高中数学必修五考试题

精品教育
必修五阶段测试四(本册综合测试)
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
3
x
－1
1．不等式≥1的解集是( )
2－
x
?
?
?
3
A.
?
x
?
≤
x≤2
?
?
4
?

??
??
?
3
?
B.
?
x< br>?
4
≤
x
<2
??
??
?

??
3
??
?
?
C.
?
x
?
x
>2或
x
≤
4
??
?
??< br>
?
?
?
D．{
x
|
x
<2}
?
?
2．(2017·存瑞 中学质检)△
ABC
中，
a
＝1，
B
＝45°，
S
△
ABC
＝2，则△
ABC
外接圆的直径为( )
A．43 B．5 C．52 D．62
3．若
a
<0，则关于
x
的不等式
x
2
－4
ax
－5
a
2
>0的解为( )
A．
x
>5
a
或
x
<－
a
B．
x
>－
a
或
x
<5
a
C．－
a
<
x
<5
a
D．5
a
<
x
<－
a

11
4．若
a
＞0，
b
＞0，且lg(
a
＋
b
)＝－1，则 ＋的最小值是( )
ab
5
A. B．10 C．40 D．80
2
5．设
S
n
为等差 数列{
a
n
}的前
n
项和，若
a
1
＝1，
a
3
＝5，
S
k
＋2
－
S
k＝36，则
k
的值为( )
A．8 B．7 C．6 D．5
6．若
a
，
b
，
c
∈R，
a
>
b
，则下列不等式成立的是( )
1111
ab
A.< B.
2
>
2
C.
2
>
2
D．
a
|
c
|>
b
|
c
|
ab abc
＋1
c
＋1
7．已知等差数列{
a
n
}的公 差为
d
(
d
≠0)，且
a
3
＋
a
6
＋
a
10
＋
a
13
＝32，若
a
m
＝8，则
m
的值为( )
A．12 B．8 C．6 D．4
?
2
y
－
x
≤4，
8．若变量
x
，
y
满足约束条件
?
x
≥0 ，
?
y
≥0，
( )
x
＋
y
≤8，

且
z
＝5
y－
x
的最大值为
a
，最小值为
b
，则
a
—
b
的值是
A．48 B．30 C．24 D．16
17
S
n
－
S
2
n
9．设{
a
n
}是等比数列，公比
q
＝2，< br>S
n
为{
a
n
}的前
n
项和，记
T
n
＝(
n
∈N
*
)，设
Tn
0
为 数列{
T
n
}
a
n
＋1
的最大项，则
n< br>0
＝( )
-可编辑-

精品教育
A．2 B．3 C．4 D．5
1
2
10．设全集
U
＝R，
A
＝{
x
|2(
x
－1)<2}，
B
＝{
x
|log(
x
＋
x
＋1)>－log
2
(
x
2
＋2)}，
22
则图中阴影部分表示的集合为( )

A．{
x
|1≤
x
<2} B．{
x
|
x
≥1} C．{
x
|0<
x
≤1} D．{
x
|
x
≤1}
11．在等比数列{
a
n< br>}中，已知
a
2
＝1，则其前三项的和
S
3
的取值范 围是( )
A．(－∞，－1] B．(－∞，0]∪[1，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
?
?
1
?
?
12．( 2017·山西朔州期末)在数列{
a
n
}中，
a
1
＝1，
a
n
＋1
＝
a
n
＋
n
＋1，设数 列
??
的前
n
项和为
S
n
，若
S
n
<
m
?
?
a
n
?
?
对一切正整 数
n
恒成立，则实数
m
的取值范围为( )
A．(3，＋∞) B．[3，＋∞) C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．(2017·福建莆田二十四 中期末)已知数列{
a
n
}为等比数列，前
n
项的和为
S< br>n
，且
a
5
＝4
S
4
＋3，
a6
＝4
S
5
＋3，则此数列的公比
q
＝_______ _.
14．(2017·唐山一中期末)若
x
>0，
y
>0，x
＋2
y
＋2
xy
＝8，则
x
＋2
y
的最小值是________．
15．如右图，已知两座灯塔
A
和
B
与海洋观察站
C
的距离都等于3
a
km，灯塔
A
在观察站
C
的北偏
东20°.灯塔
B
在观察站
C
的南偏东40°，则灯塔
A
与灯塔
B
的距离为________．

16．已知
a
，
b
，
c
分别为△
ABC< br>三个内角
A
，
B
，
C
的对边，
a
＝ 2，且(2＋
b
)(sin
A
－sin
B
)＝(
c
－
b
)sin
C
，
则△
ABC
面积的最大 值为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
??
?
?
1
?
17．(10分)(2017·山西太原期末)若关于
x
的 不等式
ax
＋3
x
－1>0的解集是
?
x
?
<
x
<1
?
.
?
?
2
?
??
2

(1)求
a
的值；
(2)求不等式
ax
2
－3< br>x
＋
a
2
＋1>0的解集．
-可编辑-

精品教育
1
→→
18.(12分)在△
ABC中，内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，且
a
>
c
.已知
BA
·
BC
＝2，cos
B
＝，
b
＝
3
3.求：
(1)
a
和
c
的值； (2)cos(
B
－
C
)的值．
1
19．(12分)(2 017·辽宁沈阳二中月考)在△
ABC
中，角
A
，
B
，< br>C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，且cosA
＝.
3
(1)求sin
2
B
＋
C
2
＋cos2
A
的值；
(2)若
a
＝3，求
bc
的最大值．
33
20. (12分)(2017·长春十一高中期末)设数列{
a
n
}的各项都是正数，且对于
n
∈N
*
，都有
a
3
1
＋
a2
＋
a
3
＋…＋
2
a
3
n
＝
S
n
，其中
S
n
为数列{
a
n
} 的前
n
项和．
(1)求
a
2
；
(2)求数列{
a
n
}的通项公式．
?
x
＋2< br>y
≤2
n
，
21．(12分)已知点(
x
，
y
)是区域
?
x
≥0，
?
y
≥0
(1)证 明：数列{
a
n
－2}为等比数列；
(2)求数列{
S
n
}的前
n
项和
T
n
.

(
n< br>∈N
＋
)内的点，目标函数
z
＝
x
＋
y，
z
的最大值记作
z
n
.
若数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
，
a
1
＝ 1，且点(
S
n
，
a
n
)在直线
z
n＝
x
＋
y
上．
22.(12分)某投资商到一开发区投资72 万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出12万元，以后每年支出
增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售 收入50万元．设
f
(
n
)表示前
n
年的纯利润总和(f
(
n
)＝前
n
年的总收入
－前
n
年 的总支出－投资额)．
(1)该厂从第几年起开始盈利？
(2)若干年后，投资商为开发新 项目，对该厂有两种处理方法：①年平均纯利润达到最大时，以48万元
出售该厂；②纯利润总和达到最 大时，以16万元出售该厂，问哪种方案更合算？

答案与解析
1．B
3
x
－13
x
－13
x
－1－2－
x
由≥ 1，可得－1≥0，所以
2－
x
2－
x
2－
x
4< br>x
－3
≥0，即≥0，所以
2－
x
x
－2≤0，3
?
4
x
－3
解得≤
x
<2.
?
4
?
x
－2≠0，

-可编辑-

精品教育
故选B.
1
2．C ∵
S
△
ABC
＝
ac
sin
B
＝2，
2
12
∴×1×
c
＝2，∴
c
＝42，
22
2
∴
b
＝
c
＋
a
－2
ac< br>cos
B
＝32＋1－2×1×42×＝25，
2
222
∴
b
＝5，∴外接圆的直径为
b
5
＝＝52，故选C.
sin
B
2
2
3．B (
x
＋
a
)(
x
－5
a
)>0. ∵
a
<0, ∴－
a
>5
a
.
∴
x>－
a
或
x
<5
a
，故选B.
1
4．C 若lg(
a
＋
b
)＝－1，则
a
＋
b
＝，
10
11
?
11
?
∴＋＝10
?
＋
?
(
a
＋
b
)＝
ab
?
ab
?
?
ba
?
10
?
2＋＋
?
≥10(2＋ 2)＝40.
?
ab
?
1
当
a
＝
b＝时，“＝”成立，故选C.
20
5－1
5．A ∵
a
1＝1，
a
3
＝5，∴公差
d
＝＝2，
2
∴< br>a
n
＝1＋2(
n
－1)＝2
n
－1，
S
k
＋2
－
S
k
＝
a
k
＋2
＋
a
k
＋1
＝2(
k
＋2)－1＋2(
k
＋1)－1＝4
k
＋4＝36，∴
k
＝8，故选A.
6．C ∵
a
>
b
，
1
ab
>0，∴>，故选C.
c
2
＋1
c
2
＋1
c
2
＋1
7 ．B 由等差数列的性质知，
a
3
＋
a
6
＋
a10
＋
a
13
＝4
a
8
＝32，
∴
a
8
＝8.又
a
m
＝8，∴
m
＝8.
8．C
如图所示，当直线
z
＝5
y
－
x
经过
A
点时
z
最大，即
a
＝16，经过
C
点时
z
最小，即
b
＝－8，∴
a
－
b
＝
-可编辑-

精品教育
24，故选C.
9．A
S
n
＝
a
1
2
n
－1
2－1
＝< br>a
1
(2－1)，
S
2
n
＝
n
a< br>1
2
2
n
－1
2－1
＝
a
1
(2
2
n
－1)，
a
n
＋1
＝
a
1
·2
n
，
17
S
n
－
S
2
n
17
a
1
2
n
－1－
a
12
2
n
－1
?
n
16
?
∴
T
n
＝＝＝17－
?
2＋
2
n
?
≤17－8 ＝9，当且仅当
n
＝2时取等号，∴
a
n
＋1
a
1
·2
n
??
数列{
T
n
}的最大项为
T< br>2
，则
n
0
＝2，故选A.
10．A 由2(
x
－1)
2
<2，得(
x
－1)
2
<1.解得0<< br>x
<2.
1
∴
A
＝{
x
|0<
x
<2}．由log(
x
2
＋
x
＋1)>－log
2
(
x
2
＋2)，
2
得log
2
(
x
2
＋
x
＋1)2
(
x
2＋2)．
?
则
?
x
＋2>0，
?
x
＋
x
＋1<
x
＋2.
2
22
x
2
＋
x
＋1>0，

解得
x
<1.
∴
B< br>＝{
x
|
x
<1}．∴?
U
B
＝{
x
|
x
≥1}．
∴阴影部分表示的集合为
(?
U
B
)∩
A
＝{
x
|1≤
x
<2}．
1
11．D 设数列{
a
n
}的公比为
q
，则a
2
＝
a
1
q
＝1，∴
q
＝， a
1
∴
S
3
＝
a
1
＋
a2
＋
a
3
＝
a
1
＋
a
1q
＋
a
1
q
＝
a
1
＋1＋，当
a
1
>0时，
S
3
≥1＋2
2
1
a1
a
1
·＝3，当且仅当
a
1
＝1时，取
a< br>1
1
等号；当
a
1
<0时，
S
3
≤ 1－2＝－1，当且仅当
a
1
＝－1时，取等号．
故
S
3
的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
12．D
a
1
＝1，
a
n
＋1
－
a
n＝
n
＋1，
a
n
＝(
a
n
－
a
n
－1
)＋(
a
n
－1
－
a
n
－2
)＋…＋(
a
2
－
a
1
)＋
a
1

＝(
n
－1＋1)＋(
n
－2＋1)＋…＋(1＋1)＋1
＝
n
＋(
n
－1)＋(
n
－2)＋…＋2＋1＝
当
n
＝1时，也满足上式，
∴
a
n
＝
1
＝
nn
＋1
2
，
nn
＋1
2
，
a
n
n
1
?
2
?
1
＝2
?－
?
，
n
＋1
?
nn
＋1
?
-可编辑-

精品教育
11
??
111
∴
S
n
＝2
?
1－＋－＋…＋－
＝
nn
＋1
?
?
223
?
1
??
2
?
1－
?
.
?
n
＋1
?
∵
S
n
<
m
对一切正整数
n
恒成立，∴
m
≥2，故选D.
13．5
解析：由题可得
a
5
－
a
6
＝4
S
4－4
S
5
＝－4
a
5
，
∴
a
6
＝5
a
5
，∴
q
＝5.
14．4
解析：∵
x
＋2
y
＋2
xy
＝8，
又2
xy
≤
?
?
x
＋2
y
?
2
?
，
?
2
?
?
x
＋2
y
?< br>2
∴
x
＋2
y
＋
??
≥8，
?< br>2
?
1
∴(
x
＋2
y
)
2
＋
x
＋2
y
－8≥0，
4
∴
x
＋2
y
≥4，
当且仅当
x
＝2
y
＝2时，等号成立．
∴
x
＋2
y
的最小值为4.

15.3
a
km
解析：由题意知，∠
ACB
＝120°，
∴
AB
2
＝3
a
2
＋3
a
2
－23
a
×3
a
cos120°＝9
a
2,

∴
AB
＝3
a
km.
16.3
解析：由正弦 定理及(2＋
b
)(sin
A
－sin
B
)＝(
c
－
b
)sin
C
，得(2＋
b
)(
a－
b
)＝(
c
－
b
)
c
，又
a
＝2，
∴
b
2
＋
c
2
－
a< br>2
＝
bc
.由余弦定理得
b
2
＋
c
2
－
a
2
bc
1
cos
A
＝＝＝，∴< br>A
＝60°.
2
bc
2
bc
2
又2
2
＝
b
2
＋
c
2
－2
bc
co s60°＝
b
2
＋
c
2
－
bc
≥2
bc
－
bc
，
∴
bc
≤4.当且仅当
b
＝
c
时取等号．
-可编辑-

精品教育
113
∴
S
△ABC
＝
bc
sin
A
≤×4×＝3.
222
1
17．解：(1)依题意，可知方程
ax
2
＋3
x
－1 ＝0的两个实数根为和1，
2
1311
∴＋1＝－且×1＝－解得
a
＝－2，
2
a
2
a
∴
a
的值为－2，
(2)由( 1)可知，不等式为－2
x
2
－3
x
＋5>0，即2
x2
＋3
x
－5<0，
5
∵方程2
x
2
＋3
x
－5＝0的两根为
x
1
＝1，
x
2
＝－，
2
??
?
?
5
?
∴不等式
ax
－3
x
＋
a
＋1>0的解集为
?
x
?－
<
x
<1
?
.
2
??
?
?
?
22

1
18．解 ：(1)由
BA
·
BC
＝2得
c
·
a
co s
B
＝2，又cos
B
＝，所以
ac
＝6.
3< br>→→
由余弦定理，得
a
2
＋
c
2
＝
b
2
＋2
ac
cos
B
.
又
b
＝3，所以
a
2
＋
c
2
＝9＋2×2＝13.
?
ac
＝6，
解
?
22
得
a
＝2，
c
＝3或
a
＝3，
c
＝2.
?
a
＋c
＝13，
因
a
>
c
，所以
a
＝3，
c
＝2.
(2)在△
ABC
中，sin
B
＝1－cos
B
＝
2

?
1
?
2
22
1－
??
＝，
3
?
3
?
c
22242
由正弦定理，得sin
C＝sin
B
＝×＝.
b
339
因
a
＝
b
>
c
，所以
C
是锐角，因此cos
C
＝1－s in
2
C
＝ 1－
?
?
42
?
2
7
?
＝
9
.
9
??
17224223
于 是cos(
B
－
C
)＝cos
B
cos
C
＋sin
B
sin
C
＝×＋×＝.
393927

1
19.解：(1)在△
ABC
中，∵cos
A
＝， 3
∴sin
2
B
＋
C
111
＋cos2
A
＝[1－cos(
B
＋
C
)]＋2cos
2
A
－1＝(1＋cos
A
)＋2cos
2
A
－1＝－. 2229
(2)由余弦定理知
a
2
＝
b
2
＋< br>c
2
－2
bc
cos
A
，
-可编辑-

精品教育
224
∴3＝
b
2
＋
c
2
－
bc
≥2
bc
－
bc
＝
bc
，
333
93
∴
bc
≤，当且仅当
b
＝
c
＝时，等号成立，
42
9
∴
bc
的最大值为.
4
2
20．解：(1)在已知式中，当
n
＝1时，
a
3
1
＝
a
1
，∵
a
1
>0，∴
a
1
＝1，
3332
当
n
≥2时，
a
3
1
＋
a
2
＋
a
3
＋…＋
a
n
＝
S
n
，①
3332
a
3
1
＋
a
2
＋
a
3
＋…＋
a
n
－1
＝
S
n
－1
，②
3
①－②得
a
n
＝
a
n
(2
a
1
＋2
a
2＋…＋2
a
n
－1
＋
a
n
)．
2< br>∵
a
n
>0，∴
a
2
n
＝2
a1
＋2
a
2
＋…＋2
a
n
－1
＋a
n
，即
a
n
＝2
S
n
－
a
n
，
∴
a
2
2
＝2(1＋
a
2
)－
a
2
，解得
a
2
＝－1或
a
2
＝2，
∵
a
n
>0，∴
a
2
＝2.
*
(2)由(1)知
a
2
n
＝2
S
n－
a
n
(
n
∈N)，③
当
n
≥2时 ，
a
2
n
－1
＝2
S
n
－1
－< br>a
n
－1
，④
2
③－④得
a
n
－
a
2
n
－1
＝2(
S
n
－
Sn
－1
)－
a
n
＋
a
n
－1
＝2
a
n
－
a
n
＋
a
n
－1＝
a
n
＋
a
n
－1
.
∵
a
n
＋
a
n
－1
>0，∴
a
n
－< br>a
n
－1
＝1，∴数列{
a
n
}是等差数列，首项为 1，公差为1，可得
a
n
＝
n
.

21.解：( 1)证明：由已知当直线过点(2
n,
0)时，目标函数取得最大值，故
z
n
＝2
n
.
∴方程为
x
＋
y
＝2
n
.
∵(
S
n
，
a
n
)在直线
z
n
＝
x< br>＋
y
上，∴
S
n
＋
a
n
＝2
n
.①
∴
S
n
－1
＋
a
n
－ 1
＝2(
n
－1)，
n
≥2.②
由①－②得，2
a
n
－
a
n
－1
＝2，
n
≥2.∴
a
n
－1
＝2
a
n
－2，
n
≥2. < br>又∵
a
n
－2
a
n
－21
＝＝＝，
n
≥2，
a
1
－2＝－1，
a
n
－1
－ 22
a
n
－2－22
a
n
－22
a
n－2
1
∴数列{
a
n
－2}是以－1为首项，为公比的等比数列 ．
2
?
1
?
n
－1
?
1
?n
－1
(2)由(1)得
a
n
－2＝－
??
， ∴
a
n
＝2－
??
.
?
2
??
2
?
?
1
?
n
－1
∵
S
n
＋
a
n
＝2
n
，∴
S
n
＝2
n
－
a
n
＝2
n
－2＋
??
.
?
2
?
??
1
????
1
????
1
??
∴
T
n
＝
?
0＋
??
0
?
＋
?
2＋
???
＋…＋
?
2
n
－ 2＋
??
n
－1
?

??
2
????2
????
2
??
-可编辑-

精品教育 ?
1
??
1
??
1
?
＝[0＋2＋…＋(2< br>n
－2)]＋
??
0
＋
??
＋…＋
??n
－1

?
2
??
2
??
2
?
n
2
n
－2
2
＝＋
?
1
?n
1－
??
?
2
?
1－
2
?
1
?
n
－1
＝
n
－
n
＋2－
??
.
1
?
2
?
2
nn
－1
??< br>×4
?
－72＝－2
n
2
＋40
n
－72. 22．解：由题意知
f
(
n
)＝50
n
－
?
12
n
＋
2
??
(1)由
f
(
n
)>0，即－2
n
2
＋40
n
－72>0，解得2<
n< br><18.由
n
∈N
＋
知，该厂从第3年起开始盈利．
fn< br>?
36
?
(2)方案①：年平均纯利润＝40－2
?
n
＋
?
，
n
?
n
?
36
∵
n
＋≥2
n
n
×＝12，当且仅当
n
＝6时取等号，
n
36
∴
fn
≤40－2×12＝16.
n
因此方案①共获利16×6＋48＝144(万元)，此时
n
＝6. 方案②：
f
(
n
)＝－2(
n
－10)
2＋128.从而方案②共获利128＋16＝144(万元)．比较两种方案，获利都是144万元，
但由于第一方案只需6年，而第②种方案需要10年，因此，选择第①种方案更合算．
单纯的课本内容 ，并不能满足学生的需要，
通过补充，达到内容的完善
教育之通病是教用脑的人不用手，不 教用手的人用脑，所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。

-可编辑-