2020年高中数学必修五全套教案(精品)

2020年高中数学必修五全套复习讲义（精品）

[探索研究]
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角
形中，角与边的等式关系。 如图1．1-2，在Rt
?
ABC中，设
BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角 三角函数中正弦函数的定义，有
a
?sin
A
，
c
b
c
?sin
B
，又
sin
C
?1?
,
c
c
则
a
?
b
?
c
?
c
b
sin
A
sin
B
sin
C
c
从而在直角三角形ABC中，
a
B
(
图1．1-2)
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
（由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1．1-3，当
?
ABC是 锐角三角形时，设边AB上的高是CD，
根据任意角三角函数的定义，有CD=
a
si n
B
?
b
sin
A
,则
a
C
同理可得
c
a
sin
C
?
sin
A?
sin
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C
C a

b
sin
B
，
b
sin
B
， b

从而
a
sin< br>A
?
b
sin
B
?
c
sin
C A
c B

(图1．1-3)
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，
即
a
sin
A
?
b
sin
B
?
c< br>sin
C

[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其 对角的正弦成正比，且比
例系数为同一正数，即存在正数k使
a
?
k
sin
A
，
b
?
k
sin
B
，
c
?
k
sin
C
；
（2）
a
sin
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C
等价于
a
sin
A
?
b
sin
B
，
c
sin
C
?
b
sin
B
，
a
sin
A
?
c
sin
C

从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如
a
?
b
sin
A
；
sin
B
②已知三角 形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，
如
sin
A
?
a
sin
B
。
b
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作
解三角形。
[例题分析]
例1．在
?ABC
中，已知
A?32.0
0
，
B?81.8
0
，
a?42.9
cm，解三角形。
解：根据三角形内角和定理，
C?180
0
?(A?B)


?180
0
?(32.0
0
?81.8
0
)

?66.2
0
；
根据正弦定理，
asinB42.9sin81.8
0
b???80.1(cm)
；
sinA
sin32.0
0
根据正弦定理，
asinC42.9sin66.2
0
c???74.1(cm).

sinA
sin32.0
0
评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2．在
?ABC
中，已知
a?20
cm，
b?28
cm，
A?40
0
，解三角形（角
度精确到
1
0
，边长精确到1cm）。
解：根据正弦定理，

bsinA28sin40
0
sinB???0.8999.

a2 0
因为
0
0
＜
B
＜
180
0
，所 以
B?64
0
，或
B?116
0
.

⑴ 当
B?64
0
时，

C?180
0
?(A? B)?180
0
?(40
0
?64
0
)?76
0< br>，
asinC20sin76
0
c???30(cm).

sinA
sin40
0
⑵ 当
B?116
0
时，

C?180
0
?(A?B)?180
0
?(400
?116
0
)?24
0
，
asinC20sin24
0
c???13(cm).

sinA< br>sin40
0
[补充练习]已知
?
ABC中，
sin
A
:sin
B
:sin
C
?1:2:3
，求
a:
b
:
c

（答案：1：2：3）
（2）正弦定理的应用范围：
①已知两角和任一边，求其它两边及一角；
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
A < br>如图1．1-5，设
CB
?
a
，
CA
?
b< br>，
AB
?
c
，那么
c
?
a
?
b
，则
b

c

rrrrr r
c
?
c
?
c
?
a
?
ba
?
b
rrrrrr
?
ab
?
b
?
r
2
a
r
?
b
r
?
2
a
?
r
2
?
a
?
b
?2
a
?b
2
uurruurruurr
rrr
r
r
r
????
C
a

r
B
从而
c
2
?
a
2
?
b
2
?2
ab
cos
C
(图1．1-5)
同理可证
a
2
?
b
2
?
c
2
?2
bc
cos
A

b< br>2
?
a
2
?
c
2
?2
ac
cos
B

于是得到以下定理
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他 两边的平方的和减
去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即
a
2
?
b
2
?
c
2
?2
bc
cos
A

b
2
?
a
2
?
c< br>2
?2
ac
cos
B

c
2
?a
2
?
b
2
?2
ab
cos
C

思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以
求出第四个量，能否由 三边求出一角？
（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：
b
2
? c
2
?a
2
cosA?
2bc
a
2
?c< br>2
?b
2
cosB?
2ac


b
2
?a
2
?c
2

cosC?
2ba

[理解定理]
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间 的关系，余弦
定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理
之间的关系？
（由学生总结）若
?
ABC中，C=
90
0
，则
c osC?0
，这时
c
2
?a
2
?b
2

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
[例题分析]
例1．在
?
ABC中，已知
a?2
⑴解：∵
b
2
? a
2
?c
2
?2accosB

=
(23)
2
?(6?2)
2
?2?23?(6?2)
cos
45
0

6?2)
2
?43(3?1)

3
，
c?6?2
，
B?60
0
，求b及A
=
12?(
=
8

∴
b?22.

求
A
可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
b
2
?c
2
?a
2
(22)
2
?(6?2)
2
?( 23)
2
1
?,
⑵解法一：∵cos
A?
2bc
?
2
2?22?(6?2)
∴
A?60
0
.

例2．在
?
ABC中，已知a?134.6cm
，
b?87.8cm
，
c?161.7cm
，解三角形
解：由余弦定理的推论得：

b
2
?c
2
?a
2
cos
A?
2bc



87.8
2
?161.7
2
?134.6
2

?
2?87.8?161.7
?0.5543,

A?56
0
20
?
；
c
2
?a
2
?b
2
cos
B?
2ca



134.6
2
?161.7
2
?87.8
2

?
2?134.6?161.7
?0.8398,

B?32
0
53
?
；
?

C?180< br>0
?(A?B)?180
0
?(56
0
20
?
?32
0
53)
[补充练习]在
?
ABC中，若
a
2
?
b
2
?
c
2
?
bc
，求角 A（答案：A=120
0
）
Ⅳ.课时小结
（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是
余弦定理的特例；
（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及
它们的夹角，求第三边。
[随堂练习1]
（1）在
?
ABC中，已知
a
?80，
b
?100
，
?
A
?45
0
，试判 断此三角形的解
的情况。
1
（2）在
?
ABC中，若
a< br>?1
，
?
C
c
?
，
2
则符合题意的
?40
0
，b的值有_____
个。
（3）在
?
ABC中，
a
?
xcm
，
b
?2
cm
，< br>?
B
?45
0
，如果利用正弦定理解三
角形有两解，求x的取 值范围。
（答案：（1）有两解；（2）0；（3）
2?
x
?2

2
）

2．在
?
ABC中，已知
a
?7
，
b
?5
，
c
?3
，判断
?
ABC的类型。
分析：由余弦定理可知
a
2
?
b2
?
c
2
?
A
是直角??ABC是直角三角形
a
2
?
b
2
?
c
2
?
A
是钝角??ABC是钝角三角形

a
2
?
b
2
?< br>c
2
?
A
是锐角??ABC是锐角三角形
（注意：
A
是锐角??ABC是锐角三角形
）
解：
Q7
2
?5
2
?3
2
，即
a
2
?
b
2
?< br>c
2
，
∴
?ABC是钝角三角形
。
[随堂练习2]
（1）在
?
ABC中，已知
sin
A:sin
B
:sin
C
?1:2:3
，判断
?
ABC的类型。
（2）已知
?
ABC满足条件
a
cos
A
?
b
cos
B
，判断
?
ABC的类型。 （答案：（1）
?ABC是钝角三角形
；（2）
?
ABC是等腰或直角三 角形）
2.在
?
ABC中，
A
?60
0
，
b
?1
，面积为
3
a
?
b
?
c
，求的值
2
sin
A
?sin
B
?sin
C分析：可利用三角形面积定理
S
?
1
ab
sin
C?
1
ac
sin
B
?
1
bc
sin< br>A
以及
222
正弦定理
a
sin
A
?b
sin
B
?
c
sin
C
?
a
?
b
?
c

sin
A
?sin
B
?sin
C
解：由
S
13
?
bc
sin
A
?
22
得
c
?2
，
3
， 则
a
2
?
b
2
?
c
2
?2
bccos
A
=3，即
a
?
从而
a
?
b< br>?
c
a
??2

sin
A
?sin
B
?sin
C
sin
A
Ⅲ.课堂练习
（1）在
?
ABC中，若
a
?55
，
b
?16
，且此三角形的 面积
S
C
（2）在
?
ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角 形的面积
S
求角C

?2203
，求角
?
a2
?
b
2
?
c
2
4
，

（答案：（1）
60
0
或
120
0
；（ 2）
45
0
）
Ⅳ.课时小结
（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或
一解或无解等情形；
（2）三角形各种类型的判定方法；
（3）三角形面积定理的应用。

Ⅴ.课后作业
（1）在
?
ABC中，已知
b
?4
，
c
?10
，
B
?30
0
，试判断此三角形的解的
情况。
（2）设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围。
（3）在
?
ABC中，
A
?60
0
，
a
?1
，
b
?
c
?2
，判断
?
ABC的形状 。
（4）三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程
5
x2
?7
x
?6?0
的根，

求这个三角形的面积。
例1、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75
?
的方向航行67.5 n mile
后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32
?
的方向航行54.0 n m ile
后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的
方向航行,需要航 行多少距离?(角度精确到0.1
?
,距离精确到0.01n
mile)

解：在
?
ABC中，
?
ABC=180
?
- 75
?
+ 32
?
=137
?
，根据余弦定理，
AC=
=
AB
2
?BC
2
?2AB?BC?cos?ABC


67.5
2
?54.0
2
?2?67.5?54.0?c os137
?
≈113.15
根据正弦定理,

BC
=
AC

sin?CABsin?ABC
AC
sin
?
CAB =
BCsin?ABC

54.0sin137
?
=
113.15

≈0.3255,
所以
?
CAB =19.0
?
,
75
?
-
?
CAB =56.0
?

答:此船应该沿北偏东56.1
?
的方向航行,需要航行113.15n mile
补充例2、某巡逻艇在A处发现北偏东45
?
相距9海里的C处有一艘
走私船 ，正沿南偏东75
?
的方向以10海里小时的速度向我海岸行驶，
巡逻艇立即以14海 里小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该
沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？

解：如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，
则CB=10x, AB=14x,AC=9,
?
ACB=
75?
+
45?
=
120?

?
(14x)
2
= 9
2
+ (10x)
2
-2
?
9
?
10xcos
120?

?
化简得32x
2
-30x-27=0，即x=
3
,或x= -
2
9
16
(舍去)
所以BC = 10x =15,AB =14x =21,
又因为
BCsin120
?
sin
?
BAC =
A B
=
15
21
?
3
2
=
53
14

?
?
BAC =38
?
13
?
,或
?
BAC =141
?
47
?
（钝角不合题意，舍去），
?
38?
13
?
+
45?
=83
?
13
?< br>
答：巡逻艇应该沿北偏东83
?
13
?
方向去追，经过1. 4小时才追赶上该
走私船.
评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解 ，
但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际
意义，从而得出实际问题 的解
Ⅳ.课时小结
解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未
知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。

（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足
够的三角形优先研究，再逐步在其 余的三角形中求出问题的解。

例7、在
?
ABC中，根据下列条件，求三 角形的面积S（精确到0.1cm
2
）
（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5
?
;
（2）已知B=62.7
?
,C=65.8
?
,b=3.16cm;
（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm
解：（1）应用S=
1
acsinB，得
2
S=
1
?
14.8
?
23.5
?
sin148.5?
≈90.9(cm
2
)
2
(2)根据正弦定理，

b
=
c
sinC
sinB
sinB

c =
bsinC

S =
1
bcsinA =
1
b
2
22
sinCsinA

sinB
A = 180
?
-(B + C)= 180
?
-(62.7
?
+ 65.8
?
)=51.5
?

sin65.8
?
sin51.5
?
1
2
S =
?
3.16
?
2
sin62.7
?
≈4. 0(cm
2
)
(3)根据余弦定理的推论，得
c
2
?a
2
?b
2
cosB =
2ca
38.7
2
?41.4
2
?27.3
2
=
2?38.7?41.4

≈0.7697
sinB = < br>1?cos
2
B
≈
1?0.7697
2
≈0.638 4
应用S=
1
acsinB，得
2

S ≈
1
?
41.4
?
38.7
?
0.6 384≈511.4(cm
2
)
2
例3、在
?
ABC中，求证：
a
2
?b
2
sin
2
A?sin
2
B
（1）
2
? ;

2
csinC
（2）
a
2
+
b
2
+
c
2
=2（bccosA+cacosB+abcosC）
证明：（1）根据正弦定理，可设

a
=
b
=
c
sinAsinB
sinC
= k
显然 k
?
0，所以
a
2
?b
2
k
2
sin
2
A?k
2
sin
2
B
左边=
2
?

ck
2
sin
2
C
sin
2
A?sin
2
B
==右边
2
sinC
（2）根据余弦定理的推论，
b
2
?c
2
?a
2
右 边=2(bc
2bc
c
2
?a
2
?b
2
+ ca
2ca
a
2
?b
2
?c
2
+ab2ab
)

=(b
2
+c
2
- a
2
)+(c
2
+a
2
-b
2
)+(a
2
+b
2
-c
2
)
=a
2
+b
2
+c
2
=左边 变式练习1：已知在
?
ABC中，
?
B=30
?
,b= 6,c=6
积S
提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的
个数。
答案：a=6,S=9
Ⅳ.课时小结
3
;a=12,S=18
3

3
,求a及
?
ABC的面

利用 正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只
含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关 系，从而确定三角形
的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两
者混用 。











⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.
注意：⑴数列的 数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数
列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数
列中可以重复出现.
⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依
次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….

例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1
项（ 或首项），“9”是这个数列中的第6项.
⒊数列的一般形式：
a
1
,a< br>2
,a
3
,?,a
n
,?
，或简记为
?a
n
?
，其中
a
n
是
数列的第n项
结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，
它的首项是“1”，“”是这个数列的第“3”项，等等
1
3
下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一
定的对应关系？这一关系可否用一个 公式表示？（引导学生进一步理
解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：
项
1

1
2
1
3
1
4
1

5
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
序号 1 2 3 4 5
这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：
a
n
?
对应关系
即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n，就可以求出该数列相
应的各项
结合上述其他例子，练习找其对应关系
⒋ 数列的通项公式：如果数列
?
a
n
?
的第n项
a
n
与n之间的关系
可以用一个公式 来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；
1
来表示其
n

⑵一个数列的通项公式有 时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，
1?(?1)
n?1
n?1
?|
. 1，0，…它的通项公式可以是
a
n
?
，也可以是
a
n
?|cos
2
2
⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项 ；②检验某数是否
是该数列中的一项.
数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第

项，又是这
个数列中所有 各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的
函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定 了，代入项数就可
求出数列的每一项．
5.数列与函数的关系
数列可以看成以正整 数集N
*
（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为
定义域的函数
an
?f(n)
，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函
数值。
反过 来，对于函数
y=f(x)
,如果
f(i)
（i=1、2、3、4…）有意义 ，那
么我们可以得到一个数列
f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)…，f(n)，…

6．数列的分类：
1）根据数列项数的多少分：
有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数
列
无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数
列
2）根据数列项的大小分：
递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。

递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。
常数数列：各项相等的数列。
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前
一项的数列
[补充练习]：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1) 3, 5, 9, 17, 33,……； (2)
10
, ……；
99
4
2
68
, , , ,
3
15
3563
(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7,
9, 9, ……；
2n
1?(?1)
n
解：(1)
a
n
＝2n＋1； (2)
a
n
＝； (3)
a
n
＝；
(2n?1)(2n?1)
2
(4) 将数列变形为1＋0, 2＋1, 3＋0, 4＋1, 5＋0, 6＋1, 7
＋0, 8＋1, ……,
1?(?1)
n
∴
a
n
＝n＋；
2
1、 通项公式法
如果数列
?
a
n
?
的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那
么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
如数列


的通项公式为

的通项公式为

的通项公式为

；
；
；

2、

图象法

启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数

为横坐标，相应的项

为纵坐标，即以

为坐标在平面直角坐
为例，做出一个数列的标系中做出点（以前面提到的数列

图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，
所以这些点都在

轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象
中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变 化而变化的趋势．
3、 递推公式法
知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．
观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．
模型一：自上而下：
第1层钢管数为4；即：1
?
4＝1+3
第2层钢管数为5；即：2
?
5＝2+3
第3层钢管数为6；即：3
?
6＝3+3
第4层钢管数为7；即：4
?
7＝4+3
第5层钢管数为8；即：5
?
8＝5+3
第6层钢管数为9；即：6
?
9＝6+3
第7层钢管数为10；即：7
?
10＝7+3
若用
a
n
表 示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一
数列，且
a
n
?n?3 (1
≤n≤7）
运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模
型，运用 这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们
的统计与计算带来很多方便。

让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻
找规律）
模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。
即< br>a
1
?4
；
a
2
?5?4?1?a
1
?1
；
a
3
?6?5?1?a
2
?1

依此类推：
a
n
?a
n?1
?1
（2≤n≤7）
对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关
系也较为重要。
递推公式：如果已知数列
?
a
n
?
的第1项（或前几项），且任一项
a
n
与
它的前一项
a
n?1
（或前n项）间的关系 可以用一个公式来表示，那么
这个公式就叫做这个数列的递推公式
递推公式也是给出数列的一种方法。
如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89
递推公式为：
a
1
?3,a
2
?5,a
n
?a
n?1
?a
n?2
(3?n?8)

数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表 示法有联系，首先请
学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法
表示一 个函数，数列有这样的表示法：用

表示第一项，用

第一项，……，用

4、列表法
．简记为

[范例讲解]
．
表示第

项，依次写出成为
表示

a
1
?1
?
例3 设数列
?
a
n
?
满足
?
写出这个数列的前五项。
1
?
a?1?(n?1).
?
n
a
n?1
?
a
n
?1?
解：分析：题中已给出
?
a
n
?
的第1项即
a
1
?1
，递推公式：
1
a
n?1

解：据题意可知：
a
1
?1,a
2
?1 ?
a
4
?1?
158
?,a
5
?

a
3
35
112
?2,a
3
?1??
，
a
1
a
2
3
[补充例题]
例4已知
a
1
?2
，
a
n?1
?2a
n
写出前5项，并猜想
a
n
．
法一：
a
1
?2

a
2
?2?2?2
2

a
3
?2?2
2
?2
3
，观察可得
a
n
?2
n

法二：由
a
n?1
?2a
n
∴
a
n
?2a
n?1
即
∴
an
aa
a
?
n?1
?
n?2
????
2
?2
n?1

a
n?1
a
n?2
an?3
a
1
a
n
?2

a
n?1
∴
a
n
?a
1
?2
n?1
?2
n

[补充练习]
1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳
出通项公式
(1)
a
1
＝0,
a
n?1
＝
a
n
＋(2n－1) (n∈N)；
(2)
a
1
＝1,
a
n?1
＝
2a
n
(n∈N)；
a
n
?2
(3)
a
1
＝3,
a
n?1
＝3
a
n
－2 (n∈N).
解：(1)
a
1
＝0,
a
2
＝1,
a
3
＝4,
a
4
＝9,
a
5
＝16, ∴
a
n
＝(n－
1)
2
;

(2)
a
1
＝1,
a
2
＝,
a
3
＝
?
,
a
4
＝,
a
5
＝
?
, ∴
a
n
＝
(3)
a
1
＝3＝1+2
?3
0
,
a
2
＝7＝1+2
?3
1
,
a
3
＝19＝1+2
?3
2
,
2
3< br>1
2
2
4
2
5
1
3
2
6< br>2
;
n?1
a
4
＝55＝1+2
?3
3
,
a
5
＝163＝1+2
?3
4
, ∴
a
n
＝1＋2·3
n?1
;
1．等差数列：一般地，如果 一个数列从第二项起，每一项与它前一
项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫 做
等差数列的公差（常用字母“d”表示）。
⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来
求；
⑵．对于数列{< br>a
n
},若
a
n
－
a
n?1
=d (与n无关的数或字母)，n≥2，
n∈N
?
，则此数列是等差数列，d 为公差。
2．等差数列的通项公式：
a
n
?a
1
?(n?1)d【或
a
n
?
a
m
?(n?m)d
】
等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
，公差是d，则据其定义可得：
a
2
?a
1
?d
即：
a
2
?a
1
?d
< br>a
3
?a
2
?d
即：
a
3
?a2
?d?a
1
?2d

a
4
?a
3< br>?d
即：
a
4
?a
3
?d?a
1
? 3d

……
由此归纳等差数列的通项公式可得：
a
n
?a
1
?(n?1)d

∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项
a< br>1
和公差d，便可求得其
通项
a
n
。
由上述关系还可得：
a
m
?a
1
?(m?1)d

即：
a
1
?a
m
?(m?1)d

则：
a
n
?
a
1
?(n ?1)d
=
a
m
?(m?1)d?(n?1)d?a
m
?( n?m)d

即等差数列的第二通项公式
a
n
?
a
m
?(n?m)d
∴ d=
[范例讲解]
例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项
⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几
项？
解：⑴由
a
1
?8,d?5?8?2?5??3
a
m
?a
n

m?n
n=20，得
a
20
?8?(20?1)?(?3)??49

⑵由
a
1
??5,d??9?(?5)??4
得数列通项公式为：
a
n
??5?4(n?1)

由题意可知，本题 是要回答是否存在正整数n，使得
?401??5?4(n?1)
成立解之得n=100，即- 401是这个数列的第100项
例3 已知数列{
a
n
}的通项公式
a
n
?pn?q
，其中
p
、
q
是常数，那么这< br>个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？
分析：由等差数列的定义 ，要判定
?
a
n
?
是不是等差数列，只要看
a
n< br>?a
n?1
（n≥2）是不是一个与n无关的常数。
解：当n≥2时, （取 数列
?
a
n
?
中的任意相邻两项
a
n?1
与
a
n
（n≥2））
a
n
?a
n?1
? (pn?q)?[p(n?1)?q]
?pn?q?(pn?p?q)?p
为常数
∴ {
a
n
}是等差数列，首项
a
1
?p?q
，公差为 p。
注：①若p=0，则{
a
n
}是公差为0的等差数列，即为常数列q， q，
q，…

②若p≠0, 则{
a
n
}是关于n的一次式,从图象上看,表示数
列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次 项的系数是公差,直线
在y轴上的截距为q.
③数列{
a
n
}为等 差数列的充要条件是其通项
a
n
=pn+q (p、q
是常数)，称其为第3通项公式。
④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式
中的一个。
[补充练习]
1.（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.
分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通
项公式，从而求出所求项. < br>解：根据题意可知：
a
1
=3,
d
=7－3=4.∴该数列的 通项公式为：
（
n
－1）×4,即
a
n
=4
n－1（
n
≥1,
n
∈N*）∴
a
4
=4×4－ 1=15,
a
10
=4
a
n
=3+
×10－1=39.
评述：关键是求出通项公式.
（2）求等差数列10，8，6，……的第20项.
解：根据题意可知：
a
1
=10,
d
=8－10=－2.
∴该数列的通项公式为：
a
n
=10+（
n
－1）×（－2 ）,即：
a
n
=－
2
n
+12,∴
a
20
=－2×20+12=－28.
评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.
（3） 100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第
几项？如果不是，说明理由.

分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看
是否 存在一正整数
n
值，使得
a
n
等于这一数.
解：根据题意可得：
a
1
=2,
d
=9－2=7. ∴此 数列通项公式为：
a
n
=2+（
n
－1）×7=7
n
－5.
令7
n
－5=100,解得：
n
=15, ∴100是这个数列的第15项.
（4）－20是不是等差数列0，－3
1
，－7， ……的项？如果是，
2
是第几项？如果不是，说明理由.
解：由题意可知：
a
1
=0,
d
=－3
1
∴此数列的通项公式为：
a
n
=
2
－
7
n
+
7
,
22
令－
7
n
+
7
=－ 20,解得
n
=
47
因为－
7
n
+
7
=－20没有正整数解，
22
7
22
所以－20不是这个数列的项.


3．有几种方法可以计算公差d
① d=
a
n
－
a
n?1
② d=
a
n
?a
1
a?a
③ d=
nm

n?1n?m
问题：如果在
a
与
b< br>中间插入一个数A，使
a
，A，
b
成等差数列数列，
那么A应 满足什么条件？
由定义得A-
a
=
b
-A ，即：
A?
反之，若
A?
a?b

2
a?b
，则A-
a
=
b
-A
2
a?b
?a,b,
成等差数列 由此可可得：
A?
2
[补充例题]
例 在等差数列{
a
n
}中，若
a
1
+
a
6
=9,
a
4
=7, 求
a
3
,
a
9
.

分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式， 而
要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这
个数列的任意两项（知道 任意两项就知道公差），本题中，只已知一
项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手……
解：∵ {a
n
}是等差数列
∴
a
1
+
a
6
=
a
4
+
a
3
=9
?
a
3
=9－
a
4
=9－7=2
∴ d=
a
4
－
a
3
=7－2=5
∴
a
9
=
a
4
+(9－4)d=7+5*5=32 ∴
a
3

=2,
a
9
=32
已知数列{
a
n
}是等差数列
（1）
2a
5?a
3
?a
是否成立？
2a
5
?a
1
?a
呢？为什么？
79
（2）
2a
n
?a
n?1
?a(n?1)
是否成立？据此你能得到什么结论？
n?1
（3）
2a
n
?a
n?k
?a(n?k?0)
是否成立？？你又能得到什么 结论？
n?k
结论：（性质）在等差数列中，若m+n=p+q，则，
a
m
?a
n
?a
p
?a
q

即 m+n=p+q
?
a
m
?a
n
?a
p
? a
q
(m, n, p, q ∈N )
但通常 ①由
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
推不出m+n=p+q ，②
a
m
?a
n
?a
m?n

Ⅲ.课堂练习
1.在等差数列
?
a
n
?
中，已知
a
5
?10
，
a
12
?31
，求首项a
1
与公差
d

2. 在等差数列
?
a
n
?
中, 若
a
5
?6

a
8
?15
求
a
14

1．等差数列的前
n
项和公式1：
S< br>n
?
n(a
1
?a
n
)

2
证明：
S
n
?a
1
?a
2
?a
3
???a
n?1
?a
n
①

S
n
?a
n
?a
n?1
?a
n?2
???a
2
?a
1
②
①+②：
2S
n
?(a
1
?a
n
)? (a
2
?a
n?1
)?(a
3
?a
n?2
)???(a
n
?a
n
)

∵
a1
?a
n
?a
2
?a
n?1
?a
3< br>?a
n?2
???

∴
2S
n
?n(a
1
?a
n
)
由此得 ：
S
n
?
n(a
1
?a
n
)

2
从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性
2． 等差数列的前
n
项和公式2：
S
n
?na
1
?
n(n? 1)d

2
用上述公式要求
S
n
必须具备三个条件 ：
n,a
1
,a
n

但
a
n
?a
1
?(n?1)d
代入公式1即得：
S
n
?na
1
?
n(n?1)d

2此公式要求
S
n
必须已知三个条件：
n,a
1
,d （有时比较有用）
由例3得与
a
n
之间的关系：
由
S
n
的定义可知，当n=1时，
S
1
=
a
1；当n≥2时，
a
n
=
S
n
-
S
n? 1
，
即
a
n
=
?
?
S
1
(n?1)
.
S?S(n?2)
n?1
?
n
n(a1
?a
n
)

2
1.等差数列的前
n
项和公式1：
S
n
?
2.等差数列的前
n
项和公式2：< br>S
n
?na
1
?
n(n?1)d

2结论：一般地，如果一个数列
?
a
n
?
,
的前n项和为
S
n
?pn
2
?qn?r
，其中
p、q、r为常数 ，且
p?0
，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，
它的首项与公差分别是多少？
由
S
n
?pn
2
?qn?r
，得
S
1
?a
1
?p?q?r

当
n?2
时
a
n
?S
n
?S
n?1
=
(pn
2
?qn?r)?[p(n?1)
2
?q(n?1)?r]
=
2pn?(p?q )

?d?a
n
?a
n?1
?[2pn?(p?q)]?[ 2p(n?1)?(p?q)]
=2p

对等差数列的前
n
项和公式2：
S
n
?na
1
?
S
n
?
n(n?1)d
可化成式子：
2
d
2
d< br>n?(a
1
?)n
，当d≠0，是一个常数项为零的二次式
22
对等差数列前项和的最值问题有两种方法:
（1） 利用
a
n
:
当
a
n
>0，d<0，前n项和有最 大值可由
a
n
≥0，且
a
n?1
≤0，求得n的值

当
a
n
<0，d>0，前n项和有最小值可由
a
n
≤0，且
a
n?1
≥0，求得n的值

（2） 利用
S
n
：
由
S
n
?n
2
?( a
1
?)n
利用二次函数配方法求得最值时n的值
Ⅲ.课堂练习
1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是
27，求这个等差数列的通项公式 。
2．差数列{
a
n
}中,
a
4
＝－15, 公差d＝3, 求数列{
a
n
}的前n项和
S
n
的最小值。
Ⅳ.课时小结
1．前n项和为
S
n
?pn
2
?q n?r
，其中p、q、r为常数，且
p?0
，一定
是等差数列，该数列的
首项是
a
1
?p?q?r

公差是d=2p
?< br>S
1
?a
1
?p?q?r,当n?1时
通项公式是
a
n
?
?

S?S?2pn?(p?q),当n?2时
n?1
?
n
d
2
d
2
2．差数列前项和的最值问题有两种 方法:

（1）当
a
n
>0，d<0， 前n项和有最大值可由
a
n
≥0，且
a
n?1
≤0，求得n
的值。
当
a
n
<0，d>0，前n项和有最小值可由
a< br>n
≤0，且
a
n?1
≥0，求得n的值。
（2）由
S
n
?n
2
?(a
1
?)n
利用二次函数配方法求 得最值时n的值





1．等比数列：一般地，如果 一个数列从第二项起，每一项与它的前
一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常 数
叫做等比数列的公比；公比通常用字母
q
表示（
q
≠0），即：< br>（
q
≠0）
1?“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)
｛
a
n
｝成等比数列
?
a
n?1
=
q（
n?N
?
,
q
≠0）
a
n
an
=
q
a
n?1
d
2
d
2
2 ? 隐含：任一项
a
n
?0且q?0

“
a
n≠0”是数列｛
a
n
｝成等比数列的必要非充分条件．
3? q= 1时，{a
n
}为常数。
2.等比数列的通项公式1:
a
n?a
1
?q
n?1
(a
1
?q?0)

由等比数列的定义，有：
a
2
?a
1
q
；

a
3
?a
2
q?(a
1
q)q?a
1
q
2
；
a
4
?a
3
q?(a
1
q
2
)q?a
1
q
3；
… … … … … … …
a
n
?a
n?1
q?a
1
?q
n?1
(a
1
?q?0)

3.等比数列的通项公式2:
a
n
?a
m
?q
m ?1
(a
1
?q?0)

4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列
探究：课本P56页的探究活动——等比数列与指数函数的关系
等比数列与指数函数的关系：
等比数列｛
a
n
｝的通项公式
a
n
?a
1
?q
n?1
(a
1
?q?0)
,它的图象是分布
在 曲线
y?
a
1
x
q
（q>0）上的一些孤立的点。
q
当
a
1
?0
，q >1时，等比数列｛
a
n
｝是递增数列；
当
a
1
?0
，
0?q?1
，等比数列｛
a
n
｝是递增数列； 当
a
1
?0
，
0?q?1
时，等比数列｛
a< br>n
｝是递减数列；
当
a
1
?0
，q >1时，等比数列｛
a
n
｝是递减数列；
当
q?0
时，等 比数列｛
a
n
｝是摆动数列；当
q?1
时，等比数列｛
a< br>n
｝
是常数列。
[补充练习]
2.（1） 一个等比数列的第9项 是
4
，公比是－
1
，求它的第1项（答
93
案：
a
1
=2916）
（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项 与第
4项（答案：
a
1
=
a
2
=5,
a
4
=
a
3
q
=40）
q

1．等比中项：如果在
a
与
b
中间插入一 个数
G
，使
a
,
G
，
b
成等
比数 列，那么称这个数
G
为
a
与
b
的等比中项. 即
G
=±
同号）
如果在
a
与
b
中间插入 一个数
G
，使
a
,
G
，
b
成等比数列，则
Gb
??G
2
?ab?G??ab
，
aG
ab< br>（
a
,
b
反之，若
G
2
=
ab,则
G
?
a
b
，即
G
a
,
G
,
b
成等比数列。∴
a
,
G
,
b
成等
比数列
?
G
2
=
ab
（
a
·
b
≠0）
例题 证明：设数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
，公比为
q
1
;
?
b
n
?
的首项为
b
1
，
公比为
q
2
，那么数列
?
a
n
?b
n
?
的第n项 与第n+1项分别为：
a
1
?q
1
n?1
?b
1
?q
2
n?1
与a
1
?q
1
?b
1
?q
2
即为a
1
b
1
(q
1
q
2
)
n?1
与a
1
b
1
(q
1< br>q
2
)
n
nn
a
n?1
?b
n?1
a
1
b
1
(q
1
q
2
)
n
???q
1
q
2
.

n?1
a
n
?b
n
a
1
b
1
(q
1
q2
)
它是一个与n无关的常数，所以
?
a
n
?b
n
?
是一个以q
1
q
2
为公比的等比数
列
拓展探究：
对于例题中的等比数列{
a
n
}与{
b
n
}，数列{
a
n
}也一定是等比数列吗？
b
n
a
a
n
，则
c
n?1
?
n?1

b
n?1
b
n
探究：设数列{
a
n
}与{
b
n
}的公比分别为
q
1
和q
2
，令
c
n
?
a
n?1
?
c
n?1
b
n? 1
ab
q
a
??(
n?1
)g(
n?1
) ?
1
，所以，数列{
n
}也一定是等比数列。
a
c
n
a
n
b
n
q
2
b
n
n
b
n
已知数列{
a
n
}是等比数列，（1）
a
5
2
?a
3
a
7
是否成立？
a
5
2
?a
1
a
9
成立吗？
为什么？

2
（2）
a
n
?a
n?1
a
n?1
(n?1)
是否成立？你据此能
得到什么结论？
a
n
2
?a
n?k
a
n?k
(n?k?0)
是否成立？你又能得到什么
结论？
结论：2．等比数列的性质：若m+n=p+k，则a
m
a
n
?a
p
a
k

在等 比数列中，m+n=p+q，
a
m
,a
n
,a
p
, a
k
有什么关系呢？
由定义得：
a
m
?a
1
q
m?1
a
n
?a
1
q
n?1

a
p
?a
1
q
p?1
a
k
?a
1
?q
k?1

a
m
?a
n
?a
1
q
m?n?2
，
a
p
?a
k
?a
1
q
p?k?2
则
a
m
a
n
?a
p
a
k

2
2
1、 等比数列的前n项和公式：
a?aq
a
1
(1?q
n
)
当
q?1
时，
S
n
?
① 或
S
n
?
1n
②
1?q
1?q
当q=1时，
S
n
?na
1

当已知
a
1
, q, n 时用公式①；当已知
a
1
, q,
a
n
时，用公
式②.
公式的推导方法一：
一般地，设等 比数列
a
1
,a
2
?a
3
,?a
n
?
它的前n项和是
S
n
?
a
1
?a
2
?a
3
??a
n

?
S
n
?a< br>1
?a
2
?a
3
??a
n
由
?
n?1
a?aq
1
?
n
2n?2n?1
?< br>?
S
n
?a
1
?a
1
q?a
1q??a
1
q?a
1
q
得
?

23n ?1n
?
?
qS
n
?a
1
q?a
1
q?a
1
q??a
1
q?a
1
q
?(1?q)S
n
?a
1
?a
1
q
n

a?aq
a
1
(1?q
n
)
∴当
q?1
时 ，
S
n
?
① 或
S
n
?
1n
②
1?q
1?q
当q=1时，
S
n
?na
1

公式的推导方法二：
有等比数列的定义，
根据等比的性质，有
即
a
a
2
a
3
????
n
?q
< br>a
1
a
2
a
n?1
a
2
?a
3
???a
n
S?a
1
?
n
?q
a
1
?a
2
???a
n?1
S
n
?a
n
S
n
?a
1
?q
?
(1?q)S
n
?a
1
?a
n
q
（结论同上）
S
n
?a
n
围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了
公式．
公式的推导方法三：

S
n
?
a
1
?a
2
?a
3
??a
n
＝
a
1
?q( a
1
?a
2
?a
3
??a
n?1
)

＝
a
1
?qS
n?1
＝
a
1
?q(S
n
?a
n
)

?
(1?q)S< br>n
?a
1
?a
n
q
（结论同上）
Ⅱ.讲授新课
1、等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是Sn，S2n，S3n，
2
求证：
S
2
n
?S
2n
?S
n
(S
2n
?S
3n
)

2、设a为常数，求数列a ，2a
2
，3a
3
，…，na
n
，…的前n项和；
（1）a=0时，S
n
=0
（2）a≠0时，若a=1，则Sn=1+2+3+…+n=
n(n?1)

若a≠1，S
n
-aS
n
=a（1+a+…+a
n-1
-n a
n
），Sn=

1、数列
[数列的通项公式]
an
S
n
?a
1
?a
2
?a
3
???a
n

?
a
1
?S
1
(n?1)< br>?
?
?
S
n
?S
n?1
(n?2)
1
2
a
[1?(n?1)a
n
?na
n?1
]
2
(1?a)
[数列的前n项和]

2、等差数列
[等差数列的概念]
[定义] 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一
个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这 个常数叫做等差数列的公
差，公差通常用字母d表示。
[等差数列的判定方法]
1． 定义法：对于数列
?
a
n
?
，若
a
n?1
?a
n
?d
(常数)，则数列
?
a
n
?
是等
差数列。
2．等差中项：对于数列
?
a
n?
，若
2a
n?1
?a
n
?a
n?2
，则数列
?
a
n
?
是等差数
列。
[等差数列的通项公式]
如果等差数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
，公差是
d
，则等差数列的通项为
a
n
?a
1
?(n?1)d
。
[说明]该公式整理后是关于n的一次函数。
[等差数列的前n项和] 1．
S
n
?
n(a
1
?a
n
)
2.
S
n
2
?na
1
?
n(n?1)
d

2
[说明]对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。
[等差中项]
如果
a
，
A
，
b
成等差数 列，那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项。即：
A?a?b
2
或
2A?a?b

[说明]：在一个等差数列中，从第 2项起，每一项（有穷等差数列的
末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中< br>某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。
[等差数列的性质]
1．等差数列任意 两项间的关系：如果
a
n
是等差数列的第
n
项，
a
m
是
等差数列的第
m
项，且
m?n
，公差为
d，则有
a
n
?a
m
?(n?m)d

2． 对 于等差数列
?
a
n
?
，若
n?m?p?q
，则a
n
?a
m
?a
p
?a
q
。
也就是：
a
1
?a
n
?a
2
?a
n?1
?a
3
?a
n?2
???
，如图所示：
?a
n
?????
a
1
??????
a
1
,a
2
,a
3
,?,a
n?2
,a
n?1
,a
n

?????????
a
2
?a
n?1
3．若 数列
?
a
n
?
是等差数列，
S
n
是其前n 项的和，
k?N
*
，那么
S
k
，
S
2k< br>?S
k
，
S
3k
?S
2k
成等差数列。如下 图所示：
????????????
S
?
3k
????????? ???
a
1
?a
2
?a
3
???a
k?a
k?1
???a
2k
?a
2k?1
???a
3k

???????????????????????
S
k
S
2k
?S
k
S
3k
?S
2k

3、等比数列
[等比数列的概念]
[定义] 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一
个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这 个常数叫做等比数列的公
比，公比通常用字母q表示（
q?0
）。
[等比中项]
如果在
a
与
b
之间插入一个数
G< br>，使
a
，
G
，
b
成等比数列，那么
G
叫
做
a
与
b
的等比中项。
也就是，如果是的等比中项， 那么
G
?
b
，即
G
2
?ab
。
aG
[等比数列的判定方法]
1． 定义法：对于数列
?
a
n
?
，若
a
n?1
a
n
?q(q?0)
，则数列
?
a
n
?
是等比数列。
2
?
a
n
?
是等比数列。2．等比中项：对于数列
?
a
n
?
，若
a
n
a
n?2
?a
n

?1
，则数列
[等比数列的通项公式]
如果等比数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
，公比是
q
，则等比数 列的通项为
a
n
?a
1
q
n?1
。
[等比数列的前n项和]
1
○
a
1
(1?q
n< br>)
S
n
?(q?1)

1?q
2
S○
n
?
a
1
?a
n
q
(q?1)
1?q
3当
q?1
时，
S
○
n
?na
1

[等比数列的性质]
1．等比数列任意两项间的关系：如果< br>a
n
是等比数列的第
n
项，
a
m
是
等差数列的第
m
项，且
m?n
，公比为
q
，则有
a
n
?a
m
q
n?m

3． 对于等比数列
?
a
n
?
，若
n?m?u?v
，则
a
n< br>?a
m
?a
u
?a
v

也就是：
a
1
?a
n
?a
2
?a
n?1
?a
3
?a
n?2
???
1
?a
n
?????
a
??????
,a,?,a
n?2
,a
n?1
,a
n
。如图所示：
a
1
,a
?
2
?
3< br>???????
a
2
?a
n?1
k?N
*
， 4．若数列
?
a
n
?
是等比数列，
S
n
是 其前n项的和，那么
S
k
，
S
2k
?S
k
，
S
3k
?S
2k
成等比数列。如下图所示：
????? ???????
S
?
3k
????????????
a
1< br>?a
2
?a
3
???a
k
?a
k?1
???a
2k
?a
2k?1
???a
3k

?? ?????????????????????
S
k
S
2k
?Sk
S
3k
?S
2k

4、数列前n项和
（1）重要公式：

1?2?3??n?
n(n?1)
；
2
n(n?1)(2n?1)
；
6
1
2
?22
?3
2
??n
2
?
1
1
3
?2
3
??n
3
?[n(n?1)]
2

2
（2）等差数列中，
S
m?n
?S
m
?S
n
?m nd

（3）等比数列中，
S
m?n
?S
n
?q< br>n
S
m
?S
m
?q
m
S
n

（4）裂项求和：
















111
??
；（
n?n!?(n?1)!?n!
）
n(n?1)nn?1

(第1课时)

课题 §3.1不等式与不等关系

【教学目标】

1．知识与技能：通过具体情景，感受在 现实世界和日常生活中存在
着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基
本性质；
2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景
分析问题、解决 问题的方法；
3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，
培养严谨的思维习惯。
【教学重点】
用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含
有 不等关系的问题。理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价
值。
【教学难点】
用不等式（组）正确表示出不等关系。
【教学过程】
1.课题导入
在现 实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。
如两点之间线段最短，三角形两边之和 大于第三边，等等。人们还经
常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等
来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中，我们用不
等式来表示不等关系。
下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。
2.讲授新课

1）用不等式表示不等关系

引例1：限速40kmh的 路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽
车的速度v不超过40kmh，写成不等式就是：
v?40

引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于
2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不
等式组来表示
?
f?2.5%

?
?
p?2.3%
问题1：设点 A与平面
?
的距离为d,B为平面
?
上的任意一点，则
d?|AB|
。
问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据
市场调查， 若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入
仍不低于20万元呢？
解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为
(8?
x?2.5
?0.2)x
万
0.1
元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不
等式
(8?
x?2.5
?0.2)x?20

0.1
问题3：某 钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两
种。按照生产的要求，600mm 的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎
样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？

解：假设截得500 mm的钢管 x根，截得600mm的钢管y根。根据题
意，应有如下的不等关系：
（1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm
（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；
（3）截得两种钢管的数量都不能为负。
要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：
?
500x?600y?4000;
?
3x?y;
?

?
x?0;
?
?
y?0.
?
3.随堂练习
1、试举几个现实生活中与不等式有关的例子。
2、课本P74的练习1、2
4.课时小结
用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含
有不等关系的问题。
5.作业
课本P75习题3.1[A组]第4、5题

(第2课时)
课题: §3.1不等式与不等关系
【教学目标】
1．知识与技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简
单的不等式；
2 ．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景
分析问题、解决问题的方法；
3．情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推
理能力.
【教学重点】
掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；
【教学难点】
利用不等式的性质证明简单的不等式。
【教学过程】
1.课题导入
在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。
请同学们回忆初中不等式的的基本性质。
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；
即若
a?b?a?c?b?c

（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改
变；

即若
a?b,c?0?ac?bc

（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。
即若
a?b,c?0?ac?bc

2.讲授新课
1、不等式的基本性质：
师：同学们能证明以上的不等式的基本性质吗？
证明：
1）∵(a＋c)－(b＋c)
＝a－b＞0，
∴a＋c＞b＋c
2）
Q(a?c)?(b?c)?a?b?0
，
∴
a?c?b?c
．
实际上，我们还有
a?b,b?c?a?c
，（证明：∵a＞b，b＞c，
∴a－b＞0，b－c＞0．
根据两个正数的和仍是正数，得
(a－b)＋(b－c)＞0，
即a－c＞0，
∴a＞c．

于是，我们就得到了不等式的基本性质：
（1）
a?b,b?c?a?c

（2）
a?b?a?c?b?c

（3）
a?b,c?0?ac?bc

（4）
a?b,c?0?ac?bc

2、探索研究
思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质：
（1）
a?b,c?d?a?c?b?d
；
（2）
a?b?0,c?d?0?ac?bd
；
（3）
a?b?0 ,n?N,n?1?a
n
?b
n
;
n
a?
n
b
。
证明：
1）∵a＞b，
∴a＋c＞b＋
c．
①
∵c＞d，
∴b＋c＞b＋
d．
②
由①、②得 a＋c＞b＋d．

2）
a?b,c?0?ac?bc
?
?
?ac?bd
c?d,b?0?bc?bd
?
3）反证法）假设
n
a?
nb
，
则：若
n
n
a?
a?
n
nb?a?b
b?a?b
这都与
a?b
矛盾，
∴
n
a?
n
b
．
[范例讲解]：
例1、已知
a?b?0,c?0,
求证
c
b
1
证 明：以为
a?b?0
，所以ab>0,
?0
。
ab
11
11
于是
a??b?
，即
?

ba
abab
cc
由c<0 ，得
?

ab

?
。
c
a
3.随堂练习1
1、课本P74的练习3
2、在以下各题的横线处适当的不等号：
(1)（
3
＋
2
）
2
６＋2
6
；
（2）（
3
－
2
）
2
（
6
－1）
2
；
（3）
1
1
；
5?2
6?5
(4)当
a
＞
b
＞0时，log
1
a
log
1
b

22
答案：(1)＜ （2）＜ （3）＜ （4）＜

[补充例题]
例2、比较(
a
＋3)（
a
－５）与（< br>a
＋2）（
a
－4）的大小。

分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，
可以作差，然后展开，合并同类项之 后，判断差值正负(注意是指差
的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化
为实数运算符号问题。
解：由题意可知：
（
a
＋3）（
a
－５）－（
a
＋2）（
a
－4）
＝（
a
2
－2
a－1５）－（
a
2
－2
a
－８）
＝－７＜0
∴（
a
＋3）（
a
－５）＜（
a
＋2）（
a－4）
随堂练习2

4、 比较大小：
（1）（
x
＋５）（
x
＋７）与（
x
＋６）
2

（2）
x
2
?5x?6与2x
2
?5x?9

4.课时小结
本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不
等 式，还研究了如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其
具体解题步骤可归纳为：
第一步：作差并化简，其目标应是
n
个因式之积或完全平方式或常数
的形式；
第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；
第三步：得出结论

5. 作业
课本P75习题3.1[A组]第2、3题；[B组]第1题

(第3课时)

课题: §3.2一元二次不等式及其解法
【教学目标】
1．知识与技 能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的
关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养 数形结合的能力，
培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；
2．过程与 方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过
程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函 数、方程的联系，获
得一元二次不等式的解法；
3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养 勇于探索的精神，勇于
创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
【教学重点】
从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。
【教学难点】
理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。
【教学过程】
1.课题导入
从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：

教材P76互联网的收费问题
教师引导学生分析问题、解决问题， 最后得到一元二次不等式模型：
x
2
?5x?0
…………………………(1)
2.讲授新课
1）
一元二次不等式的定义
象
x
2
?5x?0
这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的
不等式，称为一元二次不 等式
2）
探究一元二次不等式
x
2
?5x?0
的解集
怎样求不等式（1）的解集呢？
探究：
（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系
容易知道：二次方程的有两个实数根：
x
1
?0,x
2
?5

二次函数有两个零点：
x
1
?0,x
2
?5

于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零
（2）观察图象，获得解集
画出二次函数
y?x
2
?5x
的图象，如图，观察函数图象，可知：
当 x<0，或x>5时，函数图象位于x轴上方，此时，y>0,即
x
2
? 5x?0
；
当0x
2
?5x?0
；
所以，不等式
x
2
?5x?0
的 解集是
?
x|0?x?5
?
，从而解决了本节开始时
提出的问题。
点。
3）
探究一般的一元二次不等式的解法

任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：
ax
2
?bx?c?0, (a?0)或ax
2
?bx?c?0,(a?0)

一般地，怎样确定一元 二次不等式
ax
2
?bx?c
>0与
ax
2
?bx ?c
<0的
解集呢？
组织讨论：
从上面的例子出发，综合学生的意见，可 以归纳出确定一元二次不等
式的解集，关键要考虑以下两点：
(1)抛物线
y?ax
2
?bx?c
与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次
方程
ax
2
?bx?c
=0的根的情况
(2)抛物线
y?
a x
2
?bx?c
的开口方向，也就是a的符号
总结讨论结果：
（l）抛物线
y?
ax
2
?bx?c
（a> 0）与 x轴的相关位置，分为三种
情况，这可以由一元二次方程
ax
2
?bx?c
=0的判别式
??b
2
?4ac
三种
取值情况(Δ> 0，Δ=0，Δ<0）来确定.因此，要分二种情况讨论
（2）a<0可以转化为a>0
分 Δ>O，Δ=0，Δ<0三种情况，得到一元二次不等式
ax
2
?bx?c
> 0与
ax
2
?bx?c
<0的解集
一元二次不等式
ax< br>2
?bx?c?0或ax
2
?bx?c?0
?
a?0
?
的解集：
设相应的一元二次方程
ax
2
?bx?c?0
?
a?0
?
的两根为
x
1
、x
2
且x1
?x
2
，
??b
2
?4ac
，则不等式的解 的各种情况如下表：(让学生独立完成课本
第77页的表格)



??0

??0

??0

y?ax
2
?bx?c

y?ax
2
?bx?c

y?ax
2
?bx?c

二次函数
y?ax
2
?bx?c

（
a?0
）的图象

一元二次方程
ax
2
?bx?c?0



有两相异实根 有两相等实根
x
1
,x
2
( x
1
?x
2
)

?
a?0
?
的根
ax
2
?bx?c?0
(a?0)的解集
ax
2
? bx?c?0
(a?0)的解集

x
1
?x
2
??
b

2a
无实根

R


?


b
?
?
xx?x
1
或x?x
2
?

?
?
xx??
?

2a
??

?
xx
1
?x?x
2
?


?

[范例讲解]
例2 (课本第78页)求不等式
4x
2
?4x?1?0
的解集.
解：因 为
??0,方程4x
2
?4x?1?0的解是x
1
?x
2< br>?
.
所以，原不等式的解集是
?
xx?
?

?
?
1
?
2
?
1
2
例3 (课本第78页)解不等式
?x
2
?2x?3?0
.
解：整理，得
x
2
?2x?3?0
.
因为
??0,方程x
2
?2x?3?0
无实数解，
2
所以不等式
x?2x?3?0
的解集是
?
.
从而，原不等式的解集是
?
.
3.随堂练习

课本第80的练习1（1）、（3）、（5）、（7）
4.课时小结
解一元二次不等式的步骤：
① 将二次项系数化为“+”：A=
ax
2
?bx?c
>0(或<0)(a>0)
② 计算判别式
?
，分析不等式的解的情况：
ⅰ.
?
>0 时，求根
x
1
<
x
2
，
?
?
若A ?0，则x?x
1
或?x
2
；
?
若A?0，则x
1
?x?x
2
.

?
若A?0，则x?x
0
的一切实数；
?
ⅱ.
?
=0时，求根
x
1
＝
x
2
＝
x
0
，
?
若A?0，则x?
?< br>；

?
若A?0，则x?x.
0
?
ⅲ.
?< br><0时，方程无解，
?
③ 写出解集.
?
若A?0，则x?R；
?
若A?0，则x?
?
.

5.评价设计
课本第80页习题3.2[A]组第1题





(第4课时)

课题: §3.2一元二次不等式及其解法
【教学目标】

1．知识与技能：巩固一元二次方程、一 元二次不等式与二次函数的
关系；进一步熟练解一元二次不等式的解法；
2．过程与方法：培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象
概括能力和逻辑思维能力；
3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于
创新精神，同时体会从不同 侧面观察同一事物思想
【教学重点】
熟练掌握一元二次不等式的解法
【教学难点】
理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系
【教学过程】
1.课题导入
1．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系
2．一元二次不等式的解法步骤——课本第86页的表格
2.讲授新课
[范例讲解]
例1某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车的速度 x
kmh有如下的关系：
s?
11
2
x?x

20 180
在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽
车刹车前的速度 是多少？（精确到0.01kmh）

解：设这辆汽车刹车前的速度至少为x kmh，根据题意，我们得到
11
2
x?x?39.5

20180
移项整理得：
x
2
?9x?7110?0

显然
V?0
，方程
x
2
?9x?7110?0
有两个实数根，即
x
1
??88.94,x
2
?79.94
。所以不等式的解 集为
?
x|x??88.94,或x?79.94
?

在这个实际问题中，x>0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为
79.94kmh.
例4、一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水
线生产的摩托车数量x（辆）与创造 的价值y（元）之间有如下的关
系：
y??2x
2
?220x
< br>若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那
么它在一个星期内大约应该 生产多少辆摩托车？
解：设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车，根据题意，我们得到
?2x
2
?220x?6000

移项整理，得
x
2
?110x?3000?0

因为
V?100?0，所以方程
x
2
?110x?3000?0
有两个实数
根
x
1
?50,x
2
?60

由二次函数的图象，得不等式的解为：50

因为x只能取正整数，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内
生产的摩托车数量在51—59辆之 间时，这家工厂能够获得6000元以
上的收益。
3．随堂练习1
课本第80页练习2
[补充例题]
（1） 应用一（一元二次不等式与一元二次方程的关系）
例：设不等式
ax
2
?bx?1?0
的解集为
{x|?1?x?
1
b
?
3
}
，求
ag
（2） 应用二（一元二次不等式与二次函数的关系）
例：设
A?{x|x
2
?4x?3?0},B?{x|x
2
?2x?a?8?0}
，且
A?B
，求
a
的
取值范围. < br>改：设
x
2
?2x?a?8?0
对于一切
x?(1,3)都成立，求
a
的范围.
改：若方程
x
2
?2x?a? 8?0
有两个实根
x
1
,x
2
，且
x
1< br>?3
，
x
2
?1
，求
a
的
范围.
随堂练习2
1
1、已知二次不等式
ax
2
?bx?c?0
的解集为
{x|x?
1
3
或x?
2
}
，求 关于
x
的
不等式
cx
2
?bx?a?0
的解集.
2、若关于
m
的不等式
mx
2
?(2m?1)x?m?1? 0
的解集为空集，求
m
的
取值范围.
改1：解集非空
改2：解集为一切实数
4.课时小结

进一步熟练掌握一元二次不等式的解法
一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系
5. 作业
课本第80页的习题3.2[A]组第3、5题









(第5课时)

课题: §3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域
【教学目标】
1．知识与技能：了解二元一次不等式的几何意义，会用二元一次不
等式组表示平面区域；
2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，
提高数学建模的能力；

3．情态与价值：通过本节课的学习，体会数学来源与生活，提高数
学学习兴趣。
【教学重点】
用二元一次不等式（组）表示平面区域；
【教学难点】

【教学过程】
1.课题导入
1．从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）的数学模型
课本第82页的“银行信贷资金分配问题”

教师引导学生思考、探究，让学生经历建立线性规划模型的过程。
在获得探究体验的基础上，通过交流形成共识：

2.讲授新课
1．建立二元一次不等式模型
把实际问题
转化
uuuuur
数学问题：
设用于企业贷款的资金为
x
元，用于个人贷款的资金为
y
元。
（把文字语言
转化
uuuuur
符号语言）
（资金总数为
（1）
25 000 000元）
?
x?y?25000000

（预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收30 000元以上）
?
(12%)x+(10%)y?30000
即
12x?10y?3000000

（2）
（用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值）
?
x?0,y?0

（3）
将（1）（2）（3）合在一起，得到分配资金应满足的条件：
?
x?y?25000000
?
?
12x?10y?3000000

?
x?0,y?0
?
2．二元一次不等式和二元一次不等式组的定义
（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是
1的不等式叫做二元一次不等式。
（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称
为二元一次不等式组。 < br>（3）二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的
x和y的取值构成有序实数对 （x,y），所有这样的有序实数对（x,y）
构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。
（4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的
关系：
二元一次 不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有
序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平面内 点的坐标，进而，

二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的
集合。
3.探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形
（1）回忆、思考
回忆：初中一元一次不等式（组）的解集所表示的图形——数轴上的
区间
思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？
（2）探究
从特殊到一般：
先研究具体的二元一次不等式x-y<6的解集所表示的图形。
如图：在平面直角坐标系内，x-y=6表示一条直线。平面内所有的
点被直线分成三类：
第一类：在直线x-y=6上的点；
第二类：在直线x-y=6左上方的区域内的点；
第三类：在直线x-y=6右下方的区域内的点。
设点是直线x-y=6上的点，选取点，使 它的坐标满足不等式x-y<6，
请同学们完成课本第83页的表格，
横坐标x
点P的纵坐标
y
1

-3

-2

-1

0

1

2

3

点A的纵坐标
y
2

并思考：
当点A与点P有相同的横坐标时，它们的纵坐
标有什么关系？
根据此说说，直线x-y=6左上方的坐标与不等式x-y<6有什么关系？
直线x-y=6右下方点的坐标呢？
学生思考、讨论、交流，达成共识：
在平面直 角坐标系中，以二元一次不等式x-y<6的解为坐标的点
都在直线x-y=6的左上方；反过来，直线 x-y=6左上方的点的坐标都
满足不等式x-y<6。
因此，在平面直角坐标系中，不等式x-y<6表示直线x-y=6左上
方的平面区域；如图。
类似的：二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域；如图。
直线叫做这两个区域的边界
由特殊例子推广到一般情况：
（3）结论：
二元一次不等式
Ax
+
By
+
C
＞0在平面直角坐标系中表 示直线
Ax
+
By
+
C
=0某一侧所有点组成的平面区域. （虚线表示区域不包括边
界直线）
4．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
由于对在直线
Ax
+
By
+
C
=0同一侧的所有点(x,y
)，把它的坐标
（
x,y
)代入
Ax
+
By
+
C
，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线
的某一侧取一特殊点 （
x
0
,
y
0
)，从
Ax
0
+< br>By
0
+
C
的正负即可判断
Ax
+
By+
C

＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当
C
≠0时，常把原点作
为此特殊点）
【应用举例】
例1 画出不等式
x?4y?4
表示的平面区域。
解：先画直线
x?4y?4
（画成虚线）.
取原点（0，0），代入
x
+4
y
-4,∵0+4×0-4=-4＜0,
∴原点在
x?4 y?4
表示的平面区域内，不等式
x?4y?4
表示
的区域如图：
归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点
定域”的方法。特殊地，当
C?0
时，常把原点作为此特殊点。
变式1、画出不等式
4x?3y?12
所表示的平面区域。
变式2、画出不等式
x?1
所表示的平面区域。

?
y??3x?12
例2 用平面区域表示.不等式组
?
的解集。
x?2y
?
分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集
的 交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
x?2y
表解：不等式
y? ?3x?12
表示直线
y??3x?12
右下方的区域，
示直线
x? 2y
右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分
就表示原不等式组的解集。
归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交
集，因而是各个不等式所表示的平 面区域的公共部分。
变式1、画出不等式
(x?2y?1)(x?y?4）?0
表示的平面区域。

变式2、由直线
x?y?2?0
，
x? 2y?1?0
和
2x?y?1?0
围成的三角形区
域（包括边界）用不等式可 表示为 。
3.随堂练习
1、课本第86页的练习1、2、3
4.课时小结
1．二元一次不等式表示的平面区域．
2．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法．
3．二元一次不等式组表示的平面区域．
5. 作业
课本第93页习题3.3[A]组的第1题









(第6课时)

课题: §3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域

【教学目标】
1．知识与技能：巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的
平面区域；能根据实际问题 中的已知条件，找出约束条件；
2．过程与方法：经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、
化归、数形结合的数学思想；
3．情态与价值：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“ 用数
学”的意识，激励学生创新。
【教学重点】
理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式（组）所表示的平面
区域画出来；
【教学难点】
把实际问题抽象化，用二元一次不等式（组）表示平面区域。
【教学过程】
1.课题导入
[复习引入]
二元一次不等式
Ax
+
By
+
C
＞0在平面直角坐标系中表示直线
Ax
+
By
+
C
=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
判断方法：由于对在直线
Ax
+
By
+
C< br>=0同一侧的所有点(
x
,
y
)，把
它的坐标（
x< br>,
y
)代入
Ax
+
By
+
C
，所得 到实数的符号都相同，所
以只需在此直线的某一侧取一特殊点（
x
0
,
y
0
)，从
Ax
0
+
By
0
+
C
的正负即可判断
Ax
+
By
+
C
＞0表示直线哪 一侧的平面区域.（特

殊地，当
C
≠0时，常把原点作为此特殊点）。
随堂练习1

1、画出不等式2
x
+
y
-6＜0表示的平面区域.
?< br>x?y?5?0
?
2、画出不等式组
?
x?y?0
表示的平面 区域。
?
x?3
?
y
x+y=0
55
B(-,)
22
x-y+5=0
6
x=3
03
C(3,-3)
x
A(3,8)
2.讲授新课
【应用举例】
例3 某人准备投资 1 200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调
查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）：
硬件建设万
学段
初中
高中
班级学生人数
45
40
配备教师数
元
2
3
26班
54班
2人
2人
教师年薪万元
分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件。
解：设开设初中班x个，开设高中班y个，根据题意，总共招生班数
应限制在20-30之间， 所以有
20?x?y?30

考虑到所投资金的限制，得到
26x?54y?2?2x?2?3y?1200

即
x?2y?40

另外，开设的班数不能为负，则
x?0,y?0

把上面的四个不等式合在一起，得到：

?
20?x?y?30
?
x?2y?40
?

?< br>x?0
?
?
y?0
?
用图形表示这个限制条件，得到如图的平 面区域（阴影部分）
例4 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的
主要 原料是磷酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸
盐1t,硝酸盐15t,现库存磷酸盐 10t、硝酸盐66t，在此基础上生产
两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的 平面
区域。
解：设x,y分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数，于
是满足以下条件：
?
4x?y?10
?
18x?15y?66
?

?
x?0
?
?
y?0
?
在直角坐标系中可表示成如图的平面区 域（阴影部分）。
[补充例题]
例1、画出下列不等式表示的区域
(1)
(x?y)(x?y?1)?0
； (2)
x?y?2x

分析：(1)转化为等价的不等式组； (2)注意到不等式的传递性，由
x?2x
， 得
x?0
，又用
?y
代
y
，不等式仍成立，区域关于
x
轴对称。
?
x?y?0
?
x?y?0
解：(1)?
矛盾无解，故点
(x,y)
在一
?0?x?y?1
或
?
x?y?1
x?y?1?0
?
?
带形区域内（含边界）。

(2) 由
x?2x
，得
x?0
；当
y?0
时，有
?
区域内(边界)；当
y?0
，由对称 性得出。
?
x?y?0
点
(x,y)
在一条形
?
2x?y?0
指出：把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解



?
2x?y?3?0
?
例2、利用区域求不等式组
?2x?3y?6?0
的整数解
?
3x?5y?15?0
?
分析 ：不等式组的实数解集为三条直线
l
1
:2x?y?3?0
，
l2
:2x?3y?6?0
，
l
3
:3x?5y?15?0
所围成的三角形区域内部(不含边
界)。设
l
1
?l
2
? A
，
l
1
?l
3
?B
，
l
2?l
3
?C
，求得区域内点横坐标范围，
取出
x
的所有 整数值，再代回原不等式组转化为
y
的一元不等式组得
出相应的
y
的 整数值。
解：设
l
1
:2x?y?3?0
，
l
2
:2x?3y?6?0
，
l
3
:3x?5y?15?0
，< br>l
1
?l
2
?A
，
1537512
l
1
?l
3
?B
，
l
2
?l
3
? C
，∴
A(,)
，
B(0,?3)
，
C(,?)
。 于是看出区
841919
75
域内点的横坐标在
(0,)
内，取x
＝1，2，3，当
x
＝1时，代入原不
19

?
?
y??1
?
12
4
等式组有
?
?
得
y
＝－2，∴区域内有整点(1,-2)。
??y??
1
，
y?
?
5
3
?
12
?
y??
?
5
?
同理可求得另外三个整点(2,0)，(2,-1 )，(3,-1)。
指出：求不等式的整数解即求区域内的整点是教学中的难点，它为线
性规 划中求最优整数解作铺垫。常有两种处理方法，一种是通过打出
网络求整点；另一种是本题解答中所采用 的，先确定区域内点的横坐
标的范围，确定
x
的所有整数值，再代回原不等式组，得出
y
的一元
一次不等式组，再确定
y
的所有整数值，即先固定
x
，再用
x
制约
y
。
3.随堂练习2
1．（1）
y?x?1
； （2）．
x?y
； （3）．
x?y


?
x?y?6?0
?
x?y? 0
2．画出不等式组
?
表示的平面区域
?
y?3
?
?
?
x?5
3．课本第86页的练习4
4.课时小结
进一步熟悉用不等式（组）的解集表示的平面区域。
5. 作业
1、课本第93页习题3.3[B]组的第1、2题

(第7课时)

课题: §3.3.2简单的线性规划
【教学目标】 < br>1．知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线
性规划的意义以及约束条件、 目标函数、可行解、可行域、最优解等
基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单 的
实际问题；
2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过
程，提高数学建模能力；
3．情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、
化归、数形结合的数学思想 ，提高学生“建模”和解决实际问题的能
力。
【教学重点】
用图解法解决简单的线性规划问题
【教学难点】
准确求得线性规划问题的最优解
【教学过程】
1.课题导入
[复习提问]
1、二元一次不等式
Ax?By?C?0
在平面直角坐标系中表示什么
图形？

2、怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域？应注意哪
些事项？
3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。
2.讲授新课
在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安
排等问题。
1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：
引例：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙 两种产品，每生产一件甲
产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时
2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每
天8h计算，该厂所有可能的日 生产安排是什么？
（1）用不等式组表示问题中的限制条件：
设甲、乙两种产品分别生产x、y件，又已知条件可得二元一次不等
式组：
?
x?2y?8
?
4x?16
?
?
?
4y?12
………………………
?
x?0
?
?
?
y?0
……… ……………………………….（1）
（2）画出不等式组所表示的平面区域：
如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的
日生产安排。
（3）提出新问题：

进一步，若生产一件甲产品获利2 万元，生产一件乙产品获利3万元，
采用哪种生产安排利润最大？
（4）尝试解答：
设生产甲产品
x
件，乙产品
y
件时，工厂获得的利润为
z
,则
z=2x+3y
.
这样，上述问题就转化为：
当x,y满足不等式（1）并且为非负整数时，
z
的最大值是多少？
把z=2x+3y
变形为
y??x?
，这是斜率为
?
，在y轴上的 截距
为的直线。当z变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由
于这些直线的斜率是确定 的，因此只要给定一个点，（例如（1，2）），
z
3
2z
一个点的坐标唯一 确定。可以看到，直线
y??x?
与不等式组（1）
33
z
的区域的 交点满足不等式组（1），而且当截距最大时，z取得最
3
2z
大值。因此，问题可以 转化为当直线
y??x?
与不等式组（1）确定
33
z
3
2
3
z
3
2
3
就能确定一条直线（
y??x?
），这说明，截距可以由平面内的
2
3
8
3
的平面区域有公共点时 ，在区域内找一个点P，使直线经过点P时截
距最大。
（5）获得结果：
由上图可 以看出，当实现
y??x?
金国直线x=4与直线x+2y-8=0
的交点M（4，2 ）时，截距的值最大，最大值为
z
3
14
，这时2x+3y=14.
3
z
3
2
3
z
3
所以，每天生产甲产品4件，乙产 品2件时，工厂可获得最大利润
14万元。
2、线性规划的有关概念：

①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量
x
、
y
的
约束条件，这组约束条件都是关于
x
、
y
的一 次不等式，故又称线性
约束条件．
②线性目标函数：
关于
x
、< br>y
的一次式
z
=2
x
+
y
是欲达到最大值或 最小值所涉及的变
量
x
、
y
的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的
问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（
x
,
y
）叫可行解．
由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优
解．
1、 变换条件，加深理解
探究：课本第88页的探究活动
（1） 在上述问题中，如果生产一件 甲产品获利3万元，每生产一件
乙产品获利2万元，有应当如何安排生产才能获得最大利润？
在 换几组数据试试。
（2） 有上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？

3.随堂练习
1．请同学们结合课本
P
91
练习1来掌握图解法解决简单
的线性规划问题.
（1）求
z
=2
x
+
y
的最大值，使式中的
x
、
y
满足约束条
?
y?x,
?
件
?
x?y?1,
?
y??1.
?
y
3
2
1
O
x-y= 0
11
B
(,)
22
x
12
-2-1
A< br>(2,-1)
C
(-1,-1)
-1
x+y-1=0
2x+y =0
解：不等式组表示的平面区域如图所示：
当
x
=0,
y
=0时，
z
=2
x
+
y
=0
点（0，0）在直 线
l
0
:2
x
+
y
=0上.
作一组与直线
l
0
平行的直线
l
:2
x
+
y
=
t
,
t
∈R.
y
可知，在经过 不等式组所表示的公共区域内的点且
平行于
l
的直线中，以经过点
A
（2，-1）的直线所对应
的
t
最大.
所以
z
m
ax
=2×2-1=3.
（2）求
z< br>=3
x
+5
y
的最大值和最小值，使式中的
x
、?
5x?3y?15,
y
满足约束条件
?

?
y?x?1,
?
x?5y?3.
?
x-y+1=0
917
3 x+5y=0
(,)
A
88
x-5y-3=0
1
C
-1
O
x
3
-1
B
5x+3y-15=0
5
解：不等式组所表示的平面区域如图所示：
从图示可知，直线3
x
+5
y
=
t
在经过不等式组所表示的公共区域内
的点时，以经过点（-2，-1）的 直线所对应的
t
最小，以经过点（
,
的直线所对应的
t
最大 .

917
）
88

所以
z
m
in
=3×(-2)+５×(-1)=-11.
z
m
ax
=3×+5×
4.课时小结
9
8
17
=14
8
用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）在可行域内求目标函数的最优解
5. 作业
课本第93页习题[A]组的第2题.

(第8课时)

课题: §3.3.2简单的线性规划
【教学目标】
1．知识与技能：掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些
简单的实际问题；
2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过
程，提高数学建模能力；
3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精
神，培养实事求是、理论与 实际相结合的科学态度和科学道德。
【教学重点】
利用图解法求得线性规划问题的最优解；
【教学难点】
把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的关键是根
据 实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求
得最优解。
【教学过程】
1.课题导入

[复习引入]：
1、二元一 次不等式
Ax
+
By
+
C
＞0在平面直角坐标系中表示直线
Ax
+
By
+
C
=0某一侧所有点组成的平面区域（虚线表 示区域不包括边界
直线）
2、目标函数, 线性目标函数，线性规划问题,可行解，可行域, 最
优解:
2.讲授新课

线性规划在实际中的应用：
线性规 划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人
力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它 们来完成最多的任
务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物
力、资金 等资源来完成该项任务
下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：
[范例讲解]
a) 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供
0.075kg的碳水化合物，0.0 6kg的蛋白质，0.06kg的脂
肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋 白
质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg
碳水化合物，0. 14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为
了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费 最低，需
要同时食用食物A和食物B多少kg？

指出:要完成一项确定的任务,如何统筹安排,尽量做到用最少的资源
去 完成它,这是线性规划中最常见的问题之一.
b) 在上一节例3中，若根据有关部门的规定，初中每人每
年可收取学费1 600元，高中每人每年可收取学费2 700
元。那么开设初中班和高中班各多少个，每年收取的学
费总额最高多？





指出:资源数量一定,如何安排使用它们,使得效益最好,这是线性规
划中常见的问题之一

结合上述两例子总结归纳一下解决这类问题的思路和方法：
简单线性规划问题就是 求线性目标函数在线性约束条件下的最
优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤 是
不变的：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

（3）在可行域内求目标函数的最优解
3.随堂练习
课本第91页练习2

4.课时小结
线性规划的两类重要实际问题的解题思路：
首先，应准确 建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线
性目标函数。然后，用图解法求得数学模型的解，即画 出可行域，在
可行域内求得使目标函数取得最值的解，最后，要根据实际意义将数
学模型的解转 化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解。
5. 作业
课本第93页习题3.3[A]组的第3题

(第9课时)

课题: §3.3.2简单的线性规划
【教学目标】
1．知识与技能：掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些
简单的实际问题；
2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过
程，提高数学建模能力；

3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新 精
神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
【教学重点】
利用图解法求得线性规划问题的最优解；
【教学难点】
把实际问题转化成线性规划 问题，并给出解答，解决难点的关键是根
据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解 法求
得最优解。
【教学过程】
1.课题导入
[复习引入]：
1、二元一次不等式
Ax
+
By
+
C
＞0在平面直角坐标 系中表示直线
Ax
+
By
+
C
=0某一侧所有点组成的平面 区域（虚线表示区域不包括边界
直线）
2、目标函数, 线性目标函数，线性规划问题,可行解，可行域, 最
优解:
3、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
2.讲授新课
1．线性规划在实际中的应用：
c) 在上一节例4中，若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10
000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5 000元，那

么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利
润？





2．课本第91页的“阅读与思考”——错在哪里？
若实数
x
，
y
满足
?
1?x?y?3
求4
x
+2
y
的取值范围．
?
?1?x?y?1
?
错解：由①、②同向相加可求得：
0≤2
x
≤4 即 0≤4
x
≤8 ③
由②得 —1≤
y
—
x
≤1
将上式与①同向相加得0≤2
y
≤4 ④
③十④得 0≤4
x
十2
y
≤12
以上解法正确吗?为什么?
(1)[质疑]引导学生阅读、讨论、分析．
(2)[辨析]通过讨论，上述解法中，确定的 0≤4
x
≤8及0≤2
y
≤4是
对的，但用
x
的最 大(小)值及
y
的最大(小)值来确定4
x
十2
y
的最大< br>(小)值却是不合理的．X取得最大（小）值时，y并不能同时取得最
大（小）值。由于忽略了x 和 y 的相互制约关系，故这种解法不正
确．

(3)[激励]产生上述解法错误的原因是什么?此例有没有更好的解法?
怎样求解?
正解：
因为 4x+2y=3(x+y)+(x-y)
且由已有条件有：
3?3(x?y)?9
（5）

?1?x?y?1
（6）
将（5）（6）两式相加得
2?4x?2y?3(x?y)?(x?y)?10

所以
2?4x?2y?10

3.随堂练习1
?
x?y?2
?
1、求
z?x?y
的最大值、最小值，使
x
、
y
满 足条件
?
x?0

?
y?0
?
?
x?4y ??3
?
2、设
z?2x?y
，式中变量
x
、
y< br>满足
?
3x?5y?25

?
x?1
?

4.课时小结
[结论一]线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取
得.
[结论二] 线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取
得，即满足条件的最优解有无数多个．

5. 作业
课本第93页习题3.3[A]组的第4题

(第10课时)

课题: §3.4基本不等式
ab?
【教学目标】
1．知识与技能：学会推 导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式
的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是： 当且仅
当这两个数相等；
2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；
a?b

2

3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习
数学的兴趣
【教学重点】
应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式
ab?a?b
的证明过程；
2
【教学难点】
基本不等式
ab?
【教学过程】
a?b
等号成立条件
2
1.课题导入
基本不等式
ab?
a?b
的几何背景：
2
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标
是根据中国古代数学家赵 爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看
上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一
些相等关系或不等关系吗？
教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。
2.讲授新课
1．探究图形中的不等关系
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形 ABCD中右个全等的直
角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为
a
2
?b
2
。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为< br>a
2
?b
2
。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得 到
了一个不等式：
a
2
?b
2
?2ab
。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH 缩为一
个点，这时有
a
2
?b
2
?2ab
。 2．得到结论：一般的，如果
a,b?R,那么a
2
?b
2
?2 ab(当且仅当a?b时取?号)

3．思考证明：你能给出它的证明吗？
证明：因为
a
2
?b
2
?2ab?(a?b)
2

当
a?b时,(a?b)
2
?0,当a?b时,(a?b)
2
?0,< br>
所以，
(a?b)
2
?0
，即
(a
2?b
2
)?2ab.

4．
1）
从几何图形的面积关系 认识基本不等式
ab?
a?b

2
特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ，可得
a?b?2ab
，
通常我们把上式写作：
ab?
a?b
(a>0,b>0)

2
a?b

2

2）
从不等式的性质推导基本不等式
ab?
用分析法证明：
要证
(1)
a?b
?ab

2
只要证 a+b
?

(2)
要证（2），只要证 a+b-
?
0
（3）
要证（3），只要证 （ - ）
2

（4）

显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。

3）
理解基本不等式
ab?
a?b
的几何意义
2
探究：课本第98页的“探究”
在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点 ，AC=a,BC=b。
过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图
形得 出基本不等式
ab?

易证
Ｒt
△
AＣD
∽
Ｒt
△
DＣB
，那么
ＣD
2
＝
ＣA
·< br>ＣB
即
ＣD
＝
ab
.
这个圆的半径为
a ?b
a?b
?ab
，其中，显然，它大于或等于
CD
，即
2
2
a?b
的几何解释吗？
2
当且仅当点
C
与圆心 重合，即
a
＝
b
时，等号成立.
因此：基本不等式
ab?
评述：1.如果把
a?b
几何意义是“半径不小于半弦”
2
a?b
看作是正数
2
a
、
b
的等差中项，
ab
看 作是正数
a
、
b
的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不
小于它们的等比中项.
2.在数学中，我们称
a?b
为
a
、
b
的算术平均数，称
ab
为
a
、
2
b< br>的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小
于它们的几何平均数.
[补充例题]
例1 已知
x
、
y
都是正数，求证：
(1)
?
y
x
x
≥2；
y
(2)（x
＋
y
）（
x
2
＋
y
2
）（
x
3
＋
y
3
）≥８
x
3
y
3
.

分析：在运用定理：
a?b
? ab
时，注意条件
a
、
b
均为正数，结
2
合不等式 的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.
解：∵
x
，
y
都是正数 ∴＞0，＞0，
x2
＞0，
y
2
＞0，
x
3
＞0，
y< br>3
＞0
(1)
?
x
y
xy
yxy
?2?
＝2即
?
≥2.
yx
xyx
x
y
y
x
(2)
x
＋
y
≥2
xy
＞0
x
2
＋
y
2
≥2
x
2
y
2
＞0
x
3
＋
y
3
≥2x
3
y
3
＞0
∴（
x
＋
y
）（
x
2
＋
y
2
）（
x
3
＋y
3
）≥2
xy
·2
x
2
y
2
·2
x
3
y
3
＝８
x
3
y
3< br>
即（
x
＋
y
）（
x
2
＋
y
2
）（
x
3
＋
y
3
）≥８
x< br>3
y
3
.
3.随堂练习
1.已知
a
、
b
、
c
都是正数，求证
（
a
＋
b
）（
b
＋
c
）（
c
＋
a
）≥８
abc

分析：对于此类题目，选择定理：
活变形，可求得结果.
解：∵
a
，
b
，
c
都是正数
∴
a
＋
b
≥2
ab
＞0
a?b
?ab
（
a
＞0，
b
＞0）灵
2
b
＋c
≥2
c
＋
a
≥2
bc
＞0
ac
＞0
∴（
a
＋
b
）（
b
＋
c
）（
c
＋
a
）≥2
ab
·2
b c
·2
ac
＝８
abc

即（
a
＋
b
）（
b
＋
c
）（
c
＋
a
）≥ ８
abc
.

4.课时小结
本节课，我们学习了重要不等式
a
2
＋
b
2
≥2
ab
；两正数
a
、
b
的算
术平均数（
a?ba?b
），几何平均数（
ab
）及它们的关系（≥
ab
）.
22< br>它们成立的条件不同，前者只要求
a
、
b
都是实数，而后者要求
a
、
b
都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要
工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价
a
2
?b
2
a?b
2
变形来解决问题：
ab
≤，
ab
≤（ ）.
2
2
5. 作业
课本第100页习题[A]组的第1题



(第11课时)

课题: §3.4基本不等式
ab?
【教学目标】
1．知识与技能：进一步掌握基本不等式< br>ab?
a?b
；会应用此不等式
2
a?b

2
求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题
2．过程与方法：通过两个例题 的研究，进一步掌握基本不等式
ab?
a?b
，并会用此定理求某些函数的最大、最小 值。
2