浙江省高中数学竞赛模拟试题-全国高中数学优质课实录
高中数学必修5知识点
1、正弦定理:在
???C
中,
a<
br>、
b
、
c
分别为角
?
、
?
、
C
的对边,
R
为
???C
的外接
abc
???2
R
.
sin?sin?sinC
2、正弦定理的变形公式:①
a?2Rsi
n?
,
b?2Rsin?
,
c?2RsinC
;
abc<
br>②
sin??
,
sin??
,
sinC?
;
2R2R2R
③
a:b:c?sin?:sin?:sinC
;
a?b?cabc
???
④.
sin??sin??sinCsin?si
n?sinC
111
3、三角形面积公式:
S
???C
?bcsin
??absinC?acsin?
.
222
圆的半径,则有
4、余弦定理:
在
???C
中,有
a?b?c?2bccos?
,
b?a?c?2a
ccos?
,
222222
c
2
?a
2
?b2
?2abcosC
.
b
2
?c
2
?a2
a
2
?c
2
?b
2
a
2
?
b
2
?c
2
5、余弦定理的推论:
cos??
,
c
os??
,
cosC?
.
2bc2ab
2ac
6、设a
、
b
、
c
是
???C
的角
?
、
?
、
C
的对边,则:①若
a?b?c
,则
C?
90
;
②若
a?b?c
,则
C?90
;③若
a?
b?c
,则
C?90
.
7、数列:按照一定顺序排列着的一列数.
8、数列的项:数列中的每一个数.
9、有穷数列:项数有限的数列.
10、无穷数列:项数无限的数列.
11、递增数列:从第2项起,每一项都不小于它的前一项的数列.
12、递减数列:从第2项起,每一项都不大于它的前一项的数列.
13、常数列:各项相等的数列.
14、摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.
15
、数列的通项公式:表示数列
?
a
n
?
的第
n
项与
序号
n
之间的关系的公式.
16、数列的递推公式:表示任一项
a
n
与它的前一项
a
n?1
(或前几项)间的关系的公式.
17、如
果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为
等差数列,这个常数
称为等差数列的公差.
18、由三个数
a
,
?
,
b
组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则
?
称为
a
与
b的
等差中项.若
b?
19、若等差数列
222
222
?
?
222
?
a?c
,则称
b
为
a
与
c
的等差中项.
2
1
?
a
n
?
的首项是
a
,公差是
d
,则
a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d
.
20、通项公式的变形:①<
br>a
n
?a
m
?
?
n?m
?
d
;②
a
1
?a
n
?
?
n?1
?
d
;③
d?
a
n
?a
1
n?1
;
a
n
?a
m
a
n
?a
1
d?
?1
;⑤④
n?
n?m
d
.
21、若
?
a
n
?
是等差数列,且
m?n?p?q
(
m<
br>、
n
、
p
、
q??
*
),则
am
?a
n
若
?
a
n
?
是等差数列,且
2n?p?q
(
n
、
p
、
q??
*
),则
2a
n
?a
p
?a
q
;
?ap
?a
q
.
n
?
a
1
?a
n
?
n
?
n?1
?
S?
S?na?d
.
22、等差数列的前
n
项和的公式:①
n
;②
n1
2
2
*
23、等差数列的前
n
项和的性质:①若项数为
2nn??<
br>,则
S
2n
??
?n
?
a
n
?a<
br>n?1
?
,且
S
奇
a
?
n
S
偶
?S
奇
?nd
,
S
偶
a
n?1
.
*
②若项数为
2n?1n??
,则
S
2n?1
?
?
2n?1
?
a
n
,且
S
奇
?S
偶
?a
n
,
??
S
奇
n
(其
中
?
S
偶
n?1
.
S
奇
?na
n
,
S
偶
?
?
n?1
?
a
n)
24、如果一个数列从第
2
项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则
这个数列称为
等比数列,这个常数称为等比数列的公比.
25、在
a
与b
中间插入一个数
G
,使
a
,
G
,
b
成等比数列,则
G
称为
a
与
b
的等比中项.若G
2
?ab
,则称
G
为
a
与
b
的等比中项.
26、若等比数列
?
a
n
?
的首项是a
1
,公比是
q
,则
a
n
?a
1q
n?1
.
27、通项公式的变形:①
a
n
?am
q
n?m
;②
a
1
?a
n
q
?
?
n?1
?
;③
q
n?1
?
a
n
;④
a
1
q
n?m
a
n
?
a
m
.
*
28、若
?
a
n
?
是等
比数列,且
m?n?p?q
(
m
、
n
、
p
、
q??
),则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
;
*
若
?
a
n
?
是等比
数列,且
2n?p?q
(
n
、
p
、
q??
),则
a
n
2
?a
p
?a
q
.
?
na
1
?
q?1
?
?
29、等比数列
?
a
n
?
的前
n
项和的公式:
S
n
?
?
a
1
?
1?q
n
?
a?aq
.
1n
?
?
q?1
?
?
1?q
?
1?q
*
30、等比数列的前
n
项和的性质:①若项数为
2nn?
?
,则
??
S
偶
S
奇
?q
.
②
S
n?m
?S
n
?q
n
?S
m
.
③
S
n
,
S
2n
?S
n
,
S
3n
?S
2n
成等比数列.
31、
a
?b?0?a?b
;
a?b?0?a?b
;
a?b?0?a?b
.
32、不等式的性质: ①
a?b?b?a
;②
a?b,b?c?a?c;③
a?b?a?c?b?c
;
④
a?b,c?0?ac?bc
,
a?b,c?0?ac?bc
;⑤
a?b,c?d?a?c?b?d
;
⑥
a?b?0,c?d?0?ac?bd
;⑦
a?b?0?a
n?b
n
?
n??,n?1
?
;
⑧
a?b?0
?
n
a?
n
b
?
n??,n?1
?
.
33、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是
2
的不等式.
34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系:
判别式
??b?4ac
2
??0
??0
??0
二次函数
y?ax
2
?bx?c
?
a?0
?
的图象
有两个相异实数根
一元二次方程
ax?bx?c?0
2
?
a?0
?
的根
ax
2
?bx?c?0
一元二次
不等式的
解集
?b??
x
1,2?
2a
有两个相等实数根
?
x
1
?x
2
?
b
x
1
?x
2
??
2a
没有实数根
?
xx?x或x?x
?
12
?
a?0
?
ax
2
?bx?c?0
?b?
xx??
??
2a
??
R
?
a?0
?
?
xx
1
?x?x
2
?
?
?
35、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是
1
的不等式.
36、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组.
37、二元一次不等式(
组)的解集:满足二元一次不等式组的
x
和
y
的取值构成有序数对
?
x,y
?
,所有这样的有序数对
?
x,y
?
构成的
集合.
38、在平面直角坐标系中,已知直线
?x??y?C?0
,坐标平面内的点
?
?
x
0
,y
0
?
.
①若??0
,
?x
0
??y
0
?C?0
,则点?
?
x
0
,y
0
?
在直线
?x??y
?C?0
的上方.
②若
??0
,
?x
0
??y<
br>0
?C?0
,则点
?
?
x
0
,y
0
?
在直线
?x??y?C?0
的下方.
39、在平面直角坐标系中,已知直线
?x??y?C?0
.
??yC?<
br>①若
??0
,则
?x?0
表示直线
?x??y?C?0
上方的区域;
?x??y?C?0
表
示直线
?x??y?C
?0
下方的区域.
??yC?
②若
??0
,则
?x?0<
br>表示直线
?x??y?C?0
下方的区域;
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
上方的区域.
40、线性约束条件:由
x<
br>,
y
的不等式(或方程)组成的不等式组,是
x
,
y
的线性约束条
件.
目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量
x
,
y
的解析式.
线性目标函数:目标函数为
x
,
y
的一次解析式.
线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题.
可行解:满足线性约束条件的解
?
x,y
?
.
可行域:所有可行解组成的集合.
最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解.
41、设
a
、
b
是两个正数,则
几何平均数.
42、均值不等式定理: 若
a?0
,
b?0
,则
a?b?
2ab
,即
22
a?b
称为正数
a
、
b
的
算术平均数,
ab
称为正数
a
、
b
的
2
a
?b
?ab
.
2
a
2
?b
2
43、常用
的基本不等式:①
a?b?2ab
?
a,b?R
?
;②
ab
?
?
a,b?R
?
;
2
a
2
?b
2
?
a?b
??
a?b
?
③
ab?
?<
br>?
??
?
a?0,b?0
?
;④
?
?
a,b?R
?
.
2
?
2
??
2
?44、极值定理:设
x
、
y
都为正数,则有
22
s<
br>2
⑴若
x?y?s
(和为定值),则当
x?y
时,积
xy
取得最大值.
4
⑵若
xy?p
(积为定值),则当
x
?y
时,和
x?y
取得最小值
2p
.
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