苏教版高中数学必修五知识点总结

1
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解三角形复习知识点
一、知识点总结
【正弦定理】
1．正弦定理:
abc
???2R
(
R
为三角形外接圆的半径).
sinAsinBsinC
2.正弦定理的一些变式：
ab
c
；
,sinB?,sinC
?
2R
2R2R
a?b?c
；（4 ）
?2R

iiia?2RsinA,b?2RsinB,b?2RsinC
??
sinA?sinB?sinC
?
i
?
a?b?c?sinA? sinB?sinC
；
?
ii
?
sinA?
3．两类正弦定 理解三角形的问题：
（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解）

【余弦定理】
?
a
2
?b
2
?c
2?2bccosA
?
222
1．余弦定理：
?
b?a?c?2accosB

?
c
2
?b< br>2
?a
2
?2bacosC
?
2.推论：
?
b
2
?c
2
?a
2
?
cosA?
2bc
?
a
2
?c
2
?b
2
?
. ?
cosB?
2ac
?
?
b
2
?a
2
?c
2
?
cosC?
2ab
?
设
a
、
b
、
c
是
???C
的角
?
、
?
、
C
的对边，则：
①若
a?b?c
，则
C?90
；
②若
a?b?c
，则
C?90
；
③若
a?b?c
，则
C?90
．
3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角.
（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.
222
222
222

【面积公式】
已知三角形的三边为a,b,c,
1.
S?
1< br>ah
a
?
1
absinC?
1
r(a?b?c)（其中
r
为三角形内切圆半径）
222
2.设
p?
1
(a?b?c)
,
S?
2
p(p?a)(p?b)(p?c)

1




【三角形中的常见结论】

（1）
A?B?C?
?
(2)
sin(A?B)?sinC,cos(A?B)??cosC,tan(A?B)??tanC,
sin
A?BCA?BC
?cos
,
cos?sin
;
sin2A?2sinA?cosA
,
2222
（3）若
A?B ?C?a?b?c
?
sinA?sinB?sinC

若
sinA? sinB?sinC
?
a?b?c
?
A?B?C

（大边对大角，小边对小角）
（4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
（5）三角形中最大角大于等于
60
，最小角小于等于
60

(6) 锐角三角形
?
三内角都是锐角
?
三内角的余弦值为正值?
任两角和都是钝角
?
任意两边的平方
和大于第三边的平方.
钝角三角形
?
最大角是钝角
?
最大角的余弦值为负值
（7）
?ABC
中，A,B,C成等差数列的充要条件是
B?60
.
(8)
?ABC
为正三角形的充要条件是A,B,C成等差数列，且a,b,c成等比数列.
二、题型汇总
题型1【判定三角形形状】
判断三角形的类型
（1）利用 三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一
成边的 形式或角的形式.
?
??
a
2
?
b
2
?
c
2
?
A
是直角??ABC是直角三角形
（2）在
?ABC
中，由余弦定理可知:
a
2
?
b
2
?c
2
?
A
是钝角??ABC是钝角三角形

a
2
?
b
2
?
c
2
?
A
是锐角?? ABC是锐角三角形
（注意：
A
是锐角??ABC是锐角三角形
）
(3) 若
sin2A?sin2B
，则A=B或
A?B?
?
2
.
例1.在
?ABC
中，
c?2bcosA
，且
(a?b?c )(a?b?c)?3ab
，试判断
?ABC
形状.







题型2【解三角形及求面积】

1

一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角 形的几个元素求其他元
素的过程叫做解三角形.
例2.在
?ABC
中，a?1
，
b?3
，
?A?30
0
，求的值
例 3.在
?ABC
中，内角
A,B,C
对边的边长分别是
a,b,c< br>，已知
c?2
，
C?
?
3
．
（Ⅰ）若
?ABC
的面积等于
3
，求
a,b
；

（Ⅱ）若
sinC?sin(B?A)?2sin2A
，求
?ABC
的面积．






题型3【证明等式成立】
证明等式成立的方法：（1）左
?
右，（2）右
?
左，（3）左右互相推.
例4.已知
?ABC
中，角
A,B,C
的对边分别为
a,b ,c
，求证：
a?bcosC?ccosB
.



题型4【解三角形在实际中的应用】
仰角 俯角 方向角 方位角 视角
例5．如图所示，货轮在海上以40kmh的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线 的水平转
角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半 小时到达C点观测灯
塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？

数列知识点

1. 等差数列的定义与性质
定义：
a
n?1
?a
n
?d
（
d
为常数），
a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d

等差中项：
x，A，y
成等差数列
?2A?x?y

前n
项和
S
n
?
?
a
1
?a
n
?
n
?na
2
1
?
n
?
n?1< br>?
d

2
性质：
?
a
n
?
是等差数列
（1）若
m?n?p?q
，则
a
m
?a
n
?a
p< br>?a
q
；

1
（2）数列
?
a
2n?1
?
,
?
a
2n
?
,
?
a
2n?1
?
仍为等差数列，
S
n
，S
2n
?S
n
，S
3n
?S
2n
……
仍为等 差数列，公差
为
n
2
d
；
（3）若三个成等差数列，可设为
a?d，a，a?d

（4）若
a
n
，b
n
是等差数列，且前
n
项和分别为
S
n
，T
n
，则
a
m
S
2m?1
?

b
m
T
2m?1
（5）
?
a
n
?
为等差数列
?S
n
?an
2
?bn
（
a，b
为常数，是关于
n
的常数项为0的二次函数）
S
n
的最值可求二次函数
S
n
?an
2
?bn
的最值；或者求出
?
a
n
?
中的正、负分界项，
?
a
n< br>?0
即：当
a
1
?0，d?0
，解不等式组
?
可得
S
n
达到最大值时的
n
值.
?
a
n?1
?0
?
a
n
?0
当
a
1
?0，d?0
，由
?
可得
S
n
达到最小值时的
n< br>值.
a?0
?
n?1
(6)项数为偶数
2n
的等 差数列
?
a
n
?
有
，
S
2n
? n(a
1
?a
2n
)?n(a
2
?a
2n?1)???n(a
n
?a
n?1
)(a
n
,a
n ?1
为中间两项)

S
偶
?S
奇

?nd
，
S
奇
S
偶
?
a
n
.
a
n?1
（7）项数为奇数
2n?1
的等差数列
?
a
n
?
S
2n?1
?(2n?1)a
n
(a
n为中间项)
，
，
有

S
奇
?S偶
?a
n
，
S
奇
S
偶
?
n< br>.
n?1
2. 等比数列的定义与性质
定义：
a
n?1< br>?q
（
q
为常数，
q?0
），
a
n
?aq
1
a
n
n?1
.

等比中项：
x、 G、y
成等比数列
?G
2
?xy
，或
G??xy
.

?
na
1
(q?1)
?
前
n
项 和：
S
n
?
?
a
1
?
1?q
n< br>?
（要注意！）
(q?1)
?
?
1?q
性质：?
a
n
?
是等比数列

1
（1）若< br>m?n?p?q
，则
a
m
·a
n
?a
p·a
q

（2）
S
n
，S
2n
?S< br>n
，S
3n
?S
2n
……
仍为等比数列,公比为q
n
.
注意：由
S
n
求
a
n
时应注意什么？
n?1
时，
a
1
?S
1
；
n?2
时，
a
n
?S
n
?S
n?1
.

3．求数列通项公式的常用方法
（1）求差（商）法
如：数列
?
a
?
，
1
2
a
11
n
1
?
2
2
a
2
?……?
2
n
a
n
? 2n?5
，求
a
n

解
n?1
时，
1< br>2
a
1
?2?1?5
，∴
a
1
?14

n?2
时，
1
2
a
11
1
?
2
2
a
2
?……?
2
n?1
a
n?1
?2n?1?5

①—②得：
1
n?1
2
n
a
n
?2
，∴
a
n
?2
，∴
a
n
?
?
?
14(n?1)
?
2
n?1
(n?2)

［练习］ 数列
?
a
5
n
?
满足
S
n
?S< br>n?1
?
3
a
n?1
，a
1
?4
， 求
a
n

注意到
a
n?1
?S
n?1?S
S
n?1
n
，代入得
S
?4
又
S
1
?4
，∴
?
S
n
?
是等比数列，
n
；
n?2
时，
a
n
?S
n
?S
n?1
?……?3·4
n?1

（2）叠乘法
如：数列
?
a
?3，
a
n?1
n
n
?
中，
a
1
a
?
，求
a
n

n
n?1
解
a
2
a
·
a
3……
a
n
?
1
·
2
……
n?1
，∴
a
n
a
?
1
又
a
3
1?3
，∴
a
n
?
1
a
2
a
n ?1
23n
1
n
n
.
（3）等差型递推公式
由
a
n
?a
n?1
?f(n)，a
1
?a
0
，求
a
n
，用迭加法
a
2
?a
1
?f(2)
?
a
?
n?2
时，
3
?a
2
?f(3)
?
…………
?
两边相加得
a
n
?a
1
?f(2)?f(3)?……?f(n)
?
a
n
?a
n?1
?f(n)
?
?
∴
a
n
?a
0
?f(2)?f(3)?……?f(n)

①
②
S
n
?4
n

1
［练 习］数列
?
a
n
?
中，
a
1
?1，an
?3
（4）等比型递推公式
n?1
?a
n?1
?< br>n?2
?
，求
a
n
（
a
n
?
1
n
3?1
??
2
）
a
n
?can?1
?d
（
c、d
为常数，
c?0，c?1，d?0
）
可转化为等比数列，设
a
n
?x?c
?
a
n? 1
?x
?
?a
n
?ca
n?1
?
?
c?1
?
x

令
(c?1)x?d
，∴
x?d
?
dd
?
，c
为公比的等比数列 ，∴
?
a
n
?
?
是首项为
a
1
?
c?1
c ?1c?1
??
∴
a
n
?
dd
?
n?1< br>d
?
n?1
d
??
?
?
a
1
?·ca?a?c?
，∴
n
??
1
?
c?1
?
c?1
?
c?1
?
c?1
?
（5）倒数法
如：
a
1
?1，a
n?1
?
2a
n
，求
a
n

a
n
?2
由已知得：
a?2
111111
?
n
??
，∴
??

a
n ?1
2a
n
2a
n
a
n?1
a
n
2
?
1
?
111
1
1
·?
?
n? 1
?
， ∴
??
为等差数列，
?1
，公差为，∴
? 1?
?
n?1
?
a
n
22
2
a
1
?
a
n
?
∴
a
n
?
(
附：
2
n?1

公式法、利用
a
n
?< br>?
S
1
(n?1)
S
n
?S
n?1
(n?2)
、累加法、累乘法.构造等差或等比
a
n?1
?pa
n< br>?q
或
a
n?1
?pa
n
?f(n)
、待定 系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法
)

4. 求数列前n项和的常用方法
(1) 裂项法
把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.
如：
?
a
n
?
是公差为
d
的等差数列，求
?
1

aa
k?1
kk?1
n
解：由
111
?
1 1
?
??
?
?
?
?
d?0
?
< br>a
k
·a
k?1
a
k
?
a
k
?d
?
d
?
a
k
a
k?1
?