高中数学必修五正余弦定理

姓名____________ 2012年____月_____日 第___次课 正、余弦定理 A
一。知识回顾： c
在初中我们知道：（1）在三角形中，大边对大角、大角对大边的边角关系； b
（2）在直角三角形中，sinA=
abab
,sinB=
?
c=,c= C a B
ccsinAsinB
ababc
=,又
Q
sinC=1
?
==
?
sinAsinBsinAsinBsinC
abc
==
sinAsinBsinC
二。学习提纲：
<一>.正弦定理：
（1）概念：在一个三角形中，各边与它所对应角的正弦比相等，即：
r
（2）证明：
j
C
rur
rr
r
uuu
r
uu u
r
uu
?
r
uuu
??
过A作单位向量
j
⊥
AB
,则
j
与
AB
的夹角为，
j与
BC
的夹角为-B，
j
与
CA
的夹角为+A； 2
uuu
2
ruuur
r
ruuur
r
2r
uuur
uuu
r
uuu
r
设AB=a,BC=c, AC=b.
Q
AB
+
BC
+
CA
=
0< br>,
?
j
g
(
AB
+
BC
+
CA
)=
j
g
0

r
r
uuurrur< br>r
r
uuu
r
r
uuu
r
uuu
r
uu
?
r
uuu
??

?
j
g
AB
+
j
g
BC
+
j
g
CA=0
?
|
j
|
g
|
AB
|g
cos+|
j
|
g
|
BC
|
gcos(-B )+|
j
|
g
|
CA
|
g
cos+A )=0
222
ab

?
asinB=bsinA,即：=
sinAsinB
bcabc
同理可得：= ，故：==
sinBsinC sinAsinBsinC
abc
当
?
ABC为钝角三角形或直角三角形时， 同样可证明得到：==
sinAsinBsinC
（3）正弦定理的变形：
①asinB=bsinA; csinB=bsinC; asinC=csinA;
②a：b:c=sinA:sinB:sinC
③
①几何证明法：（略，同学们自己证明）
②向量证明：
证明：（如图）当
?
ABC为锐角三角形时， A B
abc
===2R （R为
?
ABC外接圆的半径）
sinAsinBsinC
abc
sinB= sinC=
?
a=2RsinA; b=2RsinB; c=2RsinC
?
sinA=
2R2R2R
222222222
（二）余弦定理：
（1）概念 ：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与他们的夹角的余弦的积的两倍，即：

a
=
b
+
c
-2bccosA;
b
=
a
+
c
-2accosB;
c
=
a
+
b
-2abcosC
变形：
s in
A=
sin
B+
sin
C-2sinBsinCcosA < br>sin
B=
sin
A+
sin
C-2sinAsinCcos B


sin
C=
sin
A+
sin
B- 2sinAsinBcosC
222222222
b
2
?c
2?a
2
a
2
?c
2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2
求角：cosA=
, cosB=, cosC=
2bc2ac2ab
sin
2
A?sin
2
B ?sin
2
Csin
2
A?sin
2
C?sin
2
Bsin
2
A?sin
2
B?sin
2
C
变形:cosA=,cosB=,cosC=
2sinAsinB2sinAsinC2sinAs inB
222
(2)勾股定理：
c
=
a
+
b

222222222
推广：A为锐角→
a?b?c
；A为直角→
a?b?c
；A为钝角→
a?b?c

1111
（3）三角形的面积公式： ①
S
?ABC
=ah ②
S
?ABC
=absinC=bcsinA=acsinB
2222
1abc
③
S
?ABC
=
p(p?a)(p?b)(p?c)
(p=(a+b+c) ④
S
?ABC
=
24R
(4)对于任意的三角形，都有：sinA>0

①A+B+C=
?
; sin(A+B)=sinC cos(A+B)=-cosC ③sin
A?BA?B
C
=cos
C
, cos=sin ④sinA>0
22
2
2
⑤若A>B,则有:sinA>sinB ⑥ CosAcosBcosC>0是△ABC为锐角三角形的充要条件
⑦ CosAcosBcosC=0是△ABC为直角三角形的充要条件 ⑧ CosAcosBcosC<0是△ABC为钝角三角形的充要条件
注意：在三角形中，应该满足成立三角形的条件：
① 任意两边之和大于第三边；
② 大边对大角,小边对小角；最大角要大于60°，最小角要小于60°；
③ A+B+C=
?

应用举例：
1.在△ABC中，若A>B是sinA>sinB的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要

2. 在△ABC中，a=
?
,b=
3
?
,A= 45°,则满足此条件的三角形的个数有（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D.无数个

3. 在△ABC中，a=
5
,b=
15
,A=30°,则c=_______. 4. 在△ABC中，若
3a
=2bsinA,则B=_____.

5. 在△ABC中，a=2,b=
2
,∠A=
?
,则∠B=_______. 6.在△ABC中，AB=4,AC=7,BC边上的中线AD=
4
7
,
2
那么BC=________.

7. 在△ABC中,bcosA=acosB则三角形为__________ 8.在△ABC中,A,B均为锐角且cosA>sinB,
则△ABC是________.

9.（bixiu5P10）设锐角三角形ABC的内角 A、B、C的对边分别为a,b,c，且a=2bsinA.
(1)求B的大小 （2）求cosA+sinC的取值范围



10. （bixiu5P 12）（2010山东）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若a=
2
， b=2,
sinB+cosB=
2
,则角A的大小为__________。


11. （bixiu5P12）（2010山东）已知：在△ABC中，∠A, ∠B、∠C的对边分别为a、b、c。
若a=c=
6
+
2
,且∠A =75?，则b=___________

12.在△ABC中,
cos

见证高考：
（2006年，天津）1.在△ABC中，AC=2,BC=1,cosC=


（2007，上海）3. 在△ABC中。a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边，若a=2,C=
求△ABC的面积


.
（新阳教育中心：重庆教学部陈老师供稿）
2
Ab?c
=，试判断△ABC的形状? 13.设A为△ABC的最小角，求sinA+cosA的取值范围
22c
3

4
(1)求AB的值 （2）求sin(2A+C)的值
?
B
25
,cos=,
5
4
2