人教A版高中数学必修五第二章2.2(一)

------------------------------------------- ------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点---------- -------------------------------------------









§2.2 等差数列(一)
课时目标
1．理解等差数列的概念．
2．掌握等差数列的通项公式．

1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一 项的差都等于同一个常数，那么这个
数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字 母
d
表示．
a
＋
b
2．若三个数
a
，< br>A
，
b
构成等差数列，则
A
叫做
a
与
b
的等差中项，并且
A
＝.
2
3．若等差数列的首项为
a
1
，公差为
d
，则其通项
a
n
＝
a1
＋(
n
－1)
d
.
4．等差数列{
an
}中，若公差
d
>0，则数列{
a
n
}为递增数列； 若公差
d
<0，则数列{
a
n
}为
递减数列．


一、选择题
1．已知等差数列{
a
n
}的通项公式
a
n
＝3－2
n
，则它的公差< br>d
为( )
A．2B．3
C．－2D．－3
答案 C
2．△
ABC
中，三内角
A
、
B
、
C
成 等差数列，则角
B
等于( )
A．30°B．60°
C．90°D．120°
答案 B
*
3．在数列{
a
n
}中，
a
1
＝2,2
a
n
＋1
＝2
a
n
＋1(
n
∈N)，则
a
101
的值为( )
A．49B．50
C．51D．52
信达

---- -------------------------------------------------- -------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点--------------------- --------------------------------



答案 D
4．一个等差数列的前4项是
a
，
x
，
b,
2
x
，则等于( )
11
A.B.
42
12
C.D.
33
答案C
?
?
2
x
＝
a
＋
b
，
x
3
解析
?
∴
a
＝，
b
＝
x
.
22?
2
b
＝
x
＋2
x
，
?
a< br>1
∴＝.
b
3
5．设{
a
n
}是递增等差 数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是( )
A．1B．2C．4D．6
答案 B
解析 设前三项分别为
a
－
d
，
a，
a
＋
d
，则
a
－
d
＋
a< br>＋
a
＋
d
＝12且
a
(
a
－
d
)(
a
＋
d
)＝48，
解得
a
＝4且
d
＝±2，又{
a
n
}递增，∴
d
>0，即
d
＝2，∴
a
1
＝2.
6．等差数列{
a
n< br>}的公差
d
<0，且
a
2
·
a
4
＝ 12，
a
2
＋
a
4
＝8，则数列{
a
n< br>}的通项公式是( )
*
A．
a
n
＝2
n
－2(
n
∈N)
*
B．
a
n
＝2
n< br>＋4(
n
∈N)
*
C．
a
n
＝－2
n
＋12(
n
∈N)
*
D．
a
n
＝－ 2
n
＋10(
n
∈N)
答案 D
a
b

a
2
·
a
4
＝12，
?
?
解析 由
?
a
2
＋
a
4
＝8，
?
?d
<0，

?
?
a
2
＝6，
?
?
?
a
4
＝2，
?

?
?
a< br>1
＝8，
?
?
?
d
＝－2，
?


所以
a
n
＝
a
1
＋(
n
－1)
d
，即
a
n
＝8＋(
n
－1)×(－2) ，
得
a
n
＝－2
n
＋10.
二、填空题 11
7．已知
a
＝，
b
＝，则
a
、
b
的等差中项是
3＋23－2
_________________________ _______________________________________________．
答案 3
8．一个等差数列的前三项为：
a,
2
a
－1, 3－
a
.则这个数列的通项公式为________．
1
答案
a
n
＝
n
＋1
4
5
解析 ∵
a
＋(3－
a
)＝2(2
a
－1)，∴
a
＝.
4
537
∴这个等差数列的前三项依次为，，.
424
151n
∴
d
＝，
a
n
＝＋(
n
－1)×＝ ＋1.
4444
9．若
m
≠
n
，两个等差数列
m
、
a
1
、
a
2
、
n
与
m
、
b
1
、
b
2
、
b
3
、
n
的公差为
d
1
和
d
2
，则的
值 为________．
4
答案
3
信达
d
1
d
2

--------------------------------- ----------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点 -------------------------------------------------- ---



1
解析
n
－
m
＝ 3
d
1
，
d
1
＝(
n
－
m
)．
3
1
又
n
－
m
＝4
d
2
，
d
2
＝(
n
－
m
)．
41
?
n
－
m
?
d
1
3
4∴＝＝.
d
2
13
?
n
－
m
?4
10．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是_______ _．
8
答案 <
d
≤3
3
解析 设
a
n
＝－24＋(
n
－1)
d
，
?< br>?
a
9
＝－24＋8
d
≤0
由
?
?
a
10
＝－24＋9
d
>0
?

8
解得：<
d
≤3.
3
三、解答题
11．已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．
解 设这四个数为
a
－3
d
，
a
－
d，
a
＋
d
，
a
＋3
d
，则由题设得
?
?
?
a
－3
d
?＋?
a
－d
?＋?
a
＋
d
?＋?
a
＋3
d?＝26，
?

?
?
a
－
d
??a
＋
d
?＝40，
?

?
?
4
a
＝26，
∴
?
22
?
a
－
d
＝40.
?

13
a
＝，
?
?
2
解得
?
3
d
＝
?
?
2

13< br>a
＝，
?
?
2
或
?
3
d
＝ －
?
?
2
.
4
所以这四个数为2,5,8,11
或 11,8,5,2.
12．已知数列{
a
n
}满足
a
1< br>＝4，
a
n
＝4－
(1)求证：数列{
b
n
}是等差数列；
(2)求数列{
a
n
}的通项公式．
4
(1)证明 ∵
a
n
＝4－(
n
≥2)， a
n
－1
(
n
≥2)，令
b
n
＝1
.
a
n
－2
a
n
－1
4
*
∴
a
n
＋1
＝4－(
n
∈N)．
a< br>n
∴
b
n
＋1
－
b
n
＝
1 111
a
n
1
a
n
－21
－＝－＝－＝＝. a
n
＋1
－2
a
n
－24
a
n
－22?
a
n
－2?
a
n
－22?
a
n
－2?2
2－
a
n
1
*
∴
b
n< br>＋1
－
b
n
＝，
n
∈N.
2
11
∴{
b
n
}是等差数列，首项为，公差为.
22
111
(2)解
b
1
＝＝，
d
＝.
a
1
－222
11
n
∴
b
n
＝< br>b
1
＋(
n
－1)
d
＝＋(
n
－1 )＝.
222
1
n
2
∴＝，∴
a
n
＝2＋.
a
n
－22
n
能力提升
信达

- -------------------------------------------------- ----------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点------------------ -----------------------------------



13．一个等差数列的首项为
a
1
＝1，末项
a
n
＝41(
n
≥3)且公差为整数，那么项数
n
的取
值个数是( )
A．6B．7C．8D．不确定
答案 B
解析 由
a
n
＝
a
1
＋(
n
－1)
d
，得41＝1＋(
n
－1)
d
，
40
d
＝为整数，且
n
≥3.
n
－1
则
n
＝3,5,6,9,11,21,41共7个．
1
a
n
－1
2
a
n
－1
＋11
*
14．已知数列{
a
n
}满足
a
1
＝，且当n
>1，
n
∈N时，有＝，设
b
n
＝，
5< br>a
n
1－2
a
n
a
n
*
n
∈N.
(1)求证：数列{
b
n
}为等差数列．
(2)试问a
1
a
2
是否是数列{
a
n
}中的项？如果是 ，是第几项；如果不是，请说明理由．
a
n
－1
2
a
n< br>－1
＋11－2
a
n
2
a
n
－1
＋ 1
*
(1)证明 当
n
>1，
n
∈N时，＝
?
＝
a
n1－2
a
n
a
n
a
n
－1
11111
?
－2＝2＋
?
－＝4?
b
n
－
b
n
－1
＝4，且
b
1
＝＝5.
a
n
a
n
－1
a
n
a
n
－1
a
1
∴{
b
n
}是等差数列，且公差为4，首项为5.
(2)解 由(1)知
b
n
＝
b
1
＋(
n
－1)
d＝5＋4(
n
－1)＝4
n
＋1.
11
*
∴
a
n
＝＝，
n
∈N.
b
n
4
n
＋1
11111
∴
a
1
＝，
a
2
＝，∴
a
1
a
2
＝.令
a
n
＝＝，
59454
n
＋145
∴
n
＝11.
即
a
1
a
2
＝
a
11
，∴
a
1a
2
是数列{
a
n
}中的项，是第11项．

1．判断一个数列{
a
n
}是否是等差数列，关键是看
a
n
＋1
－
a
n
是否是一个与
n
无关的常数．
2． 由等差数列的通项公式
a
n
＝
a
1
＋(
n
－1)
d
可以看出，只要知道首项
a
1
和公差
d
， 就可
以求出通项公式，反过来，在
a
1
、
d
、
n< br>、
a
n
四个量中，只要知道其中任意三个量，就可
以求出另一个量．
3．三个数成等差数列可设为：
a
－
d
，
a
，a
＋
d
或
a
，
a
＋
d
，a
＋2
d
；四个数成等差数列
可设为：
a
－3
d
，
a
－
d
，
a
＋
d
，
a
＋3
d
或
a
，
a
＋
d
，
a
＋2
d
，
a
＋3
d
.

信达