高中数学必修五知识点公式总结

必修五数学公式概念






第一章解三角形




正弦定理和余弦定理1.1

正弦定理1.1.1



abc

各边和它所对角的正弦的比相等，1、正弦定理： 在一个
三角形中， 即
.


sin Asin B sin C


cab


正弦定理推论：①
2R
R
为三角形外接圆的半径）（



sin Asin Bsin C


asin Absin Basin A

a2R sin
C2R sin B, c2R sin A, b
②③,,

sin Cbsin Ccsin Bc



babacc


a : b : c sin A :sin B :sin C
④
⑤


sin Bsin Csin A sin Bsin Asin C



2、解三角形的概念：一般地，我们把三角形的各个角即他们所
对的边叫做三角形的元素。


( a, b, c) ( A, B,C )
.在三角形中，已知三和三个内角任何
一个三角形都有六个元素：三条边



角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。



、正弦定理确定三角形解的情况3



图形关系式解的个数



ab sin A
①


一解


ab
②



A



为


bab sin A
两 解


锐



角



ab sin A
无 解



A

ab
一为解



钝



角



或



ab
无 解直



角





4、任意三角形面积公式为：




必修五数学
1

1

11abc
bc sin A
S
ab sin Cac sin B
ABC

224R2

r

(a b c) 2R
c)p( p a)( p b)( p
sin A sin B sin
2
C

2

1.1.2
余弦定理


5、余弦定理：三角形 中任何一边的平方等于其他两边的平方的
和减去这两边与它们的夹角

的余弦的积的两倍，即



222222222
c b2ca cos B 2bc cos Abccbaaa2ab
cosC
，，.


222222222
ccbbcbaaa




cosC cosBcos A
，，余弦定理推论：


2ab2ac2bc

6、不常用的三角函数值



15°75°105°165°




62626262


sin

4444



62666222


cos

4444





23232323
tan



1.2 应用举例



11、方位角：如图，从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角。



2、方向角： 如图 2，从指定线到目标方向线所成的小于90°
的水平角。（指定方向线是指正


北或正南或正西或正东）



3、仰角和 俯角：如图3，与目标线在同一铅垂平面内的水平视
线和目标视线的夹角，目标


视线在水平视线上方时叫做仰角，
目标视线在水平视线下方时叫做俯角。

（ 1）方位角（ 2）方向角（ 3）仰角和俯角
（ 4）视角


4、视角：如图 4，观察物体的两端，视线张开的角度称为视角。


5、铅直平行：于海平面垂直的平面。


6、坡角与坡比：如图 5，坡面与水平面所成的夹角叫坡角，坡
面的铅直



h


i
高度与水平宽度的比叫坡比
.


l



（5）坡角与坡比




必修五数学
2

第二章 数 列





2.1数列的概念与简单表示法


1、数列的定义：
按照一定顺序排列的一列数称为数列。数列中的每
一个数都叫做这个数列

的项。数列中的每一项和它的序号有关，排在第一位的数称为这< br>个数列的第
1 项（也叫首项），


n
n
位的数称为这个数列的第项，?，排在第 2 排在第二位的
数称为这个数列的第
项。所以，



a a a a
a
，?，简记为，数列的一般形式可以写成，，?，
.

n
n123



a
nn
2、数列的通项公式：如果数列
之间的关系可以用一
个式子来表示，的第项与序号

n


那么这个公式叫做这个数列的通项公式。


3、数列的递推公式：如果已知数列的第1 项（或前几项） ，
且从第 2 项（或某一项）开始的



a 1 a
n
2
（与它的前一项任一项 （或前几项）
）间的关系
可以用一个公式表示，那么

nn



a 2a 1
n1
）这个公式叫做这个数列的递推公式。定义式为（

n
1n


*
, n ?1, 2, 3, 4, N
4、数列与函数：数列可以看成以正整数
集（或它的有限子集）为定

a f n
，当自变量按照从大到小的顺序依次取值时，所对应
的一列函数值。义域的函数

n


通项公式可以看成函数的解析式。



a a1
a a 1
n
（或5、数列的单调性：若数列满足：对一切正整数，
都有
a
），

nnnn
n



a
为递增数列（或递减数列）则称数列。

n


判断方法：①转化为函数，借助函数的单调性，求数列的单调性；



a a
的大小；②作差比较法，即作差比较与

nn 1


2.2等差数列




1、等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每
一项与它的前一项的差等于同



d
公差常用字母，那么这个数列就叫做等差数列， 常数这个
常数叫做等差数列的公差， 一个


**
N a d N a aa d
nn 2n
））或
（表示。定义式为，（


n 1n1nn
a A b A
组成的等差数列
可以看成最简单的等差数列。这时，2、等差中项：由三个数，，

b a
的等差中项。叫做与



a b


b a A 2 A a bAabA
的等差中项是，.A




2



*
a a a
N n 2,n
），则，，（、等差中项判定等差数列：任
取相邻的三项3


n 1n 1n


a a a a a 2aa
n2
n 1n 1n 1n 1nnn



必修五数学
3

成等差数列（，，是等差数列。）

a
.
da
d 1 d a aan
为公差。变形为：，其中为首项，、等
差数列的通项公式
1
4

1nn1


1n


a
d m d a aaa
.
n
m
项。变形为、通
项公式的变形：为第，其中5
m


mnnm


mn



*
q aa N m n paaqnmp
；，则，且 ， 6、等差数列
的性质：（ 1）若 ， ，

qmnp

2a aa
m n 2p
； ，则 2（）若


pmn
a a a
nmp
成等差关系；，，成等差数列，则 ， ， （3）若


npm


aaq pn
ppq
成等差数列（4）若 ，首项为（公差
为）；


n

n




ca
也成等差数列； 成等差数列，则（ 5）若
nn


6
）如果（
pa qb b pa q a
也是等差
数列。，都是等差数列，则
mnnnn



2.3等差数列的前 项和
n




S n
1

1
as
a
与 1、一般数列 的关系为.


nnn


nSS2

n 1n



n n 1
d
Snaan a
n
项和的公式：、等差数列前2



n11n


22


d
n d 1
nd
，
S n anan n
）由项和公
式的函数特征： （1、等差数列前3
2
n11


222


dd
2
a B
，则，
B AnaS A
dBA、
2 A
为常数，其中（令，

为等差数列
n

n

n1


22



S
n 0 a A d0 0 a b A
的无常数项的二次函数。是关于，
则，即若若，即）.

n1

d
S

n

aS na
0 d
，则（ 2）若.也是等差数列，公差为为等差
数列，

nn1

2
n



a
S SS , S S ,
为等差数列， （ 3）若也成等差数
列


2kk ,n2 k3 kK


m Sn SSS SS0m n
，则， 5，则）若（ （ 4）
若


m nnmmm nn


aA


m
2 m 1
b B Aa
n
，则有项和分别是是均为等差数列，
前）若 与 6（

nnnn


B
b
2 m 1


m
S S a
a0
a d0 d00
存，则中，存在最大值，，则，，）在等差数列（ 7

n1n1n


在最小值。



2.4等比数列




必修五数学
4

1、等比数列：一般地如果一个数列从第2 项起，每一项与它前
一项的比等于同一常数，那



q q0
表示么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数
列的公比，公比通常用字母.


a2 nq
a0q0
,(，定义式：).,


nn

a


n
1
aaa
G G bG b
叫做 与 ， 中
间插入一个数成等比数列，那么，使，2、等比中项：如果在


2
G a ab Gbab G
bG b
成等比数列，，.与的等比数
列。



Ga



2 个互为相反数。两数同号才有等比中项，且有



n 1n
a q
aqaaq
.3、通项公式： ，公比为其中首相为


1n11
q



m*n
m n a qa
N
.，4、等比数列的性质： （）


nm
等比数列的前项和2.5
n




naq1


1


n
Sn a 1q
项和的公式：、等比数列的前1


n1


qa1qa


n

1
q1q1



a
n
qa1

1
q
记.
San
1 q
时，项和的函数特征：当、等比

数列的前2
1 n
n1


q1q11 q



，即
n
SAqA
aA
.

n


1


q1



n
项和的性质：在等比数列中：3、等比数列的前



S
S SSS qk
，?均不为零时，数列成等差数列。公比为， ，）
当（1 .


2 kk2k3 k



k
nm
SSqSq SS
）（2


n

mnmnmmm nm n*
）（3
n m aa
nm
a


n
m
n


a
q
q N
）或（、



n p q
aaa a
，则 （4）
若


nmqpa
C
a
）若（5为等比数列为等差数列，则


n

log a a
是等差数列 6）若（为正项等比数列，则


nCn

a

k
、a、a、、a b
n
等


nnnnnnn


ab


nn


数学必修五
5


0 aba
则 均为等比数列，（7）若、

、 、、 、

q1


1

、
k
仍是等比数列。公比分别为：.

qqqqqqq


221




aa00
a0

111

a
当 的增减性：）等比数列（8当为递增数
列；，或
a

n
时，
n
0q01q 1
q1



a0


1

为递增减数列。或
a
时，

n
1q

4、由递推公式求数列通向法：



a aaaf nnf
变形：）累加法： （1


n 1n 1nn


a

n 1
aanf
nf
2）累乘法：（变形：

n 1n




a


n
pa


n
a
）取倒数法：（3

n
1
qap


n




pqpq( p 1) 0
paa q
），均为常数，（其中）构建
新数列法：（4


nn
1
k ap a kak
设为等比数列。


n 1

nn


第三章 不等式





3.1不等式关系与不等式


1、不等式定义：用不 等号（、 、 、 、 ）表示不等关系的式
子叫不等式，记作



x f xx ggf x
”或“ ”连接的不等式叫严格不等
式，等。用“，用不“ ”


”连接的不等式叫非严格不等式。或“



2、实数的基本性质



a b 0 a ba b 0 a ba b 0 a b
；；.



实数的其他性质

a0a0a0


0 a b 0, a b 0 ab0
；；
a b 0, ab


0b0bb0



3、不等式的基本性质



ab, bcac
aabb
（ 2）传递性： ）对称性：（1



ab acbaabccbc
（移向法则）： 1）可加性： 推论3（


ab


d bca
（同向不等式的相加法则）
：推论 2




dc





必修五数学
6

abab
0c0c

abab
cddc



ac
ac bcbc
）可乘性：4（
；





c ba
a d b cd
）同向相加：（5
；异向可减：

ab0ab0ab

（ 6）同向可乘：
bd ac
；异项可除：


c0d0dcdc






nn
）乘方法则： 7（
Nna
n
b 0
n b a1
，（）



n
a
nN n2
b 0a b
（），）可开方性法则：（8



ab11



）倒数法则：9（


baab0




3.2一元二次不等式及其解法




2
的不等式，称为一我们把只含有一个未知数， 并且未知数
的最高次数是、一元二次不等式定义：1
元二次不等式。使一元二次不等式成立的未知数的值叫做这个一
元二次不等式的解，


一元二次不等式的所有解组成的集合，叫做这个一元二次不等
式的解集。


2、二次函数，一元二次方程，一元二次不等式三者之间的关系


2



00
04acb

2
axbxc0



a0
的图像

2
axbxc0
两个不相等的实数根两个相等的实数根


没有实数根



xxxx


2112
0a
的根

2
axbxc0
b

x


x或x x xx x
R


21


2aa0


的解集



2
axbxc0



x xx x


21

a 0
的解集



附：韦达定理


b
2
x xc
，

xbx c 0
，则在函数

21

21


aa



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7


0 a
.
x ax

3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规
划问题





3.3.1
二元一次不等式（组）与平面区域


Ax By C
0
、平面区域：一般地，在平面直角坐标系中，二元

一次不等式1
表示直线




Ax By C
0
某一侧所有点组成的平面区域，我们把直线画成虚线，
以表示区域不包括




Ax By C
0
边界。不等式
表示的平面区域包括边界，把边界画成
实线。




b yb kxkxy
的上方区域；时，表示、平面区域的判定：一
般地，当2



b b y ykxkx
的下方区域。时，表示当



简单的线性规划问题3.3.2



3、线性规划有关概念：①在线性约束条件下求线性目标函数的
最大值或最小值问题，统称


线性规划问题。②若约束条件是关于变量的一次不等式（方程），
则成为线性约束条件。③



x y
的一次解析式叫做线性目标函数。④满足线性约，要求最
大（小）值所涉及的关于变量


x y
）叫做可行解，⑤由所有可行解组成的集合叫做可行
域。⑥使目标函数束条件的解（，



取得最大值或最小值的可行解叫做最优解。

ab


基本不等式：3.4
ab


2

bRab
2abba
=1



a
时取“、主要不等式：设（当且仅当，，则”）

22
ab



b0 ab b a0a
=，（当且仅当”），则时取“、基本不等式：设
2

2



ab2 ab
.即两个整数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
变形：




2
2222
baabR bb2ababababa
a
），（、
应用：3



22a b22



4、基本不等式的应用



SS
2
y x
有最大值时，积
Sx y
yx
，那么当且仅当 （1）
如果和 是定值

；



24



Pxy
2P x y P xy
有最小值（ 是定值 时，和2）如果积 ，
那么当且仅当.



应注意以下几点：



①各项或各因式必须为整数；



②各项或各因式的和（或积）必须为常数；



.③各项或各因式能够取相等的值


射影定理：

以上三个条件简称为“一正，二定，三相等”



22
AC CDAD BD AD AB
；②①；

2



ABCBBD
③.

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8



关于不等式其他补充内容




2 2
y P,Px ,yx
PP
，则，
yyx x
、两点间
的距离公式：设1
.


1

2211
2

2 221 1 1

P x , y l AB
0AxCBy
设不同时（的方程为、，直线、点
到直线的距离公式：2

00


AxByC


00

d P l
的距离为零），则到直线.



22
BA



By CC 0 Ax0 ByAx
间的距离和、两平行线间的距离公式：

两平行直线3


21


CC


21
.
d

22
BA



y
0
y
，即
k xxy
ky
4、点斜式方程：




0 0
xx

0



yb k b kx
为截距。5、斜截式方程： ，其中为斜率，



ABB0
0 CByAx
时，方程可化、（不同时为零），当、
直线方程的一般形式：6


C
AC

y
A
x
的直线。轴上的截距为，表示斜率为，在
y
为




BBBB




22
C a, brbyxa
r
其中圆心为. .，半径为、圆的标准方程：
7

2


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9