2020年高中数学必修五全套精品学案(精华版)

2020年高中数学必修五全套精品学案
（精华版）

§1.1.1 正弦定理

学习目标
1. 掌握正弦定理的内容；
2. 掌握正弦定理的证明方法；
3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．

学习过程
一、课前准备 试验：固定
?
ABC的边CB及
?
B，使边AC绕着顶
点C转动 ．

思考：
?
C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？




显然，边AB的长度随着其对角
?
C的大小的增大而 ．能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来？



二、新课导学

※ 学习探究
探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下
面就首先来探讨直角三角形中， 角与边的等式关系.
如图，在Rt
?
ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，
根据锐角三角函数中正弦函数的定义，
有
a
?sinA
，
b
?sinB
，又
sinC?1?
c
，
cc
从而在直角三角形ABC

c
中，
a
?
b
?
c
．
sinAsinBsinC

(
探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
当
?
ABC是锐角三角形时，设 边AB上的高是CD，根据任意
角三角函数的定义，
有CD=
asinB?bsinA
，则
cb
，
?
sinCsinB
从而
a
?
b
?
c
．
sinAsinB
sinC
ab
，
?
sinAsinB

同理可得

类似可推出，当
?
ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请
你试试导 .

新知：正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即
c
ab
?
?
sinAsinB
sinC
．

试试：
（1）在
?ABC
中，一定成立的等式是（ ）．
A．
asinA?bsinB
B.
acosA?bcosB

C.
asinB?bsinA
D.
acosB?bcosA

（2）已知△ABC中，a＝4，b＝8，∠A＝30°，则∠B等
于 ．

[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比， 且
比例系数为同一正数，即存在正数k使
a?ksinA
， ，
c?ksinC
；
（2）
a
?
b
?
c
等价于 ，
c
?
b
，
a
?
c
．
sinA sinB
sinC
sinCsinB
sinAsinC
（3）正弦定理的基本 作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如
a?
bsinA
；
sinB
．
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦
值，
如
sinA?
a
sinB
；
sinC?
．
b
b?

（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程

叫作解三角形．

※ 典型例题
例1. 在
?ABC
中 ，已知
A?45
o
，
B?60
o
，
a?42
cm，解三角形．


变式：在
?ABC
中，已知
B? 45
o
，
C?60
o
，
a?12
cm，解三角形．












例2. 在
?ABC中，c?6,A?45
o
,a?2,求b和B,C
．

变式：在
?ABC中，b?












三、总结提升
※ 学习小结
1. 正弦定理：
3,B?60
o
,c?1,求a和A,C
．
c
ab
?
?
sinAsinB
sinC

2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，
还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法.
3．应用正弦定理解三角形：
①已知两角和一边；
②已知两边和其中一边的对角．

※ 知识拓展
abc
???2R
，其中
2R
为外接圆直径.
sinAsinBsinC
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 在
?AB C
中，若
cosA
?
b
，则
?ABC
是（ ）.
cosBa
A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
2. 已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，
则a∶b∶c等于（ ）.
A．1∶1∶4 B．1∶1∶2
C．1∶1∶
3
D．2∶2∶
3

3. 在 △ABC中，若
sinA?sinB
，则
A
与
B
的大小关系 为（ ）.
A.
A?B
B.
A?B

C.
A
≥
B
D.
A
、
B
的大小关系不能确定
4. 已知
?
ABC 中，
sinA:sinB:sinC?1:2:3
，则
a:b:c
= ．
5. 已知
?
ABC中，
?
A
?60?
，a?3
，则
a?b?c
sinA?sinB?sinC
= ．

课后作业
1. 已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝
120?
，解此三角形．

2. 已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k (k
≠
0)，求实
数k的取值范围为．












§1.1.2 余弦定理

学习目标
1. 掌握余弦定理的两种表示形式；
2. 证明余弦定理的向量方法；
3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．

学习过程
一、课前准备
复习1：在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相
等，即 = = ．

复习2：在△ABC中，已知
c?10
，A=45?，C=30?，解此三角形．







思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？




二、新课导学
※ 探究新知
问题：在
?ABC
中，
AB
、
BC
、
CA
的长分别为
c
、
a
、
C

A
b
c
a
B

b
.
∵
AC?
，
uuuruuur
∴
AC?AC?






同理可得：
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
，

c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
．


新知：余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的
的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍．

思考：这个式子中有几个量？
从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边
求出一角？
从余弦定理，又可得到以下推论：
b
2
?c
2
?a
2
cosA?
2bc
uuur
， ，
．
[理解定理]
（1）若C=
90?
，则
cosC?
，这时
c
2
?a
2
?b
2

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特
例．
（2）余弦定理及其推论的基本作用为：

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角．

试试：
（1）△ABC中，
a?33
，
c?2
，
B?150
o
，求
b
．






（2）△ABC中，< br>a?2
，
b?2
，
c?3?1
，求
A
．






※ 典型例题
例1. 在 △ABC中，已知
a?3
，
b?2
，
B?45
o
， 求
A,C
和
c
．

变式：在△ABC中，若 AB＝
5
，AC＝5，且cosC＝
9
，则
10
BC＝________．








例2. 在△ABC中，已知三边长
a?3
，
b?4
，< br>c?
最大内角．







37
，求三角形的

变 式：在
?
ABC中，若
a
2
?b
2
?c
2
?bc
，求角A．

三、总结提升
※ 学习小结
1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理
是余弦定理的特例；
2. 余弦定理的应用范围：
① 已知三边，求三角；
② 已知两边及它们的夹角，求第三边．

※ 知识拓展
在△ABC中，
若
a
2
?b< br>2
?c
2
，则角
C
是直角；
若
a
2
?b
2
?c
2
，则角
C
是钝角；
若< br>a
2
?b
2
?c
2
，则角
C
是锐角 ．
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 已知a＝
3
，c＝2，B＝150°，则边b的长为（ ）.
A.

34
2
B.
34
C.
22
2
D.
22

2. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（ ）.

A．
60
o
B．
75
o
C．
120
o
D．
150
o

3. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（ ）.
A．
5?x?13
B．
13
＜x＜5
C． 2＜x＜
5
D．
5
＜x＜5
uuuruuur
uuuruuuruuur
4. 在△ABC中，|
AB< br>|＝3，|
AC
|＝2，
AB
与
AC
的夹角为60° ，则|
AB
uuur
－
AC
|＝________．
5. 在△ABC中，已知三边a、b、c满足
b
2
?a
2
?c
2
?ab
，则∠C等于 ．

课后作业
1. 在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cosC＝
13
，求最大角的余弦值．
14













uuuruuur
2. 在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，求
AB?BC
的值.

§1.1 正弦定理和余弦定理（练习）

学习目标
1. 进一步熟悉正、余弦定理内容；
2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两
解或一解或无解等情形．

学习过程
一、课前准备
复习1：在解三角形时
已知三边求角，用 定理；
已知两边和夹角，求第三边，用 定理；
已知两角和一边，用 定理．

复习2：在△ABC中，已知 A＝
?
，a＝25
6
2
，b＝50
2
，解此三
角形．








二、新课导学
※ 学习探究
探究：在△ABC中，已知下列条件，解三角形.
① A＝
?
，a＝25，b＝50
6
② A＝
?
6
③ A＝
?
6
2
；
，a＝
506
3
，b＝50
2
；
，a＝50，b＝50
2
.

思考：解的个数情况为何会发生变化？
新知：用如下图示分析解的情况（A为锐角时）． < br>已知边a,b和
?
A
C
b
A
H
a无解
a
A
B
a=CH=bsinA
仅有一个解b
a
A
C
b
a
B1
H
a
B2
a?b
仅有一个解
A
H
B
C
b
C
a
CH=bsinA有两个解
试试：
1. 用图示分析（A为直角时）解的情况？




2．用图示分析（A为钝角时）解的情况？




※ 典型例题
例1. 在
?
ABC中，已知
a?80
，
b?1 00
，
?A?45?
，试判断此三角形

的解的情况．

















变 式：在
?
ABC中，若
a?1
，
c?
1
，
?C?40?
，则符合题意的b的值
2
有_____个．

例2. 在
?< br>ABC中，
A?60?
，
b?1
，
c?2
，求
a?b?c
sinA?sinB?sinC
的值．

















变式：在
?
ABC中，若
a?5 5
，
b?16
，且
1
absinC?220
2
3< br>，求角C．

三、总结提升
※ 学习小结
1. 已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）；
2. 已知三角形三边问题（用余弦定理解决）；
3. 已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）；
4. 已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也
可用余弦定理，可能有一解 、两解和无解三种情况）．

※ 知识拓展
在
?
ABC中，已知
a,b,A
，讨论三角形解的情况 ：①当A为钝角
或直角时，必须
a?b
才能有且只有一解；否则无解；
②当A为锐角时，
如果
a
≥
b
，那么只有一解；
如果
a?b
，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若
a?bsinA
，则有两解；
（2）若
a?bsinA
，则只有一解；

（3）若
a?bsinA
，则无解．
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 已知a、b为△A BC的边，A、B分别是a、b的对角，且
sinA
?
2
，
sinB 3
则
a?b
的值=（ ）.
b
A.
1
B.
3
2

3
C.
4

3
D.
5

3
2. 已知在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，那么这个三角
形的最大角是（ ）.
A．135° B．90° C．120° D．150°
3. 如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为
（ ）.
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．由增加长度决定
4. 在△ABC中，sinA:sinB:sinC＝4:5:6，则cosB＝ ．
5. 已知△ABC中，
bcosC?ccosB
，试判断△ABC的形
状 ．

课后作业
1. 在
?
ABC中，
a?xcm< br>，
b?2cm
，
?B?45?
，如果利用正弦定理解三
角形有 两解，求x的取值范围．

1a
2
?b
2
?c
2
2. 在
?
ABC中，其三边分别为a、b、c，且满足
absinC?
，
24
求角C．

§1.2应用举例—①测量距离

学习目标
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距
离的实际问题

学习过程
一、课前准备
复习1：在△ABC中，∠C＝60°，a＋b＝23?2
，c＝2
2
，则∠A
为 .



复习2：在△ABC中，sinA＝
sinB?sinC
，判断三角形的形状.
cosB?cosC

二、新课导学
※ 典型例题
例1. 如图，设A、B两点在河的两岸， 要测量两点之间的距离，
测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离
是5 5m，B两点的距离(精确到0.1m).
?
BAC=
51?
，
?
ACB=
75?
. 求A、






提问1：
?
ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适
当？


提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？


分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之
间的距离的问题
题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，
再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对
角，
应用正弦定理算出AB边.

新知1：基线
在测量上，根据测量需要适当确定的 叫基线.
例2. 如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量
A、B两点间距离的方法.
分析：这是例1的变式题，研究的是两个 的点之间的距离
测量问题.
首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点.
根据正弦定理中已知三角形的任意两个内 角与一边既可求出另
两边的方法，分别求出AC和BC，
再利用余弦定理可以计算出AB的距离.




< br>变式：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得
?
BCA=60°，
?ACD=30°，
?
CDB=45°，
?
BDA =60°.

练：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在
观察站C的北偏东30°， 灯塔B在观察站C南偏东60°，则A、
B之间的距离为多少？



















三、总结提升
※ 学习小结
1. 解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图

（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集
中在有关的三角形中，建立一个解斜三 角形的数学模型；
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数
学模型的解
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际
问题的解.
2．基线的选取：
测量过程中，要根据需要选取合适的基线长度，使测量具有较高
的精确度.



学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）
计分：

1. 水平地面上有一个球，现用如下方法测
P
量球的大小，用锐角
45?
的等腰直角三角
A C
板的斜边紧靠球面，P为切点，一条直角
边AC紧靠地面，并使三角板与地面垂直，如果测得PA=5 cm，
则球的半径等于（ ）.
A．5cm
B．
52cm

C．
5(2?1)cm

D．6cm

2. 台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台
风中心30千米内的地区 为危险区，城市B在A的正东40千米处，
B城市处于危险区内的时间为（ ）.
A．0.5小时 B．1小时
C．1.5小时 D．2小时
3. 在
?ABC
中，已知
(a
2
?b
2
)sin(A?B)?(a
2
?b
2
)sin(A?B)
，
则
?ABC
的形状（ ）.
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
4.在
?ABC
中，已知
a?4
，
b?6
，
C?120
o
，则
sinA
的值是 ．
5. 一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B
在北偏东
60
o
，行驶４h后 ，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东
15
o
，
这时船与灯塔的距离为 km．

课后作业
1. 隔河可以看到两个目标，但不能到达，在岸边选取相 距
3
km的
C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝3 0°，
∠ADB＝45°，A、B、C、D在同一个平面，求两目标A、B间的
距离.

2. 某 船在海面A处测得灯塔C与A相距
103
海里，且在北偏东
30?
方向；测得 灯塔B与A相距
156
海里，且在北偏西
75?
方向. 船由
A
向正北方向航行到D处，测得灯塔B在南偏西
60?
方向. 这时灯塔
C与D相距多少海里？












§1.2应用举例—②测量高度

学习目标
1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部
不可到达的物体高度测量的问题；
2. 测量中的有关名称.

学习过程
一、课前准备
复习1：在
?
ABC中，
cosA
?
b
?
5
，则
?
ABC的形状是怎样？
cosBa3









复习2：在
?
ABC中，
a
、b、c分别为
?< br>A、
?
B、
?
C的对边，若
a:b:c
=1:1:< br>3
，求A:B:C的值.









二、新课导学
※ 学习探究
新知：坡度、仰角、俯角、方位角

方位角 ---从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角 ；

坡度--- 沿余坡向上的方向与水平方向的夹角；

仰角与俯角--- 视线与水平线的夹角当视线在水平线之上时，称为仰
角；当视线在水平线之下时，称为俯角.


探究：AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，
设计 一种测量建筑物高度AB的方法.

分析：选择基线HG，使H、G、B三点共线，

要求AB，先求AE
在
?ACE
中，可测得角 ，关键求AC
在
?ACD
中，可测得角 ，线段 ，又有
?

故可求得AC

※ 典型例题
例1. 如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角
?
=54
?40< br>?
，
在塔底C处测得A处的俯角
?
=50
?1
?. 已知铁塔BC部分的高为27.3
m，求出山高CD(精确到1 m)

例2. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时< br>测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15
?
的方向上，行驶5km后
到达B处， 测得此山顶在东偏南25
?
的方向上，仰角为8
?
，求此山
的高度C D.
问题1：
欲求出CD，思考在哪个三角形中研究比较
适合呢？

问题2：
在
?
BCD中，已知BD或BC都可求出CD，根据条件，易计算 出
哪条边的长？

变式：某人在 山顶观察到地面上有相距2500米的A、B两个目标，
测得目标A在南偏西57°，俯角是60°，测 得目标B在南偏东
78°，俯角是45°，试求山高.

三、总结提升
※ 学习小结 < br>利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画
方位图，要懂得从所给的背景资料中 进行加工、抽取主要因素，进
行适当的简化.

※ 知识拓展
在湖面上 高h处，测得云之仰角为
?
，湖中云之影的俯角为
?
，
则云高为h
g
sin(
?
?
?
)
.
sin(
?
?
?
)
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 在
?
ABC中，下列关系中一定成立的是（ ）.
A．
a?bsinA
B．
a?bsinA

C．
a?bsinA
D．
a?bsinA

2. 在
?
ABC中，AB=3，BC=
13
，AC=4，则边AC上的高为（ ）.
A．
32
2
B．
33
2
C．
3
D．
3
2
3

3. D、C、B 在地面同一直线上，DC=100米，从D、C两地测得A
的仰角分别为
30
o
和
45
o
，则A点离地面的高AB等于（ ）米．
A．100 B．
503

C．50
(3?1)
D．50
(3?1)

4. 在地面上
C
点，测得一塔塔顶
A
和塔基
B
的仰角分别是
60?
和
30?
，
已知塔基
B
高出地面
20m
，则塔身
AB
的高为____ _____
m
．

5. 在
?
ABC中，
b?22
，
a?2
，且三角形有两解，则A的取值范围
是 ．

课后作业
1. 为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的 楼顶处测
得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，则塔AB的
高度为多少m？










2. 在平地上有A、B两点，A在山的正东，B在山的东南，且在A
的南25°西300米的 地方，在A侧山顶的仰角是30°，求山高.

§1.2应用举例—③测量角度

学习目标
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角
度的实际问题.

学习过程
一、课前准备
复习1：在
△ABC
中，已知
c?2
，
C?
?
，且
1
absinC?3
，求< br>a，b
.
3
2









复习2：设
?ABC
的内角A
，
B
，
C的对边分别为a，b，c，且A=
60
o
，
c?3
，求
a
的值.
c

二、新课导学
※ 典型例题
例1. 如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75
?
的方向航行67.5 n mile
后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32
?
的方向航行54.0 n m ile
后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎
样的方向航行，需要航 行多少距离?(角度精确到0.1
?
，距离精确到
0.01n mile)
分析：
首先由三角形的内角和定理求出角
?
ABC，
然后用余弦定理算出AC边，
再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角
?
CAB.

例2. 某巡逻艇在A处发现北偏东45
?
相距9海里的C处有一艘走
私船，正沿南偏东75
?
的方向以10海里小时的速度向 我海岸行驶，
巡逻艇立即以14海里小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应
该沿什么方向去 追？需要多少时间才追赶上该走私船？

※ 动手试试
练1. 甲、乙两船同时从B点出发，甲船以每小时10(
3
＋1)km的
速度向正东航行，乙船以每小时20km的速度沿南60°东的方向航
行，1小时后甲、乙两船分别到达A、C两点，求A、C两点的距
离，以及在A点观察C点的方向角.

练2. 某渔 轮在A处测得在北45°的C处有一鱼群，离渔轮9海里，
并发现鱼群正沿南75°东的方向以每小时1 0海里的速度游去，渔
轮立即以每小时14海里的速度沿着直线方向追捕，问渔轮应沿什
么方向 ，需几小时才能追上鱼群？

三、总结提升
※ 学习小结
1. 已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理
或余弦定理解之.；
2．已知量 与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足
够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求 出问题的解.

※ 知识拓展
已知
?
ABC的三边长均为有理 数，A=
3
?
，B=
2
?
，则
cos5
?
是有理数，
还是无理数？
因为
C?
?
?5
?
，由余弦定理知
a
2
?b
2
?c
2
cosC?
2ab
为有理数， 所以
cos5
?
??cos(
?
?5
?
)?? cosC
为有理数.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 从A处望B处的仰角为
?
， 从B处望A处的俯角为
?
，则
?
，
?
的关系为（ ）.
A．
?
?
?
B．
?
=
?

C．
?
+
?
=
90
o
D．
?
+
?
=
180
o

2. 已知两线 段
a?2
，
b?22
，若以
a
、
b
为边作 三角形，则边
a
所对

的角A的取值范围是（ ）.
A．
(
?
,
?
)
B．
(0,
?
]

63
2
6
C．
(0,
?
)
D．
(0,
?
]

4
3. 关于
x
的方程
sinAgx
2
?2sinBgx?sinC?0
有相等实根，且A、B、C 是
?
的三个内角，则三角形的三边
a、b、c
满足（ ）.
A．
b?ac
B．
a?bc

C．
c?ab
D．
b
2
?ac

4. △ABC中，已知a:b:c=(
3
+1) :(
3
-1):
10
，则此三角形中最大
角的度数为 .
5. 在三角形中，已知:A，a，b给出下列说法:
(1)若A≥90°，且a≤b，则此三角形不存在
(2)若A≥90°，则此三角形最多有一解
(3)若A＜90°，且a=bsinA，则此三角形为直角三角形，且B=90°
(4)当A＜90°，a(5)当A＜90°，且bsinA其中正确说法的序号是 .

课后作业
1. 我舰在敌岛A南偏西
50?
相距12海 里的B处，发现敌舰正由岛
沿北偏西
10?
的方向以10海里小时的速度航行.问我舰 需以多大速
度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？

2.






§1.2应用举例—④解三角形

学习目标
1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三
角形的问题；
2. 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用；
3. 能证明三角形中的简单的恒等式．

学习过程
一、课前准备
复习1：在
?
ABC中
（1）若
a?1,b?3,B?120?
，则
A
等于 ．
（2）若
a?33
，
b?2
，
C?150?
， 则
c?
_____．

复习2：
在
?ABC
中，
a?33
，
b?2
，
C?150?
，则高BD= ，三角形
面积= ．








二、新课导学
※ 学习探究
探究：在
?
ABC中，边BC上的高分别记为h
a
，那么它如何用已知
边和角表示？
h
a
=bsinC=csinB
根据以前学过的三角形面积公式S=
1
ah，
2
代入可以推导出下面的三角形面积公式，S=
1
absinC，
2

或S= ，

同理S= ．


新知：三角形的面积等于三角形的任意两边以及它们夹角的正弦之
积的一半．


※ 典型例题
例1. 在
?
ABC中，根据下列条件 ，求三角形的面积S（精确到
0.1cm
2
）：
（1）已知a=14.8cm，c=23.5cm，B=148.5
?
；
（2）已知B=62.7
?
，C=65.8
?
，b=3.16cm；
（3）已知三边的长分别
为
a=41.4cm，b=27.3cm，
c=38.7cm．

变式：在某市进行城市环境建设 中，要把一个三角形的区域改造成
室内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m，< br>88m，127m，这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm
2
）

例2. 在
?
ABC中，求证：
a
2
?b2
sin
2
A?sin
2
B
（1）
2
?

；
csin
2
C
（2）
a
2
+
b
2
+
c
2
=2（bccosA+cacosB+abc osC）．

















小结：证明三角形中恒等式方法： 应用正弦定理或余弦定理，“边”
化“角”或“角”化“边”．

※ 动手试试
练1. 在
?
ABC中，已知
a?28c m
，
c?33cm
，
B?45
o
，则
?
A BC的面积
是 ．




练2. 在
?
ABC中，求证：
c(acosB?bcosA)?a
2
?b
2
．










三、总结提升
※ 学习小结
1. 三角形面积公式：
S=
1
absinC= = ．
2
2. 证明三角形中的简单的恒等式方法：应用正弦定理或余弦定理，
“边”化“角”或“角”化“边”．
※ 知识拓展

三角形面积
S?
2
p(p?a)(p?b)(p?c)
，
这里
p?
1
(a?b?c)
，这就是著名的海伦公式．
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 在
?ABC
中，
a?2,b?3,C?60
?
，则< br>S
?ABC
?
（ ）.
A.
23
B.
3
2
C.
3
D.
3

2
5
2. 三角形两边之差为2，夹角的正弦值为
3
，面积为
9
，那么这个
2
三角形的两边长分别是（ ）.
A. 3和5 B. 4和6 C. 6和8 D. 5和7
3. 在
?ABC
中，若
2cosB?sinA?sinC
，则
?ABC
一定是（ ）三角形．
A. 等腰 B. 直角 C. 等边 D. 等腰直角
4.
?ABC
三边长分别为
3,4,6
，它的较大锐角的平分线分三角形的面
积比是 ．
5. 已知三角形的三边的长分别为
a?54cm
，则
?
ABC
b?61cm
，
c?71cm
，
的面积是 ．

课后作业
2. 已知在
?
ABC中，
?
B =30
?
，b=6，c=6
3
，求a及
?
ABC的面积S．

2. 在△ABC中，若
sinA?sinB?sinC?(cosA?cosB)
，试判断△ABC的形状.














§1.2应用举例（练习）

学习目标
1．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量

的实际问题；
2．三角形的面积及有关恒等式．

学习过程
一、课前准备
复习1：解三角形应用题的关键：将实际问题转化为解三角形问题
来解决．

复习2：基本解题思路是：
①分析此题属于哪种类型（距离、高度、角度）；
②依题意画出示意图，把已知量和未知量标在图中；
③确定用哪个定理转化，哪个定理求解；
④进行作答，并注意近似计算的要求．


二、新课导学
※ 典型例题
例1. 某观测站C在目标A的南偏西
25
o
方向，从A出发有一 条南
偏东
35
o
走向的公路，在C处测得与C相距31
km
的公路上有一人正
沿着此公路向A走去，走20
km
到达D，此时测得CD距离为21
km
，
求此人在D处距A还有多远？

例2. 在某点B处测得 建筑物AE的顶端A的仰角为
?
，沿BE方向
前进30m，至点C处测得顶端A的仰角 为2
?
，再继续前进10
3
m
至D点，测得顶端A的仰角为4
?
，求
?
的大小和建筑物AE的高．

例3. 如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC=60°，
AC=7，AD =6，S
△
ADC
=
15












3
2
，求AB的长．
D
A
2
1
60
0

B C

※ 动手试试
练1. 为测某塔AB的高度，在 一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶
处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，则塔< br>AB的高度为多少m？

练2. 两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在
观察站C的北偏东30°，灯塔B在观察 站C南偏东60°，则A、
B之间的距离为多少？

三、总结提升
※ 学习小结
1. 解三角形应用题的基本思路，方法；
2．应用举例中测量问题的强化.

※ 知识拓展
秦九韶“三斜求积”公式：
2
1
?
22
?
c2
?a
2
?b
2
?
?
?
ca?
?
S?
?
?

4
?
2
??
?
??
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 某人向 正东方向走
xkm
后，向右转
150
o
，然后朝新方向走
3 km
，
结果他离出发点恰好
3km
，则
x
等于（ ）.
A．
3
B．
23
C．
3
或
23
D．3
2.在200米的山上顶，测得山下 一塔顶与塔底的俯角分别为
30
o
,60
o
，
则塔高为（ ）米．
A．
200
B．
200
3
3
3
C．
400
D．
400
3
3
3

3. 在
?
ABC中 ，
?A?60?
，
AC?16
，面积为
220

3
，那么
BC
的长度为

（ ）.
A．
25
B．
51
C．
493
D．
49

4. 从200米高的山顶A处测得地面上某两个景点B、C的俯角分别是30?和45?，且∠BAC＝45?，则这两个景点B、C之间的距
离 ．
5. 一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°相距20
里处，随后货轮按北 偏西30°的方向航行，半小时后，又测得灯
塔在货轮的北偏东
45?
，则货轮的速度 ．

课后作业
1. 3.5米长的棒斜靠在石堤旁，棒的一端在离堤足1.2 米地面上，
另一端在沿堤上2.8米的地方，求堤对地面的倾斜角.











2. 已知a ，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝
（
3,?1
），n＝（c osA，sinA）. 若m⊥n，且acosB+bcosA=csinC，
求角B.

第一章 解三角形（复习）

学习目标
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距
离的实际问题．

学习过程
一、课前准备
复习1： 正弦定理和余弦定理
（1）用正弦定理：
①知两角及一边解三角形；
②知两边及其中一边所对的角解三角形（要讨论解的个数）．
（2）用余弦定理：
①知三边求三角；
②知道两边及这两边的夹角解三角形．

复习2：应用举例

① 距离问题，②高度问题，
③ 角度问题，④计算问题．
练：有一长为2公里的斜坡，它的倾斜角为30°，现要将倾斜角
改为45°，且高度不变. 则斜坡长变为___ ．







二、新课导学
※ 典型例题
例1. 在
?ABC
中< br>tan(A?B)?1
，且最长边为1，
tanA?tanB
，
tan B?
1
，
2
求角C的大小及△ABC最短边的长．

例2. 如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里
的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前 往救援，同时把消
息告知在甲船的南偏西30
o
，相距10海里C处的乙船，试问乙船
应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1
o
）？
北



B

A 20
?

10


?

C

例3. 在
?
ABC中，设
tanA
?
2c?b
,
求A的值．
tanBb

※ 动手试试
练1. 如图，某海轮以60 n mileh 的速度航行，在A点测得海面上
油井P在南偏东60°，向北航行40 min后到达B点，测得油井P
在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80 min到达C
点，求P、C间的距离．

北




















练2. 在△ABC中， b＝10，A＝30°，问a取何值时，此三角形有
C
B
60°
30°
A
60°
P

一个解？两个解？无解？













三、总结提升
※ 学习小结
1. 应用正、余弦定理解三角形；
2. 利用正、余弦定理解决实际问题（测量距离、高度、角度等）；
3．在现实生活中灵活运用正、余弦定理解决问题. （边角转化）．

※ 知识拓展
设在
?ABC
中，已知三边
a
，
b
，< br>c
，那么用已知边表示外接圆半
径R的公式是
abc
R?

p(p?a)(p?b)(p?c)
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝
120?
，则△ABC的
面积为（ ）.
A．9 B．18 C．9 D．18
3

2.在△ABC 中，若
c
2
?a
2
?b
2
?ab
，则∠C =（ ）.
A． 60° B． 90° C．150° D．120°
3. 在
?
ABC中，
a?80
，
b?100
，A =30°，则B的解的个数是（ ）.
A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定的
4. 在△ABC中，
a?32
，
b?23
，
cosC?
1
，则
S
△ABC
?
_______
3
5. 在
?
ABC中，
a
、b、c分别为
?A、
?
B、
?
C的对边，若
a
2
?b
2
?c
2
?2bcsinA
，则A=___ ____.

课后作业
1. 已知
A
、
B
、
C
为
?ABC
的三内角，且其对边分别为
a
、
b
、
c< br>，若
cosBcosC?sinBsinC?
1
．
2
（1）求
A
；
（2）若
a?23,b?c?4
，求
?ABC
的面积．

8bc
a
=3，2. 在△ABC中，B
、
C的对边，，
a,b,c
分别为角A
、
a
2
?c
2
?b
2
?
5
△ABC的面积为6，
（1）求角A的正弦值； （2）求边b、c.

§2.1数列的概念与简单表示法(1)

学习目标
1. 理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；
2. 了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；
3. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P
28
~ P
30
，找出疑惑之处）
复习1：函数，当x依次取1，2，3，…时，其函数值有什么
特点？
复习2：函数y=7x+9，当x依次取1，2，3，…时，其函数值有什
么特点？

二、新课导学
※ 学习探究
探究任务：数列的概念
⒈ 数列的定义： 的一列数叫做数列.

⒉ 数列的项：数列中的 都叫做这个数列的项.
反思：
⑴ 如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是相同
的数列？

⑵ 同一个数在数列中可以重复出现吗？
3. 数列的一般形式：
a
1
,a2
,a
3
,L,a
n
,L
，或简记为
?
a
n
?
，其中
a
n
是数列
的第 项.

4. 数列的通项公式：如果数列
?
a
n
?
的第 n项与n之间的关系可以
用 来表示，那么 就叫做这个数列
的通项公式.
反思：
⑴所有数列都能写出其通项公式？
⑵一个数列的通项公式是唯一？
⑶数列与函数有关系吗？如果有关，是什么关系？
5．数列的分类：
1）根据数列项数的多少分 数列和 数列；
2）根据数列中项的大小变化情况分为 数列，
数列， 数列和 数列.
※ 典型例题
例1写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
⑴ 1，－
1
，
1
，－
1
；
2
3
4
⑵ 1， 0， 1， 0.
变式：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各

数：
⑴
1
，
4
，
9
，
16
；
251017
⑵ 1， －1， 1， －1；

小结：要由数列的若干 项写出数列的一个通项公式，只需观察分析
数列中的项的构成规律，将项表示为项数的函数关系. < br>例2已知数列
an
2
?b
7
2，，2，…的通项公式为
a
n
?
，求这个数列的
cn
4
第四项和第五项. 变式：已知数列
5
，
11
，
17
，
23
，
29
，…，则5
5
是它的第 项.
小结：已知数列的通项公式，只要将数列中的项代入通项公式，就
可以求出项数和项.

※ 动手试试
练1. 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各
数：
⑴ 1，
1
，
1
，
35
1
7
；
⑵ 1，
2
，
3
，2 .
练2. 写出数列
{n
2
?n}
的第20项，第n＋1项.
三、总结提升
※ 学习小结
1. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式；
2. 会用通项公式写出数列的任意一项.
※ 知识拓展
数列可以看作是定义域为正整数集的特殊函数.

思考 ：设
f(n)
＝1＋
1
＋
1
＋…＋
2
3< br>1
（n
?
N*
）那么
f(n?1)?f(n)
等3n?1
于（ ）
A.
1
3n?2
B.
11
?
3n3n?1
C.
11
?
3n?13n?2
D.
111

??
3n3n?13n?2
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 下列说法正确的是（ ）.
A. 数列中不能重复出现同一个数
B. 1，2，3，4与4，3，2，1是同一数列
C. 1，1，1，1…不是数列
D. 两个数列的每一项相同，则数列相同
2. 下列四个数中，哪个是数列
{n(n?1)}
中的一项（ ）.
A. 380 B. 392 C. 321 D. 232
3. 在横线上填上适当的数：
3，8，15， ，35，48.
4.数列
{(?1)
5.

课后作业
1. 写出数列｛
2
n
｝的前5项.
2. （1）写出数列

}
的第4项是 .
1写出数列
?
1
，
1
，，
1
的一个通项公式
?
2?12?22?32?4
n(n?1)
2
.
2
2
?13
2
?1
，
23
，
4
2
?15
2
?1
，
45
的一个通项公式

为 .
（2）已知数列
3
，
7
，
11
，
15
，
19
，… 那么3
的第 项.



§2.1数列的概念与简单表示法(2)
11
是这个数列
学习目标
1. 了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；
2. 会由递推公式写出数列的前几项，并掌握求简单数列的通项公
式的方法.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P
31
~ P
34
，找出疑惑之处）
复习1：什么是数列？什么是数列的通项公式？
复习2：数列如何分类？
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务：数列的表示方法

问题：观察钢管堆放示意图，寻找每层的钢管数
a
n
与层数n之间有何关系？
1. 通项公式法：
试试：上图中每层的钢管数
a
n
与层数n之间关系的一个通项公式
是 .
2. 图象法：

数列的图形是 ，因为横坐标为 数，所
以这些点都在
y
轴的 侧，而点的个数取决于数列的 ．从图
象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．
3. 递推公式法：
递推公式：如果已知数列
?
a
n
?
的第1项（或前几项）， 且任一项
a
n
与
它的前一项
a
n?1
（或前n项） 间的关系可以用一个公式来表示，那
么这个公式就叫做这个数列的递推公式.

试 试：上图中相邻两层的钢管数
a
n
与
a
n?1
之间关系的一 个递推公式
是 .

4. 列表法：
试试：上图中每层的钢管数
a
n
与层数n之间关系的用列表法如何表
示？


反思：所有数列都能有四种表示方法吗？

※ 典型例题
例1
a
1
?1
?
设数列
?
a
n
?
满足
?
写出这个数列的前五项.
1
?
a?1? (n?1).
?
n
a
n?1
?


变式： 已知
a
1
?2
，
a
n?1
?2a
n
，写出前5项，并猜想通项公式
a
n
.

小结：由递推公式求数列的项，只要让n依次取不同的值代入递推
公式就可求出数列的项.

例2 已知数列
?
a
n
?满足
a
1
?0
，
a
n?1
?a
n?2n
， 那么
a
2007
?
（ ）.
A. 2003×2004 B. 2004×2005 C. 2007×2006 D.
2004
2

变式：已知数列
?
a
n
?< br>满足
a
1
?0
，
a
n?1
?a
n< br>?2n
，求
a
n
.
小结：由递推公式求数列的通项公式，适当的变形与化归及归纳猜
想都是常用方法.
※ 动手试试
练1. 已知数列
?
a
n
?
满足< br>a
1
?1
，
a
2
?
2
，且
a
n?1
ga
n
?a
n
ga
n?1
?2a
n?1
ga
n?1
?0
3
（
n?2
），
求
a
3
,a
4
.

练2.（2005年 湖南）已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?0< br>，
a
n?1
?
则
a
20
?
（ ） .A．0 B.－
3

a
n
?3
3a
n
?1
（
n?N
*
），
3
2
C.
3
D.
练3. 在数列
?
a
n
?
中，
a
1
?2
，
a
17
?66
，通项公式是项数n的一次函数.
⑴ 求数列
?
a
n
?
的通项公式；
⑵ 88是否是数列
?
a
n
?
中的项.
三、总结提升
※ 学习小结
1. 数列的表示方法；
2. 数列的递推公式.

※ 知识拓展
n刀最多能将比萨饼切成几块？
意大利一家比萨饼店的员工乔治喜欢将比萨饼切成形

状各异的小块，以便出售. 他发现一刀能将饼切成两块，两刀最多
能切成4块，而三刀最多能 切成7块（如图）.请你帮他算算看，
四刀最多能将饼切成多少块？n刀呢？
解析：将比萨饼抽象成一个圆，每一刀的切痕看成圆的一条弦.
因为任意两条弦最多只能有一 个交点，所以第n刀最多与前n－1
刀的切痕都各有一个不同的交点，因此第n刀的切痕最多被前n－< br>1刀分成n段，而每一段则将相应的一块饼分成两块. 也就是说n
刀切下去最多能使饼增加n块. 记刀数为1时，饼的块数最多为
a
1，……，刀数为n时，饼的块数最多为
a
n
，所以
a
n
=
a
n?1
?n
.
由此可求得
a
n
=1+
n(n?1)
.
2
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 已知数列
a
n?1
?a
n
?3?0
，则数列
?
a
n
?
是（ ）.
A. 递增数列 B. 递减数列
C. 摆动数列 D. 常数列
2. 数列
?
a
n
?
中，
a
n< br>??2n
2
?9n?3
，则此数列最大项的值是（ ）.
A. 3 B. 13 C. 13
1
D. 12
8
3. 数 列
?
a
n
?
满足
a
1
?1
，a
n?1
?a
n
?2
（n≥1），则该数列的通项
a< br>n
?
（ ）.
A.
n(n?1)
B.
n(n?1)

C.
4.

n(n?1)

2
已知数列
?
a
n
?满足
a
1
?
1
，
a
n
?(?1)n
g2a
n?1
（n≥2），则
a
5
?

3
n(n?1)

2
D.
.

5. 已知数列
?
a
n
?
满足< br>a
1
?
1
，
a
n?1
?1?
21
a
n
（n≥2），
则
a
6
?
.

课后作业
1. 数列
?
a
n
?
中，
a
1
＝0，
a
n?1
＝
a
n
＋(2n－1) (n∈N)，写出前五项，并
归纳出通项公式.
2. 数列
?
a
n
?
满足
a
1
?1
，
a
n?1
?
2a
n
(n?N)
，写出前5项，并猜想通项公
a
n
?2
式
a
n
.

§2.2等差数列（1）

学习目标
1. 理解等差数列的概念，了 解公差的概念，明确一个数列是等差
数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列；
2. 探索并掌握等差数列的通项公式；
3. 正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求
等差数列的首项、公差、项数、指定的项.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P
36
~ P
39
，找出疑惑之处）
复习1：什么是数列？
复习2：数列有几种表示方法？分别是哪几种方法？
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：等差数列的概念
问题1：请同学们仔细观察，看看以下四个数列有什么共同特征？
① 0，5，10，15，20，25，…
② 48，53，58，63
③ 18，15.5，13，10.5，8，5.5
④ 10072，10144，10216，10288，10366
新知：
1.等差数列：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它 一
项的 等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数
就叫做等差数列的 ， 常用字母 表示.

2.等差中项：由三个数a，A， b组成的等差数列，
这时数 叫做数 和 的等差中项，用等式表示为A=
探究任务二：等差数列的通项公式
问题2：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别
是什么？
若一等差 数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
，公差是d， 则据其定义可得：
a
2
?a
1
?
，即：
a
2
?a
1
?

a
3
?a
2
?
， 即：
a
3
?a
2
?d?a
1
?

a
4
?a
3
?
，即：
a
4
?a
3
?d?a
1
?

……
由此归纳等差数列的通项公式可得：
a
n
?

∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项
a
1
和公差d，便可求
得 其通项
a
n
.
※ 典型例题
例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项；
⑵ －401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
变式：（1）求等差数列3，7，11，……的第10项.
（2）100是不是等差数列2， 9，16，……的项？如果是，是第几
项？如果不是，说明理由.

小结：要求出数 列中的项，关键是求出通项公式；要想判断一数是
否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正 整数n值，
使得
a
n
等于这一数.
例2 已知数列{
a< br>n
}的通项公式
a
n
?pn?q
，其中
p
、
q
是常数，那么
这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是多少？

变式：已知数列的通项公式为
a
n< br>?6n?1
，问这个数列是否一定是等
差数列？若是，首项与公差分别是什么？


小结：要判定
?
a
n
?
是不是等差数 列，只要看
a
n
?a
n?1
（n≥2）是不是
一个与n无关 的常数.

※ 动手试试
练1. 等差数列1，－3，－7，－11，…，求它的通项公式和第20
项.

练2.在 等差数列
?
a
n
?
的首项是
a
5
?10, a
12
?31
， 求数列的首项与公差.

三、总结提升
※ 学习小结
1. 等差数列定义：
a
n
?a
n?1
?d
(n≥2)；
2. 等差数列通项公式：
a
n
?
a
1
?(n?1)d
(n≥1).

※ 知识拓展
1. 等差数列通项公式为
a
n< br>?a
1
?(n?1)d
或
a
n
?a
m
?(n?m)d
. 分析等差数
列的通项公式，可知其为一次函数，图象上表现为直线
y?a
1
?(x?1)d
上的一些间隔均匀的孤立点.
2. 若三个数成等差数列，且已知和时，可设这三个数为
a?d,a,a?d
.
若四个数成等差数列，可设这四个数为
a?3d,a?d,a?d,a?3d
.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（ ）.
A. 92 B. 47 C. 46 D. 45
2. 数列
?
a
n
?
的通项公式
a
n
?2n?5
，则此数列是（ ）.
A.公差为2的等差数列 B.公差为5的等差数列
C.首项为2的等差数列 D.公差为n的等差数列
3. 等差数列的第1项是7，第7项是－1，则它的第5项是（ ）.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
4. 在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则∠B＝ .
5. 等差数列的相邻4项是a+1，a+3，b，a+b，那么a＝ ，b
＝ .
课后作业
1. 在等差数列
?
a
n
?
中，
⑴已知
a
1
?2
，d＝3，n＝10，求
a
n
⑵已知
a
1
?3
，
a
n
?21，d＝2，求n；
⑶已知
a
1
?12
，
a
6
?27
，求d；
⑷已知d＝－
1
，
a
7
?8
，求
a
1
.
3
2. 一个木制梯形架的上下底边分别 为33cm，75cm，把梯形的两腰
各6等分，用平行木条连接各分点，构成梯形架的各级，试计算梯
形架中间各级的宽度.



§2.2等差数列（2）

学习目标
1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式；
2. 灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.

学习过程
一、课前准备
（预习教材P
39
~ P
40
，找出疑惑之处）
复习1：什么叫等差数列？
复习2：等差数列的通项公式是什么？
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务：等差数列的性质
1. 在等差数列
?
a
n
?
中，
d
为公差，
a
m
与
a
n
有何关系？
2. 在等差数列
?
a
n
?
中，
d
为公差，若
m,n,p,q?N
?
且
m?n?p?q
，则
a
m
，
a
n
，
a
p
，
a
q
有何关系？
※ 典型例题
例1 在等差数列
?
a
n
?
中，已知
a
5
?10
，
a
12
?31
，求首项
a1
与公差
d
.


变式：在等差数列
?
a
n
?
中， 若
a
5
?6
，
a
8
?15
，求公差d及
a
14< br>.



小结：在等差数列
{a
n
}中，公差d可以由数列中任意两项
a
m
与
a
n
通
过公式
a
m
?a
n
m?n

?d
求出.

例2 在等差数列
?
a
n
?
中 ，
a
2
?a
3
?a
10
?a
11
?36
，求
a
5
?a
8
和
a
6
? a
7
.



变式：在等差数列
?
a< br>n
?
中，已知
a
2
?a
3
?a
4< br>?a
5
?34
，且
a
2
ga
5
?5 2
，求公差
d.




小结：在等差数列中， 若m+n=p+q，则
a
m
?a
n
?a
p
?aq
，可以使得计
算简化.
※ 动手试试
练1. 在等差数列
?
a
n
?
中，
a
1
?a
4
?a
7
?39
，
a
2
?a
5
?a
8< br>?33
，求
a
3
?a
6
?a
9
的< br>值.



练2. 已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100
项，问它们有多少个相同项？



三、总结提升
※ 学习小结
1. 在等差数列中 ，若m+n=p+q，则
a
m
?a
n
?a
p
?a< br>q

注意：
a
m
?a
n
?a
m?n
，左右两边项数一定要相同才能用上述性质.

2. 在等差数列中，公差
d?
a
m
?a
n
.
m?n
※ 知识拓展
判别一个数列是否等差数列的三种方法，即：
（1）
a
n?1
?a
n
?d
；
（2）
a
n
?pn?q(p?0)
；
（3）
S
n
?an
2
?bn
.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 一个等差数列中，
a
15
?33
，
a
25< br>?66
，则
a
35
?
（ ）.
A. 99 B. 49.5 C. 48 D. 49
2. 等差数列
?< br>a
n
?
中
a
7
?a
9
?16
，
a
4
?1
，则
a
12
的值为（ ）.
A . 15 B. 30 C. 31 D. 64
3. 等 差数列
?
a
n
?
中，
a
3
，
a< br>10
是方程
x
2
?3x?5?0
，则
a
5< br>?a
6
＝（ ）.
A. 3 B. 5 C. －3 D. －5
4. 等差数列
?
a
n
?
中，
a2
??5
，
a
6
?11
，则公差d＝ .
5. 若48，a，b，c，－12是等差数列中连续五项，则a＝ ，
b＝ ，c＝ .

课后作业
1. 若
a
1
?a
2
?L?a
5
?30
，
a
6
?a
7
?L?a
10
?80
， 求
a
11
?a
12
?L?a
15
.

2. 成等差数列的三个数和为9，三数的平方和为35，求这三个数.


§2.3 等差数列的前n项和(1)
学习目标
1. 掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；
2. 会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关
的问题.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P
42
~ P
44
，找出疑惑之处）
复习1：什么是等差数列？等差数列的通项公式是什么？
复习2：等差数列有哪些性质？
二、新课导学
※ 学习探究
探究：等差数列的前n项和公式
问题：
1. 计算1+2+…+100=?
2. 如何求1+2+…+n=?
新知：
数列
{a
n
}
的前n项的和：
一般地，称 为数列
{a
n
}
的前n项的和，用
S
n
表示，即
S
n
?

反思：
① 如何求首项为
a
1
，第n项为
a
n
的等差数列
{a
n
}
的前n项的和?

② 如何求首项为
a
1
，公差为d的等差数列{a
n
}
的前n项的和?

试试：根据下列各题中的条件，求 相应的等差数列
{a
n
}
的前n项和
S
n
.
⑴
a
1
??4，a
8
??18，n?8；

⑵
a
1
?14.5，d?0.7，n?15
.
小结：
1. 用
S
n
?
n(a
1
?a
n
)
，必须具备三个条件： .
2
2. 用
S
n?na
1
?
n(n?1)d
，必须已知三个条件： .
2

※ 典型例题
例1 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校
通”工程的统治》. 某市据此提出了 实施“校校通”工程的总目标：
从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.< br>据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元. 为了
保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万
元. 那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的
总投入是多少？
小结：解实际问题的注意：
① 从问题中提取有用的信息，构建等差数列模型；
② 写这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差选择前n项
和公式进行求解.

例2 已知一个等差数列
{a
n
}
前10项的和是310，前20项 的和是1220.
由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？

变式：等差数列
{a< br>n
}
中，已知
a
10
?30
，
a
2 0
?50
，
S
n
?242
，求n.





小结：等差数列前n项和公式就是一个关于
a
n、a
1
、n或者a
1
、n、d
的方
程，已知几个量，通 过解方程，得出其余的未知量.
※ 动手试试
练1.一个凸多边形内角成等差数列，其中 最小的内角为120°，公
差为5°，那么这个多边形的边数n为（ ）.
A. 12 B. 16 C. 9 D. 16或9
三、总结提升
※ 学习小结
1. 等差数列前n项和公式的两种形式；
2. 两个公式适用条件，并能灵活运用；
3. 等差数列中的“知三求二”问题，即：已知等差数列之
a
1
,a
n
,q,n,S
n
五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个.
※ 知识拓展
1. 若数列
{a
n
}
的前n项的和
S
n
?An
2
?Bn
（A
?0
，A、B是与n无 关的
常数），则数列
{a
n
}
是等差数列.
2. 已知数 列
?
a
n
?
,
是公差为d的等差数列，S
n
是其前n项和，设
k?N
?
,S
k
,S
2k
?S
k
,S
3k
?S
2k
也成等差数列，公差为
k2
gd
.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 在等差 数列
{a
n
}
中，
S
10
?120
，那么
a
1
?a
10
?
（ ）.
A. 12 B. 24 C. 36 D. 48
2. 在50和350之间，所有末位数字是1的整数之和是（ ）.
A．5880 B．5684 C．4877 D．4566
3. 已知等差数列的前4项和为21，末4项和为67，前n项和为286，
则项数n为（ ）
A. 24 B. 26 C. 27 D. 28
4. 在等差数列
{a
n
}
中，
a
1
?2
，
d?? 1
，则
S
8
?
.
5. 在等差数列
{a
n
}
中，
a
1
?25
，
a
5?33
，则
S
6
?
.
课后作业
1. 数列｛
a
n
｝是等差数列，公差为3，
a
n
＝11，前
n
和
S
n
＝14，求
n
和
a
3
.


2. 在小于100的正整数中共有多少个数被3除余2? 这些数的和是
多少？

§2.3 等差数列的前
n
项和(2)
学习目标
1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；
2. 了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；

3. 会利用等差数列通项公式与前

n项和的公式研究
S
n
的最大（小）
值.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P
45
~ P
46
，找出疑惑之处）
复习1：等差数列{
a
n
}中，
a
4
＝－15， 公差d＝3，求
S
5
.
复习2：等差数列{
a
n
}中，已知
a
3
?1
，
a
5
?11
，求和
S
8
.

二、新课导学
※ 学习探究
问题：如果一个数列
?
a
n
?
的前n项和为
S
n
?pn
2
?qn?r
，其中p、q、r
为常数，且
p?0
，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的
首项与公差分别是多少？

※ 典型例题
例1已知数列
{an
}
的前n项为
S
n
?n
2
?
1n
，求这个数列的通项公式. 这
2
个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？





变式：已知数列
{a
n
}
的前n项 为
S
n
?
1
n
2
?
2
n?3，求这个数列的通项
43
公式.

小结：数列通项
a
n
和前n项和
S
n
关系为 ?
S
1
(n?1)
，由此可由
S
n
求
a
n
.
a
n
=
?
S?S(n?2)
n? 1
?
n
24
2 已知等差数列
5，4，3，....
的前n 项和为
S
n
，求使得
S
n
最大的
77
例< br>序号n的值.





变式：等差数列{
a
n
}中，
a
4
＝－15， 公差d＝3， 求数列{
a
n
}的
前n项和
S
n
的最小值.





小结：等差数列前项和的最大（小）值的求法.
（1）利用
a
n
: 当
a
n
>0，d<0，前n项 和有最大值，可由
a
n
≥0，且
a
n?1
≤0，求得n的值 ；当
a
n
<0，d>0，前n项和有最小值，可由
a
n
≤0 ，
且
a
n?1
≥0，求得n的值
（2）利用
S
n
：由
S
n
?
d
n
2
?(a
1?
d
)n
，利用二次函数配方法求得最大
22
（小）值时n的值 .
※ 动手试试

练1. 已知
S
n
?3n
2
?2n
，求数列的通项
a
n
.



练2. 有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…200，
由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求
这个新数列的各项之和.


三、总结提升
※ 学习小结
1. 数列通项
a
n
和前n项和
S
n
关系；
2. 等差数列前项和最大（小）值的两种求法.

※ 知识拓展
等差数列奇数项与偶数项的性质如下：
1°若项数为偶数2n，则
S
偶< br>－S
奇
＝nd
；
S
奇
＝
a
a
n
偶
S
(n?2)
；
n?1
2°若项数为奇数2n＋1，则
S
奇
－S
偶
＝a
n?1
；
S
偶
?na
n?1
；
S< br>奇
＝(n?1)a
n?1
；
S
偶
＝
n
.
S
奇
n?1
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 下列数列是等差数列的是（ ）.
A.
a
n
?n
2
B.
S
n
?2n?1

C.
S
n
?2n
2
?1
D.
S
n
?2n
2
?n

2. 等差数列{
a
n
}中，已知
S
15
?90
，那么
a
8< br>?
（ ）.
A. 3 B. 4 C. 6 D. 12
3. 等差数列{
a
n
}的前m项和为30，前2m项和 为100，则它的前
3m项和为（ ）.
A. 70 B. 130 C. 140 D. 170
4. 在小于100的正整数中共有 个数被7除余2，这些数的
和为 .
5. 在等差数列中，公差d＝
1
，
S
100
?145
，
2
则
a
1
?a
3
?a
5
?...?a< br>99
?
.

课后作业
1. 在项数为2n+1的等差数列中，所有奇数项和为165，所有偶数
项和为150，求n的值.




2. 等差数列{
a
n
}，a
1
?0
，
S
9
?S
12
，该数列前 多少项的和最小？




§2.4等比数列（1）

学习目标
1理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质；
2. 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模
能力；
3. 体会等比数列与指数函数的关系.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P
48
~ P
51
，找出疑惑之处）
复习1：等差数列的定义？
复习2：等差数列的通项公式
a
n
?
，
等差数列的性质有：
二、新课导学
※ 学习探究
观察：①1，2，4，8，16，…
②1，
1
，
1
，1
，
24
8
1
，…
16
③1，20，
20
2
，
20
3
，
20
4
，…
思考以上四个数列有什么共同特征
新知：
1. 等比数列定义：一般地，如果一个数列从第 项起， 一项
与它的 一项的 等于 常数，那么这个数列就叫做等比数
列.这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示（q≠0），
即：
a
n
a
n?1
= （q≠0）
2. 等比数列的通项公式：
a
2
?a
1
；
a
3
?a
2
q?(a
1
q)q?a< br>1
；

； … …
∴
a
n
?a
n?1
q?a
1
?
等式成立的条件

3. 等比数列中任意两项
a
n
与
a
m
的关系是：
※ 典型例题
例1 （1） 一个等比数列的第9项是
4
，公比是－
1
，求它的第1
9
a
4
?a
3
q?(a
1
q
2
)q?a
1

3
项；
（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与
第4项.






小结：关于等比数列的问题首先应想到它的通项 公式
a
n
?a
1
q
n?1
.

例2 已知数列{
a
n
}中，lg
a
n
?3n?5
，试用定义证明数列{
a
n
}是等比
数列.






小结：要证明一个数列是等比数列，只需证明对于任意正整数n，

a
n?1
a
n
是一个不为0的常数就行了.
※ 动手试试
练1. 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这
种物质是原来的84％. 这种物质的半衰期为多长(精确到1年)?


练2. 一个各项均正的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两
项之和，则公比
q?
（ ）. A.
D.
5?1

2
3
2
B.
35
2
C.
5?1

2

三、总结提升
※ 学习小结
1. 等比数列定义；
2. 等比数列的通项公式和任意两项
a
n
与
a
m
的关系.
※ 知识拓展
在等比数列
{a
n
}
中，
⑴ 当
a
1
?0
，q >1时，数列
{a
n
}
是递增数列；
⑵ 当
a
1
?0
，
0?q?1
，数列
{a
n
}
是递增 数列；
⑶ 当
a
1
?0
，
0?q?1
时，数列< br>{a
n
}
是递减数列；
⑷ 当
a
1
?0
，q >1时，数列
{a
n
}
是递减数列；
⑸ 当
q?0
时，数列
{a
n
}
是摆动数列；
⑹ 当
q?1
时，数列
{a
n
}
是常数列.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 在
?
a
n
?
为等比数列，
a
1
?12
，
a
2< br>?24
，则
a
3
?
（ ）.
A. 36 B. 48 C. 60 D. 72
2. 等比数列的首项为
9
，末项 为
1
，公比为
2
，这个数列的项数n
83
3
＝（ ）.
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3. 已知数列a， a（1－a），
a(1?a)
2
，…是等比数列，则实数a的
取值范围是（ ）.
A. a≠1 B. a≠0且a≠1
C. a≠0 D. a≠0或a≠1
4. 设
a
1
，
a
2
，
a
3
，
a
4
成等比数列，公比为2，则
2a
1
?a
2
＝ .
2a
3
?a
4
5. 在等比数列
{a
n
}
中，
2a
4
?a
6
?a
5
，则公比q＝ .

课后作业
在等比数列
{a
n
}
中，
⑴
a
4
?27
，q＝－3，求
a
7
；
⑵
a
2
?18
，
a
4
?8
，求
a
1
和q；
⑶
a
4
?4
，
a
7
?6
，求
a
9
；
⑷
a
5< br>?a
1
?15,a
4
?a
2
?6
，求
a
3
.



§2.4等比数列（2）

学习目标
1.灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；
2. 熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数
列的方法.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P
51
~ P
54
，找出疑惑之处）
复习1：等比数列的通项公式
a
n
?
= .
公比q满足的条件是
复习2：等差数列有何性质？
二、新课导学
※ 学习探究
问题1：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G， b成等比数列，
则
G
?
b
?G
2
?ab?G?
aG
新知1：等比中项定义
如果在a与b中间插入一个数G ，使a，G，b成等比数列，那么
称这个数G称为a与b的等比中项. 即G= （a，b同号）.

试试：数4和6的等比中项是 .
问题2： < br>1.在等比数列{
a
n
}中，
a
5
2
?a< br>3
a
7
是否成立呢？


2.
a
n
2
?a
n?1
a
n?1
(n?1)
是否成立？你 据此能得到什么结论？

3.
a< br>n
2
?a
n?k
a
n?k
(n?k?0)
是 否成立？你又能得到什么结论？


新知2：等比数列的性质
在等比数 列中，若m+n=p+q，则
a
m
a
n
?a
p
a< br>k
.

试试：在等比数列
?
a
n
?
，已知
a
1
?5,a
9
a
10
?100
，那么
a
18
?
.






※ 典型例题
例1已知
{a
n
},{bn
}
是项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写
表格，从中你能得出什么结论 ?证明你的结论.
例 自选1 自选2

a
n

b
n

a
n
gb
n

{a
n
gb
n
}
2
3?()
n

3
?5?2
n?1

4
?10?()
n?1

3








是否等
比


是

变式：项数相同等比数列{
a
n
}与 {
b
n
}，数列{
a
n
}也一定是等比数列
bn
吗？证明你的结论.



小结：两个等比数列的积和商仍然是等比数列.
例2在等比数列{
a
n}中，已知
a
4
ga
7
??512
，且
a3
?a
8
?124
，公比为整数，
求
a
10< br>.






变式：在等比数列{a
n
}中，已知
a
7
ga
12
?5
， 则
a
8
ga
9
ga
10
ga
11
?
.




※ 动手试试
练1. 一个直角三角形三边成等比数列，则（ ）.
A. 三边之比为3：4：5 B. 三边之比为1：
3
：3
C. 较小锐角的正弦为
5?1

2
D. 较大锐角的正弦为
5?1

2
练2. 在 7和56之间插入
a
、
b
，使7、
a
、
b
、56成等比数列，若
插入
c
、
d
，使7、
c
、< br>d
、56成等差数列，求
a
＋
b
＋
c
＋d
的值.

三、总结提升
※ 学习小结
1. 等比中项定义；
2. 等比数列的性质.
※ 知识拓展
公比为q的等比数列
{a
n
}
具有如下基本性质：
1. 数列
{|a
n
|}
，
{a
n
2
}
，
{ca
n
}(c?0)
，
{a
nm
}(m?N< br>*
)
，
{a
n
k
}
等，也为等比数
列，公比分别为
|q|,q
2
,q,q
m
,q
k
. 若数列
{b
n
}
为等比数列，则
{a
n
gb
n
}
，
{
a
n
}
b
n
也等比.
2. 若
m?N
*
，则
a
n
?a
m
gq
n?m
. 当m=1时，便得到等比数列的通项公式.
3. 若
m? n?k?l
，
m,n,k,l?N
*
，则
a
m
ga
n
?a
k
ga
l
.
4. 若
{a
n
}
各项为正，c>0，则
{log
c
a
n
}< br>是一个以
log
c
a
1
为首项，
log
c< br>q
为
公差的等差数列. 若
{b
n
}
是以d为公差的 等差数列，则
{c
b
}
是以
c
b
为
首项，
c
d
为公比的等比数列. 当一个数列既是等差数列又是等比数
列时，这个数列是非零的常数列.
n
1
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
a
2
a
4
?2a
3
a
5
?a5
2
?16
，
a
n
?0
，1. 在
?
a
n
?
为等比数列中，那么
a
3
?a
5< br>?
（ ）.
A. ±4 B. 4 C. 2 D. 8
2. 若－9，a
1
，a
2
，－1四个实数成等差数列，－9，b< br>1
，b
2
，b
3
，

－1五个实数成等比数列，则b
2
(a
2
－a
1
)＝（ ）.
A．8 B．－8 C．±8 D．
9

8
3. 若正数a，b，c依次成公比大于1的等比数列，则当x>1时，
loga
x
，
log
b
x
，
log
c
x
（ ）
A.依次成等差数列 B.各项的倒数依次成等差数列
C.依次成等比数列 D.各项的倒数依次成等比数列
4. 在两数1，16之间插入三个数，使它们成为等比数列，则中间
数等于 .
5. 在各项都为正数的等比数列
?
a
n
?
中，
a
5ga
6
?9
，
则log
3
a
1
+ log
3
a
2
+
…
+
log
3
a
10
?
.

课后作业
1. 在
?
a
n
?
为等比数列中，
a
1
ga
9
?64
，
a
3
?a
7< br>?20
，求
a
11
的值.






2. 已知等差数列
?
a
n
?
的公差 d≠0，且
a
1
，
a
3
，
a
9
成 等比数列，求
a
1
?a
3
?a
9
a
2?a
4
?a
10
.

§2.5等比数列的前n项和(1)

学习目标
1. 掌握等比数列的前n项和公式；
2. 能用等比数列的前n项和公式解决实际问题.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P
55
~ P
56
，找出疑惑之处）
复习1：什么是数列前n项和？等差数列的数列前n项和公式是什
么？
复习2：已知 等比数列中，
a
3
?3
，
a
6
?81
，求
a
9
,a
10
.
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务： 等比数列的前
n
项和
故事：“国王对国际象棋的发明者的奖励”
新知：等比数列的前n项和公式
设等比 数列
a
1
,a
2
,a
3
,La
n
L
它的前n项和是
S
n
?
a
1
?a
2?a
3
?La
n
，公比
为q≠0，
公式的推导方法一：
?
S
n
?a
1
?a
1
q?a
1
q
2
?
L
a
1
qn?2
?a
1
q
n?1
?
则
?

qS?
?
?
n
?(1?q)S
n
?

当
q?1
时，
S
n
?
①
或
S
n
?
②

当q=1时，
S
n
?

公式的推导方法二：
由等比数列的定义，
a
2
a
1
?
a
3
a
?L?
n
?q
，
a
2
a
n?1
a
2
?a
3
?
L
?a
n
S?a
?
n1
?q
，
a
1
? a
2
?
L
?a
n?1
S
n
?a
n
有
即
S
n
?a
1
?q
.
S
n
?a
n
∴
(1?q)S
n
?a1
?a
n
q
（结论同上）
公式的推导方法三：
S< br>n
?
a
1
?a
2
?a
3
?Lan

＝
a
1
?q(a
1
?a
2
?a
3
?La
n?1
)

＝
a
1
?qS
n?1
＝
a
1
?q(S
n
?an
)
.
∴
(1?q)S
n
?a
1
?a
n
q
（结论同上）
试试：求等比数列
1
，
1
，
1
，…的前8项的和.
24
8



※ 典型例题
例1已知a
1
=27，a
9
=








1
，q<0，求这个等比数列前
243
5项的和.