高中数学必修五知识点公式总结讲解学习

必修五数学公式概念

第一章 解三角形
1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理
1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
正弦定理推论：①
abc
??
.
sinAsinBsinC
abc
???2R
（
R
为三角形外接圆的半径）
sinAsinBsinC
asinAbsinBasinA
②
a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC
③
?

,?,?
bsinBcsinCcsinC
abca?b?c
④
a:b:c?sinA:sinB:sinC
⑤
???
sin AsinBsinCsinA?sinB?sinC
2、解三角形的概念：一般地，我们把三角形的各个 角即他们所对的边叫做三角形的元素。
任何一个三角形都有六个元素：三条边
(a,b,c)< br>和三个内角
(A,B,C)
.在三角形中，已知三
角形的几个元素求其他元素的 过程叫做解三角形。
3、正弦定理确定三角形解的情况
图 形 关 系 式
①
a?bsinA

②
a?b


解 的 个 数
一 解
A
4、任意三角形面积公式为：

为
锐
角
bsinA?a?b


两 解




a?bsinA

无 解
A
为
钝
角
或
直
角
a?b


一 解
a?b


无 解
必修五 数学
1

111abc
S
V
ABC
?bcsin A?acsinB?absinC?
2224R

r
?p(p?a)(p? b)(p?c)?(a?b?c)?2R
2
sinAsinBsinC
2
1.1.2 余弦定理
5、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边 与它们的夹角
的余弦的积的两倍，即
222222

a?b?c?2b ccosA
，
b?a?c?2cacosB
，
c?a?b?2abcosC< br>.
222
b
2
?c
2
?a
2
a< br>2
?c
2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2
余弦定理推论：
cosA?
，
cosB?
，
cosC?

2bc2ac2ab
6、不常用的三角函数值
15° 75° 105° 165°
sin
?

6?2

4
6?2

4
6?2

4
6?2

4
cos
?

6?2

4
6?2

4
?6?2

4
?
6?2

4
tan
?

2?3

2?3

?2?3

?2?3

1.2 应用举例
1、方位角：如图1，从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角。
2、方向角：如图2，从 指定线到目标方向线所成的小于90°的水平角。（指定方向线是指正
北或正南或正西或正东）
3、仰角和俯角：如图3，与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标
视线在水平 视线上方时叫做仰角，目标视线在水平视线下方时叫做俯角。






（1）方位角 （2）方向角 （3）仰角和俯角 （4）视角
4、视角：如图4，观察物体的两端，视线张开的角度称为视角。
5、铅直平行：于海平面垂直的平面。
6、坡角与坡比：如图5，坡面与水平面所成的夹角叫 坡角，坡面的铅直
高度与水平宽度的比叫坡比
?
i?
?
?
h
?
?
.
l
?
（5）坡角与坡比
必修五 数学
2

第二章 数 列
2.1 数列的概念与简单表示法
1、数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列。数列中的 每一个数都叫做这个数列
的项。数列中的每一项和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项 （也叫首项），
排在第二位的数称为这个数列的第2项，…，排在第
n
位的数称为这个 数列的第
n
项。所以，
数列的一般形式可以写成
a
1
，a
2
，
a
3
，…，
a
n
，…，简记为
?
a
n
?
.
2、数列的通项公式：如果数列
?< br>a
n
?
的第
n
项与序号
n
之间的关系可以用 一个式子来表示，
那么这个公式叫做这个数列的通项公式。
3、数列的递推公式：如果已知数 列的第1项（或前几项），且从第2项（或某一项）开始的
任一项
a
n
与它的 前一项
a
n
?1
（或前几项）（
n?2
）间的关系可以用一 个公式表示，那么
这个公式叫做这个数列的递推公式。定义式为
a
n
?2a< br>n?1
?1
（
n?1
）
4、数列与函数：数列可以看成以正 整数集
N
*
（或它的有限子集
?
1,2,3,4,…,n
?
）为定
义域的函数
a
n
?f
?
n
?
，当自变量按照从大到小的顺序依次取值时，所对应的一列函数值。
通项公式可以看成函数的解析式。
5、数列的单调性：若数列
?
a
n
?
满足：对一切正整数< br>n
，都有
a
n
?1?a
n
（或
a
n
?1?a
n
），
则称数列
?
a
n
?
为递增数列（或递减数列）。
判断方法：①转化为函数，借助函数的单调性，求数列的单调性；
②作差比较法，即作差比较
a
n?1
与
a
n
的大小；
2.2 等差数列
1、等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与 它的前一项的差等于同
一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常 用字母
d
表示。定义式为
a
n
?a
n?1
?d（
n?2
，
n?
N
*
）或
a
n?1< br>?a
n
?d
（
n?
N
*
）
2、等 差中项：由三个数
a
，
A
，
b
组成的等差数列可以看成最简 单的等差数列。这时，
A
叫做
a
与
b
的等差中项。

A
是
a
，
b
的等差中项
?
A ?
a?b
?
2A?a?b
?
A?a?b?A
.
2
*
3、等差中项判定等差数列：任取相邻的三项
a
n?1
，
a
n
，
a
n?1
（
n?2,n?
N
），则

a
n?1
，
a
n
，
a
n?1
成等差数列
?
2a
n
?a
n?1
?a
n? 1
（
n?2
）
?
?
a
n
?
是等差 数列。

必修五 数学
3

4、等差数列的通项公式a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d
，其中
a
1
为首项，变形为：
d
为公差。
d?
5、 通项公式的变形：
a
n
?a
m
?
?
n?m
?
d
，其中
a
m
为第
m
项。变形为
d?< br>*
a
n
?a
1
.
n?1
a
n
?a
m
.
n?m
6、等差数 列的性质：（1）若
n
，
m
，
p
，
q
?< br>N
，且
m?n?p?q
，则
a
m
?a
n?a
p
?a
q
；
（2）若
m?n?2p
，则
a
m
?a
n
?2a
p
；
（3）若
m
，
p
，
n
成等差数列，则
a
m
，a
p
，
a
n
成等差关系；
（4）若
?
a
n
?
成等差数列
?
a
n
?pn?q
（ 公差为
p
，首项为
p?q
）；
（5）若
?
cn
?
成等差数列，则
?
a
n
?
也成等差数列；
（6）如果
?
a
n
??
b
n
?
都 是等差数列，则
?
pa
n
?q
?
，
?
pa
n
?qb
m
?
也是等差数列。
2.3 等差数列的前
n
项和
?
S
1
?
n?1
?
1、一般数列
a
n
与
s
n
的关系为
an
?
?
.
?
S
n
?S
n?1
?
n?2
?
2、等差数列前
n
项和的公式：
S
n
?
n
?
a
1
?a
n
?
n
?
n?1
?
?na
1
?d

22
n
?
n?1
?
dd
??
d?n
2
?
?a
1
?
?
n
，
222
??
3、等差数 列前
n
项和公式的函数特征：（1）由
S
n
?na
1
?
令
A?
dd
2
，则
?
a
n
?
为等差数列
?
S
n
?An?B
n
（
A、B
为常数，其中
d?2A
，
B?a
1
?
，
2 2
a
1
?a?b
）. 若
A?0
，即
d?0
，则
S
n
是关于
n
的无常数项的二次函数。 若
A?0< br>，即
d
?
S
?
d?0
，则
S
n?na
1
. （2）若
?
a
n
?
为 等差数列，
?
n
?
也是等差数列，公差为
2
?
n
?
（3）若
?
a
n
?< br>为等差数列，
S
k,
S
2k
?S
K
,S3k
?S
2k
,?
也成等差数列
（4）若
S
n
?m
，
S
m
?n
，则
S
m?n
??
?
m?n
?
（5）若
S
m
?S
n
，则
S
m?n
?0

（6）若
?
a
n
??
b
n
?
是均为等差数列，前
n
项和 分别是
A
n
与
B
n
，则有
a
m
A
2m?1
?

b
m
B
2m?1
（7）在 等差数列
?
a
n
?
中，
a
1
?0
，
d?0
，则
S
n
存在最大值，
a
1
?0
，
d?0
，则
S
n
存
在最小值。
2.4 等比数列
必修五 数学
4

1、等比数列：一般地如果 一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一常数，那
么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做 等比数列的公比，公比通常用字母
q
表示
?
q?0
?
.定义式：
a
n
?q
，(
n?2
,
a
n
?0
,
q?0
).
a
n?1
Gb
??G
2
?ab?G??ab
. < br>aG
2、等比中项：如果在
a
与
b
中间插入一个数
G
，使
a
，
G
，
b
成等比数列，那么
G叫做
a
与
b
的等比数列。
a
，
G
，
b
成等比数列
?
两数同号才有等比中项，且有2个互为相反数。
3、通项公式：
a
n
?a< br>1
q
n?1
?
a
1
n
?q
其中首相为
a
1
，公比为
q
.
q
*
4、 等比数列的性质：
a
n
?a
m
q
n?m
（
n
，
m
?N
）.
2.5 等比数列的前
n
项和
?
na
1
?
q?1
?
?
1、等比数列的前
n
项和的公式：
S
n
??
a
1
?
1?q
n
?
a?aq
1n
?
?
q?1
?
?
1?q
?
1?q
2、等比数列的前
n
项和的函数特征：当
q?1
时，
Sn
?
a
1
?
1?q
n
?
1?q
?
a
1
a
?
1
q
n
.记
1?q 1?q
A?
a
1
，即
S
n
??Aq
n?A
.
1?q
3、等比数列的前
n
项和的性质： 在等比数列中：
（1）当
S
k
，
S
2k
?Sk
，
S
3k
?S
2k
，…均不为零时，数列成等差数列 。公比为
qk
.
nm
（2）
S
n?m
?S
n
?qS
m
?S
m
?qS
n

（3）< br>a
m
?q
m?n
或
a
m
?a
n?q
m?n
（
m
、
n
?N
*
） a
n
（4）若
m?n?p?q
，则
a
m
?a< br>n
?a
p
?a
q

（5）若
?
a< br>n
?
为等差数列，则
C
??
为等比数列
a
n
（6）若
?
a
n
?
为正项等比数列，则
?
log
C
a
n
?
是等差数列
（7）若
?
a
n
?
、
?
b
n
?
均为等比数列，则< br>?
?
a
n
?
?
?
?
??
a
n
?
k
?
?0、a、a、a?b、
?
?
n
?
?
n
?
?
nn
?
??
等
?
?
?
a
n
??
b
n
?
5
必修五 数学

q、q、q
1
q
2
、
1
. 仍是等 比数列。公比分别为：
q、、
1
q
k
q
q
2
（8）等比数列
?
a
n
?
的增减性：当
?
?a
1
?0
?
a
1
?0
?
a
1
?0
，或
?
时，当
?
?
a
n
?< br>为递增数列；
?
q?1
?
0?q?1
?
0?q?1< br>?
a
1
?0
或
?
时，
?
a
n
?
为递增减数列。
q?1
?
4、由递推公式求数列通向法： < br>（1）累加法：
a
n?1
?a
n
?f
?
n< br>?
变形：
a
n?1
?a
n
?f
?
n
?

（2）累乘法：
a
n?1
?a
n
?f
?
n
?
变形：
a
n?1
?f
?
n
?

a
n
（3）取倒数法：
a
n?1
?
pa
n

qa
n
?p
（4）构建新数列法：
a
n?1
?pa
n
?q
（其中
p
，
q
均为常数，
?
pq( p?1)?0
?
）
?
设
a
n?1
?k?p
?
a
n
?k
?
?
?
a
n
?k< br>?
为等比数列。
第三章 不等式
3.1 不等式关系与不等式 < br>1、不等式定义：用不等号（
?
、
?
、
?
、
?
、
?
）表示不等关系的式子叫不等式，记作
f
?
x
?
?g
?
x
?
，
f
?
x
??g
?
x
?
等。用“
?
”或“
?
”连 接的不等式叫严格不等式，用不“
?
”
或“
?
”连接的不等式叫非严 格不等式。
2、实数的基本性质

a?b?a?b?0
；
a? b?a?b?0
；
a?b?a?b?0
.
实数的其他性质

a?0
?
a?0
?
a?0
?
；；
?
?ab?0

?
?a?b?0,ab?0
?
?a?b?0,ab? 0
b?0
?
b?0
?
b?0
?
3、不等式的基本性 质
（1）对称性：
a?b?b?a
（2）传递性：
a?b,b?c?a?c

（3）可加性：
a?b?a?c?b?c
推论1：
a?b?c?a?c?b
（移向法则）
推论2：
a?b
?
?
?a?c?b?d
（同向不等式的相加法则）
c?d
?
必修五 数学
6

（4）可乘性：
a?b
?
a?b
?
；
?ac?bc
??
?ac? bc

c?0
?
c?0
?
a?b
?
a?b
?
；异向可减：
?a?c?b?d
??
?a?d?b?c

c?d
?
d?c
?
（5）同向相加：
a?b?0
?
a?b?0
?
ab
（6）同向可乘：
?
?ac?bd
；异项可除：
?
??

c?d?0
?
0?d?c
?
dc
（7）乘方法则：
a?b?0
?a?b
（
n?N，
n?1
）
（8）可开方性法则：
a?b?0?
（9）倒数法 则：
n
nn
a?
n
b
（
n?N
，
n?2
）
a?b
?
11
?
??

ab?0
?
ab
3.2 一元二次不等式及其解法
1、一元 二次不等式定义：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是
2
的不等式，
称 为一元二次不等式。使一元二次不等式成立的未知数的值叫做这个一元二次不等式的解，
一元二次不等式 的所有解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集。
2、二次函数，一元二次方程，一元二次不等式三者之间的关系
??b
2
?4ac

ax
2
?bx?c?0
??0

??0

??0

?
a?0
?
的图像


两个相等的实数根

ax
2
?bx?c?0
两个不相等的实 数根
?
a?0
?
的根
ax
2
?bx?c?0?
x
1
?x
2
?

?
x
1
?x
2
?

?b?
xx??
??

2a
??
没有实数根
?
a?0
?
的解集
ax
2
?bx?c?0
?
xx?x
1
或x?x
2
?

?
xx?x?x
2
?

R

?
a?0
?
的解集
1
?

?


附：韦达定理

bc
2
ax?bx?c?0
x?x??xx?
在函数，则，.
a?0
??

1212
aa
必修五 数学
7

3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域
1、平面区域：一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax?By?C?0
表示直线
Ax?By?C?0
某一侧所有点组成的平面区域， 我们把直线画成虚线，以表示区域不包括
边界。不等式
Ax?By?C?0
表示的平面 区域包括边界，把边界画成实线。
2、平面区域的判定：一般地，当
y?kx?b
时 ，表示
y?kx?b
的上方区域；
当
y?kx?b
时，表示
y?kx?b
的下方区域。
3.3.2 简单的线性规划问题
3、线性规划有关概念：①在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问 题，统称
线性规划问题。②若约束条件是关于变量的一次不等式（方程），则成为线性约束条件。③要求最大（小）值所涉及的关于变量
x
，
y
的一次解析式叫做线性目标函 数。④满足线性约
束条件的解（
x
，
y
）叫做可行解，⑤由所有可行 解组成的集合叫做可行域。⑥使目标函数
取得最大值或最小值的可行解叫做最优解。
3.4 基本不等式：
ab?
a?b

2
22
1、主要不 等式：设
a
，
b
?R
，则
a?b?2ab
（当且仅 当
a?b
时取“=”）
2、基本不等式：设
a?0
，
b?0
，则
a?b
）
?ab
（当且仅当
a?b
时取“=”
2
即两个整数的算术平均数不小于它们的几何平均数。变形：
a?b?2ab
.
22< br>2aba?ba
2
?b
2
?
a?b
?
a?b
3、应用：（
a
，
b
?R
）
?ab??
?ab?
??
?
2
a?b22
?
2
?
2< br>4、基本不等式的应用
S
2
S
（1）如果和
x?y
是定值
S
，那么当且仅当
x?y?
时，积
xy
有最大值；
4
2
（2）如果积
xy
是定值
P
，那么当且仅当< br>x?y?
应注意以下几点：
①各项或各因式必须为整数；
②各项或各因式的和（或积）必须为常数；
③各项或各因式能够取相等的值.
以上三个条件简称为“一正，二定，三相等”

P
时，和
x?y
有最小值
2P
.
射影定理：
22

①
CD?AD?BD
；②
AC?AD?AB
；
③
CB?BD?AB
.
2
必修五 数学
8

关于不等式其他补充内容
PP?
1、两点间的距离公式：设P
1
?
x
1
,y
1
?
，
P< br>2
?
x
2
,y
2
?
，则
12
?
x
1
?x
2
?
?
?
y
1?y
2
?
22
.
2、点到直线的距离公式：设
P?
x
0
,y
0
?
，直线
l
的方程为< br>Ax?By?C?0
（
A
、
B
不同时
为零），则P
到直线
l
的距离
d?
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22
.
3、两平行线间的距离公式：两平行直线Ax?By?C
1
?0
和
Ax?By?C
2
?0
间的距离
d?
C
1
?C
2
A?B
22
.
4、点斜式方程：
k?
y?y
0
，即
y?y
0?k
?
x?x
0
?

x?x
0
5、斜 截式方程：
y?kx?b
，其中
k
为斜率，
b
为截距。 < br>6、直线方程的一般形式：
Ax?By?C?0
（
A
、
B不同时为零），当
B?0
时，方程可化
为
y??
AC
A C
x?
，表示斜率为
?
，在
y
轴上的截距为
?的直线。
BB
BB
22
2
7、圆的标准方程：
?x?a
?
?
?
y?b
?
?r
. 其中圆心为
C
?
a,b
?
，半径为
r
.

必修五 数学
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