高中数学必修五知识点总结 范文经典

《必修五 知识点总结》
第一章：解三角形知识要点
一、正弦定理和余弦定理
1、正弦定理：在
???C
中，
a
、
b
、
c
分别为角
?
、
?
、
C
的对边，，则有
abc
???2R

sin?sin?sinC(
R
为
???C
的外接圆的半径)
正弦定理的变形公式：
①
a?2Rsin?
，
b?2Rsin?
，
c?2RsinC
；
②
sin??
c
ab
，sin??
，
sinC?
；
2R
2R2R
③
a:b:c?sin?:sin?:sinC
； < br>b
2
?c
2
?a
2
2、余弦定理：在
??? C
中，有
a?b?c?2bccos?
，推论：
cosA?

2bc
222
a
2
?c
2
?b
2
222
cosB?

b?a?c?2accosB
，推论：
2ac
a
2
?b
2
?c
2

c?a?b?2abcosC
，推论：
cosC?

2ab
222
3、三角形面积公式：
S
???C
?
111
bcsi n??absinC?acsin?
．
222
二、解三角形
处理三角形问 题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度
（几何作图，三角函 数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解“边边角”型问题可能有两解、
一解、无解的三种情况 ，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解
1、三角形中的边角关系
（1）三角形内角和等于180°；
（2）三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；

（3）三角形中大边对大角，小边对小角；
（4）正弦定理中,a=2R·sinA, b=2R·sinB, c=2R·sinC，其中R是△ABC外接圆半径.
（5）在余弦定理中:2bccosA=
b
2
?c
2
?a
2
.
（6）三角形的面积公式有:S=
1111
ah, S=absinC=bcsinA=acsinB ,
2222
S=
P(P? a)?(P?b)(P?c)
其中，h是BC边上高，P是半周长.
2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形
（1）已知两角及一边，求其它边角，常选用正弦定理.
（2）已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，常选用正弦定理.
（3）已知三边，求三个角，常选用余弦定理.
（4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用余弦定理.
（5）已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，常选用正弦定理.
3、利用正、余弦定理判断三角形的形状
常用方法是：①化边为角；②化角为边.
4、三角形中的三角变换
（1）角的变换
因为在
△
ABC中
，
A+B+C=π，所以
sin(A+ B)=sinC
；
cos(A+B)=
－
cosC
；
tan (A+B)=
－
tanC。
sin
A?BCA?BC
?cos,co s?sin
；
2222
（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。
r为三角形内切圆半径，p为周长之
半
三、解三角形的应用
1.坡角和坡度：
坡面与水平面的锐二面角叫做坡角，坡面的垂直高度
h
和 水平宽度
l
的比叫做坡度，用
i
表示，根据
定义可知：坡度是坡角的 正切，即
i?tan
?
.
2.俯角和仰角：
如图所示，在同一铅 垂面内，在目标
中，目标视线在水平视线的上方时叫做仰
视线与水平线所成的夹角
角， 目标视线在水平视线的
α
h
l

下方时叫做俯角.
3. 方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为
?
.
注：仰 角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位
角是相对于正 北方向而言的。
4. 方向角：
相对于某一正方向的水平角.
5.视角：
由物体两端射出的两条光线，在眼球内交叉而成的角叫做视角??
第二章：数列知识要点
一、数列的概念
1、数列的概念：
一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数 列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形
式可以写成
a
1
,a
2
,a
3
,L,a
n
,L
，简记为数列
?
a
n
?
，其中第一项
a
1
也成为首项；
a
n
是数列的第
n
项，
也叫做数列的通项.
数列可看作是定义域为 正整数集
N
（或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对
应的一列函数 值就是这个数列.
?
2、数列的分类：
按数列中项的多数分为：
（1） 有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限；
（2） 无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限.
3、通项公式：
如果数列
?
a
n
?
的第
n
项
a
n
子表示成
a
n
与项数
n
之间的函数关系可以用一个式
式子就叫做这个数列的通 项公式，数列
?f
?
n
?
，那么这个
的通项公式就是相应函 数的解析式.
4、数列的函数特征：

一般地，一个数列
?
a
n
?
，

如 果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即
a
n?1
?a
n
，那 么这个数列叫做递增数列;
如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即
a
n? 1
?a
n
，那么这个数列叫做递减数列;
如果数列
?
a< br>n
?
的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.
5、递推公式：
某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．
二、等差数列
1、等差数列的概念：
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的 差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常
数叫做等差数列的公差.
即
a
n?1
?a
n
?d
（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等 差数列的依据.
2、等差数列的通项公式：

设等差数列
?
an
?
的首项为
a
1
，公差为
d
，则通项公式为 ：
a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d ?a
m
?
?
n?m
?
d,
?
n、m?N< br>?
?
.
3、等差中项：
（1）若
a、A、b
成等 差数列，则
A
叫做
a
与
b
的等差中项，且
A=a?b
;
2
（2）若数列
?
a
n
?
为等差数列，则
a
n
,a
n?1
,a
n?2
成等差 数列，即
a
n?1
是
a
n
与
a
n?2的等差中项，且
a
n?1
=
a
n
?a
n?2< br>a?a
n?2
；反之若数列
?
a
n
?
满足< br>a
n?1
=
n
，则数列
?
a
n
?< br>是等差数列.
22
若
m?n?2p，
p?q
?
m、 n、p、q?N
?
?
,
则
a
m
?a
n?a
p
?a
q
，
4、等差数列的性质：
（1）等差数 列
?
a
n
?
中，若
m?n?
则
a
m
?a
n
?2a
p
；
（2）若数列
?
a
n
?
和
?
b
n
?
均为等差数列，则数列< br>?
a
n
（3）等差数列
?
a
n
?
的 公差为
d
，则
?b
n
?
也为等差数列；
d?0 ?
?
a
n
?
为递增数列，
d?0?
?
a< br>n
?
为递减数列，
d?0?
?
a
n
?
为常数列.
5、等差数列的前n项和
S
n
：

（ 1）数列
?
a
n
?
的前n项和
S
n
=a
1
?a
2
?a
3
?L?a
n?1
? a
n
,
?
n?N
?
?
；
?
S< br>1
,n?1
（2）数列
?
a
n
?
的通项与前 n项和
S
n
的关系：
a
n
?
?
.

S?S,n?2
?
nn?1
（3）设等差数列
?
a
n
?
的首项为
a
1
,
公差为
d
，则前n项 和
S
n
=
n
?
a
1
?a
n
?
n
?
n?1
?
?na
1
?d.

22
6、等差数列前n和的性质：
（1）等差数列
?
a
n
?
中，连续m项的和仍组成等差数列，即
a
1
?a
2
?L?a
m
,a
m?1
?a
m?2
?L?a
2m
,

a
2m?1
?a
2m?2
?L?a
3 m
,仍为等差数列（即
S
m
,S
2m
?S
m
,S
3m
?S
2m
,L
成等差数列）；
（2）等差数列
?
a
n
?
的前n项和
S
n
=na
1
?
n的二次函数，且不含常数项；

（3）若等差数列
?
a
n
?
共有2n+1（奇数）项，则
S
奇
?S
偶< br>=a
n?1
n
?
n?1
?
dd
??
d=n
2
?
?
a
1
?
?
n,
当< br>d?0
时，
S
n
可看作关于
222
??
?< br>中间项
?
且
S
奇
=
偶
S
n?1,
若等差数列
?
a
n
?
n
S
偶
a
n?1
共有2n（偶数）项，则
S
偶
?S
奇
= nd且=.

S
奇
a
n
7、等差数列前n项和
S< br>n
的最值问题：
设等差数列
?
a
n
?
的首 项为
a
1
,
公差为
d
，则
（1）
a1
?0且d?0
（即首正递减）时，
S
n
有最大值且
S
n
的最大值为所有非负数项之和；
（2）
a
1
?0且d? 0
（即首负递增）时，
S
n
有最小值且
S
n
的最小 值为所有非正数项之和.
三、等比数列
1、等比数列的概念：
如果一个数列从第 二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比
数列，这个常数叫做等比 数列的公比，公比通常用字母
q
表示（
q?0
）.
即
a< br>n?1
?q
?
q为非零常数
?
，这也是证明或判断一个数列是 否为等比数列的依据.
a
n
2、等比数列的通项公式：

< br>设等比数列
?
a
n
?
的首项为
a
1
，公比为
q
，则通项公式为：
a
n
?a
1
q
n?1
?a
m
q
n?m
,
?
n?m,n、m?N
?
?
.
3、等比中项：
（1）若
a、A、b
成 等比数列，则
A
叫做
a
与
b
的等比中项，且
A=a b
;
（2）若数列
?
a
n
?
为等比数列，则a
n
,a
n?1
,a
n?2
成等比数列，即
a
n?1
是
a
n
与
a
n?2
的等比中项，且
22
a
n?1
=a
n
?a
n?2
；反之若 数列
?
a
n
?
满足
a
n?1
=a
n
?a
n?2
，则数列
?
a
n
?
是等比数 列.
2
4、等比数列的性质：
（1）等比数列
?
a
n< br>?
中，若
m?n?
若
m?n?2p，
则
p?q
?
m、n、p、q?N
?
?
,
则
a
m
? a
n
?a
p
?a
q
，
a
m
?a< br>n
?a
2
p
；
（2）若数列
?
a
n
?
和
?
b
n
?
均为等比数列，则数列
?
a
n
?b
n
?
也为等比数列；
（3）等比数列< br>?
a
n
?
的首项为
a
1
，公比为
q
，则
?
a
1
?0
?
a
1
?0< br>?
a
1
?0
?
a
1
?0
为递增数列 ，
或?a或?
?
a
n
?
为递减数列，
??
????
n
q?10?q?10?q?1q?1
????
q?1?
?
a
n
?
为常数列.
5、等比数列的前n项和：
（1） 数列
?
a
n
?
的前n项和
S
n
=
a
1
?a
2
?a
3
?L?a
n?1
?a< br>n
,
?
n?N
?
?
；
?
S
1
,n?1
.
（2）数列
?
an
?
的通项与前n项和
S
n
的关系：
a
n?
?
S?S,n?2
?
nn?1
?
na
1,q?1
?
（3）设等比数列
?
a
n
?
的首项 为
a
1
，公比为
q
?
q?0
?
，则
S
n
?
?
a
1
?
1?q
n
?< br>.

,q?1
?
?
1?q
由等比数列的通项公式及前 n项和公式可知，已知
a
1
,q,n,a
n
,S
n
中任意三个，便可建立方程组求出另外
两个.
6、等比数列的前n项和性质：
设等 比数列
?
a
n
?
中，首项为
a
1
，公比为
q
?
q?0
?
，则

（1）连续m项的和仍 组成等比数列，即
a
1
?a
2
?L?a
m
,am?1
?a
m?2
?L?a
2m
,a
2m?1
?a
2m?2
?L?a
3m
,仍为等比数列（即
S
m
,S
2m
?S
m
,S
3m
?S
2m
,L
成等差数列）；
（2）当
q?1
时，
S
n
?a
1
?
1?q
n
?
1?q
?
a
1
aaaa
?
?
1?q
n
?
?
1
?
1
?q
n
?
1
?q
n
?
1< br>，
1?q1?q1?qq?1q?1
设
a
1
?t
， 则
S
n
?tq
n
?t
.
q?1
四、递推数列求通项的方法总结
1、递推数列的概念：
一般地，把 数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关系的式子叫做递推公式，而
把由递推公式和初 始条件给出的数列叫做递推数列.
2、两个恒等式：
对于任意的数列
?
a
n
?
恒有：
（1）
a
n
（2）
a
n
?a
1
?
?
a< br>2
?a
1
?
?
?
a
3
?a
2
?
?
?
a
4
?a
3
?
?L?< br>?
a
n
?a
n?1
?

?a
1?
a
2
a
3
a
4
a
???L?
n
,
?
a
n
?0,n?N
?
?

a
1
a
2
a
3
a
n?1
3、递推数列的 类型以及求通项方法总结：
类型一（公式法）：
已知
S
n
（即a
1
?a
2
?L?a
n
?f(n)
）求
a
n
，用作差法：
a
n
?
,(n?1)
?
S
S?S,(n?2)
1
nn?1

类型二（累加法）：
已知：数列
?
a
n
?
的首项
a
1
,且a
n?1
?a
n
?f
?
n
?
,
?
n?N
?
?
，求
通项a
n
.
给递推 公式
a
n?1
?a
n
利用公式
a
n
?f< br>?
n
?
,
?
n?N
?
?
中的n依次 取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子：
?a
1
?
?a
2
?a
1
?
?
?
a
3
?a
2
?
?
?
a
4
?a
3
?
?L?
?
a
n
?a
n?1
?
可得：
a< br>n?1
?f
?
n
?
,
?
n?N
?< br>?
，求
通项a
n
.
a
n
类型三（累乘法） ：
已知：数列
?
a
n
?
的首项
a
1
,且
给递推公式
a
n?1
?f
?
n
?
,
?
n?N
?
?
中的n一次取1,2,3，……，n-1,可得到下面 n-1个式子：
a
n

利用公式
a
n
?a< br>1
?
a
2
a
3
a
4
a
?? ?L?
n
,
?
a
n
?0,n?N
?
?可得：
a
1
a
2
a
3
a
n?1类型四（构造法）：
形如
a
n?1
?pa
n
?q
、
a
n?1
?pa
n
?q
n
（
k,b, p,q
为常数）的递推数列都可以
用待定系数法转化为公比为
k
的等比数列后 ，再求
a
n
。
①
a
n?1
?pa
n?q
解法：把原递推公式转化为：
a
n?1
?t?p(a
n?t)
，其中
t?
换元法转化为等比数列求解。
②
a
n?1
?pa
n
?q
解法：该类型较要复杂一些。一般地，要先在原递推公式 两边同除以
q
得：
n
q
，再利用
1?p
n?1，
a
n
a
n?1
p
a
n
1
p 1
??
b
b?
???
b?b?
引入辅助数列（其中），得： 再应用
n
n
n?1n
q
n
q
n?1
qq
n
q
qq
a
n?1
?pa
n
?q< br>的方法解决。
类型五（倒数法）：
已知：数列
?
a
n
?
的首项
a
1
,且
a
n?1
?
11rq
,则b
n?1
?.
?b
n?1
??b
n< br>?
，
a
n
a
n?1
pp
pa
n< br>,
?
r?0,n?N
?
?
，求
通项a
n.
qa
n
?r
设
b
n
?
若
r?p,
则
b
n?1
?b
n
?
q
qq?b
n?1
?b
n
=
，即数列
?
b
n
?
是以为公差的等差数列.
p
pp
若
r?p,
则
b
n?1
?
rq
b
n
?
（转换成类型四① ）.
pp
五、数列常用求和方法
1.公式法
直接应用等差数列、等比数列的求和公式，以及正整数的平方和公式，立方和公式等公式求解.
2.分组求和法
一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成，则求 和时可用分组求和法，分别求
和而后相加减.
3.裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项和就变成了首尾少数项之和.
4.错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列 对应项的乘积组成的，此时可把式子
S
n
?a
1
?a
2?L?a
n?1
?a
n
的两边同乘以公比
q(q?0且q?1)
，得到
qS
n
?a
1
q?a
2
q?L?a
n?1
q?a
n
q
，两式错位相减整理即可求出
S
n
.
5、常用公式：
n
?
n?1
??
2n?1
?
1、平方和公式：
1?2?L
?
n?1
?
?n?

6
22
2
2
?
n
?
n?1?
?
333
1?2?L?n?1?n?
2、立方和公式：
1?2 ?L
?
n?1
?
?n?
??
??
??
?< br>2
?

??
3
2
2
3、裂项公式：
六、数列的应用
1、零存整取模型：
银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月 定时存入一笔相同数目
的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定每次存< br>入的钱不计复利.
注：单利的计算是仅在原本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息 .其公式为:利息=本金×利率×
存期.以符号p代表本金,n代表存期,r代表利率,s代表本金和利 息和(即本利和),则有s=p(1+nr).
零存整取是等差数列求和在经济方面的应用.
2、定期自动转存模型：
银行有一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如,储户某日存入一笔 1
年期定期存款,1年后,如果储户不取出本利和.则银行自动办理转存业务,第
2年的本金就 是第1年的本利和.
注：复利是把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不 同的.复利的计算公式
是:s=p(1+r)n.
定期自动转存（复利）是等比数列求和在经济方面的应用.
3、分期付款模型：