰角为8
?
,求此山的高度CD.

师：欲求出CD，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？
生：在
?
BCD中
师：在
?
BCD中，已知BD或BC都 可求出CD,根据条件,易计算出哪条
边的长？
生：BC边
26

解:在
?
ABC中,
?
A=15
?
,
?
C= 25
?
-15
?
=10
?
,根据正弦定理,
BC
=
AB
,
sinAsinC
BC =ABsinA
5sin15
?
=
sinC
sin10
?

≈ 7.4524(km)
CD=BC
?
tan
?
DBC≈BC
?
tan8
?
≈1047(m)
答:山的高度约为1047米
Ⅲ.课堂练习
课本第17页练习第1、2、3题
Ⅳ.课时小结
利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方
位图, 要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适
当的简化。
Ⅴ.课后作业
1、
2、
课本第23页练习第6、7、8题
为测某塔AB的高度，在一 幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测
得塔顶A的仰角为30
?
，测得塔基B的俯角为 45
?
，则塔AB的高
度为多少m？
答案：20+
203
3
(m)
●板书设计
●授后记
课题: §2.2解三角形应用举例
第三课时
27

授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有
关计算角度的实际问题 < br>过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对
解法有了基本的了解，这节课 应通过综合训练强化学生的相应能力。
除了安排课本上的例1，还针对性地选择了既具典型性有具启发性 的
2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透。课堂中要充分体现学生
的主体地位，重过程，重 讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积
极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现 规律，
举一反三。
情感态度与价值观：培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问
题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神。
●教学重点
能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系
●教学难点
灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情境]
提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已
知 三角形的一些边和角求其余边的问题。然而在实际的航海生活中,
28

人们又 会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方
向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接 着探讨这方面的测量问
题。
Ⅱ.讲授新课
[范例讲解]
例1、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75
?
的方向航行67.5 n mile
后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32
?
的方向航行54.0 n m ile
后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的
方向航行,需要航 行多少距离?(角度精确到0.1
?
,距离精确到0.01n
mile)

学生看图思考并讲述解题思路
教师根据学生的回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求 出
AC边所对的角
?
ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算
出AC边和AB边的夹角
?
CAB。
解：在
?
ABC中，
?
ABC=180
?
- 75
?
+ 32
?
=137
?
，根据余弦定理，
AC=
=
AB
2
?BC
2
?2AB?BC?cos?ABC


67.5
2
?54.0
2
?2?67.5?54.0?c os137
?
≈113.15
29

根据正弦定理,

BC
=
AC

sin?CABsin?ABC
AC
sin
?
CAB =
BCsin?ABC

54.0sin137
?
=
113.15

≈0.3255,
所以
?
CAB =19.0
?
,
75
?
-
?
CAB =56.0
?

答:此船应该沿北偏东56.1
?
的方向航行,需要航行113.15n mile
例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为
?
，沿BE方向前
进30 m，至点C处测得顶端A的仰角为2
?
，再继续前进10
3
m至D
点 ，测得顶端A的仰角为4
?
，求
?
的大小和建筑物AE的高。

师：请大家根据题意画出方位图。
生：上台板演方位图（上图）
教师先引导和鼓励 学生积极思考解题方法，让学生动手练习，请三位
同学用三种不同方法板演，然后教师补充讲评。
解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在
?
ACD中，
AC=BC=30，
AD=DC=10
3
，

?
ADC =180
?
-4
?
，
30

?
103
sin2
?
=
30
。
sin(180
?
?4
?
)
因为 sin4
?
=2sin2
?
cos2
?

?
cos2
?
=
3
2
,得 2
?
=30
?

?

?
=15
?
?
在
，
Rt
?
ADE中，AE=ADsin60
?
=15
答：所求角
?
为15
?
，建筑物高度为15m
解法二：（设方程来求解）设DE= x，AE=h
在 Rt
?
ACE中,(10
3
+ x)
2
+ h
2
=30
2

在 Rt
?
ADE中,x
2
+h
2
=(10
两式相减，得x=5
?
在 Rt
?
ACE
3
)
2

3
,h=15
h
103?x
中,tan2
?
==
3
3

?
2
?
=30
?
,
?
=15
?< br>
答：所求角
?
为15
?
，建筑物高度为15m
解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8，由题意，得
?
BAC=
?
，
?
CAD=2
?
，
AC = BC =30m , AD = CD =10
在Rt
?
3
m
ACE中，sin2
?
=
x

30
--------- ①
在Rt
?
ADE中，sin4
?
=
4
103
,
--------- ②
②
?
① 得 cos2
?
=
31 < br>3
2
,2
?
=30
?
,
?
=15< br>?
，

AE=ADsin60
?
=15
答：所求角
?
为15
?
，建筑物高度为15m
例3、某巡 逻艇在A处发现北偏东45
?
相距9海里的C处有一艘走私
船，正沿南偏东75
?
的方向以10海里小时的速度向我海岸行驶，巡
逻艇立即以14海里小时的速度沿着直线方 向追去，问巡逻艇应该沿
什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？

师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型
分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参
变量。
解：如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，
则CB=10x, AB=14x,AC=9,
?
ACB=
75?
+
45?
=
120?

?
(14x)
2
= 9
2
+ (10x)
2
-2
?
9
?
10xcos
120?

?
化简得32x
2
-30x-27=0，即x=
3
,或x= -
2
9
16
(舍去)
所以BC = 10x =15,AB =14x =21,
又因为
BCsin120
?
sin
?
BAC =
A B
=
15
21
?
3
2
=
53
14

?
?
BAC =38
?
13
?
,或
?
BAC =141
?
47
?
（钝角不合题意，舍去），
?
38?
13
?
+
45?
=83
?
13
?< br>
32

答：巡逻艇应该沿北偏东83
?
13
?
方向去追，经过1.4小时才追赶上该
走私船.
评注：在求解三角形中，我们可以 根据正弦函数的定义得到两个解，
但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际< br>意义，从而得出实际问题的解
Ⅲ.课堂练习
课本第18页练习
Ⅳ.课时小结
解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知
量全 部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）
已知量与未知量涉及两个或几个三角 形，这时需要选择条件足够的三
角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。
Ⅴ.课后作业
1、课本第23页练习第9、10、11题
2、我舰在敌岛A南偏西
50?
相距12海里的B处,发现敌舰正由岛沿北
偏西
10?
的方向 以10海里小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿
什么方向航行才能用2小时追上敌舰？（角度用反 三角函数表示）
●板书设计
●授后记



33

课题: §2.2解三角形应用举例
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决
有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用
过程与方法：本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑， 引导学
生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题
型。另外本节课的证 明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放
手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理 和余弦定理
的特点，能不拘一格，一题多解。只要学生自行掌握了两定理的特点，
就能很快开阔 思维，有利地进一步突破难点。
情感态度与价值观：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理< br>的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在
探究中体验愉悦的成功体验
●教学重点
推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目
●教学难点
利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情境]
34

师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式 ，今天我们来学习它
的另一个表达公式。在
?
ABC中，边BC、CA、AB上的高 分别记为h
a
、h
b
、h
c
，那么它们
如何用已知 边和角表示？
生：h
a
=bsinC=csinB
h
b
=csinA=asinC
h
c
=asinB=bsinaA
师：根据以前学过的三角形面积公式S=
1
ah,应用以上求出的高的公
2
式如h
a
=bsinC代 入，可以推导出下面的三角形面积公式，
S=
1
absinC，大家能推出其它的几个 公式吗？
2
生：同理可得，S=
1
bcsinA, S=
1
acsinB
22
师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的 面积外，知道哪些
条件也可求出三角形的面积呢？
生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解
Ⅱ.讲授新课
[范例讲解]
例1、在
?
ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精 确到0.1cm
2
）
（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5
?
;
（2）已知B=62.7
?
,C=65.8
?
,b=3.16cm;
（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm
分析： 这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角
形问题有密切的关系，我们可以应用解三角 形面积的知识，观察已知
35

什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。
解：（1）应用S=
1
acsinB，得
2
S=
1
?
14.8
?
23.5
?
sin148.5?
≈90.9(cm
2
)
2
(2)根据正弦定理，

b
=
c
sinC
sinB
sinB

c =
bsinC

S =
1
bcsinA =
1
b
2
sinCsinA

22
sinB
A = 180
?
-(B + C)= 180
?
-(62.7
?
+ 65.8
?
)=51.5
?

S =
sin65.8
?
sin51.5
?
1
2
?
3.16
?
2
sin62.7
?
≈4.0(cm
2
)
(3)根据余弦定理的推论，得
c
2
?a
2
?b
2
cosB =
2ca
38.7
2
?41.4
2
?27.3
2
=
2?38.7?41.4

≈0.7697
sinB = < br>2
1?cos
2
B
≈
1?0.7697
2
≈ 0.6384
应用S=
1
acsinB，得
S ≈
1
?
41.4
?
38.7
?
0.6384≈511.4(cm
2
)
2
例2、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造
成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为
68m,88m,127m,这个区域的面 积是多少？（精确到0.1cm
2
）？
师：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？
生：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的
面积公式求解。
36

由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结。
解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，
c
2
?a
2
?b
2
cosB=
2ca
127
2
?68
2
?88
2
=
2?127?68
≈0.7532
sinB=
1?0.7532
2
?
0.6578
应用S=
1
acsinB
2
S ≈
1
?
68
?
127
?
0.6578≈2840.38(m
2
)
2
答：这个区域的面积是2840.38m
2
。
例3、在
?
ABC中，求证：
a
2
?b
2
sin
2
A?sin
2
B
（1）
2
?;

2
csinC
（2）
a
2
+
b
2
+
c
2
=2（bccosA+cacosB+abcosC）
分析：这是一 道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左
右两边的特点，联想到用正弦定理来证明
证明：（1）根据正弦定理，可设

a
=
b
=
c
sinAsinB
sinC
= k
显然 k
?
0，所以
a
2
?b
2
k
2
sin
2
A?k
2
sin
2
B
左边=
2
?

ck
2
sin
2
C
sin
2
A?sin
2
B
=
sin
2
C
=右边
（2）根据余弦定理的推论，
b
2
?c
2
?a
2
右 边=2(bc
2bc
c
2
?a
2
?b
2
+ ca
2ca
a
2
?b
2
?c
2
+ab2ab
)

37

=(b
2
+c
2
- a
2
)+(c
2
+a
2
-b
2
)+(a
2
+b
2
-c
2
)
=a
2
+b
2
+c
2
=左边 变式练习1：已知在
?
ABC中，
?
B=30
?
,b= 6,c=6
积S
提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的
个数。
答案：a=6,S=9
3
;a=12,S=18
3

3,求a及
?
ABC的面
变式练习2：判断满足下列条件的三角形形状，
（1） acosA = bcosB
（2） sinC =
sinA?sinB

cosA?cosB
提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”
（1） 师：大家尝试分别用两个定理进行证明。
生1：（余弦定理）得
b
2
?c
2
?a
2
a
?
2bc
c
2
?a
2
?b
2
=b
?
2ca

?
c
2
(a
2
?b
2
)?a
4
? b
4
=
(a
2
?b
2
)(a
2
? b
2
)

?
a
2
?b
2
或c2
?a
2
?b
2

?
根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形
生2：（正弦定理）得
sinAcosA=sinBcosB,
?
sin2A=sin2B,
?
2A=2B,
?
A=B
38

?
根据边的关系易得是等腰三角形
师：根据该同学的做法，得到的只 有一种情况，而第一位同学的做法
有两种，请大家思考，谁的正确呢？
生：第一位同学的正确 。第二位同学遗漏了另一种情况，因为
sin2A=sin2B,有可能推出2A与2B两个角互补，即 2A+2B=180
?
，
A+B=90
?

(2)（解略）直角三角形
Ⅲ.课堂练习
课本第21页练习第1、2题
Ⅳ.课时小结
利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只
含角的三 角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形
的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可 用余弦定理甚至可以两
者混用。
Ⅴ.课后作业
课本第23页练习第12、14、15题
●板书设计
●授后记
第二章数列
课题: §2.1数列的概念与简单表示法
授课类型：新授课
（第1课时）
39

●教学目标
知识与技能：理解数列及 其有关概念，了解数列和函数之间的关系；
了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项； 对于比
较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。
过程与方法：通过对一列数的观 察、归纳，写出符合条件的一个通项
公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．
情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高
数学学习的兴趣。
●教学重点
数列及其有关概念，通项公式及其应用
●教学难点
根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式
●教学过程
Ⅰ.课题导入
三角形数：1，3，6，10，…
正方形数：1，4，9，16，25，…
Ⅱ.讲授新课
⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.
注意：⑴数列 的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数
列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列 ；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数
列中可以重复出现.
40

⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依
次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….
例如，上述例子均 是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项
（或首项），“9”是这个数列中的第6项.
⒊数列的一般形式：
a
1
,a
2
,a
3
,?,a< br>n
,?
，或简记为
?
a
n
?
，其中
a
n
是
数列的第n项
结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，
它的首项是“1”，“”是这个数列的第“3”项，等等
1
3
下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一
定的对应关系？这一关系可否用一个 公式表示？（引导学生进一步理
解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：
项
1

1
2
1
3
1
4
1

5
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
序号 1 2 3 4 5
这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：
a
n
?
来表示其对应关系
即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n，就可以求出该数列相
应的各项
结合上述其他例子，练习找其对应关系
⒋ 数列的通项公式：如果数列
?
a
n
?
的第n项
a
n
与n之间的关系
可以用一个公式 来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
41
1
n

注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；
⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，
1?(?1)
n? 1
n?1
1，0，…它的通项公式可以是
a
n
?
，也可以是
a
n
?|cos
?
|
.
2
2
⑶ 数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否
是该数列中的一项.
数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第

项，又是这
个数列中所有 各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的
函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定 了，代入项数就可
求出数列的每一项．
5.数列与函数的关系
数列可以看成以正整 数集N
*
（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为
定义域的函数
an
?f(n)
，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函
数值。
反过 来，对于函数
y=f(x)
,如果
f(i)
（i=1、2、3、4…）有意义 ，那
么我们可以得到一个数列
f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)…，f(n)，…

6．数列的分类：
1）根据数列项数的多少分：
有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数
列
无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数
列
2）根据数列项的大小分：
42

递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。
递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。
常数数列：各项相等的数列。
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前
一项的数列
观察：课本P33的六组数列，哪些是递增数列，递减数列，常数数列，
摆动数列？
[范例讲解]
课本P34-35例1
Ⅲ.课堂练习
课本P36[练习]3、4、5
[补充练习]：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1) 3, 5, 9, 17, 33,……； (2)
4
26810
, , , , , ……；
3
15
356399
(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……；
(5) 2, －6, 12, －20, 30, －42,…….
2n
1?(?1)
n
解：(1)
a
n
＝2n＋1； (2)
a
n
＝； (3)
a
n
＝；
(2n?1)(2n?1)
2
(4) 将数列变形为1＋0, 2＋1, 3＋0, 4＋1, 5＋0, 6＋1, 7＋0, 8＋
1, ……,
1?(?1)
n
∴
a
n
＝n＋；
2
(5) 将数列变形为1×2, －2×3, 3×4, －4×5, 5×6,……，
∴
a
n
＝(－1)
n?1
n(n＋1)
43

Ⅳ.课时小结
本节课学习了以下内容：数列及有关定义，会根据通项公式求其 任意
一项，并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式。
Ⅴ.课后作业
课本P38习题2.1A组的第1题
●板书设计
●授后记




课题: §2.1数列的概念与简单表示法
授课类型：新授课
（第２课时）
●教学目标
知识与技能：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项 公式的异同；
会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n项和与
a
n< br>的关系
过程与方法：经历数列知识的感受及理解运用的过程。
情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高
数学学习的兴趣。
●教学重点
44

根据数列的递推公式写出数列的前几项
●教学难点
理解递推公式与通项公式的关系
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[复习引入]
数列及有关定义
Ⅱ.讲授新课
数列的表示方法
1、 通项公式法
如果数列
?
a
n
?
的第n项与 序号之间的关系可以用一个公式来表示，那
么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
如数列


的通项公式为

的通项公式为

的通项公式为

；
；
；

2、 图象法
启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数

为横坐标，相应的项

为纵坐标，即以

为坐标在平面直角坐
为例，做出一个数列的标系中做出点（以前面提到的数列

图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，
所以这些点都在

轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象
45

中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．
3、 递推公式法
知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．
观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．
模型一：自上而下：
第1层钢管数为4；即：1
?
4＝1+3
第2层钢管数为5；即：2
?
5＝2+3
第3层钢管数为6；即：3
?
6＝3+3
第4层钢管数为7；即：4
?
7＝4+3
第5层钢管数为8；即：5
?
8＝5+3
第6层钢管数为9；即：6
?
9＝6+3
第7层钢管数为10；即：7
?
10＝7+3
若用
a
n
表 示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一
数列，且
a
n
?n?3 (1
≤n≤7）
运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模
型，运用 这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们
的统计与计算带来很多方便。
让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻
找规律）
模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。
即< br>a
1
?4
；
a
2
?5?4?1?a
1
?1
；
a
3
?6?5?1?a
2
?1

46

依此类推：
a
n
?a
n?1
?1
（2≤n≤7）
对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，
这一关系也较为重要。
定义：
递推公式：如果已知数列
?
a
n
?
的第1 项（或前几项），且任一项
a
n
与它
的前一项
a
n?1（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这
个公式就叫做这个数列的递推公式
递推公式也是给出数列的一种方法。
如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89
递推公式为：
a
1
?3,a
2
?5,a
n
?a
n?1
?a
n?2
(3?n?8)

数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表 示法有联系，首先请
学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法
表示一 个函数，数列有这样的表示法：用

第一项，……，用

4、列表法
．简记为

[范例讲解]
a
1
?1
?
例3 设数列
?
a
n
?
满足
?
写出这个数列的前五项。
1
?
a?1?(n?1).
?
n
a
n?1
?
a
n
?1?
解：分析：题中已给出
?
a
n
?
的第1项即
a
1
?1
，递推公式：
1
a
n?1
表示第一项，用

表示
表示第

项，依次写出成为
．

解：据题意可知：
a
1
?1,a
2
?1?
112
?2,a
3
?1??
，
a
1
a
2
3
47

a
4
?1?
158< br>?,a
5
?

a
3
35
[补充例题] 例4已知
a
1
?2
，
a
n?1
?2a
n
写出前5项，并猜想
a
n
．
法一：
a
1
?2

a
2
?2?2?2
2

a
3
?2?2
2
?2
3
，观察可得
a
n
?2
n

法二：由
a
n?1
?2a
n
∴
a
n
?2a
n?1
即
∴
an
aa
a
?
n?1
?
n?2
????
2
?2
n?1

a
n?1
a
n?2
an?3
a
1
a
n
?2

a
n?1
∴
a
n
?a
1
?2
n?1
?2
n

Ⅲ.课堂练习
课本P36练习2
[补充练习]
1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳
出通项公式
(1)
a
1
＝0,
a
n?1
＝
a
n
＋(2n－1) (n∈N)；
(2)
a
1
＝1,
a
n?1
＝
2a
n
(n∈N)；
a
n
?2
(3)
a
1
＝3,
a
n?1
＝3
a
n
－2 (n∈N).
解：(1)
a
1
＝0,
a
2
＝1,
a
3
＝4,
a
4
＝9,
a
5
＝16, ∴
a
n
＝(n－
1)
2
;
(2)
a1
＝1,
a
2
＝,
a
3
＝
?
,
a
4
＝,
a
5
＝
?
, ∴
a
n
＝
(3)
a
1
＝3＝1+2
?3
0
,
a
2
＝7＝1+2
?3
1
,
a
3
＝19＝1+2
?3
2
,
a
4
＝55＝1+2
?3
3
,
a
5
＝163＝1+2
?3
4
, ∴
a
n
＝1＋2·3
n?1
;
2
3
12
2
4
2
5
1
3
2
6
2;
n?1
48

Ⅳ.课时小结
本节课学习了以下内容：
1．递推公式及其用法；
2．通项公式反映的是项与项数 之间的关系，而递推公式反映的
是相邻两项（或n项）之间的关系.
Ⅴ.课后作业
习题2。1A组的第4、6题
●板书设计
●授后记



课题: §2.2等差数列
授课类型：新授课
（第1课时）
●教学目标
知识与技能：了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，
能 根据定义判断一个数列是等差数列; 正确认识使用等差数列的各
种表示法，能灵活运用通项公式求等差 数列的首项、公差、项数、指
定的项
过程与方法：经历等差数列的简单产生过程和应用等差数列的基本知
识解决问题的过程。
49

情感态度与价值观：通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、< br>分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识。
●教学重点
等差数列的概念，等差数列的通项公式。
●教学难点
等差数列的性质
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情境]
上两节课我们学习了数列的定义 及给出数列和表示的数列的几种
方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点。下面我们看这样一些例子。
课本P41页的4个例子：
①0，5，10，15，20，25，…
②48，53，58，63
③18，15.5，13，10.5，8，5.5
④10072，10144，10216，10288，10366
观察：请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？
·共同特征：从第二项起 ，每一项与它前面一项的差等于同一个常数
（即等差）；（误：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺 序是后项
减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列
Ⅱ.讲授新课
50

1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做
等差数列的公差（常用字母“d ”表示）。
⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来
求；
⑵ ．对于数列{
a
n
},若
a
n
－
a
n?1
=d (与n无关的数或字母)，n≥2，
n∈N
?
，则此数列是等差数列，d 为公差。
思考：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分
别是什么？
2．等差数 列的通项公式：
a
n
?a
1
?(n?1)d
【或
a
n
?
a
m
?(n?m)d
】
等差数列定义是由一 数列相邻两项之间关系而得若一等差数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
，公差是d，则据其定义可得：
a
2
?a
1
?d
即：
a
2
?a
1
?d

a
3
?a
2
?d
即：
a
3
?a
2
?d ?a
1
?2d

a
4
?a
3
?d
即：
a
4
?a
3
?d?a
1
?3d

……
由此归纳等差数列的通项公式可得：
a
n
?a
1?(n?1)d

∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项
a
1
和公差d，便可求得其
通项
a
n
。
由上述关系还可得：
a
m
?a
1
?(m?1)d

即：
a
1
?a
m
?(m?1)d

则：< br>a
n
?
a
1
?(n?1)d
=
a
m
?(m?1)d?(n?1)d?a
m
?(n?m)d

51

即等差数列的第二通项公式
a
n
?
a
m
?(n?m)d
∴ d=
[范例讲解]
例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项
a
m
?a
n

m?n
⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
解：⑴由
a
1
?8,d?5?8?2?5??3
n=20，得
a
20
?8?(20?1)?(?3)??49

⑵由
a
1
??5,d??9?(?5)??4
得数列通项公式为：
a
n
??5?4(n?1)

由题意可知，本题 是要回答是否存在正整数n，使得
?401??5?4(n?1)
成立解之得n=100，即- 401是这个数列的第100项
例3 已知数列{
a
n
}的通项公式
a
n
?pn?q
，其中
p
、
q
是常数，那么这< br>个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？
分析：由等差数列的定义 ，要判定
?
a
n
?
是不是等差数列，只要看
a
n< br>?a
n?1
（n≥2）是不是一个与n无关的常数。
解：当n≥2时, （取 数列
?
a
n
?
中的任意相邻两项
a
n?1
与
a
n
（n≥2））
a
n
?a
n?1
? (pn?q)?[p(n?1)?q]
?pn?q?(pn?p?q)?p
为常数
∴ {
a
n
}是等差数列，首项
a
1
?p?q
，公差为 p。
注：①若p=0，则{
a
n
}是公差为0的等差数列，即为常数列q， q，
q，…
②若p≠0, 则{
a
n
}是关于n的一次式,从图象 上看,表示数列
的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y
轴 上的截距为q.
52

③数列{
a
n
}为等差数列 的充要条件是其通项
a
n
=pn+q (p、q
是常数)，称其为第3通项公式。
④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式
中的一个。
Ⅲ.课堂练习
课本P45练习1、2、3、4
[补充练习]
1.（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.
分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通
项公式，从而求出所求项. < br>解：根据题意可知：
a
1
=3,d=7－3=4.∴该数列的通项公式为：a
n
=3+（n－1）×4,即
a
n
=4n－1（n≥1,n∈ N*）∴
a
4
=4×4－1=15,
a
10
=4
×10－1=39.
评述：关键是求出通项公式.
（2）求等差数列10，8，6，……的第20项.
解：根据题意可知：
a
1
=10,d=8－10=－2.
∴该数列 的通项公式为：
a
n
=10+（n－1）×（－2）,即：
a
n=－
2n+12,∴
a
20
=－2×20+12=－28.
评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.
（3）100是不是等差数列2，9，16，…… 的项？如果是，是第
几项？如果不是，说明理由.
分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看
53

是否存在一正整数n值，使得
a
n
等于这一数.
解：根据题意可得：
a
1
=2,d=9－2=7. ∴此数列通项公式为：
a
n
=2+（n－1）×7=7n－5.
令7n－5=100,解得：n=15, ∴100是这个数列的第15项.
（4）－ 20是不是等差数列0，－3
1
，－7，……的项？如果是，
2
是第几项？如 果不是，说明理由.
解：由题意可知：
a
1
=0,d=－3
1
∴此数列的通 项公式为：
a
n
=
2
－
7
n+
7
,
22
令－
7
n+
7
=－20,解得n=
47< br> 因为－
7
n+
7
=－20没有正整数
22
722
解，所以－20不是这个数列的项.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，首先要 理解与掌握等差数列的定义及数学表达
式：
a
n
－
a
n?1
=d ，（n≥2，n∈N
?
）.其次，要会推导等差数列的通项
公式：a
n
?a
1
?(n?1)d
，并掌握其基本应用.最后，还要注 意一重要关
系式：
a
n
?
a
m
?(n?m)d和
a
n
=pn+q (p、q是常数)的理解与应用.
Ⅴ.课后作业
课本P45习题2.2[A组]的第1题
●板书设计
●授后记



54

课题: §2.2等差数列
授课类型：新授课
（第２课时）
●教学目标
知识与技能：明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项
公式及推导公式, 能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用
图像与通项公式的关系解决某些问题。
过程 与方法：通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、
函数思想；通过等差数列通项公式的运 用，渗透方程思想。
情感态度与价值观：通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与
一般 数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点。
●教学重点
等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用
●教学难点
灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
首先回忆一下上节课所学主要内容：
1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一 项与它
前一项的差等于同一个常数，即
a
n
－
a
n?1=d ，（n≥2，n∈N
?
），这个
数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差 数列的公差（常用字母“d”
表示）
55

2．等差数列的通项公式：
a
n
?a
1
?(n?1)d
(
a
n< br>?
a
m
?(n?m)d
或
a
n
=pn+q (p、q是常数))
3．有几种方法可以计算公差d
① d=
a
n
－
a
n?1
② d=
Ⅱ.讲授新课
问题：如果在
a
与
b
中间插入一个数A ，使
a
，A，
b
成等差数列数列，
那么A应满足什么条件？
由定义得A-
a
=
b
-A ，即：
A?
反之，若
A?
a?b

2
a
n
?a
1
a?a
③ d=
nm

n?1n?m
a?b
，则A-
a
=
b
-A
2
a?b
由此可可得：
A??a,b,
成等差数列
2
[补充例题]
例 在等差数列{
a
n
}中，若a
1
+
a
6
=9,
a
4
=7, 求
a
3
,
a
9
.
分析：要求一个数列的某 项，通常情况下是先求其通项公式，而
要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道 这
个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一
项，和另一个双项关系式 ，想到从这双项关系式入手……
解：∵ {a
n
}是等差数列
∴
a
1
+
a
6
=
a
4
+
a
3
=9
?
a
3
=9－
a
4
=9－7=2
∴ d=
a
4
－
a
3
=7－2=5
∴
a
9
=
a
4
+(9－4)d=7+5*5=32 ∴
a
3

=2,
a
9
=32
56

[范例讲解]
课本P44的例2 解略
课本P45练习5
已知数列{
a
n
}是等差数列
（1）
2a
5?a
3
?a
是否成立？
2a
5
?a
1
?a
呢？为什么？
79
（2）
2a
n
?a
n?1
?a(n?1)
是否成立？据此你能得到什么结论？
n?1
（3）
2a
n
?a
n?k
?a(n?k?0)
是否成立？？你又能得到什么 结论？
n?k
结论：（性质）在等差数列中，若m+n=p+q，则，
a
m
?a
n
?a
p
?a
q

即 m+n=p+q
?
a
m
?a
n
?a
p
? a
q
(m, n, p, q ∈N )
但通常 ①由
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
推不出m+n=p+q ，②
a
m
?a
n
?a
m?n

探究：等差数列与一次函数的关系
Ⅲ.课堂练习
1.在等差数列
?
a
n
?
中，已知
a
5
?10
，
a
12
?31
，求首项
a
1
与公差
d

2. 在等差数列
?
a
n
?
中, 若
a
5
?6

a
8
?15
求
a
14

Ⅳ.课时小结
节课学习了以下内容：
1．
A?
a?b
?a,A,b,
成等差数列
2
2．在等差数列中， m+n=p+q
?
a
m
?an
?a
p
?a
q
(m, n, p, q ∈N )
Ⅴ.课后作业
课本P46第4、5题
●板书设计
●授后记
57

课题: §3.3 等差数列的前n项和
授课类型：新授课
（第1课时）
●教学目标
知识 与技能：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数
列的前n项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题
过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一
般，再从 一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一
般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对 学生进行思维灵活性与
广阔性的训练，发展学生的思维水平.
情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美。
●教学重点
等差数列n项和公式的理解、推导及应
●教学难点
灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
“小故事”:
高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一
58

道题目,老师说: “现在给大家出道题目:
1+2+…100=?” 过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎
时，高斯站起来 回答说：
“1+2+3+…+100=5050。
教师问：“你是如何算出答案的？
高斯回答说：因为1+100=101；
2+99=101；…50+51=101，所以
101×50=5050”
这个故事告诉我们：
（1）作为数学王子的高斯从小 就善于观察，敢于思考，所以他能从
一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西。
（2 ）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方
法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加 ”法。
Ⅱ.讲授新课
1．等差数列的前
n
项和公式1：
S
n
?
n(a
1
?a
n
)

2
证明：
S
n
?a
1
?a
2
?a
3
???a
n?1
?a
n
①

S
n
?a
n
?a
n?1
?a
n?2
???a
2
?a
1
②
①+②：
2S
n?(a
1
?a
n
)?(a
2
?a
n?1
)?(a
3
?a
n?2
)???(a
n
?a
n< br>)

∵
a
1
?a
n
?a
2
?a
n?1
?a
3
?a
n?2
???

∴
2S
n
?n(a
1
?a
n
)
由此得 ：
S
n
?
n(a
1
?a
n
)

2
59

从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性
2． 等差数列的前
n
项和公式2：
S
n
?na
1
?
n(n?1)d

2
用上述公式要求
S
n
必须具备三个条件：
n,a
1
,a
n

但
a
n
?a
1
?(n?1)d
代入公式1即得：
S
n
?na
1
?
n(n?1)d

2此公式要求
S
n
必须已知三个条件：
n,a
1
,d （有时比较有用）
[范例讲解]
课本P49-50的例1、例2、例3
由例3得与
a
n
之间的关系：
由
S
n
的 定义可知，当n=1时，
S
1
=
a
1
；当n≥2时，
a
n
=
S
n
-
S
n?1
，
?
S
1
(n?1)
即
a
n
=
?
.
S?S(n?2)
n?1
?
n
Ⅲ.课堂练习
课本P52练习1、2、3、4
Ⅳ.课时小结
本节课学习了以下内容：
1.等差数列的前
n
项和公式1：
S
n
?
n(a
1
?a
n
)

2
2.等差数列的前
n
项和 公式2：
S
n
?na
1
?
Ⅴ.课后作业
课本P52-53习题[A组]2、3题
●板书设计
●授后记

60
n(n?1)d

2

课题: §2.3等差数列的前n项和
授课类型：新授课
（第２课时）
●教学目标
知识与技能：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前
n
项和公 式；
了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等
差数列通项公式与前< br>
项和的公式研究

过程与方法：经历公式应用的过程；
情感态度与 价值观：通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一
次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性， 引导学生要善于观察
生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题。
●教学重点
熟练掌握等差数列的求和公式
●教学难点
灵活应用求和公式解决问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
首先回忆一下上一节课所学主要内容：
1.等 差数列的前
n
项和公式1：
S
n
?
n(a
1
?a
n
)

2
的最值；
61

2.等差数列的前
n
项和公式2：
S
n
?na
1
?
Ⅱ.讲授新课
探究：——课本P51的探究活动
n(n?1)d
2
结论：一般地，如果一个数列
?
a
n
?
,
的 前n项和为
S
n
?pn
2
?qn?r
，其中
p、q 、r为常数，且
p?0
，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，
它的首项与公差分 别是多少？
由
S
n
?pn
2
?qn?r
，得S
1
?a
1
?p?q?r

当
n?2
时
a
n
?S
n
?S
n?1
=
(pn
2
?qn?r)?[p(n?1)
2
?q(n?1)?r]
=
2p n?(p?q)

?d?a
n
?a
n?1
?[2pn?(p ?q)]?[2p(n?1)?(p?q)]
=2p
对等差数列的前
n
项和 公式2：
S
n
?na
1
?
S
n
?
n(n?1)d
可化成式子：
2
d
2
d
n?(a
1
?)n
，当d≠0，是一个常数项为零的二次式
22
[范例讲解]
等差数列前项和的最值问题
课本P51的例4 解略
小结：
对等差数列前项和的最值问题有两种方法:
（1） 利用
a
n
:
当
a
n
>0，d<0，前n项和有最大值可由
a
n
≥0，且
a
n?1
≤0，求得n的
值
当
a
n<0，d>0，前n项和有最小值可由
a
n
≤0，且
a
n?1< br>≥0，求得n的
值
（2） 利用
S
n
：
62 < /p>

由
S
n
?n
2
?(a
1
?) n
利用二次函数配方法求得最值时n的值
Ⅲ.课堂练习
1．一个等差数列前4项的 和是24，前5项的和与前2项的和的差是
27，求这个等差数列的通项公式。
2．差数列{
a
n
}中,
a
4
＝－15, 公差d＝3, 求数列{
a
n
}的前n项和
S
n
的
最小值。
Ⅳ.课时小结
1．前n项和为
S
n
?pn
2
?q n?r
，其中p、q、r为常数，且
p?0
，一定
是等差数列，该数列的
首项是
a
1
?p?q?r

公差是d=2p
通项 公式是
a
n
?
?
?
S
1
?a
1< br>?p?q?r,当n?1时
?
S
n
?S
n?1
?2p n?(p?q),当n?2时
d
2
d
2

2．差数列前项和的最值问题有两种方法:
（1）当
a
n
>0，d <0，前n项和有最大值可由
a
n
≥0，且
a
n?1
≤0， 求得n
的值。
当
a
n
<0，d>0，前n项和有最小值可由
a
n
≤0，且
a
n?1
≥0，求得n的
值。
（ 2）由
S
n
?n
2
?(a
1
?)n
利用二 次函数配方法求得最值时n的值
Ⅴ.课后作业
课本P53习题[A组]的5、6题
●板书设计
●授后记
63
d
2
d
2

课题: §2.4等比数列
授课类型：新授课
（第1课时）
●教学目标
知识与技能：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导；
过程与方法：通过实例 ，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列
的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等 比关系，
提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系。
情感态度与价值观：充分感受 数列是反映现实生活的模型，体会数学
是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不 是
枯燥无味的，提高学习的兴趣。
●教学重点
等比数列的定义及通项公式
●教学难点
灵活应用定义式及通项公式解决相关问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
复习：等差数列的定义：
a
n
－
a
n?1
=d ，（n≥2，n∈N
?
）
等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还
64

会遇到下面一类特殊的数列。
课本P41页的4个例子：
①1，2，4，8，16，…
②1，，，，
1
2
1
41
8
1
，…
16
③1，20，
20
2
，
20
3
，
20
4
，…
④
10000 ?1.0198
，
10000?1.0198
2
，
10000?1. 0198
3
，
10000?1.0198
4
，
10000? 1.0198
5
，……
观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有
什么共同特征？
共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数。
Ⅱ.讲授新课
1 ．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的
前一项的比等于同一个常数，那么这个数 列就叫做等比数列.这个常
数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：
（ q≠0）
1?“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)
｛
a
n< br>｝成等比数列
?
a
n?1
=q（
n?N
?
, q≠0）
a
n
a
n
=q
a
n?1
2? 隐含：任一项
a
n
?0且q?0

“
a
n
≠0”是数列｛
a
n
｝成等比数列的必要非充分条件．
3? q= 1时，{a
n
}为常数。
2.等比数列的通项公式1:
a
n?a
1
?q
n?1
(a
1
?q?0)

65

由等比数列的定义，有：
a
2
?a
1
q
；
a
3
?a2
q?(a
1
q)q?a
1
q
2
；
a
4
?a
3
q?(a
1
q
2
)q?a1
q
3
；
… … … … … … …
a
n?a
n?1
q?a
1
?q
n?1
(a
1
?q?0)

3.等比数列的通项公式2:
a
n
?a
m
?q
m?1
(a
1
?q?0)

4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列
探究：课本P56页的探究活动——等比数列与指数函数的关系
等比数列与指数函数的关系：
等比数列｛
a
n
｝的通项公式
a
n
?a
1
?q
n?1
(a
1
?q?0)
,它的图象是分布
在 曲线
y?
a
1
x
q
（q>0）上的一些孤立的点。
q
当
a
1
?0
，q >1时，等比数列｛
a
n
｝是递增数列；
当
a
1
?0
，
0?q?1
，等比数列｛
a
n
｝是递增数列； 当
a
1
?0
，
0?q?1
时，等比数列｛
a< br>n
｝是递减数列；
当
a
1
?0
，q >1时，等比数列｛
a
n
｝是递减数列；
当
q?0
时，等 比数列｛
a
n
｝是摆动数列；当
q?1
时，等比数列｛
a< br>n
｝
是常数列。
[范例讲解]
课本P57例1、例2、P58例3 解略。
Ⅲ.课堂练习
课本P59练习1、2
66

[补充练习]
2.（1） 一个等比数列的第9项是
4
，公 比是－
1
，求它的第1项（答
93
案：
a
1
=29 16）
（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第
4项（答案：
a
1
=
Ⅳ.课时小结
本节学习内容：等比数列的概念和等比数列的通项公式．
Ⅴ.课后作业
课本P60习题A组1、2题
●板书设计
●授后记



课题: §2.4等比数列
授课类型：新授课
（第２课时）
●教学目标
知识与技能：灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中
项概 念；熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比
数列的方法
过程与方法：通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。
67
a
2
=5,
a
4
=
a
3
q
=40）
q

情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学
是来源于现实生活，并应 用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是
枯燥无味的，提高学习的兴趣。
●教学重点
等比中项的理解与应用
●教学难点
灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
首先回忆一下上一节课所学主要内容：
1．等比数列：如果一个数列 从第二项起，每一项与它的前一项
的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做< br>等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：
0）
2.等比数列的通项公式:
a
n
?a
m
?q
n? m
(a
m
?q?0)

a
n
?a
1
?q
n?1
(a
1
?q?0)
a
n
=q（q≠< br>a
n?1
，
3．｛
a
n
｝成等比数列
?< br>a
n?1
=q（
n?N
?
,q≠0） “
a
n
≠0”是数列
a
n
｛
a
n
｝成等比数列的必要 非充分条件
4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列
Ⅱ.讲授新课
1．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等
68

比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项. 即G=±
同号）
ab
（a,b
如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，则
Gb??G
2
?ab?G??ab
，

aG
反之，若G2
=ab,则
G
?
a
b
，即
G
a,G ,b成等比数列。∴a,G,b成等比
数列
?
G
2
=ab（a·b≠ 0）
[范例讲解]
课本P58例4 证明：设数列
?
a
n?
的首项是
a
1
，公比为
q
1
;
?< br>b
n
?
的首
项为
b
1
，公比为
q< br>2
，那么数列
?
a
n
?b
n
?
的第 n项与第n+1项分别为：
a
1
?q
1
n?1
?b
1
?q
2
n?1
与a
1
?q
1
?b1
?q
2
即为a
1
b
1
(q
1
q
2
)
n?1
与a
1
b
1
(q
1
q
2
)
n
nn
a
n?1
?b
n ?1
a
1
b
1
(q
1
q
2
)n
???q
1
q
2
.

n?1
an
?b
n
a
1
b
1
(q
1
q
2
)
它是一个与n无关的常数，所以
?
a
n
?b< br>n
?
是一个以q
1
q
2
为公比的等比数
列
拓展探究：
对于例4中的等比数列{
a
n
}与{
b
n
}，数列{
a
n
}也一定是等比数列吗？
b
n
a
n
a
，则
c
n?1
?
n?1

b
n
b
n?1
探究：设数列{
a
n
}与{
b
n
}的公比分别为
q
1
和q
2
，令
c
n
?
a
n?1
?
c
n?1
b
n? 1
ab
a
q
??(
n?1
)g(
n?1
) ?
1
，所以，数列{
n
}也一定是等比数列。
a
b
n
c
n
a
n
b
n
q
2
n
b
n
课本P59的练习4
已知数列{
a
n
}是等比数列 ，（1）
a
5
2
?a
3
a
7
是否成立？< br>a
5
2
?a
1
a
9
成立吗？
为什么 ？
69

2
a
n
?a
n?1
a< br>n?1
(n?1)
是否成立？你据此能（2）
得到什么结论？
2a
n
?a
n?k
a
n?k
(n?k?0)
是否 成立？你
又能得到什么结论？
结论：2．等比数列的性质：若m+n=p+k，则
a
m
a
n
?a
p
a
k

在等比数列 中，m+n=p+q，
a
m
,a
n
,a
p
,ak
有什么关系呢？
由定义得：
a
m
?a
1
q
m?1
a
n
?a
1
q
n?1

a
p
?a
1
q
p?1
a
k
?a
1
?q
k?1

a
m
?a
n
?a
1
q
m?n?2
，
a
p
?a
k
?a
1
q
p?k?2
则
a
m
a
n
?a
p
a
k

2
2
Ⅲ.课堂练习
课本P59-60的练习3、5
Ⅳ.课时小结
1、若m+n=p+q，
a
m
?a
n
?a
p
?a
q

2、若
?
a
n
?
,
?
b
n
?
是项数相同的等比数列，则
?
a
n
?b
n
?
、{
Ⅴ.课后作业
课本P60习题2.4A组的3、5题
●板书设计
●授后记



课题: §2.5等比数列的前n项和
授课类型：新授课
70
a
n
}也是等比数列
b
n

（2课时）
●教学目标
知识与技能：掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；会用等
比数 列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。
过程与方法：经历等比数列前n 项和的推导与 灵活应用，总结数列
的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、
解决求 和问题。
情感态度与价值观：在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，
积极进取，激 发学习数学的热情和刻苦求是的精神。
●教学重点
等比数列的前n项和公式推导
●教学难点
灵活应用公式解决有关问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情境]
[提出问题]课本P62“国王对国际象棋的发明者的奖励”
Ⅱ.讲授新课
[分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到
一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格
子各格所放的麦粒数总合就是求这 个等比数列的前64项的和。下面
我们先来推导等比数列的前n项和公式。
71

1、 等比数列的前n项和公式：
a?aq
a
1
(1?q
n
)
当
q?1
时，
S
n
?
① 或
S
n
?
1n
②
1?q
1?q
当q=1时，
S
n
?na
1

当已知
a
1
, q, n 时用公式①；当已知
a
1
, q,
a
n
时，用公式②.
公式的推导方法一：
一般地，设等比数列
a
1
,a
2?a
3
,?a
n
?
它的前n项和是
S
n?
a
1
?a
2
?a
3
??a
n

由
?
?
S
n
?a
1
?a
2< br>?a
3
??a
n

?
aq
n?1
n
?a
1
得
?
?
2n?2n?1
?
S
n
?a
1
?a
1
q?a
1
q??a
1< br>q?a
1
q
?
?
qS
23n?1n

n
?a
1
q?a
1
q?a
1
q??a
1
q?a
1
q
?(1?q)S
n
?a
1
?a
1
q
n

∴当
q?1
时，
Sa
1
(1?q
n
)
a?aq
n
?
1? q
① 或
S
n
n
?
1
1?q
②
当q=1时，
S
n
?na
1

公式的推导方法二：
有等比数列的定义，
a
2
a
?
a
3
???
a
n
a
?q

1
a
2n?1
根据 等比的性质，有
a
2
?a
3
???a
n
S?a1
a
?
n
?a
?q

1
?a
2
???a
n?1
S
nn
即 S
n
?a
1
S
?q
?
(1?q)S
n
?a
1
?a
n
q
（结论同上）
n
?a< br>n
围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了
公式．
公式的推导方法三：
72

S
n
?a
1
?a
2
?a
3
??a
n
＝
a
1
?q(a
1
?a
2
?a
3
??a< br>n?1
)

＝
a
1
?qS
n?1< br>＝
a
1
?q(S
n
?a
n
)
?
(1?q)S
n
?a
1
?a
n
q
（ 结论同上）
[解决问题]
有了等比数列的前n项和公式，就可以解决刚才的问题。
由
a
1
?1,q?2,n?64
可得
S
a
1
(1?q
n
)
1?(1?2
64
)
n
?
1?q
=
1?2
=
2
64
?1
。 2
64
?1
这个数很大，超过了
1.84?10
19
。 国王不能实现他的诺言。
[例题讲解]
课本P65-66的例1、例2 例3解略
Ⅲ.课堂练习
课本P66的练习1、2、3
Ⅳ.课时小结
等比数列求和公式：当q=1时，
S
n
?na
1
当
q?1
时，
S
a
1
?a
n
q
n< br>?
1?q
a
n
S
1
(1?q)
n
?
1?q

Ⅴ.课后作业
课本P69习题A组的第1、2题
●板书设计
●授后记


73
或

课题: §2.5等比数列的前n项和
授课类型：新授课
（第２课时）
●教学目标
知识与技能：会用等比数列的通项公式和前n项和公式解 决有关等比
数列的
S
n
,a
n
,a
1
,n ,q
中知道三个数求另外两个数的一些简单问题；提高
分析、解决问题能力
过程与方 法：通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨
论的思想、等价转化的思想.
情感 态度与价值观：通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性
的训练，培养他们实事求是的科学态度.
●教学重点
进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式
●教学难点
灵活使用公式解决问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
首先回忆一下前一节课所学主要内容：
等比数列的前n项和公式：
a?aq
a
1
(1?q
n
)
当
q?1
时，
Sn
?
① 或
S
n
?
1n
②
1?q
1?q
当q=1时，
S
n
?na
1

74

当已知
a
1
, q, n 时用公式①；当已知
a
1
, q,
a
n
时，用公式②
Ⅱ.讲授新课
1、等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是Sn，S2n，S3n，
2
求证：
S
2
n
?S
2n
?S
n
(S
2n
?S
3n
)

2、设a为常数，求数列a ，2a
2
，3a
3
，…，na
n
，…的前n项和；
（1）a=0时，S
n
=0
（2）a≠0时，若a=1，则Sn=1+2+3+…+n=
n(n?1)

若a≠1，S
n
-aS
n
=a（1+a+…+a
n-1
-n a
n
），Sn=


Ⅲ.课堂练习



Ⅳ.课时小结



Ⅴ.课后作业



75
1
2
a
nn?1
[1?(n?1)a?na]

2
(1?a)

●板书设计
●授后记



课 题：数列复习小结
2课时
教学目的：
1．系统掌握数列的有关概念和公式。
2．了解数列的通项公式
a
n
与前n项和公式
S
n
的关系。
3．能通过前n项和公式
S
n
求出数列的通项公式
a
n
。
授课类型：复习课
课时安排：2课时
教学过程：
一、本章知识结构

76

二、知识纲要
(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列．
(2)等差、等比数列的定义．
(3)等差、等比数列的通项公式．
(4)等差中项、等比中项．
(5)等差、等比数列的前n项和公式及其推导方法．
三、方法总结
1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现
了函数思想、数形结合的思想．
2．等差、等比数列中，
a
1
、
a
n
、n、d(
q
)、
S
n
“知三求二”，体
现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．
3．求等比数列的前
n
项和时要考虑公比是否等于1，公比是字
母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．
4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，
拆项法，裂项法，累加法，等 价转化等．
四、知识精要：

1、数列
[数列的通项公式]
a
n
?
?
S
n
?a
1
?a
2?a
3
???a
n

?
a
1
?S1
(n?1)
?
S
n
?S
n?1
(n?2)< br> [数列的前n项和]

2、等差数列
77

[等差数列的概念]
[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项 的差等于同一
个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公
差，公差通常 用字母d表示。
[等差数列的判定方法]
1． 定义法：对于数列
?
a< br>n
?
，若
a
n?1
?a
n
?d
(常 数)，则数列
?
a
n
?
是等
差数列。
2．等差 中项：对于数列
?
a
n
?
，若
2a
n?1
?a
n
?a
n?2
，则数列
?
a
n
?是等差数
列。
[等差数列的通项公式]
如果等差数列
?
a< br>n
?
的首项是
a
1
，公差是
d
，则等差数列 的通项为
a
n
?a
1
?(n?1)d
。
[说明]该公式整理后是关于n的一次函数。
[等差数列的前n项和] 1．
S
n
?
n(a
1
?a
n
)
2.
S
n
?na
1
?
n(n?1)
d
2
2

[说明]对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。
[等差中项]
如果
a
，
A
，
b
成等差数 列，那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项。即：
A?a?b
2
或
2A?a?b

[说明]：在一个等差数列中，从第 2项起，每一项（有穷等差数列的
末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中< br>某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。
78

[等差数列的性质]
1．等差数列任意两项间的关系：如果
a
n
是等差数列的第
n
项，
a
m
是
等差数列的第< br>m
项，且
m?n
，公差为
d
，则有
a
n?a
m
?(n?m)d

2． 对于等差数列
?
an
?
，若
n?m?p?q
，则
a
n
?a
m
?a
p
?a
q
。
a
1
?a
n
?a
2
?a
n?1
?a
3
?a
n?2< br>???
也就是：，如图所示：
?a
n
?????
a
1
??????
a
1
,a
2
,a
3
,?,a
n?2
,a
n?1
,a
n

?????????< br>a
2
?a
n?1
3．若数列
?
a
n
?
是等差数列，
S
n
是其前n项的和，
k?N
*
， 那么
S
k
，
S
2k
?S
k
，
S< br>3k
?S
2k
成等差数列。如下图所示：
????????????
S
?
3k
????????????
a
1
?a2
?a
3
???a
k
?a
k?1
???a2k
?a
2k?1
???a
3k

????????? ??????????????
S
k
S
2k
?S
k
S
3k
?S
2k

3、等比数列
[等比数列的概念] < br>[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一
个常数，那么这个数列就叫 做等比数列，这个常数叫做等比数列的公
比，公比通常用字母q表示（
q?0
）。
[等比中项]
如果在
a
与
b
之间插入一个数
G< br>，使
a
，
G
，
b
成等比数列，那么
G
叫
做
a
与
b
的等比中项。
也就是，如果是的等比中项， 那么
G
?
b
，即
G
2
?ab
。
aG
79

[等比数列的判定方法]
1． 定义法：对于数 列
?
a
n
?
，若
a
n?1
a
n< br>则数列
?
a
n
?
是等比数列。
?q(q?0)< br>，
2
2．等比中项：对于数列
?
a
n
?
，若
a
n
a
n?2
?a
n

?1
，则 数列
?
a
n
?
是等比数列。
[等比数列的通项公式] 如果等比数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
，公比是
q
，则等比数列的通项为
a
n
?a
1
q< br>n?1
。
[等比数列的前n项和]
1
○
a
1(1?q
n
)
S
n
?(q?1)

1?q
a
1
?a
n
q
23当
q?1
时，
S
n
?na
1

S?(q?1)

○○
n
1?q
[等比数列的性质]
1．等比数列任意两项间的关 系：如果
a
n
是等比数列的第
n
项，
a
m
是
等差数列的第
m
项，且
m?n
，公比为
q
，则有
a
n
?a
m
q
n?m

3． 对于等比数 列
?
a
n
?
，若
n?m?u?v
，则
a< br>n
?a
m
?a
u
?a
v

1
?a
n
?????
a
??????
,a,?,a
n?2< br>,a
n?1
,a
n
。如图所示：
a
1
,a
?
2
?
3
???????
也就是：
a
1< br>?a
n
?a
2
?a
n?1
?a
3
? a
n?2
???
a
2
?a
n?1
4．若数列
?
a
n
?
是等比数列，
S
n
是其前n项的和，那 么
S
k
，
S
2k
?S
k
，
k?N
*
，
S
3k
?S
2k
成等比数列。如下图所示：
????????????
S
?
3k
????????????a
1
?a
2
?a
3
???a
k
?a< br>k?1
???a
2k
?a
2k?1
???a
3k
???????????????????????
S
k
S
2 k
?S
k
S
3k
?S
2k

4、数列前n项和
80

（1）重要公式：
1?2?3??n?
n(n?1)
；
2
n(n?1)(2n?1)
；
6
1
2
?22
?3
2
??n
2
?
1
1
3
?2
3
??n
3
?[n(n?1)]
2

2
（2）等差数列中，
S
m?n
?S
m
?S
n
?m nd

（3）等比数列中，
S
m?n
?S
n
?q< br>n
S
m
?S
m
?q
m
S
n

（4）裂项求和：
111
??
；（
n?n!?(n?1)!?n!< br>）
n(n?1)nn?1
第三章不等式

课题: §3.1不等式与不等关系
第1课时
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在
着大量的不等关系，理解不等式（组 ）的实际背景，掌握不等式的基
本性质；
2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体 问题的实际背景
分析问题、解决问题的方法；
3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，
培养严谨的思维习惯。
【教学重点】
81

用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用 不等式（组）研究含
有不等关系的问题。理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价
值。
【教学难点】
用不等式（组）正确表示出不等关系。
【教学过程】
1.课题导入
在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。
如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。人们还经
常用长与短、高与矮、轻与重、胖与 瘦、大与小、不超过或不少于等
来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中，我们用不等式来表示不等关系。
下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。
2.讲授新课
1）用不等式表示不等关系

引例1：限速40kmh的路 标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽
车的速度v不超过40kmh，写成不等式就是：
v?40

引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于
2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不
等式组来表示
82

?
f?2.5%

?
?
p?2.3%
问题1：设点A与平面
?
的距离为d,B为平面
?
上的任意一点，则
d?|AB|
。
问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为 x 元，怎样用不等式表示销售的总收入
仍不低于20万元呢？
解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为
(8?
x?2.5
?0.2)x
万
0.1
元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不
等式
(8?
x?2.5
?0.2)x?20

0.1
问题3：某 钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两
种。按照生产的要求，600mm 的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎
样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？
解：假设截得500 mm的钢管 x根，截得600mm的钢管y根。根据题
意，应有如下的不等关系：
（1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm
（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；
（3）截得两种钢管的数量都不能为负。
要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：
83

?
500x?600y?4000;
?
3x?y;
?

?
x?0;
?
?
y?0.
?
3.随堂练习
1、试举几个现实生活中与不等式有关的例子。
2、课本P82的练习1、2
4.课时小结
用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含
有不等关系的问题。
5.评价设计
课本P83习题3.1[A组]第4、5题
【板书设计】


【授后记】

第2课时
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简
单的不等式；
2 ．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景
分析问题、解决问题的方法；
84

3．情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推
理能力.
【教学重点】
掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；
【教学难点】
利用不等式的性质证明简单的不等式。
【教学过程】
1.课题导入
在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。
请同学们回忆初中不等式的的基本性质。
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；
即若
a?b?a?c?b?c

（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改
变；
即若
a?b,c?0?ac?bc

（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。
即若
a?b,c?0?ac?bc

2.讲授新课
1、不等式的基本性质：
师：同学们能证明以上的不等式的基本性质吗？
证明：
1）∵(a＋c)－(b＋c)
85

＝a－b＞0，
∴a＋c＞b＋c
2）
Q(a?c)?(b?c)?a?b?0
，
∴
a?c?b?c
．


实际上，我们还有
a?b,b?c?a?c
，（证明：∵a＞b，b＞c，
∴a－b＞0，b－c＞0．
根据两个正数的和仍是正数，得
(a－b)＋(b－c)＞0，
即a－c＞0，
∴a＞c．
于是，我们就得到了不等式的基本性质：
（1）
a?b,b?c?a?c

（2）
a?b?a?c?b?c

（3）
a?b,c?0?ac?bc

（4）
a?b,c?0?ac?bc

2、探索研究
思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质：
86

（1）
a?b,c?d?a?c?b?d
；
（2）
a?b?0,c?d?0?ac?bd
；
（3）
a?b?0 ,n?N,n?1?a
n
?b
n
;
n
a?
n
b
。
证明：
1）∵a＞b，
∴a＋c＞b＋
c．
①
∵c＞d，
∴b＋c＞b＋
d．
②
由①、②得 a＋c＞b＋d．
a?b,c?0?ac?bc
?
?
?ac?bd

c?d, b?0?bc?bd
?
n
2）
3）反证法）假设
n
a?n
b
，
则：若
n
a?
a?
n
nb?a?b
b?a?b
这都与
a?b
矛盾，
∴
n
a?
n
b
．

[范例讲解]：
87

例1、已知
a?b?0,c?0,
求证
c< br>b
1
证明：以为
a?b?0
，所以ab>0,
?0
。
ab
11
11
于是
a??b?
，即
?

abab
ba
cc
由c<0 ，得
?

ab

?
。
c
a
3.随堂练习1
1、课本P82的练习3
2、在以下各题的横线处适当的不等号：
(1)（
3
＋
2
）
2
６＋2
6
；
（2）（
3
－
2
）
2
（
6
－1）
2
；
（3）
1

5?2
1
；
6?5
(4)当a＞b＞0时，log
1
a log
1
b
22
答案：(1)＜ （2）＜ （3）＜ （4）＜

[补充例题]
例2、比较(
a
＋3)（
a
－５）与（
a
＋2）（
a
－4）的大小。
分析：此题属于 两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，
可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正 负(注意是指差
的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。根据实数运算
的符号法则 来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化
为实数运算符号问题。
解：由题意可知：
88

（a＋3）（a－５）－（a＋2）（a－4）
＝（a
2
－2a－1５）－（a
2
－2a－８）
＝－７＜0
∴（a＋3）（a－５）＜（a＋2）（a－4）
随堂练习2

1、 比较大小：
（1）（
x
＋５）（
x
＋７）与（x
＋６）
2

（2）
x
2
?5x?6与2x
2
?5x?9

4.课时小结
本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不
等 式，还研究了如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其
具体解题步骤可归纳为：
第一步：作差并化简，其目标应是
n
个因式之积或完全平方式或常数
的形式；
第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；
第三步：得出结论
5.评价设计
课本P83习题3.1[A组]第2、3题；[B组]第1题
【板书设计】

课题: §3.2一元二次不等式及其解法
第1课时
89

授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能： 理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的
关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形 结合的能力，
培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；
2．过程与方法 ：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过
程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、 方程的联系，获
得一元二次不等式的解法；
3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于 探索的精神，勇于
创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
【教学重点】
从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。
【教学难点】
理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。
【教学过程】
1.课题导入
从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：
教材P84互联网的收费问题
教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模 型：
x
2
?5x?0
…………………………(1)
2.讲授新课
1）
一元二次不等式的定义
90

象
x
2
?5x?0
这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的
不等式，称为一元 二次不等式
2）
探究一元二次不等式
x
2
?5x?0
的解集
怎样求不等式（1）的解集呢？
探究：
（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系
容易知道：二次方程的有两个实数根：
x
1
?0,x
2
?5

二次函数有两个零点：
x
1
?0,x
2
?5

于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零
（2）观察图象，获得解集
画出二次函数
y?x
2
?5x
的图象，如图，观察函数图象，可知：
当 x<0，或x>5时，函数图象位于x轴上方，此时，y>0,即
x
2
? 5x?0
；
当0x
2
?5x?0
；
所以，不等式
x
2
?5x?0
的 解集是
?
x|0?x?5
?
，从而解决了本节开始时
提出的问题。
点。
3）
探究一般的一元二次不等式的解法
任意的一元二次不等式，总可 以化为以下两种形式：
ax
2
?bx?c?0,(a?0)或ax
2
?bx?c?0,(a?0)

一般地，怎样确定一元二次不等式
ax
2< br>?bx?c
>0与
ax
2
?bx?c
<0的解
集呢？
组织讨论：
从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等
91

式的解集，关键要考虑以下两点：
(1)抛物线
y?
ax< br>2
?bx?c
与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次
方程
ax2
?bx?c
=0的根的情况
(2)抛物线
y?
ax
2
?bx?c
的开口方向，也就是a的符号
总结讨论结果：
（l）抛物线
y?
ax
2
?bx?c
（a> 0）与 x轴的相关位置，分为三种情
况，这可以由一元二次方程
ax
2
?bx?c
=0的判别式
??b
2
?4ac
三种取
值情况(Δ> 0，Δ=0，Δ<0）来确定.因此，要分二种情况讨论
（2）a<0可以转化为a>0
分 Δ>O，Δ=0，Δ<0三种情况，得到一元二次不等式
ax
2
?bx?c
> 0与
ax
2
?bx?c
<0的解集
一元二次不等式
ax< br>2
?bx?c?0或ax
2
?bx?c?0
?
a?0
?
的解集：
设相应的一元二次方程
ax
2
?bx?c?0
?
a?0
?
的两根为
x
1
、x
2
且x1
?x
2
，
??b
2
?4ac
，则不等式的解 的各种情况如下表：(让学生独立完成课本
第86页的表格)


y?ax
2
?bx?c

y?ax
2
?bx?c

y?ax
2
?bx?c


??0

??0

??0

二次函数
y?ax
2
?bx?c

（
a?0
）的图象




92

一元二次方程
ax
2
?bx?c?0
有两相异实根 有两相等实根
x
1
,x
2
(x
1
?x
2
)

?< br>a?0
?
的根
ax
2
?bx?c?0
(a?0)的解 集

x
1
?x
2
??
b

2a
无实根

R


?


b
?
?
xx?x
1
或x?x
2
?

?
xx??
??

2a
??
ax
2
?bx?c?0
(a?0)的解集

?
xx
1
?x?x
2
?


?

[范例讲解]
例2 (课本第87页)求不等式
4x
2
?4x?1?0
的解集.
解：因 为
??0,方程4x
2
?4x?1?0的解是x
1
?x
2< br>?
.
所以，原不等式的解集是
?
xx?
?

?
?
1
?
2
?
1
2
例3 (课本第88页)解不等式
?x
2
?2x?3?0
.
解：整理，得
x
2
?2x?3?0
.
因为
??0,方程x
2
?2x?3?0
无实数解，
2
所以不等式
x?2x?3?0
的解集是
?
.
从而，原不等式的解集是
?
.
3.随堂练习
课本第89的练习1（1）、（3）、（5）、（7）
4.课时小结
解一元二次不等式的步骤：
① 将二次项系数化为“+”：A=
ax
2
?bx?c
>0(或<0)(a>0)
② 计算判别式
?
，分析不等式的解的情况：
93

ⅰ.
?
>0时，求根
x
1
<
x
2
，?
?
若A?0，则x?x
1
或?x
2
；
?若A?0，则x
1
?x?x
2
.

?
若A?0 ，则x?x
0
的一切实数；
?
ⅱ.
?
=0时，求根
x
1
＝
x
2
＝
x
0
，
?
若A?0，则x?
?
；

?
若A?0，则x?x.
0
?
ⅲ.
?
<0时，方程无解，
?
③ 写出解集.
?
若A?0，则x?R；
?
若A?0，则x?
?
.

5.评价设计
课本第89页习题3.2[A]组第1题
【板书设计】

课题: §3.2一元二次不等式及其解法
第2课时
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能：巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的
关 系；进一步熟练解一元二次不等式的解法；
2．过程与方法：培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象
概括能力和逻辑思维能力；
3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于
创新精神，同时体会从不同 侧面观察同一事物思想
【教学重点】
熟练掌握一元二次不等式的解法
94

【教学难点】
理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系
【教学过程】
1.课题导入
1．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系
2．一元二次不等式的解法步骤——课本第86页的表格
2.讲授新课
[范例讲解]
例1某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车的速度 x
kmh有如下的关系：
s?
11
2
x?x

20 180
在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽
车刹车前的速度 是多少？（精确到0.01kmh）
解：设这辆汽车刹车前的速度至少为x kmh，根据题意，我们得到
11
2
x?x?39.5

20180
移项整理得：
x
2
?9x?7110?0

显然
V?0
，方程
x
2
?9x?7110?0
有两个实数根，即
x
1
??88.94,x
2
?79.94
。所以不等式的解 集为
?
x|x??88.94,或x?79.94
?

在这个实际问题中，x>0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为
79.94kmh.
例4、一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水
95

线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关
系：
y??2x
2
?220x

若这家工厂希望在一个星期内利用这条流 水线创收6000元以上，那
么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？
解：设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车，根据题意，我们得到
?2x
2
?220x?6000

移项整理，得
x
2
?110x?3000?0

因为
V?100?0，所以方程
x
2
?110x?3000?0
有两个实数
根
x
1
?50,x
2
?60

由二次函数的图象，得不等式的解为：50因为x只能取正整数，所以，当这条摩 托车整车装配流水线在一周内
生产的摩托车数量在51—59辆之间时，这家工厂能够获得6000元以
上的收益。
3．随堂练习1
课本第89页练习2
[补充例题]
▲ 应用一（一元二次不等式与一元二次方程的关系）
例：设不等式
ax2
?bx?1?0
的解集为
{x|?1?x?
1
b
?
3
}
，求
ag
▲ 应用二（一元二次不等式与二次函数的关系）
96