高中数学人教版必修5全套Word版教案

课题:
§1．1．1正弦定理
授课类型：新授课
●教学目标 < br>知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运
用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出 发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学
生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳 出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解 三角形问题的运算能力；培养学生合情推理
探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理 、向量的数量积等知识间的联系来体
现事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点
正弦定理的探索和证明及其基本应用。
●教学难点
已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
●教学过程
Ⅰ.课题导入
如图1．1-1，固定
?
ABC的边CB及
?
B，使边AC绕着顶点 C转动。 A
思考：
?
C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边AB的长度随着其对角
?
C的大小的增大而增大。能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B
Ⅱ.讲授新课
[探索研究] (图1．1-1)
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的 等式关系。
如图1．1-2，在Rt
?
ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有
a
?sin
A
，
c
b
c
?sin
B
，又
sin
C
?1?
, A
c
c
abc
则
???
c
b c
sin
A
sin
B
sin
Cabc
从而在直角三角形ABC中， C a B
??
sin
A
sin
B
sin
C
(图1． 1-2)
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
（由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1．1-3，当
?
ABC是 锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有
CD=
a
si n
B
?
b
sin
A
,则
同理可得
a
sin
A
?
b
sin
B
， C
c
sin
C
?
b
sin
B
， b a

从而
a
sin
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C
A c B
(图1．1-3)
思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量 来研究这个问
题。
（证法二）：过点A作
j
?
AC
， C
由向量的加法可得
AB
?
AC
?
CB

则
j
?
AB
?
j< br>?(
AC
?
CB
)
A B
∴
j
?
AB
?
j
?
AC
?< br>j
?
CB

j

j ABcos
?
90
0
?A
?
?0?jCBcos
?
90
0
?C
?

∴
csinA?asinC
，即
同理，过点C作
j?BC
，可得
从而
ac
?

sinAsinC
bc
?

si nBsinC
a
sin
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C

类似可推出，当
?
ABC是钝角三角 形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）
从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
a
sin
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C

[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同 一正数，即存在正数
k使
a
?
k
sin
A
，
b
?
k
sin
B
，
c
?
k
si n
C
；
（2）
a
sin
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C
等价于
a
sin< br>A
?
b
sin
B
，
c
sin
C?
b
sin
B
，
a
sin
A
?
c
sin
C

从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任 意两角及其一边可以求其他边，如
a
?
b
sin
A
； sin
B
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如
s in
A
?sin
B
。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
[例题分析] < br>例1．在
?ABC
中，已知
A?32.0
0
，
B?8 1.8
0
，
a?42.9
cm，解三角形。
解：根据三角形内角和定理，
a
b
C?180
0
?(A?B)

?180
0
?(32.0
0
?81.8
0
)


?66.2
0
；
根据正弦定理，
asinB42.9sin81.8
0
b???80.1(cm)
；
sinA
sin32.0
0
根据正弦定理，
asinC42.9sin66.2
0
c???74.1(cm).

sinA
sin32.0
0
评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2．在
?ABC
中，已知
a?20
cm，
b?28
cm，
A?40
0
，解三角形（角度精确到
1
0
，边长精 确到
1cm）。
解：根据正弦定理，
bsinA28sin40
0

sinB???0.8999.
< br>a20
因为
0
0
＜
B
＜
180
0< br>，所以
B?64
0
，或
B?116
0
.

⑴ 当
B?64
0
时，

C?180
0?(A?B)?180
0
?(40
0
?64
0
)?76
0
，
asinC20sin76
0
c???30(cm).

0
sinA
sin40
⑵ 当
B?116
0
时，

C?180
0
?(A?B)?180
0
?(400
?116
0
)?24
0
，
asinC20sin24
0
c???13(cm).

sinA< br>sin40
0
评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。
Ⅲ.课堂练习
第5页练习第1（1）、2（1）题。
[补充练习]已知
?
ABC中，
sin
A
:sin
B
:sin
C
?1:2:3
，求
a
:
b
:
c

（答案：1：2：3）
Ⅳ.课时小结（由学生归纳总结）
（1）定理的表示形式：
a
sin
A
sin
B
sin
C
或
a
?
k
sin
A
，
b
?
k
sin
B
，
c
?
k
sin
C
(
k
?0)

（2）正弦定理的应用范围：
①已知两角和任一边，求其它两边及一角；
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
Ⅴ.课后作业
第10页[习题1.1]A组第1（1）、2（1）题。
●板书设计
●授后记 < br>?
b
?
c
?
a
?
b
?
c< br>?
k
?
k
?0
?
；
sin
A
?sin
B
?sin
C

课题:
§1.1.2余弦定理

授课类型：新授课
●教学目标
知识与技 能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两
类基本的解三角 形问题。
过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解 决两
类基本的解三角形问题
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题 的运算能力；通过三角函数、余
弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩 证统一。
●教学重点
余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
●教学难点
勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
●教学过程
Ⅰ.课题导入
C
如图1．1-4，在
?
ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,
已知a,b和
?
C，求边c b a

A c B
(图1．1-4)
Ⅱ.讲授新课
[探索研究]
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A
如图1．1-5，设
CB
?
a
，
CA
?
b
，
AB
?
c
，那么
c
?
a
?
b
，则
b

c

c< br>?
c
?
c
?
a
?
ba
?
b
?
a
?
a
?
b
?
b
?2a
?
b
22
?
a
?
b
?2
a
?
b
2
????

C

a
B

从而
c
2
?
a
2
?
b
2
?2
ab
cos
C
(
图1．1-5)

同理可证
a
2
?b
2
?
c
2
?2
bc
cos
A

b
2
?
a
2
?
c
2
?2ac
cos
B

于是得到以下定理
余弦定理：三角形中任何一 边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦
的积的两倍。即
a
2
?
b
2
?
c
2
?2
bc
cos
A

b
2
?
a
2
?< br>c
2
?2
ac
cos
B

c
2?
a
2
?
b
2
?2
ab
cos
C

思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否 由三边求
出一角？
（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：
b
2
?c
2
?a
2

cosA?
2bc
a
2
?c
2
?b
2

cosB?< br>2ac
b
2
?a
2
?c
2

cosC?
2ba
[理解定理]
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间 的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三
边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
（由学生总结）若
?
ABC中，C=
90
0
，则
cosC ?0
，这时
c
2
?a
2
?b
2

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
[例题分析]
例1．在
?
ABC中，已知
a?23
，
c?6?2
，
B?60
0
，求b及A
⑴解：∵
b
2
?a
2< br>?c
2
?2accosB

=
(23)
2
? (6?2)
2
?2?23?(6?2)
cos
45
0

=
12?(6?2)
2
?43(3?1)

=
8

∴
b?22.

求
A
可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

b
2
?c
2
?a
2
(22)
2
?(6?2)
2
?(23)
2
1
??,
⑵解法一：∵cos
A?
2bc2
2?22?(6?2)

0
∴
A?60.

a23
解法二：∵sin
A?sinB??sin45
0
,

b
22
又∵
6?2
＞
2.4?1.4?3.8,

23
＜
2?1.8?3.6,

∴
a
＜
c
，即
0
0
＜
A
＜
90
0
,

0
∴
A?60.

评述：解法二应注意确定A的取值范围。 < br>例2．在
?
ABC中，已知
a?134.6cm
，
b?87. 8cm
，
c?161.7cm
，解三角形
（见课本第8页例4，可由学生通过阅读进行理解）
解：由余弦定理的推论得：
b
2
?c
2
?a
2
cos
A?

2bc


87.8
2
?161.7
2
?134.6
2

?
2?87.8?161.7
?0.5543,

A?56
0
20
?
；
c
2
?a
2
?b
2
cos
B?

2ca


134.6
2
?161.7
2
?87.8
2

?
2?134.6?161.7
?0.8398,

B?32
0
53
?
；
?

C?180< br>0
?(A?B)?180
0
?(56
0
20
?
?32
0
53)
Ⅲ.课堂练习
第8页练习第1（1）、2（1）题。 < br>[补充练习]在
?
ABC中，若
a
2
?
b
2
?
c
2
?
bc
，求角A（答案：A=120
0）
Ⅳ.课时小结
（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。
Ⅴ.课后作业
①课后阅读：课本第9页[探究与发现]
②课时作业：第11页[习题1.1]A组第3（1），4（1）题。
●板书设计

●授后记

















课题:
§1．1．3解三角形的进一步讨论

授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一 解或无解等情形；
三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
过程与方法：通过引 导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函
数公式及三角形有关性质求 解三角形问题。
情感态度与价值观：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和 三角函数的
关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之 间的
内在联系。
●教学重点
在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
●教学难点
正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情景]
思考：在
?
ABC中，已知
a
?22
cm
，
b
?25
cm
，
A
?133
0< br>，解三角形。
（由学生阅读课本第9页解答过程）
从此题的分析我们发现，在已知三 角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会
出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形 下解三角形的问题。

Ⅱ.讲授新课
[探索研究]
例1．在
?
ABC中，已知
a
,
b
,
A
，讨论三角形解的 情况
分析：先由
sin
B
?
则
C
?180
0
?(
A
?
B
)

从而
c
?
b
sin
A
可进一步求出B；
a
a
sin
C

A
1．当A为钝角或直角时，必须
a
?
b
才能有且只有一解；否则无解。
2．当A为锐角时，
如果
a
≥
b
，那么只有一解；
如果
a
?
b
，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若
a
?
b
sin
A
，则有两解；
（2）若
a
?
b
sin
A
，则只有一解；
（3）若
a
?
b
sin
A
，则无解。
（以上解答过程详见课本第910页）
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且
b
sin
A
?
a
?
b
时，有两解；其它情况时则只有一解或无 解。
[随堂练习1]
（1）在
?
ABC中，已知
a
?8 0
，
b
?100
，
?
A
?45
0
，试判断此三角形的解的情况。
（2）在
?
ABC中，若
a
?1< br>，
c
?
1
，
?
C
?40
0
，则符合题意的b的值有
_____个。

2
（3）在
?
A BC中，
a
?
xcm
，
b
?2
cm
，?
B
?45
0
，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值
范围。
（答案：（1）有两解；（2）0；（3）
2?
x
?22
）
例2．在
?
ABC中，已知
a
?7
，
b
? 5
，
c
?3
，判断
?
ABC的类型。
分析：由余弦定理可知
a
2
?
b
2
?
c
2
?
A
是直角??ABC是直角三角形
a
2
?b
2
?
c
2
?
A
是钝角??ABC是钝角三角 形

a
2
?
b
2
?
c
2
?
A
是锐角??ABC是锐角三角形
（注意：
A
是锐角??ABC是 锐角三角形
）
解：
7
2
?5
2
?3
2< br>，即
a
2
?
b
2
?
c
2
，
∴
?ABC是钝角三角形
。
[随堂练习2]
（1）在
?
ABC中，已知
sin
A
:sin
B
:sin
C< br>?1:2:3
，判断
?
ABC的类型。
（2）已知
?ABC满足条件
a
cos
A
?
b
cos
B，判断
?
ABC的类型。

（答案：（1）
?ABC是 钝角三角形
；（2）
?
ABC是等腰或直角三角形）
例3．在
?< br>ABC中，
A
?60
0
，
b
?1
，面积为< br>3
a
?
b
?
c
，求的值
2
sin
A
?sin
B
?sin
C
111
分析：可利用三角 形面积定理
S
?
ab
sin
C
?
ac
si n
B
?
bc
sin
A
以及正弦定理
222
a
sin
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C
?
a
?
b
?
c

sin
A
?sin
B
?sin
C
13
解：由
S< br>?
bc
sin
A
?
得
c
?2
， < br>22
则
a
2
?
b
2
?
c
2
?2
bc
cos
A
=3，即
a
?3
，
从而
a
?
b
?
c
a
??2
sin
A
?sin
B
?sin
C
sin
AⅢ.课堂练习
（1）在
?
ABC中，若
a
?55
，< br>b
?16
，且此三角形的面积
S
?2203
，求角C
（2）在
?
ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积
S
?（答案：（1）
60
0
或
120
0
；（2）
4 5
0
）
Ⅳ.课时小结
（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
（2）三角形各种类型的判定方法；
（3）三角形面积定理的应用。

Ⅴ.课后作业
（1）在
?
ABC中，已知
b
?4
，
c
?10
，
B
?30
0
，试判断此三角形的解的 情况。
（2）设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围。
（3） 在
?
ABC中，
A
?60
0
，
a
?1，
b
?
c
?2
，判断
?
ABC的形状。 （4）三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程
5
x
2< br>?7
x
?6?0
的根，
求这个三角形的面积。
●板书设计
●授后记






a
2< br>?
b
2
?
c
2
4
，求角C

课题:
§2.2解三角形应用举例

第一课时
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的 实际问题，了解
常用的测量相关术语
过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为 以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生
的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总 结规律——反馈训练”的教学过程，
根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式， 同时通过多媒体、图形观察等
直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例2这样的开 放性题目要鼓励学生讨
论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正
情感态 度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数
学符号表达 题意和应用转化思想解决数学问题的能力
●教学重点

实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解
●教学难点
根据题意建立数学模型，画出示意图
●教学过程
Ⅰ.课题导入
1、[复习旧知]
复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？
2、[设置情境]
请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及
的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，
是什 么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选
择的测量方 案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方
法，但由于在实际 测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用
全等三角形的方法来测量 ，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不
能解决的。今天我们开始学习正 弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距
离。
Ⅱ.讲授新课
（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件
和所求 转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解
[例题讲解]
(2)例1 、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所
在的河岸边选定一 点C，测出AC的距离是55m，
?
BAC=
51?
，
?
A CB=
75?
。求A、B两点的距离(精确
到0.1m)

启发提问1：
?
ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？
启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。
分析：这是一道关于测量从 一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题
，
题目条件告诉了
边AB的对角 ，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应
用正弦定理算出 AB边。
解：根据正弦定理，得
AB

=

AC

sin?ACB
sin?ABC

AB =
ACsin?ACB

sin?ABC

=
55sin?ACB

sin?ABC
=
55sin75?

sin(180??51??75?)

=
55sin75?

sin54?
≈ 65.7(m)
答:A、B两点间的距离为65.7米
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30
?
，灯塔B
在观察站C南偏东60
?
，则A、B之间的距离为多少？
老师指导学生画图，建立数学模型。
解略：
2
a km
例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。
分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，
所 以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，
分别 求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。

解：测量者可以在河岸边选定两 点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得
?
BCA=
?
，
?
ACD=
?
，
?
CDB=
?
，
?
BDA =
?
，在
?
ADC和
?
BDC中，应用正弦定理得
AC
=

BC
=

asin(
?
?
?
)

=
asin(
?
?
?
)

sin[1 80??(
?
?
?
?
?
)]sin(
?
?
?
?
?
)
asin
?
asin
?

=

sin[180??(
?
?
?
?
?
)]sin(
?
?
?
?
?
)
计算出AC 和BC后，再在
?
ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离
AB
=
AC
2
?BC
2
?2AC?BCcos
?

分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。