高中数学选修2-1学法大视野-网校高中数学老师司马红丽等差数列
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期末测试题
考试时间：90分钟 试卷满分：100分
一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分.
在每小题的4个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．在等差数列3，7，11，…中，第5项为( )．
A．15 B．18
C．19 D．23
2．数列{
a
n
}中，如果
a
n
＝3
n
(
n
＝1，2，3，…) ，那么这个数列是(
)．
A．公差为2的等差数列
C．首项为3的等比数列
B．公差为3的等差数列
D．首项为1的等比数列
3．等差数列{
a
n
}中，
a
2
＋
a
6
＝8，
a
3
＋
a
4
＝3，那么它的公差是( )．
A．4 B．5 C．6
D．7
4．△
ABC
中，∠
A
，∠
B
，∠
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
．若
a<
br>＝3，
b
＝4，∠
C
＝60°，
则
c
的值等
于( )．
A．5 B．13 C．
13
D．
37
5．数列{
a
n
}满足
a
1<
br>＝1，
a
n
＋1
＝2
a
n
＋1(
n
∈N
＋
)，那么
a
4
的值为( )．
A．4 B．8 C．15 D．31
6．△
ABC
中，如果
A．直角三角形
abc
＝＝，那么△
ABC
是( )．
tanAtanBtanC
B．等边三角形
D．钝角三角形 C．等腰直角三角形
7
．如果
a
＞
b
＞0，
t
＞0，设
M
＝A．
M
＞
N
C．
M
＝
N
a
a?t
，
N
＝，那么( )．
b
b?t
B．
M
＜
N
D．
M
与
N
的大小关系随
t
的变化而变化
8．如果{
a
n
}为递增数列，则{
a
n
}的通项公式可
以为( )．
A．
a
n
＝－2
n
＋3
C．
a
n
＝
B．
a
n
＝－
n
－3
n
＋1
D．
a
n
＝1＋log
2
n
2
1
2
n
9．如果
a
＜
b
＜0，那么( )．
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A．
a
－
b
＞0 B．
ac
＜
bc
C．
11
＞
ab
2
D．
a
＜
b
22
10．我们用以下程序框图来描述求解一
元二次不等式
ax
＋
bx
＋
c
＞0(
a
＞
0)的过程．令
a
＝2，
b
＝4，若
c
∈(0，1)，则输
出的为( )．
A．
M
否
判断Δ≥0?
是
否
计算Δ＝b
2
－4ac
输入a,b,c
B．
N
C．
P
开始
D．
?
x
1
?
计算
x
2
?
?b??
2a
?b??
2a
M＝(-∞，-
判断x
1
≠x
2
?
是
输出区间
bb
)∪(－，+∞)
2a2a
输出区间
N＝(-∞，x
1
)∪(x
2
，+∞)
输出区间
P(-∞，+∞)
结束
(第10题)
1
11．等差数列{
a
n
}中，已知
a
1
＝，
a
2
＋
a
5
＝4，
a
n
＝33，则
n
的值为( )．
3
A．50
B．49 C．48 D．47
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12．设
集合
A
＝{(
x
，
y
)|
x
，
y
，1―
x
―
y
是三角形的三边长}，则
A
所表示的
平面区域(不
含边界的阴影部分)是( )．
y
y
0.5
x
O
0.5
y
0.5
y
0.5
O0.5
0.5
x
O
0.5
C
x
O
0.5
D
x
A B
13．若{
a
n
}是等差数列，首项
a
1
＞0，<
br>a
4
＋
a
5
＞0，
a
4
·
a
5
＜0，则使前
n
项和
S
n
＞0成立
的
最大自然数
n
的值为( )．
A．4 B．5
2
C．7 D．8
14．已知数列{
a
n
}的
前
n
项和
S
n
＝
n－
9
n
，第<
br>k
项满足5＜
a
k
＜8，则
k
＝( )．
A．9 B．8 C．7 D．6
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在题中横线上．
15．已知
x
是4和16的等差中项，则
x
＝
．
16．一元二次不等式
x
＜
x
＋6的解集为
．
17．函数
f
(
x
)＝
x
(1－
x<
br>)，
x
∈(0，1)的最大值为 ．
18．在数列{<
br>a
n
}中，其前
n
项和
S
n
＝3·2＋k
，若数列{
a
n
}是等比数列，则常数
k
的值
为 ．
三、解答题：本大题共3小题，共28分.
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19．△
ABC
中，
BC＝7，
AB
＝3，且
(1)求
AC
的长；
(2)求∠
A
的大小．
n
2
3
sinC
＝．
sinB
5
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20．某工厂修建一个长方体无盖蓄水池，其容积为4 800立方米，深度为3米．池底每
平
方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形的长为
x
米．
(1)求底面积，并用含
x
的表达式表示池壁面积；
(2)怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少?
21．已知等差数列{
a
n
}的前
n
项的和记为
S
n
．如果
a
4
＝－12，
a
8
＝－4．
(1)求数列{
a
n
}的通项公式；
(2)求
S
n
的最小值及其相应的
n
的值；
(3
)从数列{
a
n
}中依次取出
a
1
，
a
2
，
a
4
，
a
8
，…，
a
2
n
－
1
，…，构成一个新的数列{
b
n
}，求
{
b
n
}的前
n
项和．
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参考答案
一、选择题
1．C
7．A
2．B
8．D
14．B
3．B
9．C
4．C 5．C 6．B
12．A 10．B 11．A
13．D
二、填空题
15．10．
16．(－2，3)．
17．
1
．
4
18．－3．
三、解答题
19．解：(1)由正弦定理得
ACABABsinC
3
5?3
?
＝＝＝
?
AC
＝＝5．
5
3
sinCAC
sinBsinB
(2)由余弦定理得
1
AB
2
?AC
2
?BC
2
9?25?49
cos
A
＝＝＝－，所以∠
A
＝120°．
2AB?AC
2?3?5
2
4 800
20．解：(1)设水池的底
面积为
S
1
，池壁面积为
S
2
，则有
S
1
＝＝1 600(平方米)．
3
1 600
池底长方形宽为米，则
x
1 6001
600
S
2
＝6
x
＋6×＝6(
x
＋)．
xx
(2)设总造价为
y
，则
1
600
?
y
＝150×1
600＋120×6
?
?
x＋
?
≥240 000＋57
600＝297 600．
x
??
1
600
当且仅当
x
＝，即
x
＝40时取等号．
x
所以
x
＝40时，总造价最低为297 600元．
答：当池底设计为边长40米的正方形时，总造价最低，其值为297 600元．
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21．解：(1)设公差为
d
，由题意，
?
a
1
＋3d＝－12,
?
a
4
＝－12,
?
?
a＝－4
?
a
8
?
?
1
＋7d＝－4．
?
d＝2，
解得
?
?
a
1
＝－18．
所以
a
n
＝2
n
－20．
(2)由数列{
a
n
}的通项公式可知，
当
n
≤9时，
a
n
＜0，
当
n
＝10时，
a
n
＝0，
当
n
≥11时，
a
n
＞0．
所以当
n<
br>＝9或
n
＝10时，由
S
n
＝－18
n
＋<
br>n
(
n
－1)＝
n
－19
n
得
S<
br>n
取得最小值为
S
9
＝
S
10
＝－90．
(3)记数列{
b
n
}的前
n
项和为
T
n
，由题意可知
2
b
n
＝
a
2
n?1＝2×2
n
－1
－20＝2
n
－20．
所以
T
n
＝
b
1
＋
b
2
＋
b
3
＋…＋
b
n
＝(2－20)＋(2－20)＋(2－20)＋…＋(2－20)
＝(2＋2＋2＋…＋2)－20
n
123
123
nn
2?2
n?1
＝－20
n
1?2
＝2－20
n
－2．
n
+1
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