高中数学必修5知识点(精华)讲义

高中数学必修5知识点总结（精华）
1、正弦定理：在
???C< br>中，
a
、
b
、
c
分别为角
?
、?
、
C
的对边，
R
为
???C
的外接圆
的半径，则有
abc
???2R
．
sin?sin?sinC
2 、正弦定理的变形公式：①
a?2Rsin?
，
b?2Rsin?
，
c?2RsinC
；
②
sin??
abc
，
sin??< br>，
sinC?
；
2R2R2R
③
a:b:c?sin?:sin?:sinC
；
a?b?cabc
???
．
sin??sin??sinCsin?sin ?sinC
111
3、三角形面积公式：
S
???C
?bcsin? ?absinC?acsin?
．
222
④
4、余弦定理：在
?? ?C
中，有
a?b?c?2bccos?
，
b?a?c?2accos?，
222222
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
．
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?c
2
?b
2
a
2
?b
2< br>?c
2
5、余弦定理的推论：
cos??
，
cos??
，
cosC?
．
2bc2ac2ab
6、设
a
、
b
、
c
是
???C
的角
?
、
?
、
C
的对边，则：①若
a?b?c
，则
C?90
；
②若
a?b?c
，则
C?90
；③若
a?b?c
，则C?90
．
7、数列：按照一定顺序排列着的一列数．
8、数列的项：数列中的每一个数．
9、有穷数列：项数有限的数列．
10、无穷数列：项数无限的数列．
11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．
12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．
13、常数列：各项相等的数列．
14、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．
15 、数列的通项公式：表示数列
?
a
n
?
的第
n
项与 序号
n
之间的关系的公式．
16、数列的递推公式：表示任一项
a
n
与它的前一项
a
n?1
（或前几项）间的关系的公式．
17、如 果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为
等差数列，这个常数 称为等差数列的公差．
- 1 -

222222
222

18、由三个数
a
，
?
，
b
组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则
?
称 为
a
与
b
的等
差中项．若
b?
a?c
，则 称
b
为
a
与
c
的等差中项．
2
19、若 等差数列
?
a
n
?
的首项是
a
，公差是
d
，则
a
1
n
?a
1
?
?
n?1< br>?
d
．
；
a
n
?a
1
20、通 项公式的变形：①
a
n
?a
m
?
?
n?m
?
d
；②
a
1
?a
n
?
?
n?1
?
d
；③
d?
n?1
a
n
?a
m
a
n
?a
1
?1
；⑤
d?
④
n?
n?m
d
．
21、若
?
a
n
?
是等差数列，且
m?n?p?q
（
m
、
n
、
p、
q??
*
），则
a
m
?a
n
若?
a
n
?
是等差数列，且
2n?p?q
（
n< br>、
p
、
q??
*
），则
2a
n
?a
p
?a
q
；
?a
p
?a
q
． < br>n
?
a
1
?a
n
?
n
?
n ?1
?
S?
d
． 22、等差数列的前
n
项和的公式：①< br>n
；②
S
n
?na
1
?
2
2
*
23、等差数列的前
n
项和的性质：①若项数为
2nn??
，则
S
2n
??
?n
?
a
n
?a
n? 1
?
，且
S
奇
a
?
n
S
偶
?S
奇
?nd
，
S
偶
a
n?1
． *
②若项数为
2n?1
?
n??
?
，则
S2n?1
?
?
2n?1
?
a
n
，且
S
奇
?S
偶
?a
n
，
S
奇
n
（其中
?
S
偶
n?1
．
S
奇
?na< br>n
，
S
偶
?
?
n?1
?
a
n
）
24、如果一个数列从第
2
项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常 数，则这个数列称为等
比数列，这个常数称为等比数列的公比．
25、在
a
与
b
中间插入一个数
G
，使
a
，
G
，b
成等比数列，则
G
称为
a
与
b
的等比中项． 若
G
2
?ab
，则称
G
为
a
与
b
的等比中项．
26、若等比数列
?
a
n
?
的首项 是
a
1
，公比是
q
，则
a
n
?a
1
q
n?1
．
n?m
a?aq
27、通项公式的变形：①
n
；②
a
1
?a
n
q
m
?
?
n?1
?
；③
q
n?1
?
a
n
；④
a
1
q
n?m
?
a
n
a
m
．
*
28、若
?
a
n
?
是等比数列，且
m?n?p?q
（
m
、
n
、
p
、
q??
），则
a
m
?a
n
?a
p
?aq
；若
- 2 -

，则
a
n
?
a
n
?
是等比数列，且
2n?p?q
（n
、
p
、
q??
*
）
2
?a
p
?a
q
．
?
na
1
?
q?1
?
?
29、等比数列
?
a
n
?
的前
n项和的公式：
S
n
?
?
a
1
?
1?q
n
?
a?aq
．
1n
?
?
q?1
?
?
1?q1?q
?
*
30、等比数列的前
n
项 和的性质：①若项数为
2nn??
，则
??
S
偶
S
奇
?q
．
②
S
n?m
?S
n
?q
n
?S
m
．
③
S
n
，
S
2n
?S
n
，
S
3n
?S
2n
成等比数列．
31、
a?b?0?a?b
；
a?b?0?a?b
；
a?b ?0?a?b
．
32、不等式的性质： ①
a?b?b?a
；②
a ?b,b?c?a?c
；③
a?b?a?c?b?c
；
④
a?b, c?0?ac?bc
，
a?b,c?0?ac?bc
；⑤
a?b,c?d?a ?c?b?d
；
⑥
a?b?0,c?d?0?ac?bd
；⑦
a? b?0?a?b
⑧
a?b?0?
n
a?
n
b
?n??,n?1
?
．
33、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是
2
的不等式．
34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：
判别式
??b?4ac

2
nn
?
n??,n?1
?
；
??0

??0

??0

二次函数
y?ax?bx?c

2
?
a?0
?
的图象

2
一元二次方程
ax?bx?c?0

两

两相等实根
没有实数根

异实根
?
a?0
?
的根
一元二次
不等式的
解集
ax
2
?bx?c?0
?
a?0
?

ax
2
?b??
x
1,2
?
2a
?
x
1
?x
2
?

2
b
x
1
?x
2
??

2a
?bx?c?0
?
a?0
?

?
xx?x或x?x
?
1

?b?
xx??
??

2a
??
?

R

?
xx
1
?x?x
2
?

?

35、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是
1
的不等式．
- 3 -

36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．
37、二元一次不等式（ 组）的解集：满足二元一次不等式组的
x
和
y
的取值构成有序数对
?
x,y
?
，
所有这样的有序数对
?
x,y
?
构成的集合．
38、在平面直角坐标系中，已知直线
?x??y?C?0
，坐标平 面内的点
?
?
x
0
,y
0
?
．
①若
??0
，
?x
0
??y
0
?C?0
， 则点
?
?
x
0
,y
0
?
在直线
? x??y?C?0
的上方．
②若
??0
，
?x
0
??y
0
?C?0
，则点
?
?
x
0
,y< br>0
?
在直线
?x??y?C?0
的下方．
39、在平面直角坐标系中，已知直线
?x??y?C?0
．
①若
??0
，则
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
上方的 区域；
?x??y?C?0
表
示直线
?x??y?C?0
下方的区域 ．
②若
??0
，则
?x??y?C?0
表示直线
?x?? y?C?0
下方的区域；
?x??y?C?0
表
示直线
?x??y? C?0
上方的区域．
40、线性约束条件：由
x
，
y
的不 等式（或方程）组成的不等式组，是
x
，
y
的线性约束条
件．
目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量
x
，
y
的解析式．
线性目标函数：目标函数为
x
，
y
的一次解析式．
线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．
可行解：满足线性约束条件的解
?
x,y
?
．
可行域：所有可行解组成的集合．
最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解． 41、
a
、
b
是两个正数，则
a?b
称为算术平均数，
ab
称为几何平均数．
2
2
ab
． 42、均值不等式定理： 若
a?0
，
b?0
，则
a?b?2ab< br>，即
a?b
?
22
43、常用的基本不等式：①
a
2
?b
2
?2ab
?
a,b?R
?
；②
ab ?
a?b
?
a,b?R
?
；
2
a
2?b
2
?
a?b
?
a?b
?
③
ab?
?
；④
?
??
?
a,b?R
?
．
??
?
a?0,b?0
?
2
?
2
?
?< br>2
?
2
2
44、极值定理：设
x
、
y
都为正数，则有
- 4 -

xy
取得最大值
s
2
y
时，积
4
．
时，和
x?y
取得最小值
2p
．
- 5 -
⑴ 若
x?y?s
（和为定值），则当
x?
⑵若
xy?p
（积为 定值），则当
x?y